虞 飛, 余 赟, 周利輝, 彭春光

(中國(guó)人民解放軍92578部隊(duì), 北京 100071)

0 引 言

信號(hào)波達(dá)方向(direction of arrival,DOA)估計(jì)是陣列信號(hào)處理中一項(xiàng)極為重要的研究分支,已在聲納、雷達(dá)、通信、導(dǎo)航、地震探測(cè)等領(lǐng)域取得廣泛應(yīng)用[1]。以MUSIC[2-3]和ESPRIT[4]算法為代表的傳統(tǒng)子空間類DOA估計(jì)算法在高信噪比(signal to noise ratio, SNR)、非強(qiáng)相關(guān)源和多采樣快拍數(shù)的情況下可獲得超分辨估計(jì)性能。但在實(shí)際應(yīng)用中,高SNR、非強(qiáng)相關(guān)源和多采樣快拍數(shù)都是比較理想的環(huán)境因素,只要有一個(gè)因素不滿足,這些算法的DOA估計(jì)精度將嚴(yán)重下降甚至估計(jì)失敗。為此,學(xué)者們提出了很多改進(jìn)算法,如適用于單快拍的陣列測(cè)向方法[5-7],適用于相干情形的空間平滑類算法[8-10]等。然而,這些改進(jìn)算法都只適用于某一個(gè)非理想環(huán)境因素下的高性能估計(jì),當(dāng)同時(shí)存在至少兩個(gè)非理想環(huán)境因素時(shí),這類算法依然面臨著失效問題。

近年來,基于稀疏表示框架的陣列參數(shù)估計(jì)方法由于在低SNR、有限采樣快拍數(shù)據(jù)、相干信號(hào)、信號(hào)DOA角度間隔小等非理想條件下同時(shí)具有良好的估計(jì)性能而引起了相關(guān)學(xué)者的廣泛關(guān)注,并取得了大量高質(zhì)量的研究成果[11-15]?？紤]到在實(shí)際應(yīng)用中,通常目標(biāo)信號(hào)個(gè)數(shù)遠(yuǎn)小于傳感器陣元數(shù),目標(biāo)信號(hào)DOA相對(duì)于空間來說也是稀疏的,故可將傳統(tǒng)的傳感器陣列輸出模型進(jìn)行稀疏化表示,得到陣列輸出數(shù)據(jù)的稀疏表示模型。于是,稀疏表示理論中的很多方法很自然地被引入到陣列信號(hào)處理問題中,而傳統(tǒng)的陣列參數(shù)估計(jì)問題轉(zhuǎn)化為稀疏參數(shù)求解問題?；谙∈璞硎镜年嚵袦y(cè)向方法在非理想條件下整體性能優(yōu)于傳統(tǒng)的子空間類測(cè)向方法,但分析表明,前者的計(jì)算復(fù)雜度明顯高于后者,導(dǎo)致算法對(duì)目標(biāo)信號(hào)DOA估計(jì)的實(shí)時(shí)性變得很差。同時(shí),這類方法在求最優(yōu)解過程中,還面臨著一個(gè)甚至多個(gè)超參數(shù)(或者正則化參數(shù))選取的問題,超參數(shù)的選擇是否合適直接關(guān)系到最終的稀疏恢復(fù)性能。因此,還需要對(duì)超參數(shù)進(jìn)行精細(xì)選取,然而目前還沒有明確的方法用來指導(dǎo)超參數(shù)的選擇。

本文依托陣列輸出數(shù)據(jù)的稀疏表示模型,提出了一種基于加權(quán)最小二乘(weighted least squares,WLS)準(zhǔn)則的單快拍DOA稀疏迭代自適應(yīng)估計(jì)(簡(jiǎn)稱為WLS-IAE)算法。該算法不僅保持了稀疏表示框架在非理想條件下的良好估計(jì)性能,而且避免了傳統(tǒng)稀疏參數(shù)求解方法的高復(fù)雜度和經(jīng)驗(yàn)式的超參數(shù)選取問題,僅采用單快拍即獲得高精度DOA估計(jì),因此非常適用于快變目標(biāo)信號(hào)DOA的實(shí)時(shí)跟蹤測(cè)量,具有潛在的工程實(shí)用價(jià)值。

