李 琛，尤蘇蓉

(東華大學(xué) 理學(xué)院，上海 201620)

0 引 言

隨著現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的迅速發(fā)展，中立型隨機(jī)時(shí)滯微分方程(neutral stochastic delay differential equation,NSDDEs)已被廣泛應(yīng)用于化工和空氣動(dòng)力學(xué)等工程領(lǐng)域及人口動(dòng)力學(xué)領(lǐng)域[1-4]。NSDDEs在系數(shù)滿足局部Lipschitz條件、線性增長(zhǎng)條件和中立項(xiàng)的壓縮映射條件下存在唯一解[5]。但是,NSDDEs很難求精確解，一般用數(shù)值解近似代替精確解[6-7]，所以其數(shù)值解的研究也得到人們?cè)絹?lái)越多的重視。

在方程滿足線性增長(zhǎng)條件時(shí)，數(shù)值解的經(jīng)典算法如Euler-Maruyama法、倒向Euler-Maruyama法被廣泛應(yīng)用于微分方程的求解。這些形式的數(shù)值解一般會(huì)有較好的收斂性、穩(wěn)定性等性質(zhì)[8-11]。不過(guò)，當(dāng)方程系數(shù)具有非線性特征時(shí)，這些性質(zhì)會(huì)受到削弱，甚至數(shù)值解的收斂性也得不到保證。而截?cái)嗨枷肟捎糜跇?gòu)建帶有非線性系數(shù)方程的數(shù)值解。文獻(xiàn)[12]首次引入截?cái)郋uler-Maruyama數(shù)值方法，用于研究隨機(jī)微分方程；文獻(xiàn)[13-14]進(jìn)一步將其應(yīng)用于隨機(jī)時(shí)滯微分方程，使得數(shù)值解依矩強(qiáng)收斂于精確解，并且有較好的收斂率。但是，在很多領(lǐng)域仍然需要數(shù)值解有更高的收斂精度。文獻(xiàn)[15]中首次引入Milstein方法用于研究隨機(jī)微分方程，使其數(shù)值解有更高的收斂精度；文獻(xiàn)[16-17]將此方法進(jìn)一步引入帶有高度非線性系數(shù)的隨機(jī)微分方程。不過(guò)，帶有非線性系數(shù)的NSDDEs在Milstein方法下是否收斂，還未有定論。本文將針對(duì)此問(wèn)題加以研究，在使用與精確解相同假設(shè)的情況下，證明數(shù)值解是Lp強(qiáng)收斂的。

1 問(wèn)題背景

向量x(t)、x(0)、ξ對(duì)應(yīng)的集合表示分別記為x(t)、x(0)及ξ。

考慮非線性中立型隨機(jī)時(shí)滯微分方程

(1)

初值為

x(0)={ξ(θ):-τ≤θ≤0}∈

式中：

f:C([-τ,∞)，Rn)×C([-τ,0]，Rn)→Rn

g:C([-τ,∞)，Rn)×C([-τ,0]，Rn)→Rn×m

f(x,y)、g(x,y)為方程(1)的非線性系數(shù);N：Rn→Rn為中立項(xiàng);

B(t)=(B1(t),B2(t),…，Bm(t))T

是m維布朗運(yùn)動(dòng)。

假設(shè)1(局部Lipschitz條件) 對(duì)任意給定的實(shí)數(shù)Z≥1，存在常數(shù)Lz>0，使得

成立

c1|x|r≤V(x)≤c2|x|r

(2)

?λ>0和p>2，成立

LV(x,y)=(x-N(y))Tf(x,y)+

(3)

假設(shè)3(壓縮映射) 存在常數(shù)a∈(0，1)，使得?x，y∈Rn，成立

|N(x)-N(y)|≤a|x-y|

并且有N(0)=0，|N(x)|≤a|x|。

證明應(yīng)用標(biāo)準(zhǔn)截?cái)嗉夹g(shù)，由Lipschitz條件及壓縮映射，對(duì)任給的初值，當(dāng)t∈[-τ,τe)時(shí)，有一個(gè)局部最大解x(t)。設(shè)τe為爆破時(shí)間，且讓k0>0充分大，使得

對(duì)任意的整數(shù)k>k0，定義停時(shí)

可以得到方程(1)的積分形式

x(t)=ξ(0)-N(ξ(-τ))+N(x(s-τ))+

(4)

