肖子衡，何志興，陳峻嶺，陳燕東，歐陽紅林，羅 安

（1.廣東志成冠軍集團有限公司，東莞523718；2.國家電能變換與控制工程技術研究中心（湖南大學），長沙410082）

相平面分析是描述線性周期時變系統(tǒng)行為的圖解方法，已成功應用于多種諧振變換器[1-5]。此外，文獻[6]中提出多種基于相平面分析的控制方法。對諧振變換器進行相平面分析的主要優(yōu)點是狀態(tài)變量天然的微分特征，使其相平面為圓和橢圓的分段軌跡， 一個開關周期中的狀態(tài)軌跡形成閉合曲線，因此可以直觀得到其穩(wěn)態(tài)特性。如果考察相鄰周期的狀態(tài)軌跡，可以得到一簇曲線，因而也可以獲得暫態(tài)特性。 除了諧振類變換器，線性周期時變系統(tǒng)中還有其他類型的非諧振變換器，最具代表性的是雙有源橋DAB（dual active bridge）直流變換器。DAB具有電氣隔離，雙向降升壓能力，固有的軟開關特性和高功率密度的優(yōu)點，在直流微電網[7-9]、電動汽車[10-11]以及固態(tài)變壓器中的隔離級[12-14]得到了廣泛關注。為了提高DAB 的效率和功率密度，開展了很多研究，并提出了一些調制方法。文獻[15]提出了單移相調制方法，易于實現，得到了廣泛應用，且在額定功率和電壓匹配下可以實現較高的功率密度和效率，但是，在低功率或者電壓不匹配條件下，單移相調制方法的效率較低，零電壓開通ZVS（zero voltage switching）范圍較小；為了提高DAB 的性能，文獻[16]提出了雙移相調制方法用于減小無功功率；文獻[17]對其進行了改進，在低功率條件下得到了較好的性能；文獻[18]提出了擴展移相調制方法用于減小循環(huán)功率，然而，由于雙移相調制方法和擴展移相調制方法的附加約束條件，DAB 的性能未得到全局優(yōu)化。 由于DAB 的性能與電感電流密切相關，對DAB 的優(yōu)化就轉變?yōu)閷﹄姼须娏鞯膬?yōu)化。 文獻[19-21]關注電流應力IPeak并提出了許多減小IPeak的調制方法；文獻[22-23]給出了電感電流有效值IRMS最小化的調制方法， 此調制方法被稱為電感電流最優(yōu)調制方法，其工作區(qū)間分為低功率、中等功率和高功率三種， 然而， 在中等功率區(qū)間由于需要求解四次方程，文獻[22]中控制坐標的解析表達式過于復雜，控制坐標需要離線計算之后才能在實際中進行應用，在文獻[23]中，控制坐標只給出了數值解。

綜上所述， 對DAB 電感電流的優(yōu)化存在2 個難題。第一個難題是由于傳輸功率的等式約束條件會造成可行域非凸， 因此， 拉格朗日乘數法LMM（Lagrange multiplier method）或KKT（Karush-Kuhn-Tucker）條件等常規(guī)凸優(yōu)化方法可能失效[23]；此外，由于優(yōu)化目標的表達式在不同可行域是不同的，在某個可行域中只能獲得局部最小值，因此，優(yōu)化過程需要以分而治之的方式完成。 另一個難題是IRMS的表達式過于復雜，導致以IRMS為優(yōu)化目標難以獲得最佳控制坐標的解析表達式，電感電壓有效值具有表達式簡單、與IRMS相關程度高且能部分反映變換器磁性元件損耗等優(yōu)點，可以作為優(yōu)化變量來間接優(yōu)化IRMS，為了同時考慮ZVS 區(qū)域和IPeak，以電感電流作為狀態(tài)變量， 對DAB 進行相平面分析，從DAB 的相平面軌跡中可以直接得到開關管的ZVS實現情況與IPeak， 且相平面軌跡與坐標軸圍成的面積恰好反映了電感電壓有效值。 本文基于DAB 的相平面分析，采用相對偏導增益法，用分而治之的思想在全功率范圍內獲得了電感電壓有效值最小化的解析表達式。電感電壓有效值最小化調制方法具有控制坐標簡單、在輸出功率變化時變換器效率較高以及可用于數字處理器等優(yōu)點。實驗結果證實了分析的正確性以及所提調制方法的可實現性。

