李榮華　常秦　呂煒　苑錚

【摘要】本文結(jié)合作者多年的教學(xué)體會，對概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程的教學(xué)進行研究與探索。研究與探索的主要方法：①采用解剖法吸引學(xué)生對概率論與數(shù)理統(tǒng)計產(chǎn)生興趣;②抓好每節(jié)課的教學(xué)細節(jié)，細節(jié)決定成敗;③對每節(jié)課的難點分化于形，作者側(cè)重于使用導(dǎo)圖予以引導(dǎo);④重在數(shù)學(xué)思維能力培養(yǎng)，通過六大過程予以展現(xiàn)。

【關(guān)鍵詞】概率論與數(shù)理統(tǒng)計教學(xué)? 古典概率? 隨機變量? 分布函數(shù)

【Abstract】Based on the authors years of teaching experience， this paper studies and explores the teaching of probability theory and mathematical statistics. The main methods of research and exploration are：①using the method of anatomy to attract students interest in probability theory and mathematical statistics; ②grasping the teaching details of each lesson， the details determine success or failure; ③the difficulties of each lesson are divided into shapes， and the author focuses on using maps to guide them; ④the focus on the cultivation of mathematical thinking ability and show it through six processes.

【Keywords】probability theory and mathematical statistics teaching; classical probability; random variables; distribution function

【基金項目】中國石油大學(xué)（華東），2020年8月31日，青年教師教學(xué)指導(dǎo)團隊建設(shè)的研究與實踐，QT-202002。

【中圖分類號】G4;O13 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2021）08-0081-03

概率論與數(shù)理統(tǒng)計是研究隨機現(xiàn)象及其統(tǒng)計規(guī)律的一門學(xué)科，概念深奧，方法獨特。概率論與數(shù)理統(tǒng)計不僅是數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)、信息與計算科學(xué)、統(tǒng)計學(xué)等專業(yè)的必修課，還是很多工科及經(jīng)濟等專業(yè)的必修課。概率論與數(shù)理統(tǒng)計不僅是很多專業(yè)的學(xué)科基礎(chǔ)知識，而且還是全國碩士研究生入學(xué)（一、三）考試必考內(nèi)容。因此對于高校數(shù)學(xué)教師，如何上好概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程就顯得十分重要。本文結(jié)合作者多年的教學(xué)體會，僅就概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程中的教學(xué)（以開場白、古典概率、隨機變量和分布函數(shù)、一元線性回歸分析為例）進行研究與探索，希望有助于概率論與數(shù)理統(tǒng)計教學(xué)水平的提高。

一、引人入勝的開場白是使學(xué)生對概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程產(chǎn)生興趣的關(guān)鍵

第一堂課除了闡述本課程的教學(xué)目的（培養(yǎng)目標）、學(xué)習(xí)本課程的原因（重要性）、課程的特點及發(fā)展簡史外，還使用解剖法引入概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程的研究對象及其基本概念。概率論顧名思義就是概率的理論。所謂理論就是系統(tǒng)性、科學(xué)性、規(guī)律性的知識，譬如概率論與數(shù)理統(tǒng)計中的性質(zhì)、定理、計算公式等都屬于理論的范疇。故概率論就是有關(guān)概率的系統(tǒng)性、科學(xué)性、規(guī)律性知識。那什么是概率呢？從個人理解的角度，通俗地講概率就是未來某個時刻不確定狀態(tài)發(fā)生的可能性大小，它包含三層含義：①大小就是數(shù)（量），就是一個值，求概率就是求一個數(shù)值。②未來時刻就是相對于現(xiàn)在時刻t，時刻T（T >t）就是未來。任何人都有過去、現(xiàn)在和未來，因此概率論的研究對象是著眼于未來的，與高等數(shù)學(xué)、線性代數(shù)等大學(xué)課程的研究對象明顯不同。③不確定狀態(tài)就是可能發(fā)生也可能不發(fā)生的狀態(tài)，就有隨機性或者不確定性。那如何描述不確定狀態(tài)？這就是隨機現(xiàn)象。隨機現(xiàn)象就是概率論與數(shù)理統(tǒng)計的研究對象。那什么是隨機現(xiàn)象呢？隨機現(xiàn)象就是可能發(fā)生也可能不發(fā)生的自然現(xiàn)象。隨機現(xiàn)象和必然現(xiàn)象是相對的，是大自然中現(xiàn)象的兩類不同形式，故進而指出學(xué)習(xí)概率論與數(shù)理統(tǒng)計的方法肯定異于高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)方法，先前的那些學(xué)習(xí)方法肯定不能一股腦兒搬到概率論與數(shù)理統(tǒng)計學(xué)習(xí)上來，學(xué)好概率論與數(shù)理統(tǒng)計就要從基礎(chǔ)知識入手，慢慢培養(yǎng)概率論與數(shù)理統(tǒng)計學(xué)習(xí)方法、學(xué)習(xí)思維方式。通過定義隨機現(xiàn)象，逐步引入概率論與數(shù)理統(tǒng)計的基本概念，如隨機試驗、樣本空間、隨機事件、隨機事件的關(guān)系與運算、隨機事件的運算規(guī)律，概率論與數(shù)理統(tǒng)計的知識就在不知不覺中逐漸展現(xiàn)在學(xué)生面前。概率論解剖法思維導(dǎo)圖如圖1所示。

