郝明輝 張郁山 趙鳳新

（中國(guó)地震災(zāi)害防御中心，北京 100029）

引言

大量震害調(diào)查、強(qiáng)震觀測(cè)及理論研究表明（Borcherdt，1970；Boore，1972；Ashford 等，1997），地形條件對(duì)地震動(dòng)的影響較大，不容忽視。通過(guò)整理震害出現(xiàn)的地形資料，依據(jù)地貌幾何形態(tài)將地形分為河谷、山地、階地、斜坡、陡坎，山脊、山梁，臺(tái)塬、盆地。大量學(xué)者研究了不同地形對(duì)地震動(dòng)特性的影響，如梁建文等（2003）給出了凹陷地形SV 波入射下的解析解；巴振寧等（2018）采用間接邊界元法研究了SV 波入射下沉積谷地對(duì)地震動(dòng)的放大效應(yīng)，并分析了有無(wú)覆蓋層及多個(gè)谷地對(duì)結(jié)果的影響；劉中憲等（2019）基于快遞多極子間接邊界元法，針對(duì)城市區(qū)域沉積盆地進(jìn)行了三維地震動(dòng)響應(yīng)模擬，結(jié)果表明入射頻率、盆地形狀和盆地內(nèi)部位置點(diǎn)對(duì)沉積盆地地表位移放大作用均有不同程度的影響；周?chē)?guó)良等（2012）和孫緯宇等（2019）研究了河谷地形對(duì)地震動(dòng)分布特性的影響，結(jié)果表明河谷地形對(duì)地震動(dòng)分布具有重要影響。沿河谷斜坡頂?shù)焦鹊椎母饔^測(cè)點(diǎn)地震動(dòng)峰值加速度存在顯著差異，地震動(dòng)位移存在差動(dòng)現(xiàn)象。袁曉銘等（1996）給出了任意圓弧形凸起地形對(duì)平面SH 波散射的解析解；蔣涵等（2015）采用三維譜元法模擬地震波傳播，研究了蘆山地區(qū)地震動(dòng)頻譜特征；李英民等（2019）和郝明輝等（2019）分別采用動(dòng)態(tài)子結(jié)構(gòu)法、有限元有限差分法研究了凸起地形對(duì)地震動(dòng)特性的影響，并分析了坡角、坡高、入射角度等因素對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響。近年來(lái)，大量城市建筑建于山坡上，坡地地形對(duì)地震動(dòng)的放大效應(yīng)不容忽視（殷躍平，2008）。《建筑抗震設(shè)計(jì)規(guī)范》（GB 50011?2010）（中華人民共和國(guó)住房和城鄉(xiāng)建設(shè)部等，2010）針對(duì)坡地地形給出了設(shè)計(jì)地震動(dòng)影響系數(shù)的調(diào)整；李英民等（2010）采用脈沖輸入研究了巖質(zhì)坡地地形對(duì)反應(yīng)譜特性的影響；李家祥等（2021）研究了SH 波入射下斜坡地形對(duì)地震動(dòng)特性的影響，定量分析了SH 波垂直入射下二維斜坡地形地震動(dòng)響應(yīng)與斜坡角度、土層厚度及介質(zhì)阻抗比的關(guān)系。但上述研究均采用脈沖輸入，而實(shí)際地震動(dòng)是非常復(fù)雜的，且受地震波頻散和干涉等因素影響，實(shí)際地震動(dòng)脈沖之間存在復(fù)雜的相位關(guān)系。因此，基于脈沖輸入的地形對(duì)地震動(dòng)峰值的放大倍數(shù)無(wú)法直接用于評(píng)估地形對(duì)實(shí)際地震動(dòng)峰值的放大效應(yīng)（郝明輝等，2014）。此外，除峰值、頻譜特性外，阿里亞斯烈度也是表征地震滑坡穩(wěn)定性的重要地震動(dòng)特性參數(shù)（劉甲美等，2015）。因此，本文針對(duì)坡地地形，基于透射人工邊界的有限元有限差分方法，采用人工合成地震動(dòng)，研究SV 波垂直入射下，坡地地形對(duì)地震動(dòng)峰值、反應(yīng)譜、阿里亞斯烈度等的放大效應(yīng)，并定量分析坡高、坡角對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響，從而為坡地地形上建筑物選址及地震動(dòng)參數(shù)的確定提供理論參考。

1 模型及分析方法

局部坡地地形模型如圖1 所示。坡地地表包括頂部平臺(tái)、斜坡面和坡底段。利用人工邊界從無(wú)限大場(chǎng)地中切取包含局部坡起在內(nèi)的有限元計(jì)算區(qū)域，腳點(diǎn)與左、右人工邊界的垂直距離取為5H/tanα（H為坡高，α為坡角），與底人工邊界的垂直距離為5H，可滿足計(jì)算精度要求，減小人工邊界的影響。采用四邊形有限元網(wǎng)格離散，網(wǎng)格尺寸為1 m×1 m，以獲取對(duì)高頻成分可靠的數(shù)值模擬結(jié)果。介質(zhì)假定為均勻、各向同性、黏彈性，縱波波速表示為cp，橫波波速表示為cs，阻尼比表示為ζ。本文主要考慮巖石介質(zhì)，其剪切波速取為1 400 m/s，壓縮波速取為2 000 m/s，人工邊界區(qū)介質(zhì)波速取為1 200 m/s，僅考慮平面SV 波垂直入射情況。

圖1 局部坡地模型Fig. 1 A model with local terrain

為消除輸入地震動(dòng)隨機(jī)性對(duì)分析結(jié)果的影響，本文采用多組輸入地震動(dòng)計(jì)算得到的反應(yīng)譜譜比平均值，研究坡地地形對(duì)地震動(dòng)反應(yīng)譜的放大效應(yīng)。針對(duì)第i個(gè)輸入地震動(dòng)樣本ai（t），利用程序TPG2D 求解圖1 所示凸起的地震反應(yīng)，得到不同輸出點(diǎn)地震反應(yīng)加速度時(shí)間過(guò)程ari（t,→x），其絕對(duì)加速度反應(yīng)譜為Sra,i（T,→x）， →x為輸出點(diǎn)空間坐標(biāo)，→x=[x,y]T。

已有研究表明（郝明輝等，2014），利用Hanning 窗對(duì)3 個(gè)輸入地震動(dòng)樣本計(jì)算所得平均反應(yīng)譜譜比曲線進(jìn)行平滑，所得結(jié)果與大樣本數(shù)量所得平均值相近，可有效消除輸入地震動(dòng)隨機(jī)性的影響，同時(shí)降低計(jì)算工作量：

式中，Hann[f(x)]表示利用Hanning 窗對(duì)函數(shù)f(x)進(jìn)行平滑處理。下文研究的反應(yīng)譜譜比是由式（2）定義的反應(yīng)譜譜比。后續(xù)計(jì)算結(jié)果均采用3 個(gè)輸入地震動(dòng)樣本計(jì)算所得結(jié)果的平均值表征。

基于郝明輝等（2014）的研究，采用人工合成的地震動(dòng)時(shí)程作為模型輸入，研究凸起地形對(duì)地震動(dòng)反應(yīng)譜的放大效應(yīng)，其中1 個(gè)輸入地震動(dòng)樣本加速度、速度和位移時(shí)程曲線如圖2 所示。

圖2 輸入地震動(dòng)時(shí)程曲線Fig. 2 Acceleration, velocity and displacement curves of artificial ground motion samples

2 計(jì)算方法

2.1 集中質(zhì)量顯式有限元內(nèi)點(diǎn)計(jì)算方法

集中質(zhì)量顯式有限元的實(shí)質(zhì)是從當(dāng)前時(shí)刻節(jié)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方程推求下一時(shí)刻節(jié)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，無(wú)須進(jìn)行剛度矩陣、質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣集成，其右端項(xiàng)的形成僅需在單元一級(jí)水平上根據(jù)每個(gè)單元對(duì)有效荷載向量的貢獻(xiàn)累加，整個(gè)計(jì)算基本在單元一級(jí)水平上進(jìn)行，僅需很小的高速存貯區(qū)，計(jì)算效率較高。當(dāng)一系列單元?jiǎng)偠染仃?、質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣相同時(shí)，無(wú)須重復(fù)計(jì)算，效率更高。

