宋嘉奇，王 露，王 玨

（中國(guó)電子科技集團(tuán)公司第二十研究所，西安 710068）

0 引言

近場(chǎng)輻射源定位作為雷達(dá)、聲吶系統(tǒng)的主要任務(wù)之一，在軍事、民用等領(lǐng)域具有廣泛應(yīng)用。傳統(tǒng)陣列信號(hào)處理通常假設(shè)信號(hào)源位于天線陣列的遠(yuǎn)場(chǎng)區(qū)域，也稱(chēng)夫瑯霍費(fèi)區(qū)（Fraunhofer Region），即信號(hào)源與陣列中心的距離r＞2D2/λ，其中D為傳感器陣列的孔徑，λ為無(wú)線電信號(hào)的波長(zhǎng)。此時(shí)信號(hào)源與陣列的距離遠(yuǎn)大于陣列孔徑，信號(hào)到達(dá)各陣元的波前差異不大，因此遠(yuǎn)場(chǎng)的電磁波傳播模型可以用平面波來(lái)近似。但當(dāng)信號(hào)源到陣列的距離滿足0.62(D3/λ)1/2＜r＜ 2D2/λ時(shí)，目標(biāo)位于天線陣列的近場(chǎng)區(qū)域，也稱(chēng)菲涅爾區(qū)（Fresnel Region），信號(hào)波陣面在天線陣列的孔徑渡越無(wú)法忽略，此時(shí)信號(hào)到達(dá)陣列的波前需要用球面波模型進(jìn)行描述，不能再近似為平面波[1]。從天線陣列中心到0.62(D3/λ)1/2的區(qū)域稱(chēng)為感應(yīng)近場(chǎng)區(qū)，電磁能量在該區(qū)域內(nèi)周期性地來(lái)回流動(dòng)，不向外輻射。以11陣元的稀布天線陣列共線排布，陣元間距為5 m，天線工作在x波段，則陣列孔徑D= 50 m，λ= 0.03 m ，2D2/λ≈ 1.67 × 105m，距離陣列中心小于150 km 的信號(hào)源都被視為近場(chǎng)目標(biāo)，因此，研究近場(chǎng)情況下的輻射源參數(shù)估計(jì)問(wèn)題具有非常重要的理論意義和實(shí)用價(jià)值。

參數(shù)估計(jì)算法中一類(lèi)典型的參數(shù)估計(jì)算法是子空間類(lèi)算法，自斯坦福大學(xué)的Schmidt 博士提出經(jīng)典的多重信號(hào)分類(lèi)（Multiple Signal Classification，MUSIC）算法[2]之后，國(guó)內(nèi)外廣大學(xué)者對(duì)子空間類(lèi)算法開(kāi)展了深入研究，并提出了一系列改進(jìn)算法。特征子空間類(lèi)算法的基本思想是利用特征分解將陣列接收數(shù)據(jù)矩陣分解為信號(hào)子空間和噪聲子空間，通過(guò)對(duì)陣列流形（Array Manifold）的搜索實(shí)現(xiàn)信號(hào)源的參數(shù)估計(jì)，大大提高了參數(shù)估計(jì)精度及分辨率，且不再受“瑞利限”的約束。對(duì)于來(lái)自某特定方向的信號(hào)，陣列流形是陣列幾何結(jié)構(gòu)的直接函數(shù)，其中包含了輻射源的所有信息，研究陣列流形的性質(zhì)不僅有助于分析目標(biāo)定位的模糊度和分辨能力，同時(shí)對(duì)新的定位算法的提出和陣列結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)具有重要意義。

