廣東省廣州市增城中學(511300) 肖海英
隨著新高考改革的推進,2021年6月7-9日新高考模式將在全國8 個省(河北、遼寧、湖北、湖南、江蘇、福建、廣東、重慶)正式實施,為了讓學生對新高考模式有所適應與準備,2021年1月23-25日舉行了2021年教育部新高考八省市聯(lián)考考試(以下簡稱為高考適應性考試),其中語文、數(shù)學、英語三個學科由教育部命題中心統(tǒng)一命題,其余六科由各省自主命題,新高考數(shù)學將不再分文理科.從這次適應性考試后學生的整體反應來看,數(shù)學學科反響比較強烈,有些出乎學生的預料.整份試卷沒有不良結(jié)構(gòu)題,但很多題目學生做起來感覺比較困難.筆者對此次高考適應性考試數(shù)學試題進行了深度剖析,對新高考備考方向與高三復習備考提出了一些自己的建議.
題 號考查知識點考查形式數(shù)學思想與方法核心素養(yǎng)分 值1集合關(guān)系與運算選擇題(單選)數(shù)形結(jié)合思想數(shù)學抽象5 2概率與統(tǒng)計(古典概型)選擇題(單選)概率統(tǒng)計思想數(shù)學建模5 3簡易邏輯選擇題(單選)歸納推理思想邏輯推理5 4解析幾何(橢圓)選擇題(單選)數(shù)形結(jié)合思想數(shù)學運算5 5平面向量選擇題(單選)數(shù)形結(jié)合思想數(shù)學運算5 6二項式定理(系數(shù))選擇題(單選)歸納推理思想邏輯推理5 7解析幾何(直線、圓、拋物線)選擇題(單選)數(shù)形結(jié)合思想數(shù)學運算5 8函數(shù)與導數(shù)(不等式)選擇題(單選)函數(shù)與方程思想數(shù)學建模5 9函數(shù)與導數(shù)(性質(zhì))選擇題(多選)函數(shù)與方程思想邏輯推理、數(shù)學運算5 10復數(shù)(抽象運算)選擇題(多選)類比與轉(zhuǎn)化思想數(shù)學抽象5 11立體幾何(折疊問題)選擇題(多選)數(shù)形結(jié)合思想直觀想象、數(shù)學建模5
12三角函數(shù)(性質(zhì))選擇題(多選)函數(shù)與方程思想邏輯推理、數(shù)學運算5 13立體幾何(圓臺體積)填空題類比與轉(zhuǎn)化思想數(shù)學建模5 14解析幾何(直線斜率)填空題數(shù)形結(jié)合思想邏輯推理、數(shù)學運算5 15三角函數(shù)(周期、奇偶)填空題(開放式命題)歸納推理思想數(shù)學建模5 16概率與統(tǒng)計(正態(tài)分布)填空題概率統(tǒng)計思想數(shù)據(jù)分析、數(shù)學運算5 17數(shù)列(等比)解答題化歸與轉(zhuǎn)化思想邏輯推理、數(shù)學建模10 18三角函數(shù)(解三角形)解答題數(shù)形結(jié)合思想數(shù)學建模、數(shù)學運算12 19概率與統(tǒng)計(分布列、期望)解答題概率統(tǒng)計思想數(shù)學建模、數(shù)學運算12 20立體幾何(數(shù)學文化)解答題(創(chuàng)新題)類比與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想直觀想象、邏輯推理、數(shù)學建模、數(shù)據(jù)分析、數(shù)學運算12 21圓錐曲線(雙曲線)解答題數(shù)形結(jié)合思想邏輯推理、數(shù)學運算12 22函數(shù)與導數(shù)解答題分類討論思想、函數(shù)與方程思想邏輯推理、數(shù)學運算12
數(shù)學主干知識是支撐數(shù)學試卷的頂梁柱,數(shù)學題型也是相對比較穩(wěn)定的,但高考對熱點知識的考查年年有新穎的題目出現(xiàn).本次高考適應性考試主要圍繞主干知識的考查,其中函數(shù)與導數(shù)22 分(第8、9、22 題);三角函數(shù)與解三角形22分(第12、15、18 題);立體幾何22 分(第11、13、20 題);解析幾何27 分(第4、7、14、21 題);概率與統(tǒng)計22 分(第2、9、22題);數(shù)列10 分(第17 題).這六個主要知識模塊所占分值達125 分,占全卷的83.3%,其余涉及到的幾個知識點也是歷年高考的高頻考點: 集合、簡易邏輯、復數(shù)、平面向量、二項式定理各5 分,共25 分,占全卷的16.7%.本次高考適應性考試在整體結(jié)構(gòu)上的分布與歷年全國高考試題基本一致,起到了很好的高考導向性作用.
筆者通過對本校學生考完高考適應性考試后的樣本了解得知,本次考試學生數(shù)學科失利的主要原因有以下幾個方面:
1 學生的思變能力“欠缺”本次高考適應性考試對集合(第1 題)、二項式定理(第6 題)、復數(shù)(第10 題)、圓臺體積(第13 題)等基本知識點(高頻考點)的考查不再像以往考試中那么簡單,每題都有一定的思維含量,涉及到多個知識點的綜合考查,有一定難度.如第1 題集合考查的是抽象集合的運算,需要學生去經(jīng)過邏輯推理,再利用數(shù)形結(jié)合(韋恩圖或數(shù)軸)作圖才能作答,完全不同于以往具體集合的運算(但此題實際上也可以將抽象集合具體化后快速求解,如令CRM= (1,2),N= (0,3)求解即可);第6 題對二項式定理的考查比較靈活,不再是常見的求指定項系數(shù)問題,需要合并組合數(shù)后才能快速求解(利用公式計算=120),當然學生也可以每個組合數(shù)都計算出來,但那樣會浪費很多時間;第10 題對復數(shù)的考查以多選題形式出現(xiàn),考查復數(shù)的相關(guān)運算,但不同于以往具體復數(shù)的直接四則運算,很多學生不會把三個復數(shù)具體化再去逐個選項排除作答(如令z1=1+ⅰ,z2=1?ⅰ即可快速排除A、D 選項);第13 題圓臺的體積公式平時教學中老師一般不要求學生記憶,很多同學一看就慌了,卻忘記了圓臺的本質(zhì)是用一個平行于底面的平面去截取圓錐而來的,可以用大圓錐的體積減去小圓錐的體積即可得到圓臺的體積;由于學生的思變能力“欠缺”,導致平時熟練的幾個高頻考點題不會做, 這讓很多同學在心理上被打了個“措手不及”, 在自信心與答題節(jié)奏上一開始就有點“亂套”了!
2 學生的解題模式“固化”本次高考適應性考試試題最大的特點是打破以往慣例,考查內(nèi)容與形式都與以往考試有較大差異,擺脫了所謂的“解題套路”! 前四個大題(得分的主戰(zhàn)場)中第17 題(數(shù)列)考查的是數(shù)列連續(xù)三項的一個遞推關(guān)系,需要先化歸成等比數(shù)列求出相鄰兩項之間的遞推式,再利用“同除法”或“奇偶分項與疊加法”化歸后才能求出通項公式.由于近幾年全國卷對數(shù)列的考查相對比較簡單(一般為第一或第二道大題),大多數(shù)一線教師在此模塊降低了相應教學難度, 一般只涉及到由相鄰兩項的遞推公式求通項,解題模式已經(jīng)“固化”,學生平時幾乎沒有碰過連續(xù)三項的一個遞推關(guān)系,所以幾乎無從下手.本來此題亦可以用“數(shù)學歸納法”去歸納、猜想、證明快速解決問題,但由于新課程改革,新教材中“數(shù)學歸納法”已被刪除,所以很多一線教師根本沒有給學生教授此知識點! 第18 題(解三角形)考查背景是以梯形為載體,需要在不同的三角形中多次使用余弦定理才能解決問題,而且計算比較繁瑣,最終結(jié)果比較復雜(帶根號),對于運算能力較差的同學又是一個“挑戰(zhàn)”.在對后兩題壓軸題的考查中,第21 題(解析幾何)的考查是以雙曲線為載體,打破了橢圓和拋物線在高考中的“壟斷”地位,從解法上擺脫了“聯(lián)立”的枷鎖,應該引起我們足夠重視,第二問的證明問題需要將角度問題轉(zhuǎn)化為對應直線的斜率問題去求解,進一步明確了新課標中有關(guān)解析幾何模塊的學業(yè)要求: 能夠根據(jù)幾何問題和圖形的特點,用代數(shù)語言把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題.