2.2 透射人工邊界

2.3 程序驗(yàn)證

采用上述基于透射人工邊界的顯式有限元計(jì)算方法，開(kāi)發(fā)了并行化Fortran 數(shù)值計(jì)算程序TPG2D，并移植到北京工業(yè)云計(jì)算平臺(tái)上運(yùn)行。為驗(yàn)證該程序計(jì)算結(jié)果的正確性，計(jì)算了彈性半空間在SV 波和P 波垂直入射下的動(dòng)力響應(yīng)，并與理論解進(jìn)行對(duì)比。

從二維半無(wú)限空間中截取6 m×50 m的有限范圍，單元網(wǎng)格尺寸為1 m×1 m，材料彈性模量E=2.4×107Pa，泊松比μ=0.2，質(zhì)量密度ρ=1 000 kg/m3。在底部垂直向上入射水平方向單位脈沖剪切位移波和豎直方向單位脈沖壓縮位移波：

圖3 所示為程序TPG2D 計(jì)算得到的有限元模型底部、中部、頂部水平向和豎直向位移時(shí)程曲線與理論解的比較。入射波由底部向上傳播，在自由地表發(fā)生反射，自由地表處位移幅值為輸入波幅值的2 倍。由圖3 可知，程序TPG2D 計(jì)算結(jié)果與理論解吻合較好，證明了本文采用計(jì)算方法的正確性和有效性。

圖3 數(shù)值解與理論解比較Fig. 3 Comparison of viscous-elastic boundary calculated results with the theoretical solution

式中，f=4 Hz。

3 坡地地形地表不同位置放大系數(shù)

以坡高50 m、坡角45°的坡地地形為例，分析地形效應(yīng)對(duì)地震動(dòng)反應(yīng)譜特性的影響。坡底段、斜坡段、平臺(tái)段不同空間點(diǎn)反應(yīng)譜譜比曲線如圖4～6 所示。由圖4～6 可知，在遠(yuǎn)離斜坡的坡底段反應(yīng)譜譜比基本在1 附近波動(dòng)，越靠近斜坡放大效應(yīng)越明顯（節(jié)點(diǎn)2）；對(duì)于斜坡段，各點(diǎn)反應(yīng)譜譜比最大值沿坡高逐漸增大，而坡腳點(diǎn)對(duì)地震動(dòng)反應(yīng)譜呈縮小效應(yīng)（藍(lán)色實(shí)線），斜坡頂點(diǎn)在大部分頻段對(duì)地震動(dòng)起放大作用，反應(yīng)譜譜比最大值達(dá)1.24（紅色實(shí)線）；對(duì)于斜坡平臺(tái)段，平臺(tái)節(jié)點(diǎn)在大部分頻段反應(yīng)譜譜比均>1，對(duì)地震動(dòng)均起放大作用。

圖4 坡底段地表點(diǎn)反應(yīng)譜譜比曲線Fig. 4 Spectral ratio chart of surface point on bottom

4 坡高對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響

坡角α取為45°，分析坡高變化對(duì)斜坡頂點(diǎn)反應(yīng)譜譜比的影響。入射地震波采用垂直入射的SV 波。參與計(jì)算的凸起地形坡高H分別取20.0、30.0、40.0、50.0、60.0、70.0、80.0、90.0、100.0、110.0、130.0、150.0、170.0、190.0、210.0 m。斜坡頂點(diǎn)反應(yīng)譜譜比隨坡高變化曲線如圖7 所示，由圖7 可知，不同坡高反應(yīng)譜譜比曲線形狀基本相同。反應(yīng)譜譜比峰值點(diǎn)對(duì)應(yīng)的特征周期隨著坡高的增加呈增長(zhǎng)趨勢(shì)，峰值點(diǎn)對(duì)應(yīng)的反應(yīng)譜譜比隨著坡高的增加呈增大趨勢(shì)。在本文研究的坡高范圍內(nèi)，周期>1.0 s 的反應(yīng)譜譜比隨著坡高的增加呈增大趨勢(shì)，最大值達(dá)1.3，且隨著周期的增大，反應(yīng)譜譜比逐漸趨于1.0，說(shuō)明這一坡高范圍對(duì)較長(zhǎng)周期地震動(dòng)成分的影響逐漸減弱，在反應(yīng)譜上表現(xiàn)為斜坡頂點(diǎn)地震動(dòng)反應(yīng)譜與自由地表地震動(dòng)反應(yīng)譜相差較小。周期為0.1～0.3 s 時(shí)，隨著坡高的增加，反應(yīng)譜譜比呈減小趨勢(shì)。在其他周期范圍內(nèi)，反應(yīng)譜譜比隨坡高的變化不再呈單調(diào)變化趨勢(shì)，變化規(guī)律較復(fù)雜。

