喬貴方 萬(wàn) 其 呂仲艷 康傳帥 孫大林 溫秀蘭

(1.南京工程學(xué)院自動(dòng)化學(xué)院, 南京 211167; 2.東南大學(xué)儀器科學(xué)與工程學(xué)院, 南京 210096)

0 引言

近年來(lái)，工業(yè)機(jī)器人在高端制造領(lǐng)域和農(nóng)業(yè)領(lǐng)域的應(yīng)用受到國(guó)內(nèi)外研究機(jī)構(gòu)的關(guān)注[1-3]。為了實(shí)現(xiàn)高精度、低成本、柔性化的加工系統(tǒng)[4]，歐盟于2010—2013年資助 COMET 項(xiàng)目，用于研究工業(yè)機(jī)器人在機(jī)械加工方面的關(guān)鍵技術(shù)。近些年，丁漢院士團(tuán)隊(duì)[1]、廖文和團(tuán)隊(duì)[5]以及邾繼貴團(tuán)隊(duì)[6]重點(diǎn)研究將工業(yè)機(jī)器人應(yīng)用于航天發(fā)動(dòng)機(jī)的葉片智能磨拋?zhàn)鳂I(yè)、航天工業(yè)中鉆鉚/裝配作業(yè)以及制造現(xiàn)場(chǎng)在線測(cè)量等高端制造領(lǐng)域。目前，工業(yè)機(jī)器人重復(fù)定位精度雖能達(dá)到0.01～0.1 mm，但其絕對(duì)定位精度仍為毫米級(jí)。利用視覺(jué)測(cè)量系統(tǒng)反饋實(shí)時(shí)調(diào)節(jié)工業(yè)機(jī)器人的末端位姿能夠提高作業(yè)精度，但影響機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)效率[7-8]。研究表明，采用機(jī)器人標(biāo)定技術(shù)能夠有效地提高工業(yè)機(jī)器人的絕對(duì)定位精度[9]。

機(jī)器人標(biāo)定一般分為關(guān)節(jié)級(jí)標(biāo)定、運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)標(biāo)定與非運(yùn)動(dòng)學(xué)標(biāo)定[10-11]。運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)誤差是影響機(jī)器人作業(yè)精度的主要因素，約占總誤差的80%以上[12]。運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)描述關(guān)節(jié)軸線之間的幾何關(guān)系，如連桿長(zhǎng)度、連桿扭角、關(guān)節(jié)距離、關(guān)節(jié)零位等。在機(jī)器人運(yùn)動(dòng)或載荷變化時(shí)，運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)誤差保持不變，即運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)誤差對(duì)機(jī)器人的所有位形是常數(shù)?；谶\(yùn)動(dòng)學(xué)誤差模型的機(jī)器人標(biāo)定過(guò)程包括建模、測(cè)量、辨識(shí)及補(bǔ)償4個(gè)基本步驟[13]。運(yùn)動(dòng)學(xué)模型應(yīng)具備完整性、連續(xù)性和極小性。目前，機(jī)器人控制器中廣泛使用DH運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，但當(dāng)相鄰兩軸平行或接近平行時(shí)，DH模型存在奇異性[14]。為解決該問(wèn)題，HAYATI等[15]提出了MDH模型，其核心是在DH模型的基礎(chǔ)上添加一個(gè)角度參數(shù)來(lái)描述相鄰平行軸的位置關(guān)系，但該模型在相鄰軸線垂直時(shí)也會(huì)出現(xiàn)奇異狀態(tài)，同樣也不具備完整性。POE模型[16]基于旋量理論的指數(shù)積表達(dá)式提出，該模型滿足完整性、連續(xù)性和極小性。但因目前機(jī)器人控制器主要基于DH模型進(jìn)行正逆解運(yùn)算，故基于POE模型不易于實(shí)現(xiàn)運(yùn)動(dòng)學(xué)誤差補(bǔ)償。按照誤差模型建立的方式，標(biāo)定模型可分為基于位置誤差模型、基于距離誤差模型和基于位姿誤差模型[17-19]，其中基于位姿誤差模型更為完整，得到的機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)模型精度更高，并且全面優(yōu)化了機(jī)器人末端位置和姿態(tài)精度[20]。

本文提出一種基于模型轉(zhuǎn)換的串聯(lián)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)標(biāo)定方法。該方法基于零參考模型建立機(jī)器人的位姿誤差模型，零參考模型(Zero reference model，ZRM)具有完整性和連續(xù)性，從而能夠?qū)崿F(xiàn)高精度的運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)誤差辨識(shí)；為更易于實(shí)現(xiàn)誤差補(bǔ)償，將ZRM的參數(shù)誤差轉(zhuǎn)換成MDH模型的參數(shù)誤差。通過(guò)以上兩步，進(jìn)一步提高工業(yè)機(jī)器人的絕對(duì)定位精度，并易于實(shí)現(xiàn)誤差補(bǔ)償。

1 串聯(lián)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)模型

1.1 機(jī)器人標(biāo)定試驗(yàn)系統(tǒng)

圖1為搭建的機(jī)器人標(biāo)定試驗(yàn)系統(tǒng)。該系統(tǒng)使用Leica AT960型激光跟蹤儀，其測(cè)量不確定度為±(15 μm+6 μm/m)。配套使用的測(cè)量分析軟件為Spatial Analyzer，該軟件提供了擬合幾何體、建立坐標(biāo)系等功能。該系統(tǒng)待標(biāo)定的為Staubli TX60型工業(yè)機(jī)器人，該機(jī)器人重復(fù)定位精度為±0.02 mm，額定負(fù)載為3 kg，最大負(fù)載為5 kg。激光跟蹤儀T-MAC型測(cè)量工具安裝在工業(yè)機(jī)器人末端法蘭盤上，激光跟蹤儀能夠準(zhǔn)確測(cè)量其空間位姿。本文的測(cè)量過(guò)程均符合GB/T 12642—2013及ISO 9283工業(yè)機(jī)器人性能規(guī)范及其試驗(yàn)方法標(biāo)準(zhǔn)[21]。

1.2 基于零參考模型的機(jī)器人正運(yùn)動(dòng)學(xué)

根據(jù)零參考模型的建立原則[22]，建立Staubli TX60型機(jī)器人各連桿坐標(biāo)系如圖2所示。零參考模型中定義了兩個(gè)矢量：①單位方向矢量ui，確定各個(gè)關(guān)節(jié)軸的方向。②位置矢量bi+1，確定各個(gè)關(guān)節(jié)軸的相對(duì)位置。如圖2所示，以機(jī)器人基坐標(biāo)系定義為零參考模型中的參考坐標(biāo)系，從而獲得機(jī)器人零位狀態(tài)下的各個(gè)關(guān)節(jié)沿關(guān)節(jié)旋轉(zhuǎn)軸線的單位方向矢量ui=(uix,uiy,uiz)以及關(guān)節(jié)i-1和關(guān)節(jié)i之間的位置矢量bi=(bix,biy,biz)。

根據(jù)以上定義，Staubli TX60型工業(yè)機(jī)器人的零位置模型名義參數(shù)如表1所示，而機(jī)器人相鄰兩關(guān)節(jié)間旋轉(zhuǎn)變換矩陣表達(dá)式為

表1 TX60型機(jī)器人零參考模型名義參數(shù)Tab.1 ZRM nominal parameters of TX60 robot

(1)

其中

Vi=1-cosqiSi=sinqi

式中qi——關(guān)節(jié)i的角位移

而機(jī)器人相鄰連桿之間的坐標(biāo)系齊次變換矩陣表達(dá)式為

(2)

因此，機(jī)器人的末端位姿在其基坐標(biāo)系中位姿表達(dá)式為

(3)

2 基于ZRM的運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)辨識(shí)

2.1 機(jī)器人誤差模型

建立運(yùn)動(dòng)學(xué)誤差模型是實(shí)現(xiàn)機(jī)器人標(biāo)定的重要步驟之一。將機(jī)器人末端定位誤差定義為實(shí)際位姿測(cè)量值TR與理論位姿值TN差值ΔT。根據(jù)式(3)，將TN對(duì)模型參數(shù)uix、uiy、uiz、b(i+1)x、b(i+1)y、b(i+1)z進(jìn)行偏微分并忽略高階項(xiàng)，可以得到第j個(gè)位姿點(diǎn)的定位誤差為

(4)