3 學生的答題策略“不當”新高考模式結(jié)構(gòu)上與以往高考最大的不同點是選擇題由原來的12 個單選題變?yōu)? 個單選題和4 個多選題,每個小題的分值還是5 分不變,但其中多選題全對5 分,少選2 分,選錯0 分.其中多選題的考查對學生提出了更高的綜合能力要求.如本次高考適應性考試試題的4 個多選題中第9、10、12 題的四個選項都是考查不同內(nèi)容,如果學生不能快速排除干擾選項,而是每個選項逐一解答,那就等同于用了解4 個題的時間去解一個題,這對本來答題時間就不夠的學生來說無疑“雪上加霜”.如第9 題A、C 選項需要先求導數(shù)才能求解,但B、D 選項是可以直接根據(jù)零點為0 和定義域不關(guān)于原點對稱來快速排除的.放棄多選題不甘心,完成它又擔心擠占了做后面的大題的時間,使多選題成為了學生難以突破的一個“瓶頸”! 但新高考設(shè)置多選題的初衷是讓不同層次的學生獲得不同的分數(shù),更好的檢測出不同層次學生的水平,同時避免心存僥幸心理的學生蒙混過關(guān),真正發(fā)揮高考“選拔人才”功能,學生考試時應該根據(jù)自身情況進行“取舍”,快速作答,亦可嘗試用“特值排除法”去解決多選題.
本次高考適應性考試命題特點充分體現(xiàn)了數(shù)學的本質(zhì)問題.一線教師在以后的高考備考中,除了重視對數(shù)學本身的基礎(chǔ)知識體系的系統(tǒng)復習外,應該加深學生對數(shù)學概念本質(zhì)的理解,減少純粹的機械與模仿式刷題和尋找所謂的“解題套路”.平時訓練應該多引導學生了解數(shù)學的本質(zhì),讓學生學會從不同的角度去思考與解決問題,嘗試一題多解,而不是解題模式“固化”為某種題型只能用某種方法解決,應該培養(yǎng)學生的發(fā)散思維,提高思變能力.如第17 題數(shù)列題就可以嘗試多種方法去求解.
題目1(2021年高考適應性考試第17 題)已知各項都為正數(shù)的數(shù)列{an}滿足an+2=2an+1+3an.
(1)證明: 數(shù)列{an+an+1}為等比數(shù)列;
(2)若a1=求{an}的通項公式.
(1)解法一(按題目構(gòu)造好的數(shù)列結(jié)構(gòu)直接進行配湊)由an+2=2an+1+3an可得
所以
因為數(shù)列各項都為正數(shù),所以a1+a2>0,所以{an+an+1}是公比為3 的等比數(shù)列.
(1) 解法二(按等比數(shù)列定義直接證明) 因為an+2=2an+1+3an,所以
因為數(shù)列各項都為正數(shù),所以a1+a2>0,所以{an+an+1}是公比為3 的等比數(shù)列.
(2)解法一(同除法)a1=所以a1+a2=2,由(1)可得數(shù)列{an+an+1}是以2 為首項,3 為公比的等比數(shù)列,所以
由(?)得到an+1=?an+2·3n?1,即令bn=則bn+1=bn+2,有
(2) 解法二(奇偶分項、疊加法) 由(?) 得到an+1+an+2=2·3n,所以an+2?an=2·3n ?2·3n?1=4·3n?1,當n為奇數(shù)時,
所以an=當n為偶數(shù)時,
所以an=綜上,所以an=
(2) 解法三(數(shù)學歸納法) 因為an+1=?an+ 2×3n?1, 所以猜想an=用數(shù)學歸納法證明如下:
(ⅰ)當n=1 時,a1=猜想成立;
(?、? 假設(shè)n=k(k≥ 1,k ∈N)時猜想成立, 即ak=那么n=k+1 時,所以ak+1=?ak+2·3k?1=所以n=k+1 時猜想也成立.
綜合(ⅰ)(?、?可得,對一切n ∈N 都有an=成立.