1 DAB 時域與相平面分析

1.1 DAB 拓撲與等效電路

DAB 的拓撲結構以及典型工作波形如圖1 所示，DAB 由輸入直流電容CDC1、 輸出直流電容CDC2、原邊開關管S1～S4、副邊開關管S5～S8、功率傳輸電感L 和變比為1∶n 的高頻變壓器組成， 開關頻率固定為fs。 Vin、Vout、Iin和Iout分別為DAB 的輸入電壓、輸出電壓、輸入電流和輸出電流。 高頻變壓器的端口電壓和原邊電流分別為vAB、vCD和iL。

圖1 DAB 的拓撲結構與典型工作波形Fig. 1 Topology and typical operation waveforms of DAB converter

DAB 正向傳輸功率和反向傳輸功率的典型工作波形如圖1（b）所示，DAB 存在3 個自由度，分別為原邊占空比φ1、副邊占空比φ2和移相角α，其中α 的取值范圍為[-π，π]，φ1、φ2的取值范圍均為[0，π]，則DAB 的控制坐標表示為（α，φ1，φ2）。

為了簡化分析，對DAB 的電氣參數進行標幺化，電壓、電流、功率和時間的基準值分別為

式中：M 為電壓增益，表示為輸出電壓與輸入電壓的比值。

DAB 在穩(wěn)態(tài)時半個周期后電壓和電流的極性與初始值相反，因此只需研究半個周期即可。 在半個周期內，DAB 一共存在6 種狀態(tài)A、B、C、D、E、F，如圖2 所示。 這6 種狀態(tài)的狀態(tài)變量如表1 所示，其中，IA（0）、IB（0）、IC（0）、ID（0）、IE（0）和IF（0）分別為6 種狀態(tài)的初始電流。 半個周期內6 種狀態(tài)出現的組合順序組成了DAB 的狀態(tài)軌跡OST（operation stage trajectory）， 如OST ACF 指DAB 在半個周期內先進入狀態(tài)A，再進入狀態(tài)C，最終進入狀態(tài)F。

DAB 的輸入功率Pin、輸出功率Pout、控制坐標（α，φ1，φ2）與各個狀態(tài)持續(xù)時間（θA，θB，θC，θD，θE，θF）的關系分別為

忽略DAB 的損耗， 由功率守恒定理可得DAB的傳輸功率為：P=Pin=Pout。在控制坐標α、φ1和φ2的取值范圍均為[0，π]的情況下，可能的OST 共有6 種，分別為：ABCF、ABEF、ADEF、BCBE、BCFE 和BEFE，其余的OST 均為這6 種OST 的特例。這6 種OST 的功率表達式和傳輸功率范圍如表2 所示。

圖2 半個周期內DAB 的6 種狀態(tài)Fig. 2 Six operation states of DAB converter in a half switching cycle

表1 6 種狀態(tài)中的狀態(tài)變量Tab. 1 State variables in six states

表2 6 種OST 的功率表達式和傳輸功率范圍Tab. 2 Power expressions and transmission power range in six OSTs

其中OST ABEF、ADEF 和BEFE 不包含C 狀態(tài)，因此必須先將能量儲存在電感中，使得電感電流急劇增加，再由電感將存儲的能量向輸出端口傳遞。 由于這3 種OST 不能增大DAB 的功率傳輸能力，因此在接下來的優(yōu)化分析中將不被考量[23]。

根據DAB 的電壓增益和功率傳輸方向，DAB可以劃分為4 塊工作區(qū)域，即：降壓且正向傳輸率（M<1，P>0）、升壓且正向傳輸率（M>1，P>0）、降壓且反向傳輸率（M<1，P<0）和升壓且反向傳輸率（M>1，P<0）。 由于DAB 的對稱結構，這4 塊工作區(qū)域中的控制坐標存在如圖3 所示的映射關系，因此只需要研究（M<1，P>0）的工作區(qū)域即可。