二、細節(jié)決定成敗

吸引學(xué)生產(chǎn)生興趣之后，每節(jié)課的細節(jié)就決定學(xué)生學(xué)習(xí)質(zhì)量的高低。古典概率（也稱等可能概率）是概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程中一種特殊的概率，也是本課程中的重要一節(jié)。古典概率在高中曾學(xué)過，在大學(xué)里如何講解古典概率呢？概率論的內(nèi)容主要包括概率的定義、性質(zhì)及計算方法。概率的定義分為統(tǒng)計性定義和公理化定義。概率統(tǒng)計性定義就是隨機試驗次數(shù)越來越多，隨機事件發(fā)生頻率的極限值定義為概率。概率公理化定義就是定義在事件域上滿足非負性、規(guī)范性和可列可加性的函數(shù)稱為概率（測度）。這樣定義的概率具有一系列的性質(zhì)。概率的定義并沒有給出計算具體概率的方法，而概率的性質(zhì)只是給出計算抽象概率的方法。對于概率的計算方法，我們分為九類（種），古典概率法就是其中的一種。所以古典概率法是第一種具體計算概率的方法，也是計算概率最基礎(chǔ)的方法[1]。古典概率法包括引入、古典試驗、古典概率的計算公式、排列組合預(yù)備知識、實例。古典概率法位于概率的公理化定義及性質(zhì)章節(jié)之后，是利用公式來計算概率值的第一種方法。先通過投擲硬幣和骰子的樣本空間找到它們的共性，然后引入古典試驗的定義（有限性和等可能性）;然后根據(jù)隨機事件是樣本空間的子集，給出隨機事件的枚舉表達，最后利用等可能性，導(dǎo)出古典概率的計算公式P（A）=n（A）/n（Ω）。對于古典概率計算公式，特別強調(diào)：①n（A），n（Ω）必須是基于同一個試驗或同一個樣本空間;②計算n（A），n（Ω）要用到排列組合的知識及其加法定理、乘法定理;③古典概率公式看似簡單，而n（A），n（Ω）有時計算卻很難，因此古典概率的計算并不像其公式那樣容易給出，故學(xué)生只需掌握較簡單的古典概率計算即可。古典概率公式是法國數(shù)學(xué)家拉普拉斯在1812年《分析概率論》中提出的，僅適用于古典概率的計算。在例題中著重講解5到7個有放回的和無放回的摸球模型，至于分房問題、生日問題和配對問題視情況自行處理。學(xué)好古典概率，對于以后各章節(jié)的學(xué)習(xí)起著非常重要的作用，因為無論后續(xù)的條件概率、全概率公式還是分布函數(shù)，都要用到古典概率。概率計算思維導(dǎo)圖如圖2所示。