1 陣列輸出模型

考慮K個(gè)遠(yuǎn)場(chǎng)窄帶信號(hào)入射到由M個(gè)無方向性(全向)陣元構(gòu)成的均勻線性陣列(uniform linear array,ULA)中,并假設(shè)K個(gè)信號(hào)與ULA在同一平面內(nèi)(在實(shí)際應(yīng)用場(chǎng)景中,如水下聲納基陣測(cè)向,我們經(jīng)常只關(guān)心某一平面內(nèi)信號(hào)的入射方位,或者入射信號(hào)在該平面內(nèi)的投影,因此這一假設(shè)可以得到保證)[16]。將陣元由1到M進(jìn)行編號(hào),并以陣元1作為基準(zhǔn)或參考陣元。設(shè)參考陣元處的任一接收信號(hào)變換到基帶后有如下形式:

s(t)=a(t)ej[ω0t+φ(t)]

(1)

那么,在t時(shí)刻,整個(gè)陣列的M×1維輸出數(shù)據(jù)模型為

x(t)=As(t)+n(t)

(2)

式中,s(t)=[s1(t),s2(t),…,sK(t)]T為變換到基帶后的參考陣元處接收到的K個(gè)信號(hào)構(gòu)成的列向量;n(t)=[n1(t),n2(t),…,nM(t)]T為陣列的零均值加性復(fù)高斯白噪聲向量;A=[a(θ1),a(θ2),…,a(θK)]為M×K維導(dǎo)向矢量矩陣,且對(duì)于ULA,導(dǎo)向矢量a(θk)[17]可定義為

(3)

式中,d為相鄰陣元間距;λ為信號(hào)波長(zhǎng);θk為第k個(gè)信號(hào)的DOA,通常定義為該信號(hào)入射方向與ULA法線方向的夾角,則有θk∈[-π/2,π/2]。

2 模型的稀疏表示與稀疏矩陣方程的求解

x(t)=Φγ(t)+n(t)

(4)

min‖γ(t)‖0s.t.‖x(t)-Φγ(t)‖2≤β

(5)

式中,l0-范數(shù)‖γ(t)‖0表示向量γ(t)中非零元素的個(gè)數(shù)；‖·‖2表示向量的2-范數(shù)；正則化參數(shù)β用來指定允許的噪聲水平。

直接求解優(yōu)化問題式(5),必須篩選出向量γ(t)中所有可能的非零元素,由于搜索空間過于龐大,故此方法是非確定性多項(xiàng)式時(shí)間(non-deterministic polynomial-time, NP)難題。

考慮到l1-范數(shù)是最接近于l0-范數(shù)的凸目標(biāo)函數(shù),目前,使用最廣泛的求解方法是將式(5)的l0-范數(shù)最小化問題轉(zhuǎn)化為凸松弛的l1-范數(shù)最小化問題(簡(jiǎn)稱l1-min算法)[18],即

min‖γ(t)‖1s.t.‖x(t)-Φγ(t)‖2≤β

(6)

式中,‖·‖1表示向量的l1-范數(shù)。該式可以很容易轉(zhuǎn)化為二階錐規(guī)劃(second-order cone programming,SOCP)問題的一般形式,從而在二階錐規(guī)劃的框架下求解。但在實(shí)際應(yīng)用時(shí),目標(biāo)可能來向的角度范圍θ在網(wǎng)格劃分時(shí)其數(shù)量級(jí)將達(dá)到104,這將明顯降低二階錐規(guī)劃問題的求解速度,導(dǎo)致算法對(duì)DOA估計(jì)的實(shí)時(shí)性變得很差。

3 基于WLS的稀疏迭代自適應(yīng)估計(jì)方法

假設(shè)稀疏信號(hào)矢量γ(t)與噪聲矢量n(t)之間相互統(tǒng)計(jì)獨(dú)立,則由式(4)可得

ΦPΦH+Rn

(7)

P=diag[p1,p2,…,pn,…,pN]

(8)

定義干擾(即稀疏信號(hào)矢量γ(t)中除了第n個(gè)信號(hào)γn(t)之外的其他所有信號(hào))的協(xié)方差矩陣為

(9)

(10)

為求得式(10)的最優(yōu)解,將該式展開并處理得如下形式:

(11)

式中,

故關(guān)于γn(t)的加權(quán)最小二乘估計(jì)為

(12)

將式(9)代入式(12),根據(jù)矩陣求逆引理可得

(13)

(14)

(15)

相應(yīng)地有

(16)

重復(fù)計(jì)算:

forn=1,2,…,N

end

直至收斂。

(17)

(18)

(19)

式中,向量em表示M×M維單位陣IM=[e1,e2,…,eM]的第m列。

綜上,WLS-IAE算法最終形式歸納如下。

初始化:

重復(fù)計(jì)算:

forn=1,2,…,N

end

直至收斂。

4 算法計(jì)算量分析

l1-min算法和本文提出的WLS-IAE算法都是基于稀疏表示框架的單快拍DOA估計(jì)方法,其中,l1-min算法作為依賴于超參數(shù)的稀疏估計(jì)類方法具有一定代表性,在其基礎(chǔ)上發(fā)展了很多改進(jìn)算法。下面詳細(xì)分析WLS-IAE算法的計(jì)算量,并與l1-min算法進(jìn)行比較。

令MDN表示復(fù)數(shù)乘除法運(yùn)算的次數(shù)。首先分析本文算法初始化的計(jì)算量,再分析算法迭代過程的計(jì)算量。

(20)

結(jié)合WLS-IAE算法初始化過程的計(jì)算量,則WLS-IAE算法實(shí)現(xiàn)所需的MDN總次數(shù)約為

(21)

l1-min算法一般是將式(6)的凸松弛的約束優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為二階錐規(guī)劃問題的一般形式,并在二階錐規(guī)劃的框架下采用內(nèi)點(diǎn)法求解,其計(jì)算復(fù)雜度為O(N3)[18]。

考慮到在實(shí)際應(yīng)用中,M?N,nitr≈10,則nitr?N,且一般有nitr?M成立,則WLS-IAE算法的計(jì)算復(fù)雜度為O(M2N)。

因此,雖然同為基于稀疏表示框架的DOA估計(jì)算法,WLS-IAE算法的計(jì)算復(fù)雜度遠(yuǎn)低于l1-min算法,具有更好的實(shí)時(shí)性。

5 仿真實(shí)驗(yàn)

在以下仿真實(shí)驗(yàn)中,考慮由15個(gè)陣元構(gòu)成的均勻線性傳感器陣列,相鄰兩個(gè)陣元間距為信號(hào)波長(zhǎng)的一半,即d=λ/2。假設(shè)兩個(gè)單位功率的窄帶信號(hào)分別從不同方向入射到上述傳感器陣列,實(shí)驗(yàn)中取陣列對(duì)信號(hào)的單快拍采樣數(shù)據(jù)。SNR定義為

下列實(shí)驗(yàn)中,如無特別說明,取SNR=10 dB。

(1)算法收斂特性

考慮兩個(gè)相干信號(hào)DOA參數(shù)分別以θ1=-10°,θ2=60°入射到上述均勻線陣。圖1給出了采用WLS-IAE算法分別在初始化、迭代1次、迭代5次、迭代10次過程中對(duì)DOA估計(jì)的歸一化稀疏功率譜圖。其中算法初始化采用的是CBF算法。兩個(gè)相干信號(hào)之間的關(guān)系表示為s2(t)=s1(t)?ejη,其中,?ejη為相關(guān)系數(shù),反映了兩個(gè)信號(hào)之間的數(shù)值關(guān)系。實(shí)驗(yàn)中取?=1,η=π/6。

圖1 WLS-IAE算法中DOA估計(jì)的歸一化稀疏功率譜

從圖1的4組仿真曲線可以看出,本文提出的WLS-IAE算法在相干信號(hào)的真實(shí)目標(biāo)方向上形成了譜峰。隨著迭代次數(shù)的逐漸增加,稀疏功率譜的譜峰變得越來越尖銳,而“偽峰”及旁瓣逐漸消失,意味著該算法在迭代10次時(shí)對(duì)目標(biāo)信號(hào)DOA具有較高的估計(jì)精度和分辨率。在改變其他實(shí)驗(yàn)參數(shù)的情況下,算法一般不超過15次迭代即可達(dá)到收斂狀態(tài),說明本文算法具有較快的收斂速度。

(2)算法對(duì)相干信號(hào)DOA估計(jì)的分辨率

考慮兩個(gè)相關(guān)系數(shù)為ejπ/6的鄰近相干信號(hào)參數(shù)θ1=-10°,θ2=-6°入射到上述均勻線陣,采用CBF算法、WLA-IAE算法和l1-min算法對(duì)單快拍陣列接收數(shù)據(jù)分別進(jìn)行10次蒙特卡羅仿真實(shí)驗(yàn),得到3種算法對(duì)DOA估計(jì)的歸一化稀疏功率譜圖,分別對(duì)應(yīng)如圖2(a)～圖2(c)所示。

