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平拋運(yùn)動是一個典型的運(yùn)動模型，下面我們就通過幾個例子，分析一下拋物線的軌跡方程在解題中的應(yīng)用。

平拋軌跡方程的數(shù)學(xué)推導(dǎo)：

圖1

如圖1所示，以拋出點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，初速度方向為x軸正方向，豎直向下為y軸正方向，建立平面直角坐標(biāo)系。由平拋運(yùn)動規(guī)律可知，兩個方程聯(lián)立消去時間t，可以得到平拋的軌跡方程為

應(yīng)用一：求解拋出點(diǎn)的坐標(biāo)和初速度

例1.某實(shí)驗小組同學(xué)在“研究平拋物體的運(yùn)動”實(shí)驗中，只畫出了如圖2所示的曲線，于是他在曲線上取水平距離Δx相等的三點(diǎn)A、B、C，量得Δx=0.2m，又量出它們之間的豎直距離分別為h1=0.1m，h2=0.2m(g=10m/s2)。若以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，豎直向下為y軸正方向，物體水平速度方向為x軸正方向，利用這些數(shù)據(jù)，可求得：(1)物體拋出時的初速度為_________m/s；(2)拋出點(diǎn)的坐標(biāo)為_____________。

圖2

【解析】設(shè)物體的初速度為v0，拋出點(diǎn)O的坐標(biāo)位置為（x0，y0)，由平拋的運(yùn)動規(guī)律可得，軌跡方程把A（0，0）、B（0.2，0.1）、C（0.4，0.3）代入上述拋物線方程，可得：

聯(lián)立①②③式求解可得，v0=2m/s，x0=-0.1m，y0=-0.0125m

答案：v0=2m/s，拋出點(diǎn)坐標(biāo)x0=-0.1m，y0=-0.0125m

【點(diǎn)評】這類問題一般出現(xiàn)在實(shí)驗題中，我們借助平拋的軌跡方程和已知的三個點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可以同時求解出初速度和拋出點(diǎn)坐標(biāo)位置，比常規(guī)解法快捷簡便。

應(yīng)用二：求解有平面或曲面約束的平拋運(yùn)動問題

1.拋物線與直線相交

例2.如圖3所示，蜘蛛在地面與豎直墻壁之間結(jié)網(wǎng)，蛛絲AB與水平地面間的夾角為45°，A點(diǎn)到地面的距離為1m，已知重力加速度g取10m/s2，空氣的阻力不計，若蜘蛛從豎直墻上距地面0.8m的C點(diǎn)以水平速度v0跳出，要到達(dá)蛛絲，水平速度v0至少為（ ）

圖3

A.1 m/s B.2 m/s

【解析】以C點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，水平方向建立x軸，豎直方向建立y軸，

由于拋物線與直線只有一個交點(diǎn)，利用根的判別式△=0解得：v0=2m/s

答案：B

【點(diǎn)評】利用軌跡方程求解時，我們不需要求解時間t這個參量，所以比常規(guī)方法更簡潔方便。

2.拋物線與圓弧相交

例3.如圖4所示，從半徑為R=1m的半圓AB上的A點(diǎn)水平拋出一個可視為質(zhì)點(diǎn)的小球，經(jīng)t＝0.4s小球落到半圓上。已知當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣萭＝10m/s2，則小球的初速度v0可能為（ ）

圖4

A.1m/s B.2m/s

C.3m/s D.4m/s

【解析】

圖5

如圖5所示，第一種可能是小球落在半圓左側(cè)，第二種可能是小球落在半圓右側(cè)。

落點(diǎn)在圓周上，則（x-R）2+h2=R2③

聯(lián)立①②③解得：v01=1m/s；v02=4m/s

答案：AD

【點(diǎn)評】本題最容易出錯的地方是漏解，如果利用軌跡方程求解，計算出兩個結(jié)果后，發(fā)現(xiàn)都有意義，就不會出現(xiàn)漏解的情況。