圖5 斜坡段地表點(diǎn)反應(yīng)譜譜比曲線Fig. 5 Spectral ratio chart of surface point on the slope

圖6 平臺(tái)段地表點(diǎn)反應(yīng)譜譜比曲線Fig. 6 Spectral ratio chart of the surface point on the platform

圖7 斜坡頂點(diǎn)反應(yīng)譜譜比隨坡高變化曲線Fig. 7 Spectral ratio curve of the vertex with different heights

圖8 所示為坡腳點(diǎn)反應(yīng)譜譜比隨坡高變化的曲線，由圖8 可知，不同坡高反應(yīng)譜譜比曲線在大部分周期點(diǎn)對(duì)地震動(dòng)的放大作用均不明顯，基本呈減弱趨勢(shì)，反應(yīng)譜譜比最小值為0.5。在本文研究的坡高范圍內(nèi)，所有周期范圍內(nèi)反應(yīng)譜譜比隨坡高的變化不再呈單調(diào)變化趨勢(shì)，變化規(guī)律較復(fù)雜。

圖8 斜坡腳點(diǎn)反應(yīng)譜譜比隨坡高變化曲線Fig. 8 Spectral ratio curve of the Slope toe with different heights

圖9 所示為斜坡頂點(diǎn)不同反應(yīng)譜控制周期點(diǎn)處反應(yīng)譜譜比隨坡高的變化曲線，由圖9 可知，長(zhǎng)周期范圍（藍(lán)線）反應(yīng)譜譜比隨坡高變化較明顯，且反應(yīng)譜譜比隨坡高的增加呈增大趨勢(shì)，最大值達(dá)1.25 左右；當(dāng)坡高>160 m 后，反應(yīng)譜譜比隨坡高的增加呈減小趨勢(shì)；短周期范圍（黑線）隨坡高變化反應(yīng)譜譜比基本呈減弱趨勢(shì)，當(dāng)坡高>60 m 后，峰值加速度基本隨著坡高的增加而減弱，且當(dāng)坡高>130 m 后峰值加速度放大系數(shù)基本保持不變；峰值速度隨著坡高的增加呈增大趨勢(shì)，PGV 放大倍數(shù)最大值達(dá)1.2 左右，PGD 放大倍數(shù)基本在1 左右。

圖9 不同周期點(diǎn)處斜坡頂點(diǎn)反應(yīng)譜譜比隨坡高變化曲線Fig. 9 Variation curve of slope peak spectral ratio with height at different periodic points

圖10 所示為斜坡頂點(diǎn)阿里亞斯烈度比值隨坡高變化曲線，由圖10 可知，對(duì)于寬度為50 m、坡角為45°的計(jì)算模型，當(dāng)坡高<30 m 時(shí)，斜坡頂點(diǎn)阿里亞斯烈度比值隨著坡高的增加呈增大趨勢(shì)；當(dāng)坡高>30 m 時(shí)，斜坡頂點(diǎn)阿里亞斯烈度比值隨著坡高的增加呈減小趨勢(shì)。

圖10 斜坡頂點(diǎn)阿里亞斯烈度比值隨坡高變化曲線Fig. 10 Curve of arias intensity ratio with height at the top of slope

圖11 所示為節(jié)點(diǎn)1～7（坡高50 m，坡角45°）阿里亞斯烈度比值，由圖11 可知，地形對(duì)平臺(tái)中點(diǎn)和平臺(tái)頂點(diǎn)阿里亞斯烈度的放大作用較大，最大值達(dá)1.2；地形對(duì)腳點(diǎn)、斜坡中點(diǎn)阿里亞斯烈度起減小作用；地形對(duì)自由地表點(diǎn)阿里亞斯烈度的放大系數(shù)基本為1，這與地表點(diǎn)反應(yīng)譜譜比放大規(guī)律基本一致。

圖11 地表點(diǎn)阿里亞斯烈度比值Fig. 11 Arias intensity ratio map of surface points

5 坡角對(duì)地震動(dòng)特性的影響

將圖1 所示凸起地形模型寬度B取為50 m，坡高H取為50 m，研究坡角變化對(duì)地震動(dòng)反應(yīng)譜特性及阿里亞斯烈度的影響。入射地震波為垂直入射的SV 波，參與計(jì)算的坡角分別取20°、25°、30°、35°、40°、45°、50°、55°、60°。

