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        函數(shù)典型例題與解題策略

        2021-04-15 06:46:24李祥
        初中生世界 2021年15期
        關鍵詞:反比例一元二次方程表達式

        文 李祥

        由數(shù)軸上的點與實數(shù)的對應關系到正、反比例函數(shù),由一次方程(組)、不等式(組)到一次函數(shù),由一元二次方程到二次函數(shù)等,我們不難發(fā)現(xiàn),函數(shù)是貫穿初中數(shù)學的一條主線,具有承上啟下的作用。函數(shù)是初中數(shù)學的重點,也是難點,更是中考命題的主要考查對象。

        一、函數(shù)的概念與性質(zhì)

        例1已知一次函數(shù)y=(3a-2)x+(1-b),求字母a、b的取值范圍,使得:

        (1)y隨x的增大而增大;

        (2)函數(shù)圖像與y軸的交點在x軸的下方;

        (3)函數(shù)圖像過第一、二、四象限。

        【思路點撥】對于y=kx+c(k≠0)的圖像,當k>0時,y隨x的增大而增大;當c<0時,函數(shù)圖像與y軸的交點在x軸的下方;當k<0,c>0時,函數(shù)圖像過第一、二、四象限。

        解:(1)由一次函數(shù)y=kx+c(k≠0)的性質(zhì)可知:當k>0時,函數(shù)值y隨x的增大而增大,即,且b可取任何實數(shù)。

        (2)函數(shù)圖像與y軸的交點為(0,1-b)。

        ∵交點在x軸的下方,

        【總結升華】下面是y=kx(k≠0),y=kx+b(k≠0)的圖像的特點和性質(zhì)示意圖。如圖1,當k>0時,y隨x的增大而增大;當k>0,b>0時,圖像過第一、二、三象限;當k>0,b=0時,是正比例函數(shù);當k>0,b<0時,圖像過第一、三、四象限。當y=x時,圖像過第一、三象限,且與x軸的夾角為45°。由于常數(shù)k、b不同,可得到不同的函數(shù),k決定直線的傾斜程度,b決定直線與y軸交點的位置,由k定向,由b定點。同樣,圖2是k<0的各種情況,請同學們自己嘗試指出它們的特點和性質(zhì)。

        圖1

        圖2

        二、函數(shù)的圖像及性質(zhì)

        例2已知一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)的圖像經(jīng)過A(3,18)和B(-2,8)兩點。

        (1)求一次函數(shù)的表達式;

        (2)若一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)的圖像與反比例函數(shù)的圖像只有一個交點,求交點坐標。

        【思路點撥】(1)用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的表達式;(2)聯(lián)立一次函數(shù)表達式和反比例函數(shù)表達式,根據(jù)題意得到Δ=0,解方程即可得到結論。

        解:(1)把(3,18),(-2,8)代入一次函數(shù)y=kx+b(k≠0),得

        ∴一次函數(shù)的表達式為y=2x+12。

        (2)∵一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)的圖像與反比例函數(shù)的圖像只有一個交點,只有一組解,

        所以2x2+12x-m=0有兩個相等的實數(shù)根,

        ∴Δ=122-4×2×(-m)=0,

        ∴m=-18。

        把m=-18代入2x2+12x-m=0求得該方程的解為x=-3,經(jīng)檢驗符合題意。

        把x=-3代入y=2x+12,得y=6,

        ∴所求的交點坐標為(-3,6)。

        【總結升華】本題考查了用待定系數(shù)法求一次函數(shù)表達式、反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題。第(2)問的關鍵是轉化成關于x的一元二次方程,再根據(jù)交點只有一個得出根的判別式為0,從而求出m,進而求出交點坐標。

        三、二次函數(shù)的綜合運用

        例3二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像如圖3所示,下列結論:①ab>0;②a+b-1=0;③a>1;④關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的一個根為1,另一個根為其中正確結論的序號是_______。

        圖3

        【思路點撥】根據(jù)拋物線的開口方向和對稱軸判斷a與b的符號,由拋物線與y軸的交點得出c的值,然后根據(jù)拋物線與x軸交點的個數(shù)及x=1時二次函數(shù)的值的情況進行推理,進而對所得結論進行判斷。

        解:①由二次函數(shù)的圖像開口向上可得a>0,對稱軸在y軸的右側,b<0,∴ab<0,故①錯誤;

        ②由圖像可知拋物線與x軸的交點為(1,0),與y軸的交點為(0,-1),

        ∴c=-1,∴a+b-1=0,故②正確;

        ③∵a+b-1=0,∴a-1=-b,

        ∵b<0,∴a-1>0,

        ∴a>1,故③正確;

        ④∵拋物線與y軸的交點為(0,-1),

        ∴拋物線的方程為y=ax2+bx-1,

        ∵拋物線與x軸的交點為(1,0),

        ∴ax2+bx-1=0的一個根為1,根據(jù)根與系數(shù)的關系,另一個根為,故④正確。

        故答案為②③④。

        【總結升華】本題考查的是二次函數(shù)與圖像結合的綜合運用,掌握二次函數(shù)的性質(zhì)、靈活運用數(shù)形結合思想是解題的關鍵。

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