圖3 DAB 工作區(qū)域映射關系Fig. 3 Mapping relation in DAB operation region

1.2 DAB 的相平面分析

將DAB 時域波形的x 軸和y 軸替換為電感電壓VL和電感電流IL可得DAB 的相平面圖，如圖4所示，以OST ABCF 為例展示了這個變換過程。

圖4 上邊為電壓和電流的時域波形，實線表示DAB 的時域電壓和電流，虛線表示頻率近似的電壓和電流。 圖4 下邊多邊形代表VL和IL的相平面軌跡， 閉合曲線分別代表VL和IL的基波近似及3 次和21 次諧波近似的相平面軌跡。 隨著諧波次數的疊加，其相平面軌跡越來越接近于一個多邊形。

在相平面軌跡中，點a、b、c 和d 的坐標分別為（VA，IA（0））、（VB，IB（0））、（VC，IC（0））和（-VF，IF（0））。由于一個周期內時域波形的起點和終點分別為-π和π，因此相平面軌跡起點為a，逆時針周期運動，最小周期為2π。 從相平面圖可知：IA（0）<0、IB（0）>0、IC（0）>0、IF（0）>0，因此原副邊的開關管都可以實現ZVS。 電流應力可以表示為IPeak=IF（0）。 相平面上的每個點都是DAB 穩(wěn)態(tài)運行時經過的點，相平面軌跡越靠近原點則說明DAB 擁有更小的IL。 為了衡量相平面軌跡離原點的平均距離， 可以考察相平面與坐標軸圍成的面積S。 以上述為例，S 可以表示為

雖然S 的最小化并不等同于IRMS的最小化，但通常來說，一個較小的S 對應的IRMS也較小。 對于OST ABCF、BCFE 和BCBE，其IRMS和S 的表達式如表3 所示。

圖4 DAB 時域波形與相平面軌跡Fig. 4 Time-domain operation waveform and phase-plane trajectory of DAB converter

表3 OST ABCF、BCFE 和BCBE 的IRMS 和S 的表達式Tab. 3 Expressions of IRMS and S in OST ABCF, BCFE, and BCBE

表3 中，IRMS的表達式復雜，為控制坐標的三次函數，而S 的表達式簡單，僅為控制坐標的一次函數。 由于OST ABCF、BCFE 和BCBE 的可行域并不是凸集且有重疊部分[23]，因此本文采用相對偏導增益法對其進行分段優(yōu)化處理。

2 基于相平面的DAB 優(yōu)化

根據上述相平面分析，DAB 的優(yōu)化問題可以轉換為標準形式，即

式中：X=[α，φ1，φ2]為控制坐標；A（X）=S 為優(yōu)化目標；P（X）=P 為傳輸功率的等式約束條件；Bi（X）≤0（i=1，2，…，q）為不同OST 的不等式約束條件。 由于P（X）和A（X）均為X 的連續(xù)可微函數，則P（X）和A（X）的全微分記為

記Xopt為在給定P（X）=P 下使得A（X）最小化的坐標，對Xopt進行小擾動，擾動后的坐標記X*1、X*2和X*3，可得

式中，ξi（X）（i=α、φ1、φ2）為相對偏導增益。 假設Xopt是連續(xù)的，則Xopt的性質為

文獻[23]中，式（11）被稱為全局最優(yōu)化條件。值得注意的是，如果式（11）的解得到的控制指標在可行域范圍內，則此解有效；若此解得到的控制指標為固定的電壓增益或者傳輸功率， 則此解無效；若此解得到的控制指標不在可行域內，則需要進一步考察可行域的邊界。

2.1 OST ABCF 下的優(yōu)化

將式（11）運用于OST ABCF 可得

因此可解得控制坐標為

式（13）～式（15）中，傳輸功率的下限由OST ABCF 的可行域條件限制， 低于這個功率下限，則OST ABCF 將轉變?yōu)镺ST BCF。 假設最優(yōu)控制坐標連續(xù)，將式（11）運用于OST BCF 可得

