陳振杰,傅勤,郁鵬飛,張丹

(蘇州科技大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,江蘇 蘇州215009)

1.引言

在實(shí)際工程中,許多現(xiàn)象需要用偏微分方程來刻畫,如波動、熱傳導(dǎo)等物理問題,由偏微分方程構(gòu)建而成的系統(tǒng)稱為分布參數(shù)系統(tǒng).近年來,分布參數(shù)系統(tǒng)的控制設(shè)計(jì)已經(jīng)應(yīng)用于許多領(lǐng)域中,并取得了較多的研究成果[1?6].至今,關(guān)于分布參數(shù)系統(tǒng)的控制設(shè)計(jì),有兩種常用方法：一種是邊界控制[1?3],另一種是分布式控制[4?6].本文關(guān)注的是分布式控制問題.文[4-6]借助于Lyapunov泛函方法,分析研究了二階分布參數(shù)系統(tǒng)的分布式控制問題;文[7-9]則利用算子理論方法將偏微分方程轉(zhuǎn)化為Hilbert空間中的常微分方程,由此解決了二階分布參數(shù)系統(tǒng)的分布式控制問題.上述兩種分布式控制的目的都是通過設(shè)計(jì)反饋控制器,使閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)隨著時間的增加于合適的Sobolev空間中收斂到零.相應(yīng)于算子理論方法,Lyapunov泛函方法得到的結(jié)果具有應(yīng)用方便、精確有效的特點(diǎn)[10].

近年來,隨著計(jì)算機(jī)通訊技術(shù)、網(wǎng)絡(luò)和工業(yè)的發(fā)展,多智能體系統(tǒng)的協(xié)調(diào)控制已被廣泛應(yīng)用于各種領(lǐng)域中,并取得了大量的研究成果[11?16].總體而言,多智能體系統(tǒng)可分為兩類：無領(lǐng)導(dǎo)者的系統(tǒng)[11?13]和有領(lǐng)導(dǎo)者的系統(tǒng)[14?16].對于無領(lǐng)導(dǎo)者的多智能體系統(tǒng),一致性問題是其協(xié)調(diào)控制研究中的一個基礎(chǔ)性課題[11?13],它考慮的是如何設(shè)計(jì)分布式控制協(xié)議,使得所有智能體隨著時間的增長能收斂到一個共同的值上,詳見文[17].至今,有關(guān)一致性控制,研究關(guān)注的多智能體系統(tǒng)主要是由常微分方程構(gòu)建而成的系統(tǒng)[11?13],而較少涉及到由偏微分方程構(gòu)建而成的系統(tǒng).最近,基于Lyapunov泛函方法,文[18]提出并研究了偏微分多智能體系統(tǒng)的一致性控制問題,該類系統(tǒng)是由兩類常見的偏微分方程（熱方程和二階波動方程）構(gòu)建而成.基于文[13]中的虛擬領(lǐng)導(dǎo)者方法,構(gòu)建得到分布式反饋控制律.當(dāng)該反饋控制律作用于系統(tǒng)時,系統(tǒng)狀態(tài)的一致性誤差能于合適的Sobolev空間中收斂到零.文[18]于結(jié)論處提出了可進(jìn)一步研究的問題：高階偏微分多智能體系統(tǒng)的一致性控制設(shè)計(jì).

四階波動方程來源于梁和薄板的振動[19?20],具有重要的研究意義,近年來引起了廣泛的關(guān)注[21?22].至今,幾乎所有的相關(guān)研究工作均關(guān)注于方程的適定性和求解問題[21?22].文[21]利用Adomian方法研究了一類變系數(shù)四階梁方程的求解問題,借助于廣義傅立葉級數(shù)展開方法,通過構(gòu)建正交基函數(shù),由此求得用基函數(shù)描述的解析解的表達(dá)式,解決了該方程解的存在性問題.

本文利用文[21]中的四階梁方程,構(gòu)建得到相應(yīng)的四階偏微分多智能體系統(tǒng),并進(jìn)一步研究該類系統(tǒng)的一致性控制問題.通過構(gòu)建合適空間上的Lyapunov泛函(不同于文[18]中的),得到一致性反饋控制律.當(dāng)該反饋控制律作用于系統(tǒng)時,狀態(tài)變量的一致性誤差于L2(0,l)×L2(0,l)空間內(nèi)收斂到零.

2.問題描述

本文中,我們采用下列符號約定.In表示n×n單位陣,1n表示所有分量均為1的n維列向量.對給定的向量Y ∈Rm或矩陣Y ∈Rm×m,用YT表示其轉(zhuǎn)置.如果Y ∈Rm×m是非奇異的,則用Y ?1表示其逆矩陣.對于一個函數(shù)x(?)∈L2(0,l),記為其范數(shù).

圖常可被用來描述多智能體系統(tǒng)中不同智能體之間的通訊關(guān)聯(lián),由此,圖論中的一些基本概念給出如下.記G= (V,E,A)為一個帶權(quán)的有向圖,其結(jié)點(diǎn)集合為V={1,2,··· ,N},邊集合為E ?V ×V.在圖G中,用第i個結(jié)點(diǎn)表示第i個智能體,用一條從i到j(luò)的有向邊表示有序?qū)?i,j)∈E,意味著第j個智能體能直接從第i個智能體處接受信息.用A= (aij)∈RN×N表示圖G帶權(quán)的鄰接矩陣,若(j,i)∈E,則aij >0;否則aij= 0.進(jìn)一步,設(shè)aii= 0.定義有向圖G的Laplacian矩陣為LG=D ?A,這里D= diag(degin(1),degin(2),··· ,degin(N)),而表示第i個結(jié)點(diǎn)的入度.