不同坡角對(duì)應(yīng)的斜坡頂點(diǎn)反應(yīng)譜譜比曲線如圖12 所示，由圖12 可知，相比凸起臺(tái)地地形，不同坡角反應(yīng)譜譜比曲線變化規(guī)律不同（郝明輝等，2019），反應(yīng)譜譜比最大值為1.28 左右，說(shuō)明坡角變化對(duì)反應(yīng)譜某頻段上的最大反應(yīng)的影響較大。在坡高不變的情況下，隨著坡角的增大，高頻段（0.01～0.03 s）及低頻段（0.3～6.0 s）放大倍數(shù)增大，中間頻段（0.03～0.3 s）在不同周期點(diǎn)處放大倍數(shù)與坡角之間的變化規(guī)律較復(fù)雜。

圖12 不同坡角對(duì)應(yīng)的斜坡頂點(diǎn)的反應(yīng)譜譜比曲線Fig. 12 Spectral ratio curve of the vertex with different slopes

圖13 所示為不同反應(yīng)譜控制周期點(diǎn)處反應(yīng)譜譜比隨坡角變化曲線，由圖13 可知，長(zhǎng)周期范圍（藍(lán)線）反應(yīng)譜譜比隨著坡角的增加呈增大趨勢(shì)，反應(yīng)譜譜比最大值為1.1 左右；短周期范圍（黑線）反應(yīng)譜譜比隨著坡角的變化較復(fù)雜，在坡角較大的情況下，反應(yīng)譜譜比隨著坡角的增加呈增大趨勢(shì)；PGA 受坡角的影響較大，反應(yīng)譜譜比最大值達(dá)1.3 左右；PGV、PGD 隨坡角變化不明顯，PGV 放大倍數(shù)基本為1.1 左右，PGD放大倍數(shù)基本為1 左右。

圖13 不同周期點(diǎn)處反應(yīng)譜譜比隨坡角變化曲線Fig. 13 Variation curve of slope peak spectral ratio with slope at different periodic points

圖14 所示為斜坡頂點(diǎn)阿里亞斯烈度隨坡角變化曲線，由圖14 可知，對(duì)于寬度50 m、坡角45°計(jì)算模型，斜坡頂點(diǎn)阿里亞斯烈度比值在坡角>30°后基本隨著坡角的增加呈增大趨勢(shì)，最大值達(dá)1.38。

圖14 斜坡頂點(diǎn)阿里亞斯烈度比值隨坡角變化曲線Fig. 14 Curve of arias intensity ratio with slope at the top of slope

6 結(jié)論

本文基于有限元有限差分法，結(jié)合人工透射邊界理論，研究了局部坡地地形對(duì)地震動(dòng)特性的影響，分析了坡高、坡角對(duì)地形放大效應(yīng)的影響，得出以下結(jié)論：

（1）斜坡頂點(diǎn)地震動(dòng)受地形效應(yīng)的影響較大，在零阻尼條件下，反應(yīng)譜譜比曲線呈雙峰特點(diǎn)，腳點(diǎn)在大部分周期點(diǎn)對(duì)地震動(dòng)呈縮小效應(yīng)。

（2）在坡角一定的情況下，斜坡頂點(diǎn)反應(yīng)譜譜比峰值點(diǎn)對(duì)應(yīng)的特征周期隨著坡高的增加呈增長(zhǎng)趨勢(shì)，對(duì)應(yīng)的譜比隨著坡高的增加呈增大趨勢(shì)。斜坡頂點(diǎn)阿里亞斯烈度比值在斜坡坡高大于一定值后隨著坡高的增加呈減小趨勢(shì)，與地震動(dòng)高頻成分受地形影響的規(guī)律基本一致。

（3）當(dāng)坡高不變時(shí)，斜坡頂點(diǎn)反應(yīng)譜譜比放大倍數(shù)與坡角之間的變化規(guī)律較復(fù)雜。此外，斜坡頂點(diǎn)阿里亞斯烈度比值在坡角大于一定值后基本隨著坡角的增加呈增大趨勢(shì)。