3.兩條拋物線相交

例4.從距地面高為H的地方A平拋一物體，其水平射程為2s。在A點(diǎn)正上方距地面高度為2H的地方B點(diǎn)，以同方向平拋另一物體，其水平射程為s，兩物體在空中的軌道在同一豎直平面內(nèi)，且都是從同一屏M的頂端擦過，求：屏M的高度是多少？

【解析】設(shè)屏M的高度為h，如圖6所示，

圖6

【點(diǎn)評】巧妙利用軌跡方程，找到縱坐標(biāo)和橫坐標(biāo)的比例關(guān)系y∝x2，使本題的求解過程方便、簡潔。

應(yīng)用三：利用軌跡方程求解類平拋問題

例5.（2020年全國卷Ⅰ，25題）在一柱形區(qū)域內(nèi)有勻強(qiáng)電場，柱的橫截面積是以O(shè)為圓心、半徑為R的圓，AB為圓的直徑，如圖7所示。質(zhì)量為m，電荷量為q（q>0）的帶電粒子在紙面內(nèi)自A點(diǎn)先后以不同的速度進(jìn)入電場，速度方向與電場的方向垂直。已知剛進(jìn)入電場時速度為零的粒子，自圓周上的C點(diǎn)以速率v0穿出電場，AC與AB的夾角θ=60°。運(yùn)動中粒子僅受電場力作用。

（1）求電場強(qiáng)度的大??；

（2）為使粒子穿過電場后的動能增量最大，該粒子進(jìn)入電場時的速度應(yīng)為多大？

（3）為使粒子穿過電場前后動量變化量的大小為mv0，該粒子進(jìn)入電場時的速度應(yīng)為多大？

圖7

【解析】（1）由題意知在A點(diǎn)速度為零的粒子會沿著電場線方向運(yùn)動，由于q＞0，故電場線由A指向C，根據(jù)幾何關(guān)系可知：xAC=R

（2）根據(jù)題意可知，要使粒子動能增量最大則沿電場線方向移動距離最多，作AC垂線并且與圓相切，切點(diǎn)為D，即粒子要從D點(diǎn)射出時沿電場線方向移動距離最多，粒子在電場中做類平拋運(yùn)動。

圖8

設(shè)此時初速度為v1，如圖8所示，以拋出點(diǎn)A作原點(diǎn)，初速度方向為x軸正方向，電場方向為y軸正方向，則軌跡方程為：電場力提供加速度有qE=ma，軌跡通過D點(diǎn)（Rsinθ，R+Rcosθ），代入解出

（3）因為粒子在電場中做類平拋運(yùn)動，粒子穿過電場前后動量變化量大小為mv0，即在電場方向上速度變化為v0，設(shè)此時初速度為v2，如圖9所示，過C點(diǎn)做AC垂線會與圓周交于B點(diǎn)，故由題意可知粒子會從C點(diǎn)或B點(diǎn)射出。

圖9

當(dāng)從B點(diǎn)射出時，軌跡通過B點(diǎn)（Rtanθ，R），代入軌跡方程電場力提供加速度有qE=ma解出

當(dāng)粒子從C點(diǎn)射出時初速度為0

【點(diǎn)評】帶電粒子在電場中做類平拋運(yùn)動，軌跡為拋物線，電場力提供加速度，我們只需要把重力場中平拋軌跡方程的重力加速度替換成電場力提供的加速度，就可以應(yīng)用這個軌跡方程解決問題了。

應(yīng)用軌跡方程求解關(guān)于平拋和類平拋的相關(guān)問題，考查了學(xué)生利用數(shù)學(xué)工具解決物理題問題的能力，這種綜合分析能力是高考考查的重點(diǎn)和熱點(diǎn)。同學(xué)們在復(fù)習(xí)備考中只要多總結(jié)多分析，就會有不一樣的視角解決這類問題。