雖然陣列流形的概念廣泛應(yīng)用于信號(hào)源的參數(shù)估計(jì)問(wèn)題，但僅有少量文獻(xiàn)對(duì)陣列流形的形狀直接進(jìn)行研究。Manikas 提出，均勻線陣的遠(yuǎn)場(chǎng)陣列流形是N維復(fù)空間CN內(nèi)的超螺旋曲線（hyperhelix），當(dāng)所有陣元關(guān)于陣列質(zhì)心中心對(duì)稱(chēng)時(shí)陣列流形的復(fù)超螺旋曲線為實(shí)值，同時(shí)指出反映參數(shù)估計(jì)性能的兩個(gè)關(guān)鍵參數(shù)是陣列流形的弧長(zhǎng)和一階曲率[3]。帝國(guó)理工學(xué)院的Docus 和Manikas等人利用微分幾何對(duì)不同陣型的遠(yuǎn)場(chǎng)陣列流形進(jìn)行了研究[4]，并討論了平面陣列方位角和俯仰角估計(jì)精度與其陣列流形微分幾何特性的關(guān)系，并利用圓形近似推導(dǎo)出了用弧長(zhǎng)和一階曲率表示的克拉美羅界（Cramer-Rao Bound，CRB）表達(dá)式[5]。Karimi等人對(duì)均勻線陣接收近場(chǎng)球面波信號(hào)時(shí)的弧長(zhǎng)和一階曲率進(jìn)行了推導(dǎo)，此時(shí)陣列流形不再是超螺旋曲線而是隨信源距離的增大逐漸逼近于超螺旋曲線[6-7]。在國(guó)內(nèi)，電子科技大學(xué)的劉洪盛博士分析了線陣和面陣的陣元位置誤差與其測(cè)向性能的關(guān)系[8-9]，并提出了一種基于最小流形長(zhǎng)度的高精度線陣優(yōu)化設(shè)計(jì)方法[10]。何子遠(yuǎn)博士對(duì)稀疏陣的遠(yuǎn)場(chǎng)源估計(jì)模糊問(wèn)題進(jìn)行了分析，提出了一種利用功率估計(jì)去模糊的參數(shù)估計(jì)算法[11]。

本文以雷達(dá)和聲吶系統(tǒng)的目標(biāo)定位為背景，對(duì)近場(chǎng)參數(shù)估計(jì)的陣列流形進(jìn)行了研究。第1 節(jié)建立了任意N元陣列接收近場(chǎng)輻射源信號(hào)的陣列流形模型，可以看出近場(chǎng)陣列流形是嵌在N維復(fù)空間CN中的復(fù)曲面，并對(duì)均勻線陣的遠(yuǎn)場(chǎng)陣列流形與近場(chǎng)陣列流形進(jìn)行了對(duì)比；第2 節(jié)利用微分幾何對(duì)一維線性陣列的近場(chǎng)陣列流形進(jìn)行了分析，推導(dǎo)出了陣列流形弧長(zhǎng)和一階曲率的表達(dá)式；最后在第3節(jié)利用這兩種局部特性參數(shù)對(duì)近場(chǎng)參數(shù)估計(jì)的分辨率和克拉美羅界進(jìn)行了分析。

1 近場(chǎng)陣列流形建模

由N個(gè)陣元構(gòu)成的任意陣列對(duì)K個(gè)信號(hào)源進(jìn)行參數(shù)估計(jì)的問(wèn)題模型通常被建立為以下陣列輸出模型：

式中，x(t) 為陣列輸出矩陣，s(t) 是信號(hào)的復(fù)包絡(luò)矢量，n(t) 是陣列接收到的加性噪聲，A()ω矩陣可以表示為以下形式：

式中，ωk包含所有信號(hào)源的位置參數(shù)，a(ωk)為相應(yīng)導(dǎo)向矢量（steering vector），表示陣列對(duì)位置參數(shù)為ωk的信源的響應(yīng)。所有導(dǎo)向矢量的集合形成了一個(gè)軌跡或向量連續(xù)體，稱(chēng)為陣列流形。通常情況下，陣列流形被定義為從參數(shù)空間Ω 到CN的映射a。

式中，參數(shù)空間Ω 是所有可能的信源位置參數(shù)的集合。例如在遠(yuǎn)場(chǎng)源系統(tǒng)(ω=θ)中，Ω 是實(shí)數(shù)軸 R1上的開(kāi)區(qū)間(0,2π)，因此遠(yuǎn)場(chǎng)陣列流形的圖像是CN中關(guān)于θ的單參數(shù)曲線。當(dāng)信號(hào)源位于近場(chǎng)區(qū)域(ω=θ,r)時(shí)，Ω是實(shí)數(shù)平面 R2上的開(kāi)區(qū)間[(0,2π),(0.62(D3/λ)1/2,2D2/λ)]，陣列流形 a(θ,r)的圖像則是CN中關(guān)于θ和r的雙參數(shù)曲面。