引理2.1[12]Laplacian矩陣LG至少有一個以1N為特征向量的零特征值,且LG所有的非零特征值均有正實(shí)部.LG具有單重零特征值的充要條件是圖G含有生成樹.

記

并取

由Laplacian矩陣LG的定義,可得

這里β=(a21,a31,··· ,aN1)T.由此,結(jié)合引理2.1,可得下列引理:

引理2.2[13]如果有向圖G存在生成樹,則矩陣L22+1N?1·αT的每個特征值均有正實(shí)部.

記B=?(L22+1N?1·αT).若L22+1N?1·αT的每個特征值都有正實(shí)部,則存在一個對稱正定矩陣P ∈R(N?1)×(N?1),使得

文[21]研究了如下形式的變系數(shù)四階梁方程:

這里μ(x),W(x,t),EI(x),q(x,t)分別表示梁的單位長度質(zhì)量,側(cè)梁位移,梁抗彎剛度和單位長度荷載.

文[21]利用傅里葉級數(shù)展開式解決了方程(2.2)解的存在性問題,并給出了方程(2.2)級數(shù)形式的解,詳見文[21]中公式(46).

記

由物理意義可知,μ1,μ2,EI1和EI2為正常數(shù).

在方程(2.2)解的存在性已解決的基礎(chǔ)上,我們用控制變量u(x,t)替換方程(2.2)中的q(x,t)(注:將單位長度荷載替換成控制變量是具有合理性的),由此得到相應(yīng)的四階分布參數(shù)系統(tǒng):

并進(jìn)一步構(gòu)建得到如下形式的四階偏微分多智能體系統(tǒng):

(x,t)∈(0,l)×(0,∞),i= 1,2,...,N.這里為第i個智能體的狀態(tài)變量(見文[6]),ui(x,t)是第i個智能體的分布式控制輸入,i=1,2,...,N.

系統(tǒng)(2.4)適定的邊值條件如下(見文[21]):

或者

和

或者

i=1,2,...,N.

假設(shè)2.1圖G存在生成樹.

本文的目標(biāo)為:尋求系統(tǒng)(2.4)的分布式反饋控制律,使得狀態(tài)變量的一致性誤差于L2(0,l)×L2(0,l)空間內(nèi)收斂到零,即

其中i,j ∈{1,2,...,N}.

3.主要結(jié)果

i=1,2,...,N,這里k >0為反饋增益.

記δi(x,t)=Wi(x,t)?W1(x,t),這里W1(x,t)為虛擬領(lǐng)導(dǎo)者(見文[13,18]).由此(2.5)式等價(jià)于

由(2.4),(3.1)式,有

記

則可將(3.2)式寫成如下的緊湊形式

定理3.1假設(shè)2.1成立,則在反饋控制律(3.1)的作用下,系統(tǒng)(2.4)的一致性誤差收斂到零,即(2.5)式成立,當(dāng)

成立時,這里λmax(P)為矩陣P的最大特征值.

證構(gòu)建如下形式的Lyapunov泛函:

對V(t)求導(dǎo),可得

將(3.3)式代入(3.6)式中,有

由(2.1)式,進(jìn)一步有

結(jié)合系統(tǒng)(2.4)的邊值條件,利用分部積分可得

將(3.8)-(3.11)式代入到(3.7)式中,并結(jié)合(3.4),(2.3)式可得

這里c=min{μ1(k ?2λmax(P)),2EI1λmin(P)}.由(3.5),(3.12)式可得

進(jìn)一步有

因此

從而

證畢.

4.仿真算例

考慮一個由三個智能體構(gòu)成的多智能體系統(tǒng),該多智能體的通信拓?fù)淙鐖D4.1所示,顯然,假設(shè)2.1成立.系統(tǒng)的描述如下(μ(x)≡1,EI(x)≡1)：

這里(x,t)∈(0,1)×(0,∞),i= 1,2,3.系統(tǒng)(4.1)的初、邊值條件如下:Wi(x,0)=0.00001×

通信拓?fù)涞募訖?quán)鄰接矩陣如下：

相應(yīng)地有

取k=7(>2λmax(P)),則在反饋控制律(3.1)的作用下,一致性誤差的仿真結(jié)果見圖4.2.

從圖4.2可看出,狀態(tài)變量的一致性誤差∥δi∥L2(0,1)×L2(0,1)(i=2,3)隨著時間的增長收斂到零.

圖4.1 網(wǎng)絡(luò)拓?fù)銰

圖4.2 ∥δi∥L2(0,1)×L2(0,1)的仿真結(jié)果

5.結(jié)論

本文研究了一類偏微分多智能體系統(tǒng)的一致性控制問題,該類系統(tǒng)中的每個智能體均由變系數(shù)四階梁方程構(gòu)建而成.通過構(gòu)建合適空間上的Lyapunov泛函,得到一致性反饋控制律,當(dāng)該反饋控制律作用于系統(tǒng)時,狀態(tài)變量的一致性誤差于L2(0,l)×L2(0,l)空間內(nèi)收斂到零.有關(guān)偏微分多智能體系統(tǒng)的一致性控制問題,至今,相關(guān)的研究工作涉及的系統(tǒng)均為二階的,還尚無針對高階(四階)系統(tǒng)的控制設(shè)計(jì)工作,而本文中的四階系統(tǒng)又來源于實(shí)際問題中的梁方程(方程中的系數(shù)也具有相應(yīng)的實(shí)際意義),由此,研究其一致性控制問題是有意義的.