三、難點分化于（圖）形

每節(jié)課都有自己的重難點。對于知識難點，筆者側(cè)重于使用導(dǎo)圖予以引導(dǎo)。隨機變量和分布函數(shù)是概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程的最基本概念，是概率論與數(shù)理統(tǒng)計區(qū)別于其他課程的獨有概念，也是學(xué)生很難理解的兩個概念。隨機變量和分布函數(shù)是一對“孿生兄弟”，兩者相互依存。有一個隨機變量，一定存在一個分布函數(shù)，但反之不成立，即一個分布函數(shù)可能對應(yīng)兩個不同的隨機變量。隨機變量的重要性在于它把隨機現(xiàn)象的研究轉(zhuǎn)化為數(shù)（字）的研究，而分布函數(shù)重要性在于它完成刻畫了隨機變量取值的統(tǒng)計規(guī)律性，利用高等數(shù)學(xué)知識可以求解概率。通過圖2我們知道，隨機變量是通過概率的第九種計算方法所引入的。那在實際授課中，如何引入隨機變量這個概念呢？隨機現(xiàn)象的所有可能結(jié)果定義為樣本空間，樣本空間的元素有時不是數(shù)值，而我們從小到大跟數(shù)字一直打交道，怎么將我們遇到的不是數(shù)值的樣本空間這個新問題轉(zhuǎn)化為我們熟悉的數(shù)字去處理，怎么在隨機現(xiàn)象和數(shù)字之間建立起某種聯(lián)系？隨機變量就是這樣一座架在隨機現(xiàn)象和數(shù)字之間的橋梁，通俗地講它就是高等數(shù)學(xué)中常講的函數(shù)。隨機變量是定義在樣本空間上的可測函數(shù)（或變換），與其他函數(shù)的區(qū)別在于它對應(yīng)著一個分布函數(shù)，而其他函數(shù)沒有所謂對應(yīng)的分布函數(shù)之說。通過隨機變量，隨機現(xiàn)象的研究可以轉(zhuǎn)化為數(shù)字的研究，隨機事件也可以通過隨機變量來表達。分布函數(shù)是一個定義在實數(shù)軸上取值于[0，1]的普通函數(shù)。通過隨機變量和分布函數(shù)，概率值的計算就轉(zhuǎn)化為求和或定積分的問題，從而可以利用已學(xué)過的數(shù)學(xué)分析知識來求解概率值，故這種方法稱為隨機變量法，或分布函數(shù)法，或數(shù)學(xué)分析法[2]。隨機變量分為一維隨機變量和多維隨機變量，主要內(nèi)容包括隨機變量引入;隨機變量定義;如何理解隨機變量。關(guān)于分布函數(shù)，主要講解分布函數(shù)定義，分布函數(shù)性質(zhì)、分布函數(shù)的意義。隨機變量和分布函數(shù)的思維導(dǎo)圖如圖3所示。

四、重在培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維能力

學(xué)好概率論與數(shù)理統(tǒng)計，關(guān)鍵在于數(shù)學(xué)思維能力培養(yǎng)。數(shù)學(xué)思維能力主要通過如下六個方面體現(xiàn)：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運算、數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)建模。以一元線性回歸分析為例，闡述上面六大能力的培養(yǎng)。一元線性回歸分析的講解一般首先給出兩個引例。引例1：考查某物體做勻速直線運動的規(guī)律。引例2：設(shè)某化學(xué)反應(yīng)過程的得率y與該過程的溫度x有關(guān)，現(xiàn)做了10次測量，數(shù)據(jù)為（38，20.4），（43，20.9），（49，22.5），（54，23.0），（60，24.2），（66，24.3），（71，26.2），（77，26.6），（82，28.0），（88，28.9），試研究兩者之間的變化規(guī)律。

通過這兩個引例，我們得到一元線性回歸分析模型y=a+bx+ε。一元線性回歸分析模型就是不管這兩個引例的具體問題背景如何而抽象出兩者共有的本質(zhì)的東西，這種思維過程就是數(shù)學(xué)抽象。

對于一元線性回歸分析模型y=a+bx+ε，在噪音項ε服從正態(tài)分布條件下，利用題目所給的10次觀測值，構(gòu)造誤差平方和函數(shù)，通過最小二乘法，求得回歸系數(shù)a，b的估計值a，b。這種思維過程就是邏輯推理[3]。

對于引例2，將所給的觀測值在二維平面上畫出其散點圖。通過散點圖，我們讀出變量x，y之間近似存在某種線性關(guān)系。這種思維過程就是直觀想象。

對于我們建立的一元線性回歸分析模型是對還是錯，在數(shù)理統(tǒng)計中歸結(jié)為回歸系數(shù)b=0是否成立的問題。為了檢驗零假設(shè)H0：b=0，我們需要將總誤差平方和分解為回歸平方和和殘差平方和，然后構(gòu)造F統(tǒng)計量來實現(xiàn)，這種思維過程就是數(shù)據(jù)分析。

從回歸系數(shù)a，b的推導(dǎo)，到零假設(shè)H：b=0檢驗，數(shù)學(xué)運算無處不在。

一旦一元線性回歸模型檢驗通過，我們就可以利用一元線性回歸過程進行預(yù)測，從而為實際問題解決提供建議和途徑，整個數(shù)學(xué)建模過程終結(jié)。

特別強調(diào)的是，在講課過程中，這六個方面大部分是相互交叉的，很少單獨出現(xiàn)。

參考文獻：

[1]趙魯濤主編，概率論與數(shù)理統(tǒng)計教學(xué)設(shè)計[M].北京：機械工業(yè)出版社，2015.

[2]李榮華，丁永臻，陳曉林.概率論與數(shù)理統(tǒng)計[M].東營：中國石油大學(xué)出版社，2018.

[3]茆詩松，程依明，濮曉龍.概率論與數(shù)理統(tǒng)計教程[M].北京：高等教育出版社，2011.

作者簡介：

李榮華（1964年-），男，漢族，山東東營人，中國石油大學(xué)（華東）教授，博士，一直從事數(shù)學(xué)的教學(xué)與研究。