由于第1 個解為固定的電壓增益， 并不有效，將第2 個解代入OST BCF 的方程可得

類似地，式（17）中傳輸功率的下限由OST BCF的可行域條件限制，低于這個功率下限，則OST BCF將轉變?yōu)镺ST CF。 將式（11）運用于OST CF 可得

2.2 OST BCFE 下的優(yōu)化

類似地，將式（11）運用于OST BCFE 可得

在M<1、P>0 條件下進一步可得控制坐標的關系為

式（20）所求得的控制坐標位于OST BCFE 可行域之外。 進一步考察OST BCFE 的邊界α∈[0，π]，φ1∈[0, α]，φ2∈[π, φ1+π]，將α 置零時OST 將由BCFE 轉變?yōu)镺ST CFE，此時的控制坐標為

式（21）中的功率上限由OST CFE 的可行域條件限制，超過這個上限，則OST CFE 將變回OST CF，當功率進一步增大時，OST CF 會變回OST BCF。

2.3 OST BCBE 下的優(yōu)化

將式（11）運用于OST BCBE 可得

由于式（22）無解，因此最優(yōu)控制坐標始終不在OST BCBE 中。

2.4 不同OST 最優(yōu)解區(qū)域的合并和擴展

圖5 全范圍最優(yōu)解區(qū)域劃分Fig. 5 Division of optimal solution region in full operation range

表4 在M<1, P>0 場合下的最優(yōu)控制坐標Tab. 4 Optimized control coordinate when M<1 and P>0

由式（13）～式（22）可知，不同OST 的最優(yōu)解有重疊部分，將OST ABCF、BCFE 和BCBE 中的最優(yōu)解進行合并，并通過圖3 將其擴展至全范圍。

其他場合其他OST 下的最優(yōu)控制坐標，均可采用圖3 所示的映射關系得到，在此不再贅述。

3 實驗結果及分析

為了驗證所提基于相平面分析與優(yōu)化方法的正確性與有效性，本文以TMS320F28335 為核心控制系統(tǒng)搭建了基于IGBT 的DAB 變換器實驗樣機，對單移相調制、電流有效值最優(yōu)化調制以及所提基于相平面優(yōu)化調制方法進行對比。實驗樣機主要參數如表5 所示，基于相平面優(yōu)化的控制框圖如圖6所示。其中，Vin和Vout分別為DAB 的輸入電壓和輸出電壓，二者相除得到電壓增益M，Vref為輸出電壓參考值，Vref與Vout之差通過PI 控制器可以得到功率指令P*。在得到了M 和P*之后，可通過表4 計算獲得相平面最優(yōu)控制坐標（α*，φ*1，φ*2）。 為了防止控制坐標的劇烈變化造成的輸出電壓波動，最優(yōu)控制坐標指令先經過一個低通濾波器再進入DAB 的脈寬調制器， 最終將控制指令送到DAB 主電路的開關管驅動。

值得注意的是，由于電流有效值最優(yōu)化的控制參數在中等功率段解析表達式復雜，無法進行數字控制[22]，因此在電流有效值最優(yōu)化的實驗中只進行了開環(huán)實驗。

當輸入電壓Vin=400 V、 輸出電壓Vout=320 V、輸出功率為1.6 kW 時，圖7 給出了DAB 變換器在3 種調制方法下的電壓、電流實驗波形。

表5 DAB 變換器實驗樣機參數Tab. 5 Parameters of experimental prototype of DAB converter

輸出功率增大為6 kW 時，圖8 給出了DAB 變換器在3 種調制方法下的電壓、電流實驗波形。

圖6 基于相平面優(yōu)化的控制框圖Fig. 6 Control block diagram based on phase-plane optimization

圖7 輸出功率為1.6 kW 時3 種調制方法下的電壓、電流實驗波形Fig. 7 Experimental waveforms of voltage and current under three modulation schemes with 1.6 kW output power