其中 Δη=[ΔuixΔuiyΔuizΔb(i+1)x

Δb(i+1)yΔb(i+1)z…]T

[ΔnjΔojΔaj]=ΔRj

式中 Δη——待辨識(shí)的零參考模型參數(shù)誤差

ΔPj、ΔRj——第j個(gè)待測(cè)位姿點(diǎn)的位姿誤差

Prj、nrj、orj、arj——將激光跟蹤儀測(cè)量的位姿轉(zhuǎn)換到機(jī)器人基坐標(biāo)系下的實(shí)際位姿

Pnj、nnj、onj、anj——基坐標(biāo)系下機(jī)器人理論位姿

將式(4)寫成矩陣形式可得

(5)

式中 ΔEj——待測(cè)點(diǎn)位姿誤差

Hj——零參考模型雅可比矩陣

2.2 ZRM參數(shù)冗余性分析及辨識(shí)

由于誤差模型中的誤差雅可比矩陣可能存在線性相關(guān)的問(wèn)題，使運(yùn)動(dòng)學(xué)模型中的某些參數(shù)無(wú)法辨識(shí)，同時(shí)也會(huì)導(dǎo)致優(yōu)化算法的辨識(shí)精度較差。為避免優(yōu)化算法陷入局部極小值，首先分析零參考模型的冗余參數(shù)，將冗余參數(shù)去除。矩陣奇異值分解(SVD)能夠獲得冗余參數(shù)，對(duì)辨識(shí)雅可比矩陣進(jìn)行QR分解[23]，QR分解公式為

(6)

式中Q——r×r正交矩陣

O(r-c)×c——零矩陣

R——c×c上三角矩陣

理論上，在矩陣R對(duì)角線上為0的元素所對(duì)應(yīng)的誤差參數(shù)無(wú)法辨識(shí)。實(shí)際處理時(shí)，可將一些數(shù)值較小的對(duì)應(yīng)元素去除。通過(guò)以上處理，機(jī)器人零參考誤差模型對(duì)應(yīng)的冗余參數(shù)如表2所示。

表2 零參考誤差模型冗余性分析Tab.2 Redundancy analysis of ZRM error model

基于ZRM構(gòu)建的誤差模型為典型的非線性方程，對(duì)于求解非線性方程的最優(yōu)問(wèn)題，目前使用較為廣泛的優(yōu)化算法是Levenberg-Marquardt(LM)算法，根據(jù)文獻(xiàn)[24]可知，LM算法收斂快速穩(wěn)定，計(jì)算復(fù)雜度較小。將式(5)誤差模型改寫為

fj(Δη)=ΔEj-HjΔη

(7)

構(gòu)建LM優(yōu)化算法的目標(biāo)函數(shù)為

(8)

LM算法的遞推公式為

(9)

其中μ是一個(gè)正數(shù)，當(dāng)μ接近于0時(shí)，這個(gè)算法近似于Gauss-Newton算法；當(dāng)μ很大時(shí)，這個(gè)算法近似于最速下降法。

以Staubli TX60型機(jī)器人的基坐標(biāo)系為參考坐標(biāo)，以坐標(biāo)值(550 mm, 0 mm, 550 mm)為中心點(diǎn)，在邊長(zhǎng)為1 000 mm的正方體空間內(nèi)隨機(jī)選擇50個(gè)測(cè)量點(diǎn)，并使這50個(gè)測(cè)量點(diǎn)盡可能分布在整個(gè)正方體空間內(nèi)。根據(jù)式(4)計(jì)算位姿誤差，辨識(shí)得到ZRM模型的參數(shù)誤差如表3所示，標(biāo)定前后的機(jī)器人絕對(duì)定位精度如圖3和圖4所示。標(biāo)定前TX60型機(jī)器人在x、y、z軸上的平均定位誤差分別為0.146 3、0.306 4、0.416 1 mm，標(biāo)定后的TX60型機(jī)器人在x、y、z軸上的平均定位誤差分別為0.034、0.021、0.031 mm，標(biāo)定前TX60型機(jī)器人在x、y、z軸上的平均角度誤差分別為0.000 46、0.001 4、0.000 62 rad，標(biāo)定后的TX60型機(jī)器人在x、y、z軸上的平均角度誤差分別為0.000 62、0.000 67、0.000 79 rad。從以上結(jié)果可以看出，標(biāo)定后的機(jī)器人在3個(gè)軸向上的位置精度均有較大改善，平均綜合定位誤差降低了90.63%。標(biāo)定后的機(jī)器人在y軸向上的姿態(tài)精度有較大改善，并且在3個(gè)軸向上的姿態(tài)精度相對(duì)標(biāo)定前更為均衡，平均綜合姿態(tài)誤差降低了25.08%。