推導(dǎo)陣列接收近場(chǎng)窄帶信號(hào)的陣列流形表達(dá)式首先需要確定其球面波前。簡(jiǎn)單起見(jiàn)，假設(shè)只包含兩個(gè)各向同性陣元的陣列，如圖1所示，選取陣元1 為參考陣元（坐標(biāo)原點(diǎn)），陣元2 位于ρ 處。此外，假定一個(gè)各向同性的信號(hào)源位于陣列近場(chǎng)區(qū)域，分別相對(duì)于陣元1 和陣元2 位于r和r1 處，信號(hào)源相對(duì)于參考陣元的角度為θ（關(guān)于x軸），距離若s(t) 表示陣元1 接收到的信號(hào)復(fù)包絡(luò)，則陣元2接收到的信號(hào)包絡(luò)可以建模為：

式中，λ為傳播波的波長(zhǎng)。表明球面波傳播的路徑傳輸損耗，指數(shù)項(xiàng)表示兩個(gè)陣元接收信號(hào)的相位差。

圖1 二元陣列接收近場(chǎng)信號(hào)示意圖

根據(jù)平面幾何關(guān)系易得：

將式（5）代入式（4），陣元2 接收到的信號(hào)包絡(luò)經(jīng)過(guò)處理后可以表示為：

將式（6）推廣到任意N元陣列，各陣元相對(duì)于參考陣元的坐標(biāo)分別為 ρ1,...,ρN-1，假設(shè)一個(gè)近場(chǎng)窄帶信號(hào)源的位置參數(shù)為(θ,r)，r≠ 0，其陣列流形可表示為：

式中，⊙表示Hadamard 積，1N是N×1 維全一矩陣。

可以看出，近場(chǎng)陣列流形是嵌在N維復(fù)數(shù)空間的曲面，直接對(duì)其研究比較復(fù)雜。若假定近場(chǎng)源的距離參數(shù)已知，只需對(duì)不同距離值的近場(chǎng)陣列流形曲線進(jìn)行分析即可。值得注意的是，矢量μ 是信源距離r的函數(shù)，它取決于距離r相對(duì)于陣列規(guī)模的大小。

由式（7）可以看出，不同于遠(yuǎn)場(chǎng)陣列流形 aP(θ)有N0.5固定范數(shù)，近場(chǎng)陣列流形的范數(shù)是關(guān)于信源角度θ函數(shù)，因此其圖像不在同一個(gè)N維超球面上。以七個(gè)各向同性陣元組成的均勻線陣為例，對(duì)近場(chǎng)陣列流形進(jìn)行分析，其中陣元間距為半波長(zhǎng)，本文后續(xù)的討論也均采用這種陣型。圖2給出不同距離參數(shù)情況下近場(chǎng)陣列流形與遠(yuǎn)場(chǎng)陣列流形差異的曲線，距離r為實(shí)際距離相對(duì)于陣列尺寸的相對(duì)值。正如期望的那樣，隨著信號(hào)源距離的增加，遠(yuǎn)場(chǎng)平面波和近場(chǎng)球面波陣列流形之間的差異接近于零，并且在球面波前最明顯的邊射處差異最大。圖2還表明，不同距離值的θ曲線不存在相交，因此在θ和r中不存在明顯的模糊問(wèn)題。

圖2 七陣元線陣平面波與球面波陣列流形的差異

2 基于微分幾何的近場(chǎng)陣列流形分析

陣列流形是陣列幾何結(jié)構(gòu)的直接函數(shù)，陣列流形的形狀直接影響陣列的參數(shù)估計(jì)性能。微分幾何是運(yùn)用微積分的理論研究空間曲線和曲面幾何性質(zhì)的數(shù)學(xué)分支學(xué)科，是研究陣列流形形狀的基本工具。陣列參數(shù)估計(jì)的性能中最常用的指標(biāo)是估計(jì)精度和分辨率，這些性能都對(duì)應(yīng)著陣列流形的局部幾何特性，如弧長(zhǎng)變化率和曲率等。針對(duì)第1 節(jié)建立的近場(chǎng)陣列流形模型，利用微分幾何對(duì)弧長(zhǎng)變化率和一階曲率等參數(shù)進(jìn)行推導(dǎo)。