圖2 角度間隔較小的兩個(gè)相干信號(hào)DOA估計(jì)的歸一化稀疏功率譜

由圖2的仿真曲線可以看出,當(dāng)相干目標(biāo)信號(hào)的角度間隔較小時(shí),采用WLS-IAE算法和l1-min算法均可以在真實(shí)的目標(biāo)方向形成尖銳的譜峰,實(shí)現(xiàn)了對(duì)目標(biāo)信號(hào)DOA的高分辨率估計(jì)。相反,CBF算法在兩個(gè)真實(shí)目標(biāo)方向上的譜峰合二為一,說明此時(shí)CBF算法無法分辨兩個(gè)信號(hào)的DOA。綜上表明,在單快拍情形下,基于稀疏表示的陣列測(cè)向方法對(duì)空間鄰近信號(hào)仍具有較好的分辨能力。

(3)SNR對(duì)DOA估計(jì)精度的影響

考慮兩個(gè)相關(guān)系數(shù)為ejπ/6的相干信號(hào)DOA參數(shù)分別以θ1=-10°,θ2=60°入射到上述均勻線陣,采用WLA-IAE算法、l1-min算法、CBF算法、快速迭代內(nèi)插波束形成(fast iterative interpolated beamformer,FIIB)算法[5]和稀疏協(xié)方差矩陣迭代的單快拍(sparse covariance matrix iteration with a single snapshot,SCMISS)算法[15]分別進(jìn)行200次蒙特卡羅仿真實(shí)驗(yàn),得到目標(biāo)信號(hào)DOA估計(jì)的均方根誤差(root-mean-square error,RMSE)隨SNR的關(guān)系曲線,如圖3所示。其中,L次蒙特卡羅仿真實(shí)驗(yàn)得到的DOA估計(jì)的RMSE定義為

圖3 DOA估計(jì)的RMSE隨SNR的關(guān)系曲線

從圖3的仿真曲線可以看出,隨著SNR的逐漸提高,采用上述5種算法估計(jì)的DOA的RMSE都是逐漸減小的,說明5種算法對(duì)DOA的估計(jì)精度均越來越高。其中,WLA-IAE算法對(duì)DOA的估計(jì)精度最高,尤其在低SNR時(shí)估計(jì)精度優(yōu)勢(shì)更明顯,表明WLA-IAE算法在相干信號(hào)、單快拍、低SNR等非理想情形下均具有很好的估計(jì)性能。

CBF算法的估計(jì)性能因受陣列孔徑的限制,顯然不如WLS-IAE、l1-min和SCMISS超分辨算法，它們都屬于基于稀疏表示框架的陣列測(cè)向方法,在低SNR情況下都具有良好的估計(jì)性能。但是,l1-min算法的稀疏恢復(fù)性能依賴于正則化參數(shù)β的精細(xì)化選取,一旦選取不當(dāng),算法存在收斂至局部極值的風(fēng)險(xiǎn)。雖然本文在第3節(jié)給出了正則化參數(shù)β的選擇依據(jù),但正如文獻(xiàn)[18]所述,這種選擇依據(jù)只適用于高SNR情況下,在低SNR時(shí)對(duì)正則化參數(shù)β只能憑經(jīng)驗(yàn)公式選取,而WLS-IAE算法屬于一種不依賴超參數(shù)的稀疏估計(jì)類方法,因此WLS-IAE和l1-min算法在高SNR時(shí)性能相當(dāng),而在低SNR時(shí)前者性能優(yōu)于后者。

6 結(jié) 論

本文依托陣列輸出數(shù)據(jù)的稀疏表示模型,提出了一種WLS-IAE算法。詳細(xì)分析了WLS-IAE算法的基本性能和計(jì)算復(fù)雜度,并與依賴于超參數(shù)的經(jīng)典稀疏估計(jì)類算法l1-min的計(jì)算復(fù)雜度進(jìn)行了比較。仿真結(jié)果表明:WLS-IAE算法在低SNR、單快拍、信號(hào)相干、目標(biāo)信號(hào)空間間隔很小等非理想情況下都具有很好的估計(jì)精度和分辨率;WLS-IAE算法的計(jì)算效率明顯高于一般的稀疏估計(jì)類方法。因此,WLS-IAE算法不僅保持了稀疏表示框架在非理想條件下的良好估計(jì)性能,而且避免了傳統(tǒng)稀疏參數(shù)求解方法的高復(fù)雜度和經(jīng)驗(yàn)公式的超參數(shù)選取問題,因此非常適用于快變目標(biāo)信號(hào)DOA的實(shí)時(shí)跟蹤測(cè)量,具有潛在的工程實(shí)用價(jià)值。