廣泛的應用性是數(shù)學的基本屬性,數(shù)學已成為人們?nèi)粘I畈豢苫蛉钡闹匾矫? 科學技術(shù)的進步更離不開數(shù)學.將數(shù)學知識運用于實踐,是公民的基本素養(yǎng),對數(shù)學應用能力的考查也是高考數(shù)學試卷的重要內(nèi)容.近幾年高考把概率統(tǒng)計題在整套試題的排位后移,難度加大,是高考增強實踐性的重要信號,值得我們認真關(guān)注和研究,很多學生不能從實際問題的背景材料中提取有效的數(shù)據(jù)信息是此題最大的“障礙”所在.
如本次高考適應性考試第2 題(生活中的概率問題,此類概率問題在實際生活中應用很多)、第16 題(正態(tài)分布問題, 此類概率問題是工業(yè)生產(chǎn)中常用的3σ檢驗)、第19 題(概率統(tǒng)計題)都重在考查數(shù)學的實際應用,將實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學模型,利用數(shù)學工具、思想去分析和解決生活中的實際問題.其中第19 題在進行數(shù)據(jù)分析時環(huán)環(huán)相扣,解決實際問題時必須有清晰的思路,分類必須全面.
題目2(2021年高考適應性考試第19 題)一臺設(shè)備由三個部件構(gòu)成,假設(shè)在一天的運轉(zhuǎn)中,部件1,2,3 需要調(diào)整的概率分別為0.1,0.2,0.3,各部件的狀態(tài)相互獨立.
(1)求設(shè)備在一天的運轉(zhuǎn)中,部件1,2 中至少有1 個需要調(diào)整的概率;
(2)記設(shè)備在一天的運轉(zhuǎn)中需要調(diào)整的部件個數(shù)為X,求X的分布列及數(shù)學期望.
解(1) 設(shè)部件1 需要調(diào)整為事件A, 部件2 需要調(diào)整為事件B, 部件3 需要調(diào)整為事件C, 由題意可知:P(A) = 0.1,P(B) = 0.2,P(C) = 0.3.部件1, 2 中至少有1 個需要調(diào)整的概率為: 1?[1?P(A)][1?P(B)] =1?0.9×0.8=1?0.72=0.28.
(2)由題意可知X 的取值為0,1,2,3.且:
故X 的分布列為:
X 0 1 2 3 P (X)0.504 0.398 0.092 0.006
其數(shù)學期望:E(X) = 0.504×0+0.398×1+0.092×2+0.006×3=0.6.
數(shù)學核心素養(yǎng)是數(shù)學課程目標的集中體現(xiàn),是需要學生在數(shù)學學習的過程中逐步形成的.今后一線教師在日常教學中在注重基礎(chǔ)知識教授的同時,應該重視對學生數(shù)學核心素養(yǎng)的培養(yǎng)和數(shù)學文化的浸潤.
縱觀近年來全國卷試題,明顯加大了對數(shù)學文化的考查,如2018年高考理科第10 題借助于古希臘數(shù)學家希波克拉底在研究化圓為方問題(月形定理)時曾研究過的幾何圖形考查了幾何概型,充分體現(xiàn)了幾何之美;2019年高考理科第4 題借助于“斷臂維納斯”考查了數(shù)學中有名的“黃金分割”;2020年高考理科第3 題借助于“埃及金字塔”考查了立體幾何中的相關(guān)幾何量的運算.這些試題注意吸收世界數(shù)學文化的精華,從而引導學生熱愛數(shù)學文化,同時契合《考試大綱》中對數(shù)學文化考查的要求,同時充分體現(xiàn)了高考會越來越注重對學生人文素養(yǎng)的考查!