當(dāng)信號(hào)源的距離參數(shù)為固定值時(shí)，近場(chǎng)陣列流形的目標(biāo)參數(shù)僅剩下角度θ，則有：

從式（8）可以得出：

(θ,r)的值可以理解為θ取不同值時(shí)陣列敏感度的度量，例如(θ,r)在0θ處的值較大時(shí)，0θ附近一個(gè)小的角度偏差θΔ 可能會(huì)造成陣列響應(yīng)大的變化Δa，反之亦然。此外，1θ和2θ之間(θ,r)下方的面積表示a(θ1,r)和a(θ2,r)之間的陣列流形弧長(zhǎng)，取較大值時(shí)在某種程度上意味著更強(qiáng)的分辨性能。圖3所示為七陣元線陣在近場(chǎng)源距離不同時(shí)函數(shù)(θ,r)隨θ的變化曲線。很顯然，當(dāng)信號(hào)源距離r足夠大時(shí)，函數(shù)曲線逼近于遠(yuǎn)場(chǎng)情況下的正弦函數(shù)。而當(dāng)輻射源靠近陣列時(shí)，端射附近的敏感度和分辨率較低，遠(yuǎn)離端射的則開(kāi)始提高。還要注意，對(duì)于所有距離值，(θ,r)在角度為0 和π 時(shí)取值為0，意味著敏感度和分辨率都為0，根據(jù)曲線正則條件，a(θ,r)在這兩點(diǎn)上不是正則參數(shù)曲線。

圖3 七陣元線陣不同距離 s˙ (θ, r)函數(shù)隨θ 的變化曲線

微分幾何滑動(dòng)框架第一個(gè)坐標(biāo)軸矢量可以寫(xiě)成：

近場(chǎng)陣列流形的一階曲率表達(dá)式κ1(θ,r)可以通過(guò)對(duì)1u 關(guān)于弧長(zhǎng)求微分并取范數(shù)來(lái)獲得。經(jīng)過(guò)一系列運(yùn)算，可以求得：

可以看出式（16）的一階曲率表達(dá)式相當(dāng)復(fù)雜，對(duì)其進(jìn)行簡(jiǎn)化，可得：

可以預(yù)見(jiàn)，即使推導(dǎo)出κ2(θ,r)的表達(dá)式，其余2N-3 個(gè)曲率的計(jì)算也會(huì)相當(dāng)復(fù)雜，因此不在這里給出。而幸好只需變量(θ,r)和κ1(θ,r)已知，就可以對(duì)陣列參數(shù)估計(jì)性能進(jìn)行分析[4]。

七陣元線陣的一階曲率κ1(θ,r)隨角度θ的變化如圖4所示，其中θ≠0,π?？梢钥闯?，信號(hào)源距離參數(shù)足夠大，即位于陣列遠(yuǎn)場(chǎng)區(qū)域時(shí)，陣列流形的一階曲率為定值，與θ無(wú)關(guān)，線陣的遠(yuǎn)場(chǎng)陣列流形為N維復(fù)空間中的超螺旋曲線。而當(dāng)信源靠近陣列時(shí)，κ1開(kāi)始明顯偏離于該常數(shù)值。因此可以確定，線性陣列的近場(chǎng)陣列流形一般不是超螺旋結(jié)構(gòu)，只有當(dāng)信源距離增大時(shí)逐漸逼近。

圖4 七陣元線陣一階曲率隨角度θ 的變化曲線

3 近場(chǎng)參數(shù)估計(jì)的分辨性能分析

陣列流形曲率越大，陣列的分辨性能越強(qiáng)，因此利用一階曲率及弧長(zhǎng)變化率對(duì)分辨率做定量分析是可行的。獲得近場(chǎng)陣列流形的s˙(θ,r)和κ1(θ,r)后，繼而研究其對(duì)子空間類(lèi)參數(shù)估計(jì)算法性能的影響。