表3 辨識(shí)出的零位置模型參數(shù)誤差Tab.3 Identified parameter error of ZRM model

3 ZRM-MDH模型轉(zhuǎn)換標(biāo)定方法

如圖5、6所示，基于MDH誤差模型標(biāo)定后的機(jī)器人在x、y、z軸上的平均定位誤差分別為0.041 85、0.041、0.054 6 mm，在x、y、z軸上的平均角度誤差分別為0.001 57、0.000 95、0.000 6 rad，可以看出，標(biāo)定后的機(jī)器人在3個(gè)軸向上的位置精度均有較大改善，平均綜合定位誤差降低了85.09%。但基于MDH誤差模型標(biāo)定后機(jī)器人姿態(tài)誤差較大。因此，基于ZRM誤差模型辨識(shí)后的模型精度高于基于MDH誤差模型。由于目前工業(yè)機(jī)器人主要采用DH模型進(jìn)行建模，基于零參考模型所辨識(shí)的參數(shù)無(wú)法直接用于機(jī)器人誤差補(bǔ)償。因此，本文提出一種基于ZRM-MDH模型轉(zhuǎn)換的標(biāo)定方法，能夠?qū)崿F(xiàn)高精度的運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)辨識(shí)。

圓點(diǎn)分析法(Circle point analysis，CPA)是一種通過(guò)測(cè)量工業(yè)機(jī)器人關(guān)節(jié)軸線進(jìn)行標(biāo)定的技術(shù)[25]，通過(guò)獲取關(guān)節(jié)軸線的方向向量計(jì)算工業(yè)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型參數(shù)。ZRM直接給出在參考坐標(biāo)系下關(guān)節(jié)旋轉(zhuǎn)軸線的單位方向矢量，因此，可將ZRM誤差模型計(jì)算得到的運(yùn)動(dòng)學(xué)誤差通過(guò)CPA方法轉(zhuǎn)換為DH模型的運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)誤差。根據(jù)獲得的ZRM運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)對(duì)機(jī)器人的各關(guān)節(jié)建立坐標(biāo)系，如表4所示。

表4 基于ZRM的坐標(biāo)系定義Tab.4 Definition of coordinate frame based on ZRM

根據(jù)以上建立的坐標(biāo)系，計(jì)算被標(biāo)定的機(jī)器人MDH參數(shù)，計(jì)算過(guò)程如下：

首先判斷相鄰關(guān)節(jié)軸線Zi-1與Zi是否近似平行，若|Zi-1-Zi|≤0.000 1，則認(rèn)為相鄰關(guān)節(jié)軸線近似平行。

當(dāng)相鄰關(guān)節(jié)軸線不近似平行時(shí)，則βi=0，Xi-1與Xi之間在繞Zi-1正向上的夾角為

(10)

式中Xi——關(guān)節(jié)坐標(biāo)系i的X軸軸向單位矢量

Oi-1與Oi之間在Xi正向上的距離為

(11)

式中Oi——關(guān)節(jié)坐標(biāo)系i原點(diǎn)坐標(biāo)矢量

Oi-1與Oi之間在Zi-1正向上的距離為

(12)

Zi-1到Zi之間繞Xi正向上的夾角為

(13)

當(dāng)相鄰關(guān)節(jié)軸線近似平行時(shí)，則di=0，Xi-1與向量lOi-1Oi間在繞Zi-1正向上的夾角為

(14)

Oi-1與Oi之間的距離為

ai=|Oi-Oi-1|

(15)

Zi-1到Zi之間繞Xi正向上的夾角為

(16)

其中Yi-1=li×Zi-1Yi=Xi×Zi

Zi-1到Zi之間繞Yi正向上的夾角為

(17)

但因零參考模型中的參考坐標(biāo)系和DH模型中的基坐標(biāo)系無(wú)法通過(guò)以上步驟進(jìn)行統(tǒng)一，因此，在以上計(jì)算得到的參數(shù)誤差基礎(chǔ)上，添加基坐標(biāo)系修正矩陣，該矩陣為

