于田寧,楊俊

(華南理工大學數(shù)學學院,廣東 廣州510640)

1.問題背景介紹

考慮下列一類廣義擬線性Schr?dinger方程

其中z(·,·):R×RN →C,ρ(·):R→R是實函數(shù).方程(1.1)可以用來描述很多物理現(xiàn)象和模型.例如,當l(s)=s時,方程(1.1)出現(xiàn)在等離子體物理和非線性光學的各種問題中[1];當時,方程(1.1)可以用來描述高功率超短激光脈沖在等離子體中的自溝道效應[2,3];當時,方程(1.1)出現(xiàn)在經(jīng)典平面海森堡鐵磁自旋鏈中[4].

本文關注的是方程(1.1)駐波解的存在性,即解的形式為z(t,x)=exp(iλt)u(x),其中λ ∈R,u是實函數(shù).將z(t,x)= exp(iλt)u(x)代入方程(1.1),我們得到一類含變分結構的廣義擬線性Schr?dinger方程

其中h(u)=ρ(|u|2)u.對于具體的l(s),如l(s)=s或者在最近十余年中,方程(1.2)非平凡解的存在性、多重性以及解的性態(tài)得到了廣泛的研究.[8?9,12,14]

通過賦予權函數(shù)g(s)其合適的條件,方程(1.3)非平凡解的存在性近年來也已被廣泛研究.例如：當g(s)∈C1且關于|s|非減時,利用經(jīng)典的變分理論,文[13]證明了正解的存在性.此外,把λ換成位勢函數(shù)V(x),以及非線性項h(t)滿足次臨界條件或者臨界條件,關于(1.3)解的存在性已有很多結果,如[10].近期,當g(s)∈C1,關于|s|非增且lim|s|→0g(s)= 0時,文[16]證明了(1.3)正解的存在性.需要指出的是,g(s)的光滑性在上述文獻主要結論的證明過程中起到了很重要的作用.換言之,若g(s)1,則文[10,13,16]中處理(1.3)的方法都不再適用.但是,我們注意到有一些物理模型確實滿足條件g(s)1,例如,當時,g(s)甚至在[?1,1]外無定義.

因此,一個很自然的問題是：若l(s)只有局部的光滑性,方程(1.2)是否存在非平凡解？

本文的目的是解決上述問題.為此,我們考慮以下模型問題：

其中λ,μ>0,2

本文的主要結論如下：

定理1.1假設存在δ >0使得l(s)在[0,δ]中有定義,l′′(s)在[0,δ]中連續(xù),20時,存在μ1>0,使得對于μ∈(μ1,+∞),方程(1.4)有一個正的經(jīng)典解uμ.此外,當μ→+∞時,uμ(x)→0關于x ∈RN一致成立.

注1.2定理1.1中對于l(s)的單調(diào)性沒有作要求,類似的條件參考文[11,15].

注1.3把λ換成位勢函數(shù)V(x),在賦予V(x)合適的條件下,利用文[13]中的方法,可以證明定理1.1的結論仍然成立.

注1.4模型滿足定理1.1的條件.

本文中符號∥u∥p表示Lp(RN),1≤p ≤∞中的范數(shù).

2.定理1.1的證明

由于l′′(s)∈C([0,δ],R),故對所有的s ∈[0,δ],存在某些C1>1,使得l′(s),l′′(s)

其中0<α<1,可以確保σ的值存在且可取.容易計算

以及

下面引入一個C1輔助函數(shù)g(t):

其中η(t)∈C0∞(R,[0,1])是一個截斷偶函數(shù),滿足條件:當時有η(t)= 1；當t >σ時η(t)=0.此外,存在某個常數(shù)C>0使得

關于η(t)的一個具體構造,可參考文[14].

現(xiàn)在令

則其反函數(shù)G?1存在且是一個C2函數(shù).

引理2.1以下性質成立：

證1)-3)項可以根據(jù)定義直接得出.通過(2.1),(2.2)和(2.3),直接計算得

4)得證.

現(xiàn)在考慮原方程(1.4)的修正方程

下面證明方程(2.4)存在一個正解uμ,且滿足則根據(jù)g(t)的構造可知,uμ也是方程(1.4)的正解.

方程(2.4)對應的能量泛函為

因為g是有界的,故Iμ(u)在H1(RN)上有定義.通過引入替換變量u=G?1(v),泛函Iμ能被寫成

根據(jù)G?1(v)的性質,Jμ ∈C1.此外,如果v ∈C2(RN)∩H1(RN)是Jγ(v)的臨界點,就有u=G?γ1(v)∈C2(RN)∩H1(RN)且其是方程(2.4)的經(jīng)典解,參見文[13].

因此,為了找到方程(2.4)的正解,只需研究以下方程正解：

定義

容易驗證方程(2.7)右端的項滿足文[5]中的條件(1.1),(1.2)和(1.3),因此根據(jù)文[5]中的定理1,有以下結論：

定理2.2對于任意的λ,μ>0,方程(2.7)有一個正的軸對稱經(jīng)典解vμ,且Jμ(vμ)=mμ.

定義極小極大值

為了進一步證明uμ=G?1(vμ)是原方程(1.4)的解,我們下面證明當μ充分大時,0

引理2.3方程(2.7)的解vμ滿足

證由于vμ是Jμ的臨界點,根據(jù)引理2.1中性質4),有

即有,

引進輔助泛函：

記

注意到Σμ ?Γμ,再根據(jù)引理2.1中性質3),有

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再令

則Sp >0可在某個v?處達到.

現(xiàn)取

則

選擇充分大的T >tmax使得Pμ(T?)<0.因此對t ∈[0,1],可得到ξ(t):=tT? ∈Σμ使得再根據(jù)(2.9)得

引理得證.

根據(jù)引理2.3和Sobolev不等式,可得

其中S是最佳Sobolev常數(shù).

引理2.4存在不依賴μ的某個常數(shù)>0使得

證這里采用經(jīng)典的Morse迭代方法.以下為了方便,記vμ為v.對任一m ∈N和β >1讓Am={x ∈RN:|v|β?1≤m}且Bm=RN Am.定義

注意到vm ∈H1(RN).使用vm作為一個試驗函數(shù),可以推出

除此之外,還有∫

令

然后有

因此根據(jù)(2.12)和(2.13),就有

結合引理2.1中性質3),(2.11),(2.12)和(2.14),又由β >1,就有

根據(jù)H?lder不等式,且因為在RN中有|wm|≤|v|β,在Am中有|wm|=|v|β,可以得到

取β=σ2在(2.15)中,就有

根據(jù)(2.16)和(2.17),有

取β=σi(i=1,2,···)且對(2.15)持續(xù)迭代,可得

因此,根據(jù)(2.10),使用Sobolev不等式,取極限j →+∞可得

證明結束.

定理1.1的證明令根據(jù)引理2.1中的性質3)和引理2.4,可得

定理得證.