本次高考適應性考試在考查學生數(shù)學核心素養(yǎng)方面非常全面.如第11 題、第13 題、第20 題以“立體幾何”為載體,考查了考生“直觀想象、邏輯推理、數(shù)學建模和數(shù)學運算”等素養(yǎng);如第1 題、第3 題、第10 題重在考查學生邏輯推理、數(shù)學運算等素養(yǎng);如第2 題(生活中的概率問題)、第16 題(工業(yè)生產(chǎn)中的3σ檢驗)、第19 題(概率統(tǒng)計問題)等應用題重在考查學生數(shù)學建模、數(shù)學運算等素養(yǎng);如第21 題(函數(shù)與導數(shù))重在考查學生的邏輯推理與數(shù)學運算等素養(yǎng),分類討論較多,此題的區(qū)分度也就在這里體現(xiàn)出來! 如第20 題(立體幾何)的考查是全卷的一個“亮點”(考查內(nèi)容與形式的轉(zhuǎn)變),也是全卷最大的“創(chuàng)新點”(立體幾何題以應用背景出現(xiàn),在考試中屬于首次,是一種大膽創(chuàng)新與嘗試,應該引起我們足夠重視),該題以北京大興國際機場為載體,引進“歐拉公式”去考查多面體的曲率問題,大膽打破了傳統(tǒng)意義上對立體幾何的解答題考查形式(位置關(guān)系的證明,空間角的求法).此題對學生核心素養(yǎng)能力的考查達到了極致,學生必須通過直觀想象(機場形狀)、邏輯推理(由正四面體到四棱錐再到普通多面體)、數(shù)學建模(歐拉公式)、數(shù)據(jù)分析(多面體頂點、棱數(shù)、面數(shù)、面角之間的關(guān)系)、數(shù)學運算等環(huán)節(jié)才能解決問題,而且環(huán)環(huán)相扣,是全卷最難得分的一道題,絕大部分同學連題目都沒有看懂,根本無從下手,答卷基本是空白的,這對于此題想拿滿分的絕大多數(shù)同學來說是個不小的“沖擊”!
高考試題除了考查基礎(chǔ)知識,基本能力外更注重基本數(shù)學思想方法的考查,注重通性通法,淡化技巧,把基礎(chǔ)與創(chuàng)新相結(jié)合.數(shù)學思想方法具備很高的智力價值,是獲得數(shù)學知識的重要手段,掌握了數(shù)學思想方法才能透徹理解數(shù)學知識,而且有助于創(chuàng)造能力的發(fā)展.
本次高考適應性考試如第2、16、19 題考查到概率與統(tǒng)計的思想;如第1、4、5、7、11、14、18、20、21 題都考查到數(shù)形結(jié)合的思想;第8、9、12、22 題考查到函數(shù)與方程的思想;第22 題考查到分類與整合思想,第3、6、10、13、15、17、20 題都考查到類比、歸納與轉(zhuǎn)化思想;如第22 題(函數(shù)與導數(shù))的考查中,作為壓軸題綜合性很強,由于函數(shù)模型是指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)的復合型函數(shù),一次求導后學生無法直接求出導函數(shù)的零點,需要通過二次求導來討論導函數(shù)的零點問題,從而得出原函數(shù)的單調(diào)性,所以絕大多數(shù)同學連第一問都無從下手,導致整題得分較差.第二問如果使用“洛必達法則”則可以快速求解,但一般同學根本就不知道這個法則,而利用普通方法解決此題需要分類討論較多, 學生分類討論不全,作答時間不夠,難拿高分.但作為壓軸題并沒有設(shè)置難度較大的第三問,說明高考在選拔功能方面降低了對該內(nèi)容的難度,但同時加強了對思維的廣度和寬度的考查.
從歷年高考學生的答卷總體情況來看,大部分考生對基礎(chǔ)知識、基本技能掌握較好, 存在的主要問題有: 數(shù)學語言的表述不嚴謹、使用數(shù)學理論解決實際問題的建模能力較薄弱、遷移轉(zhuǎn)化能力較差等.因此,今后數(shù)學教學已不再僅僅以“知能”為目的, 而是需要更加關(guān)注知識技能的形成過程和學習方式的多樣化,讓學生在多樣化的數(shù)學活動中感受、體驗數(shù)學的探索與創(chuàng)造,使學生對數(shù)學本質(zhì)有深刻的理解,養(yǎng)成良好的數(shù)學學科素養(yǎng).新高考背景下,高三數(shù)學的備考方向也應“與時俱進”,以發(fā)展學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)為導向,創(chuàng)設(shè)合適的教學情境,啟發(fā)學生多思考,引導學生把握數(shù)學內(nèi)容的本質(zhì),在日常教學中不斷引導學生感悟數(shù)學的科學價值、應用價值、文化價值和審美價值,讓“數(shù)學核心素養(yǎng)”在高中數(shù)學日常教學中真正做到“落地生根”.