3.1 陣列流形弧長(zhǎng)及估計(jì)精度

特征子空間類(lèi)算法通過(guò)陣列觀測(cè)數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣 R =E(xxH)分解出信號(hào)子空間和噪聲子空間。而在實(shí)際情況中R是未知的，因此只能用協(xié)方差矩陣的最大似然估計(jì)來(lái)近似，可以通過(guò)有限快拍的陣列接收數(shù)據(jù)獲得，這也造成了信號(hào)和噪聲子空間的擾動(dòng)，從而不可避免地導(dǎo)致參數(shù)估計(jì)誤差，該誤差可以通過(guò)參數(shù)的CRB 進(jìn)行分析。假設(shè)時(shí)空不相關(guān)的高斯噪聲功率為σ2，快拍數(shù)足夠大（L? 1）時(shí)θ的CRB可寫(xiě)作：

式中，Q = I -A (AHA)-1AH，I 為單位矩陣，A 為陣列流形矩陣，=dA(θ,r)/dθ。與上一節(jié)相同，本節(jié)在對(duì)近場(chǎng)參數(shù)估計(jì)分辨性能的分析中固定距離參數(shù)r，以θ為唯一參數(shù)。當(dāng)近場(chǎng)目標(biāo)為單位功率的單一信號(hào)源時(shí)，式（20）可以改寫(xiě)為：

式中，ε1(θ,r)為陣列流形在該點(diǎn)的單位切矢量，可以用代替。自身就是陣列幾何結(jié)構(gòu)的函數(shù)，從式（21）可以看出陣列流形的弧長(zhǎng)在確定無(wú)偏估計(jì)最小誤差方差中的重要性。遠(yuǎn)場(chǎng)情況(r= ∞)下，陣列接收信號(hào)源輻射的平面波時(shí)，ε1Ha (θ,r) =0，這一重要性尤為明顯，s˙(θ,r)成為唯一影響CRB值的陣列流形特征，即，其中SNR為目標(biāo)信號(hào)的信噪比。

通過(guò)分析MUSIC 算法中因有限快拍數(shù)導(dǎo)致的參數(shù)估計(jì)漸近方差表達(dá)式，可以進(jìn)一步證明流形弧長(zhǎng)對(duì)于參數(shù)估計(jì)精度的重要性。信源數(shù)為1 且功率為單位功率時(shí)，漸近方差表達(dá)式可寫(xiě)作：

可以看出，高信噪比或陣元數(shù)較多時(shí)，漸進(jìn)方差逼近于CRB，并與有類(lèi)似的依賴(lài)性。一般來(lái)說(shuō)，無(wú)論何種原因?qū)е玛嚵辛餍蝍(θ0,r)所產(chǎn)生的誤差δa，都意味著弧長(zhǎng)s0的計(jì)算過(guò)程中同樣造成誤差δs，反過(guò)來(lái)又造成參數(shù)估計(jì)誤差，該誤差強(qiáng)正比于。由上可得，陣列幾何結(jié)構(gòu)的函數(shù)為比較各種陣列結(jié)構(gòu)的參數(shù)估計(jì)性能提供了一種很有價(jià)值的工具。

3.2 陣列流形特性及分辨率

本小節(jié)研究陣列流形曲線的微分幾何特性對(duì)參數(shù)估計(jì)分辨率性能的影響。假設(shè)天線陣列接收到兩個(gè)距離均為r，角度分別為θ±θΔ 的近場(chǎng)源信號(hào)，如圖5所示，兩個(gè)陣列流形端點(diǎn)處分別有一個(gè)半徑為eσ的不確定球，表示弧長(zhǎng)參數(shù)分別為s±Δs的參數(shù)估計(jì)誤差。

圖5 陣列流形誤差示意圖

假設(shè)陣列的分辨性能只受限于有限的快拍數(shù)和陣列幾何結(jié)構(gòu)，不考慮所采用各種實(shí)際參數(shù)估計(jì)算法的缺點(diǎn)。采用有限次快拍數(shù)的觀測(cè)數(shù)據(jù)構(gòu)造協(xié)方差矩陣無(wú)法完全消除加性噪聲。噪聲去相關(guān)的程度與快拍數(shù)成正比，因此建立不確定球半徑的模型噪聲功率為2σ的背景下陣列接收來(lái)波方向?yàn)棣鹊膯卧β市盘?hào)，弧長(zhǎng)參數(shù)s的無(wú)偏估計(jì)方差CRB可以表示為：