(18)

根據(jù)模型轉(zhuǎn)換后的殘余誤差，通過(guò)LM算法擬合修正矩陣的參數(shù)，該矩陣如表5所示。隨機(jī)選擇40個(gè)定位點(diǎn)作為測(cè)試點(diǎn)，分別經(jīng)過(guò)基于MDH誤差模型標(biāo)定，基于ZRM誤差模型標(biāo)定以及基于ZRM-MDH模型轉(zhuǎn)換方法，標(biāo)定結(jié)果如圖7所示。由圖7可以看出，3種方法均能夠?qū)崿F(xiàn)高精度的運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)標(biāo)定，其中基于MDH誤差模型標(biāo)定后的機(jī)器人平均綜合定位誤差為0.081 mm，基于ZRM誤差模型標(biāo)定后的機(jī)器人平均綜合定位誤差為0.052 mm，而經(jīng)過(guò)ZRM-MDH模型轉(zhuǎn)換后的機(jī)器人平均綜合定位誤差為0.062 mm，相對(duì)于基于MDH誤差模型的平均綜合定位誤差降低了23.5%。

表5 基于MDH模型與基于ZRM-DH模型轉(zhuǎn)換的辨識(shí)結(jié)果對(duì)比Tab.5 Comparison of identification results of MDH model based and ZRM-DH model transformation based calibrations

為了進(jìn)一步驗(yàn)證結(jié)果的正確性，分別在TX60型機(jī)器人前側(cè)工作區(qū)域內(nèi)的上下左右中5個(gè)方位分別選擇5個(gè)邊長(zhǎng)為500 mm的小正方體，在每個(gè)正方體內(nèi)隨機(jī)選取50個(gè)測(cè)量點(diǎn)，5個(gè)區(qū)域的測(cè)量點(diǎn)分布圖如圖8所示，計(jì)算結(jié)果如圖9所示。由圖9可以看出，基于MDH誤差模型辨識(shí)得到運(yùn)動(dòng)學(xué)模型在各個(gè)區(qū)域內(nèi)的誤差穩(wěn)定性相對(duì)較差，平均綜合定位誤差為0.132 mm，而基于ZRM-MDH模型轉(zhuǎn)換所獲得的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型誤差穩(wěn)定性相對(duì)較好，平均綜合定位誤差為0.099 mm，平均綜合定位誤差降低25%。因此，本文提出的基于ZRM-MDH模型轉(zhuǎn)換的機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)辨識(shí)方法具有較好的標(biāo)定效果。

4 結(jié)束語(yǔ)

針對(duì)串聯(lián)工業(yè)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)標(biāo)定問(wèn)題，提出了一種基于ZRM-MDH模型轉(zhuǎn)換的機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)標(biāo)定方法。該方法首先利用零參考模型對(duì)串聯(lián)工業(yè)機(jī)器人進(jìn)行標(biāo)定，然后基于圓點(diǎn)分析法將零參考模型轉(zhuǎn)換成MDH模型。在TX60型機(jī)器人前側(cè)工作區(qū)域內(nèi)任意選擇50個(gè)測(cè)量點(diǎn)，實(shí)施運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)誤差標(biāo)定。實(shí)驗(yàn)表明，基于MDH模型標(biāo)定后的機(jī)器人平均綜合定位誤差為0.081 mm，而經(jīng)過(guò)ZRM-MDH模型轉(zhuǎn)換后的機(jī)器人平均綜合定位誤差為0.062 mm，TX60型機(jī)器人的平均綜合定位誤差降低了23.5%。為驗(yàn)證標(biāo)定方法的穩(wěn)定性，在TX60型機(jī)器人前側(cè)工作區(qū)域內(nèi)選擇5個(gè)區(qū)域?qū)嵤┻\(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)誤差標(biāo)定，結(jié)果表明，基于ZRM-MDH模型轉(zhuǎn)換獲得的標(biāo)定精度穩(wěn)定性相對(duì)較好。本文提出的基于ZRM-MDH模型轉(zhuǎn)換的機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)標(biāo)定方法既能夠直接獲得機(jī)器人DH參數(shù)，易于實(shí)現(xiàn)機(jī)器人誤差補(bǔ)償，又能夠有效地提升機(jī)器人的標(biāo)定精度。