再令k=a/(1-a)，由不等式 |x+y|p≤(1-k)1-p|x|p+k1-p|y|p及假設(shè)3,得

(5)

于是，由式(4)、(5)得

(6)

由假設(shè)2，Young不等式，對(duì)式(6)兩邊取期望E(·)，得

(7)

?t∈[0,T]，式(7)右邊的和是單調(diào)遞增的。因此有

(8)

對(duì)式(8)用Gronwall不等式 ，可得

E|x(T∧τk)p|≤

這意味著kpP(τk≤T)≤C0。令k→∞，則

由于T是任意的，所以得τk=∞ a.s.，解的存在唯一性得證。同理可得

2 截?cái)郙ilstein數(shù)值解及其強(qiáng)收斂性

|gi(x,y)|)≤φ(s)

(9)

式(9)中,設(shè)i=1,2，有

設(shè)φ-1是φ的反函數(shù)，φ-1:[φ(0),∞)→R+是一個(gè)嚴(yán)格增連續(xù)函數(shù)。存在常數(shù)Δ*∈(0,1)及一個(gè)嚴(yán)格減函數(shù)ψ：(0,Δ*]→(1,∞)，?Δ∈(0,Δ*]，使得

(10)

由式(9)、式(10)，對(duì)給定的步長(zhǎng)Δ∈(0,1)，定義截?cái)喾匠?/p>

可以看出

φ(φ-1(ψ(Δ)))=ψ(Δ)

(11)

假設(shè)T=MΔ,τ=N*Δ，設(shè)置tk=tΔ，Y(0)=ξ(0)。定義離散的截?cái)郙ilstein數(shù)值解為：當(dāng)k=-N*,-N*+1，…，0 (N*∈N)時(shí)，Y(tk)=ξ(tk)。

當(dāng)k>0時(shí)，

式中:

Bk=B(tk),ΔBk=Bk+1-Bk

定義連續(xù)時(shí)間Milstein數(shù)值解如下：當(dāng)t∈[-τ,0]時(shí)，y(t)=ξ(t);當(dāng)t>0時(shí)，

式中:

方程截?cái)嗪蟮南禂?shù)仍應(yīng)滿足假設(shè)2。為此,在假設(shè)2的基礎(chǔ)上引入一個(gè)更強(qiáng)的假設(shè):

假設(shè)4 設(shè)λ>0,p≥2，?0

λ(1+|x|2+|y|2)

(12)

若令H=1，則式(12)退化為假設(shè)2。

定理1 若假設(shè)4成立，?Δ∈(0,Δ*]，有

λ(1+|x|2+|y|2)

(13)

證明?Δ∈(0,Δ*]，由式(10)得

φ-1(ψ(Δ))≥φ-1(ψ(Δ*))≥1

式(13)的證明分2種情況：

(ⅰ) 當(dāng)|x|∨|y|≤φ-1(ψ(Δ))時(shí)，

(πΔ(x)-N(πΔ(y)))Τf(πΔ(x),πΔ(y))+

λ(1+|πΔ(x)|2+|πΔ(y)|2)≤

λ(1+|x|2+|y|2)

(ⅱ) 當(dāng)|y|∨|x|>φ-1(ψ(Δ))時(shí)，由式(13)得

定理得證。

假設(shè)5(初值條件) 若存在常數(shù)K0>0，使得?s,t∈[-τ,0]，有

|ξ(t)-ξ(s)|≤K0|t-s|

引理2 若假設(shè)1～3，假設(shè)5成立，?Δ∈(0,1)，有

(14)

證明固定任給的Δ，存在唯一的整數(shù)k>0,使得tk≤t

由式(10)得,當(dāng)Δ→0時(shí)，

即證得式(14)成立。

引理4 若假設(shè)1～3成立，對(duì)t∈[0,T]及?T>0，有

(15)

證明固定任給的Δ∈(0,Δ*)，由It公式，Young不等式及不等式得

N(ξ(-τ))|p+

(16)

根據(jù)式(11)，Young不等式，對(duì)式(16)中的幾個(gè)部分分開(kāi)推導(dǎo):

CΔp/2(ψ(Δ))2p≤

CΔP/2(ψ(Δ))2p≤

再根據(jù)引理3，式(10)、式(11)得

CTΔp/4(ψ(Δ))3p/2≤

CTΔp/4(ψ(Δ))3p/2≤

將以上各拆分部分帶入式(16)，應(yīng)用Gronwall不等式，得

(17)