式中，快拍數(shù)L? 1，證明了上述對(duì)不確定球的建模是合理的?？梢钥闯觯瑓?shù)估計(jì)誤差的方差與噪聲功率σ2成正比，與快拍數(shù)L成反比。天線陣列接收遠(yuǎn)場(chǎng)平面波時(shí)弧長(zhǎng)s的無(wú)偏估計(jì)方差CRB可以簡(jiǎn)寫(xiě)為CRB(s) =σ2/2L。雖然這里只考慮了噪聲和快拍數(shù)的影響，但一般情況下任何誤差造成的參數(shù)估計(jì)影響都可以被模擬。

很明顯，空間曲線中足夠小的一部分可以用一段圓弧近似表示，圓弧的半徑等于曲線在所關(guān)注點(diǎn)的一階曲率的倒數(shù)。因此遠(yuǎn)場(chǎng)情況下流形曲線的所有曲率均為常數(shù)[4]，這也使得對(duì)遠(yuǎn)場(chǎng)線陣流形分辨性能的分析被大大簡(jiǎn)化。近場(chǎng)陣列流形曲線在s±Δs點(diǎn)處的單位切矢量可以用泰勒展開(kāi)表示為：

式中，κ2(s)是流形曲線的二階曲率只保留到二階的項(xiàng)[6]。由于近場(chǎng)陣列流形曲線具有可變曲率，利用圓弧近似近場(chǎng)流形需要滿足以下三個(gè)條件，當(dāng)且僅當(dāng)下列條件滿足時(shí)，式（24）可以用半徑為κ1-1(s)的圓弧有效近似：

假設(shè)上述圓近似是有效的，根據(jù)Schmidt 博士提出的分辨率準(zhǔn)則[12]，我們可以假定如果切矢量ε1(s)與不確定球不相交時(shí)，則可以成功分辨角度參數(shù)分別為θ±θΔ 的兩個(gè)近場(chǎng)源。將陣列流形的一階曲率引入該準(zhǔn)則，可得：

值得注意的是，Δψ=Δs·κ1(θ,r)，利用σe的模型，可以推導(dǎo)出間隔Δθ的兩個(gè)目標(biāo)所需的信噪比表達(dá)式：

式（27）將天線的分辨能力與陣列流形的弧長(zhǎng)變化率和一階曲率結(jié)合起來(lái)，可看出s˙(θ,r)對(duì)所需SNR 的影響更大。

圖6所示的是七陣元組成的均勻線陣分辨不同距離環(huán)上角度為θ±0.5°的近場(chǎng)源所需信噪比的曲線，其中快拍數(shù)為500，0°＜θ＜180°。該情景下滿足式（25）的三個(gè)條件，因此圓近似有效。可以看出，分辨陣列端射方向的信號(hào)源所需信噪比趨于無(wú)窮大，這一點(diǎn)也可以通過(guò)θ= 0°, 180°時(shí)來(lái)驗(yàn)證，表明陣列軸向的分辨率為0。還要注意的是，近場(chǎng)源來(lái)波方向靠近陣列法向時(shí)，距離越大所需的可分辨信噪比越低，這既是因?yàn)榘l(fā)射源可以在較低的信噪比(在陣列基準(zhǔn)處測(cè)量)下被分辨，也是由于的變化造成的。

圖6 分辨相鄰信號(hào)所需的SNR 曲線

4 結(jié)論

本文以雷達(dá)和聲吶系統(tǒng)的目標(biāo)定位為背景，采用微分幾何研究了存在近場(chǎng)輻射源情況下由全向傳感器組成的陣列接收近場(chǎng)源信號(hào)陣列流形，并以均勻線陣為例給出陣列流形弧長(zhǎng)變化率和一階曲率以信源角度和距離參數(shù)的數(shù)學(xué)表達(dá)式，同時(shí)討論了參數(shù)估計(jì)的分辨特性，為近場(chǎng)參數(shù)估計(jì)新算法的提出和陣列結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)提供了理論依據(jù)。