圖7 中， 在單移相調制下副邊開關管硬開通，而電流有效值最優(yōu)化調制和相平面優(yōu)化均可實現全部開關管ZVS；在電流有效值和電流應力方面，3種調制方法的電流有效值分別為6.8、3.9 和4.8 A，電流應力分別為13.6、9.6 和10.2 A。 圖8 中，3 種調制方法均可實現全部開關管ZVS；3 種調制方法的電流有效值和電流應力十分接近，電流有效值分別為23.7、23.1 和23.3 A， 電流應力分別為32.3、31.9 和31.7 A。

圖8 輸出功率為6 kW 時3 種調制方法下的電壓、電流實驗波形Fig. 8 Experimental waveforms of voltage and current under three modulation schemes with 6 kW output power

實驗條件為： 輸入電壓Vin=400 V， 輸出電壓Vout=320 V。 變換器在所提控制方法下的動態(tài)實驗波形如圖9 所示。 圖9（a）為輸入電壓突變所對應的動態(tài)過程，Vin由400 V 降低至320 V，Vout為320 V，負載功率為0.6 p.u.，電流應力由23.5 A 下降至20.8 A，Vout的響應時間與電壓波動分別為90 ms 和55 V。 圖9（b）為負載突變所對應的動態(tài)過程，負載功率由0.3 p.u.增大至0.6 p.u.，電感電流應力由15 A 上升至23.5 A，Vout的響應時間與電壓波動分別為104 ms 和63 V。

由于圖6 基于相平面優(yōu)化控制框圖中采用了較為保守的PI 參數，以確保變換器在調節(jié)過程中沒有超調，且最優(yōu)控制坐標指令先經過低通濾波器以避免控制參數的波動，因此，變換器的動態(tài)響應時間相對較長。

當輸出功率由額定負載的10%逐漸增大至滿載時，3 種調制方法的效率、電流有效值、電流應力以及電壓有效值對比分別如圖10（a）～（d）所示。

從圖10 中可以看出， 隨著輸出功率的逐漸增大，3 種調制方法的電流有效值和電流應力都增大，在輸出功率小于0.63 p.u.時，單移相調制由于副邊開關管硬開通、 電流有效值和電流應力大等缺點，導致其效率較低。 相平面優(yōu)化調制雖然在功率較小時效率比電流有效值優(yōu)化調制略低，但是輸出功率大于0.32 p.u.時二者差異已經很小，隨著輸出功率的逐漸增大，3 種調制方法的效率差異不斷減小，效率最高點在輸出功率為0.88 p.u.時由相平面優(yōu)化調制得到，為95.1%。

在電流有效值和電流應力方面，相平面優(yōu)化調制和電流有效值優(yōu)化調制的電流有效值和電流應力接近，都優(yōu)于單移相調制，這點在輸出功率較小時尤為明顯。

圖10 3 種調制方法下運行效率、電流有效值、電流應力以及電壓有效值與輸出功率的關系曲線Fig. 10 Curves of operation efficiency, IRMS, current stress, and VRMS with respect to output power under three modulation schemes

在電感電壓有效值方面，相平面優(yōu)化調制的電感電壓有效值小于電流有效值優(yōu)化調制的電感電壓有效值， 小于單移相調制下的電感電壓有效值，這個結果可以在一定程度上說明相平面優(yōu)化調制具有較小的磁性元件損耗。

4 結論

本文針對DAB 提出了一種基于相平面的優(yōu)化方法。 以DAB 相平面軌跡與坐標軸圍成的面積為目標函數，該目標函數具有表達式簡單、能部分反映DAB 電感電流有效值的優(yōu)點。 對該目標函數采用相對偏導增益法和分而治之的優(yōu)化方法，得到了全范圍優(yōu)化控制坐標。 最后，將所提相平面優(yōu)化調制與單移相和電感電流有效值最優(yōu)化調制進行了對比，結論如下。

（1）本文所提出的相平面優(yōu)化調制方法控制坐標簡單，可以方便地進行數字控制。

（2）除了在極低功率下，相平面優(yōu)化調制與電流有效值優(yōu)化調制具有接近的電流有效值、電流應力和效率，二者均優(yōu)于單移相調制，這點在功率較小時尤為明顯。