同理可得

(18)

因?yàn)槭?17)、式(18)對(duì)所有的Δ∈(0,Δ*]成立，引理得證。

引理4證明了NSDDEs截?cái)郙ilstein數(shù)值解的矩有界性。最終定理需要利用方程數(shù)值解的相關(guān)停時(shí)，為此引理5、6將定義方程數(shù)值解的相關(guān)停時(shí)。

引理5 若假設(shè)1～3成立，對(duì)任給的實(shí)數(shù)Z>‖ξ‖,定義停時(shí)

σz=inf{t≥0:|x(t)|≥Z}

證明?t∈[0,T]，有

引理6 若假設(shè)1～3成立，對(duì)任給的實(shí)數(shù)Z>‖ξ‖，定義停時(shí)

σΔ，z=inf{t≥0:|y(t)|≥Z}

證明：

(19)

由定理1，得

(20)

對(duì)式(20)右邊分開(kāi)推導(dǎo)

(ⅱ) 由式(9)得

(ⅲ) 由引理3得

CTΔ1/2(ψ(Δ))3≤C

將以上推導(dǎo)代入式(19)，由Gronwall不等式得

定理2 若假設(shè)1～5成立，當(dāng)q∈[2,p)時(shí)，有

證明對(duì)停時(shí)σΔ，z，σz和x(T)，y(T)定義

θ:=σΔ，z∧σz，eΔ(T):=x(T)-y(T)

由Young不等式，?δ>0，成立

(21)

由定理1，引理2，得

E|eΔ(T)|p≤C

(22)

由引理3，引理4，得

(23)

將式(22)、(23)代入式(21)，得

E|eΔ(T)|q≤E(|eΔ(T)|qI{θ>T})+

(24)

定義截?cái)嗪瘮?shù)如下:?x,y∈Rn，有

假設(shè)Δ*足夠小，使得φ-1(ψ(Δ*))≥Z，?Δ∈(0,Δ*)。當(dāng)|x|∨|y|≤Z成立時(shí),有

對(duì)初值η(t)∈C([-τ,0],Rn)，設(shè)

(25)

由假設(shè)1，得到Fz(X(t),X(t-τ))，Gz(X(t),X(t-τ))關(guān)于Lz是Lipschitz連續(xù)。當(dāng)t≥0時(shí)，式(25)存在一個(gè)唯一全局解X(t)，即有

x(t∧σz)=X(t∧σz)

(26)

(27)

由文獻(xiàn)[12]中的結(jié)論

有

(28)

將式(26)、式(27)代入式(28)，成立

因此有

E(|eΔ(T)|qI{θ>T})=

E(|eΔ(T∧θ)|qΙ{θ>T})≤

定理2得證。

3 數(shù)值模擬

考慮如下中立型隨機(jī)泛函微分方程

設(shè)置初值為x(0)=ξ={cosθ+M:-1≤θ≤0}。

利用Matlab軟件模擬了中立型時(shí)滯微分方程截?cái)郙ilstein的數(shù)值解,結(jié)果如圖1所示。圖1中分別設(shè)置M為5(紅色)和10(藍(lán)色)。對(duì)于紅色線段圖，Δ=2-12，時(shí)滯為1。當(dāng)t=4 097Δ時(shí)首次低于-3，發(fā)生截?cái)唷?/p>

圖 1 中立型隨機(jī)時(shí)滯微分方程截?cái)郙ilstein數(shù)值解Fig.1 Truncated Milstein numerical solution of NSDDEs

4 結(jié) 語(yǔ)

本文研究了中立型隨機(jī)時(shí)滯微分方程的數(shù)值解,用Milstein方法分析,說(shuō)明了解析解的強(qiáng)收斂條件。通過(guò)一系列技巧對(duì)中立項(xiàng)及時(shí)滯項(xiàng)進(jìn)行處理，最終得到截?cái)郙ilstein數(shù)值解仍將保持強(qiáng)收斂的結(jié)論。由于篇幅的原因，后續(xù)將進(jìn)一步發(fā)表其收斂階數(shù)接近于1,并且將進(jìn)一步研究其穩(wěn)定性的條件與相關(guān)性質(zhì)。