文 李祥
由數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系到正、反比例函數(shù),由一次方程(組)、不等式(組)到一次函數(shù),由一元二次方程到二次函數(shù)等,我們不難發(fā)現(xiàn),函數(shù)是貫穿初中數(shù)學(xué)的一條主線,具有承上啟下的作用。函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn),也是難點(diǎn),更是中考命題的主要考查對(duì)象。
例1已知一次函數(shù)y=(3a-2)x+(1-b),求字母a、b的取值范圍,使得:
(1)y隨x的增大而增大;
(2)函數(shù)圖像與y軸的交點(diǎn)在x軸的下方;
(3)函數(shù)圖像過(guò)第一、二、四象限。
【思路點(diǎn)撥】對(duì)于y=kx+c(k≠0)的圖像,當(dāng)k>0時(shí),y隨x的增大而增大;當(dāng)c<0時(shí),函數(shù)圖像與y軸的交點(diǎn)在x軸的下方;當(dāng)k<0,c>0時(shí),函數(shù)圖像過(guò)第一、二、四象限。
解:(1)由一次函數(shù)y=kx+c(k≠0)的性質(zhì)可知:當(dāng)k>0時(shí),函數(shù)值y隨x的增大而增大,即,且b可取任何實(shí)數(shù)。
(2)函數(shù)圖像與y軸的交點(diǎn)為(0,1-b)。
∵交點(diǎn)在x軸的下方,
【總結(jié)升華】下面是y=kx(k≠0),y=kx+b(k≠0)的圖像的特點(diǎn)和性質(zhì)示意圖。如圖1,當(dāng)k>0時(shí),y隨x的增大而增大;當(dāng)k>0,b>0時(shí),圖像過(guò)第一、二、三象限;當(dāng)k>0,b=0時(shí),是正比例函數(shù);當(dāng)k>0,b<0時(shí),圖像過(guò)第一、三、四象限。當(dāng)y=x時(shí),圖像過(guò)第一、三象限,且與x軸的夾角為45°。由于常數(shù)k、b不同,可得到不同的函數(shù),k決定直線的傾斜程度,b決定直線與y軸交點(diǎn)的位置,由k定向,由b定點(diǎn)。同樣,圖2是k<0的各種情況,請(qǐng)同學(xué)們自己嘗試指出它們的特點(diǎn)和性質(zhì)。
圖1
圖2
例2已知一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)的圖像經(jīng)過(guò)A(3,18)和B(-2,8)兩點(diǎn)。
(1)求一次函數(shù)的表達(dá)式;
(2)若一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)的圖像與反比例函數(shù)的圖像只有一個(gè)交點(diǎn),求交點(diǎn)坐標(biāo)。
【思路點(diǎn)撥】(1)用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的表達(dá)式;(2)聯(lián)立一次函數(shù)表達(dá)式和反比例函數(shù)表達(dá)式,根據(jù)題意得到Δ=0,解方程即可得到結(jié)論。
解:(1)把(3,18),(-2,8)代入一次函數(shù)y=kx+b(k≠0),得
∴一次函數(shù)的表達(dá)式為y=2x+12。
(2)∵一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)的圖像與反比例函數(shù)的圖像只有一個(gè)交點(diǎn),只有一組解,
所以2x2+12x-m=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,
∴Δ=122-4×2×(-m)=0,
∴m=-18。
把m=-18代入2x2+12x-m=0求得該方程的解為x=-3,經(jīng)檢驗(yàn)符合題意。
把x=-3代入y=2x+12,得y=6,
∴所求的交點(diǎn)坐標(biāo)為(-3,6)。
【總結(jié)升華】本題考查了用待定系數(shù)法求一次函數(shù)表達(dá)式、反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題。第(2)問(wèn)的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化成關(guān)于x的一元二次方程,再根據(jù)交點(diǎn)只有一個(gè)得出根的判別式為0,從而求出m,進(jìn)而求出交點(diǎn)坐標(biāo)。
例3二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像如圖3所示,下列結(jié)論:①ab>0;②a+b-1=0;③a>1;④關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的一個(gè)根為1,另一個(gè)根為其中正確結(jié)論的序號(hào)是_______。
圖3
【思路點(diǎn)撥】根據(jù)拋物線的開(kāi)口方向和對(duì)稱軸判斷a與b的符號(hào),由拋物線與y軸的交點(diǎn)得出c的值,然后根據(jù)拋物線與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)及x=1時(shí)二次函數(shù)的值的情況進(jìn)行推理,進(jìn)而對(duì)所得結(jié)論進(jìn)行判斷。
解:①由二次函數(shù)的圖像開(kāi)口向上可得a>0,對(duì)稱軸在y軸的右側(cè),b<0,∴ab<0,故①錯(cuò)誤;
②由圖像可知拋物線與x軸的交點(diǎn)為(1,0),與y軸的交點(diǎn)為(0,-1),
∴c=-1,∴a+b-1=0,故②正確;
③∵a+b-1=0,∴a-1=-b,
∵b<0,∴a-1>0,
∴a>1,故③正確;
④∵拋物線與y軸的交點(diǎn)為(0,-1),
∴拋物線的方程為y=ax2+bx-1,
∵拋物線與x軸的交點(diǎn)為(1,0),
∴ax2+bx-1=0的一個(gè)根為1,根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系,另一個(gè)根為,故④正確。
故答案為②③④。
【總結(jié)升華】本題考查的是二次函數(shù)與圖像結(jié)合的綜合運(yùn)用,掌握二次函數(shù)的性質(zhì)、靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵。