鄧 亮

(清華大學(xué)科學(xué)技術(shù)史暨古文獻(xiàn)研究所，北京 100084)

籌算是以算籌為算具來進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算和演算的方式與方法。由于籌算大約在明代時已經(jīng)退出實際的數(shù)學(xué)計算，因此除了部分?jǐn)?shù)學(xué)典籍的介紹外，尚未發(fā)現(xiàn)有傳世算籌存世。自20世紀(jì)50年代以來，考古發(fā)掘中陸續(xù)出現(xiàn)多批算籌實物，且大多是戰(zhàn)國、秦漢時的墓葬陪葬品，由此對古代算籌的形制有了更多直觀的感受。

目前最早的出土算籌實物，是1954年6月湖南長沙左家公山發(fā)掘的一座戰(zhàn)國晚期木槨墓葬中出土的一批算籌，“計40根，長短一致，每根長12公分”[1]，但當(dāng)時的出土報告稱之為竹簽。發(fā)掘報告刊出后，很快引起數(shù)學(xué)史家的關(guān)注，比如數(shù)學(xué)史家嚴(yán)敦杰在1956年出版的《中國古代數(shù)學(xué)的成就》一書中指出出土的竹簽就是算籌。

影響最大的出土算籌是千陽算籌。1971年8月，陜西千陽縣171工地西漢墓出土的31根骨算籌，由數(shù)學(xué)史家參與整理(1)此文在2019年10月13日“紀(jì)念祖沖之誕辰1590周年國際學(xué)術(shù)會議”上作過報告。會后得到郭書春先生指點，稱千陽算籌出土?xí)r，發(fā)掘人員最初也不知為何物，幸有一位高中數(shù)學(xué)教師在場，把玩之下認(rèn)為應(yīng)該是算籌，由此層層反映至國家文物局，進(jìn)而數(shù)學(xué)史家梅榮照先生親臨現(xiàn)場，參與分析，最終“出土算籌”得以確認(rèn)并發(fā)布。，首次以“出土算籌”予以公布。這些算籌被裹在一絲絹囊內(nèi)，系在死者腰部，與帶鉤同出于男骨架腰胯部?；I為獸骨質(zhì)，大多斷殘。經(jīng)粘接修補(bǔ)后，計有完好者21根，不能對接起來的10 根。每根籌棍兩端齊正，粗細(xì)大致均勻。算籌長度為12.6—13.8厘米，大多為13.5厘米，直徑0.2—0.4厘米，一般為0.3 厘米。算籌上磨制痕跡猶在[2]。千陽算籌的出土，在當(dāng)時被認(rèn)為是在考古工作中第一次發(fā)現(xiàn)的算籌實物，具有重大意義。由此，之前出土的左家公山竹簽、北宋村骨條被認(rèn)定為算籌，此后關(guān)于算籌出土的報道漸多。

1980年河北石家莊西南郊振頭村北東漢墓出土骨質(zhì)算籌兩把，一把13根，一把17根，現(xiàn)保存完整者9根，殘1根。橫截面呈方形，方約0.4厘米，均勻，齊正，有光澤。完整者長7.8—8.9厘米，其中8.9 厘米的2根，8.6、8.5、8.3、8.2、8.1、7.8厘米的各1根，長短差1.1 厘米。數(shù)學(xué)史家梅榮照、郭書春也親臨現(xiàn)場，并做了認(rèn)定與分析。盡管沒有文獻(xiàn)記載，研究者結(jié)合千陽算籌長短差1.2厘米，推想算籌長短不齊的現(xiàn)象并非偶然。因為用這種算籌可以擺出高度基本一致的縱式數(shù)字，使得布算整齊，減少錯亂。同時指出，這種看法尚需出土更多的算籌來驗證[3]。

對于出土算籌的綜合整理考述，主要有王青建的《試論出土算籌》[4]、張沛的《出土算籌考略》[5]和田鳴、周理遠(yuǎn)的《中國古代算籌的考古發(fā)現(xiàn)與研究》[6]3篇論文，對于出土算籌的年代、出土地點、形態(tài)、材質(zhì)、用途等方面做了描述，前兩者均有列表統(tǒng)計。除田鳴一文中提及北大秦簡外，3篇文章所介紹算籌的出土?xí)r間，均是自1954年左家公山戰(zhàn)國墓至1986年甘肅天水放馬灘秦墓。其中王青建文中介紹了15批，張沛文中介紹了17批，田鳴文中介紹了16批(另有清代納白爾算籌和民國改造算籌2批不計在內(nèi))，前兩文均提及者11批，田鳴文中新增信息5批。

但此后的30余年間，陸續(xù)有算籌出土。又由于近年各類數(shù)據(jù)庫的出現(xiàn)，資料查閱更增便利，一些1986年前已出土算籌的信息得以檢索出來。筆者查閱《文物》《考古與文物》《中國考古學(xué)年鑒》等刊物上發(fā)表的相關(guān)考古發(fā)掘簡報或研究、相關(guān)考古成果專著或網(wǎng)絡(luò)文獻(xiàn)，發(fā)現(xiàn)30余批新的出土算籌信息，因此就這一論題作一點新的增補(bǔ)。

1 新增出土算籌簡述

1954年10月，內(nèi)蒙古赤峰縣大營子第一號遼墓出土骨籌94枚，出青瓷盌中，長12.4厘米，徑0.3厘米。此墓下葬時間為遼應(yīng)歷九年(959)，墓主為遼駙馬[7]。

1965年，湖南韶山灌區(qū)湘鄉(xiāng)74號東周晚期墓出土銅牌一疊，簡報稱很可能是算籌，約 60片，每片長9厘米，寬3厘米，厚0.1厘米[8]。

1973年12月—1974年3月，陜西寶雞扶風(fēng)縣呂宅村漢墓出土條狀鉛器若干，疑為算籌，長短不一，3—11厘米，寬0.4厘米，厚0.2厘米[9]。

1974年—1978年間，河北平山縣中山王墓出土了兩批算籌。其中，中山成公陪葬墓出土了一捆算籌，45根，材質(zhì)為獸骨。算籌經(jīng)磨制光滑，細(xì)長圓棍狀，多呈淡黃色，少數(shù)發(fā)白或呈淡青色[10]。中山王舋(音“錯”)墓出土玉算籌7根，長條形，呈白色或灰綠色。長短不一，長算籌3根，長4.25厘米，寬0.4厘米，厚0.2厘米；短算籌4根，長3.15厘米，寬0.4厘米，厚0.2厘米。每根算籌一側(cè)刻出凹口，凹口刻記的位置距離相同，中點間距1.15厘米。將7根算籌疊在一起使一端平齊，各道刻度可連成一線[11]。

1975年10月—11月，湖北江陵鳳凰山167號西漢初期墓出土竹算籌一袋[12]。

1976年4月，湖北襄陽蔡坡12號戰(zhàn)國墓出土籌式玉器[13]。

1977年3月—1978年10月，山東曲阜魯國故城M3、M52、M51三墓出土博具三組，其中M3包括玉方籌、象牙方籌各6個，筷形牙籌和筷形銀籌各一束。M52包括白石、青玉方籌各6個，筷形牙籌和銀籌各一束[14]。田鳴文中有所提及，信息不全，未附來源。

1977年至1978年，陜西岐山縣鳳雛村西周早期大型宮室建筑基址西廂2號房間的H11和H31兩個窖穴出土了959枚圓柱形骨角器，同時出土的有卜甲和卜骨17000余片。當(dāng)時并不明確這些骨角器的用途。后來劉亮經(jīng)過深入考證研究，認(rèn)為是西周早期周王室用來演算周易的一套工具，應(yīng)是蓄草的更新物和替代物，周初的角質(zhì)算籌[15]。這些算籌大部分被火燒發(fā)黑，有的一端呈圓錐形，有的兩端均呈圓錐形。一般長度在1.3—2.5厘米，徑0.5—0.8厘米之間。

1980年春，內(nèi)蒙古烏蘭察布盟卓資縣碌碡平鄉(xiāng)忽洞壩村一座遼代古墓出土20根象牙算籌。這套象牙算籌，長條形，兩頭梢細(xì)，中間略粗，其中7根長11厘米、粗0.4厘米，5根長12厘米、粗0.5厘米，8根長13厘米、粗0.4厘米。這也是北方游牧民族墓葬中的首次發(fā)現(xiàn)，異常珍貴[16]。此處算籌，田鳴文中提及，但未及細(xì)節(jié)信息。

1981年5月—1989年底，湖北江陵縣九店東周墓出土竹算籌[17]。

1983年6月，廣州北部象崗山上的第二代南越王墓出土一組象牙算籌。這組象牙算籌出于一漆盒內(nèi)，但出土?xí)r已經(jīng)全碎，部分已壓成粉末狀。從現(xiàn)狀觀察，算籌在盒內(nèi)堆置三層到四層，總數(shù)約200支，呈細(xì)長條形，殘長12—13厘米[18]。

1983年9月，內(nèi)蒙古巴林左旗白音敖包遼代中晚期墓中出土算籌53枚[19]。

1984年3月，江蘇省句容市春城鎮(zhèn)南朝宋元嘉十六年墓(439)出土木算籌18根，圓棍狀，長29厘米，兩端徑0.5—0.75厘米，中部徑0.4—0.5厘米。整體涂清漆，兩端大約長2.5厘米部分涂朱漆，現(xiàn)呈絳紫色。兩段涂朱漆部位稍粗[20]。

1986年，湖北荊州江陵縣岳山36號秦墓出土竹算籌一束，稱為標(biāo)籌，58支，長15厘米，徑0.4厘米[21]。

1986年底至1987年初，安徽霍山縣1號西漢前期木槨墓出土竹算籌47根，竹簽狀，長15.5厘米，上端寬0.2厘米，厚0.1 厘米[22]。與木骰同出，發(fā)掘報告稱可能是六博籌。

1986年12月后，江蘇邗江楊壽鄉(xiāng)寶女墩105號新莽墓土木算籌18根[23]。

1988年1月，安徽合肥北宋馬紹庭夫妻合葬墓出土木籌碼一束，長短、粗細(xì)不一，最長約為10厘米。下葬時間為宋徽宗時期[24]。

1988年，內(nèi)蒙古烏蘭察布盟涼城縣北營子18號西漢晚期墓出土骨算籌一套，已殘，細(xì)圓棍狀，長10 厘米[25]。

1990年12月，江蘇東陽小云山1號漢墓出土銀算籌約20根，長條狀，殘長14—18厘米，寬0.5厘米，厚0.2厘米[26]。

1991年12月—1992年4月，安徽天長三角圩M19西漢墓出土銀質(zhì)籌碼18件，長22.8厘米，寬0.4厘米，厚0.2厘米。與六博盤同出，為博籌[27]。

1992年秋，安徽潛山彭嶺M32戰(zhàn)國晚期墓出土竹籌碼[28]。

1993年，江蘇東?？h尹灣村6號漢墓，出土算籌一囊，西漢晚期成帝時，墓主為東?？さ墓倮魩燄?。陪葬清單“君兄繒方緹中物疏”中有“筭及衣二”，校注中提及“墓中出土算籌一囊，與之相符”[29]。

1993年3月，湖北江陵王家臺15號秦墓出土骨-竹算籌60支，細(xì)長圓柱形，長62.5厘米，徑0.4厘米。一端為骨制，另一端為竹制，竹制一端均用絲線纏繞，外涂紅漆。出土?xí)r置于一竹筒內(nèi)，竹筒長67.5厘米，徑5.6 厘米?？脊艌蟾娣Q其為占卜用具[30]。

1993年6月，湖北荊州周家臺M30秦墓出土竹算籌25支，長12.2厘米，徑0.25厘米，形制相同，均棍形，削制[31]。

1995年8月—1996年1月，江蘇徐州東甸子西漢墓出土鐵算籌一組，圓柱狀，上面均纏有絲織品，徑0.2厘米[32]。

1997年5月，山東臨沂銀雀山西漢墓出土銀算籌3根，色灰白，已變粉末狀，僅余內(nèi)里銀芯，長1.3厘米，寬0.5厘米，厚0.2厘米[33]。

1999年5月，在遼寧省阜新市彰武縣葦子溝鄉(xiāng)朝陽溝遼墓二號墓出土骨算籌25支，僅1支殘半，其余完整，斷面呈方形，長短不一，介于12—12.7厘米之間[19]。

1999年，陜西西安市北郊30號漢墓出土骨質(zhì)算籌10枚?？脊藕唸蟾鶕?jù)有算籌陪葬，推測墓主職位或與籌算相關(guān)[34]。

2000年，湖北隨州市孔家坡8號漢墓出土算籌，但發(fā)掘簡報未標(biāo)有算籌。下葬時間為漢高祖十二年(前195)，同墓出土數(shù)術(shù)簡703枚，歷譜簡78枚[35]。

2000年5月—10月，河北黃驊市海豐鎮(zhèn)金代遺址考古發(fā)掘中，也有算籌出土[36]。

2001年7月，廣西合浦縣九只嶺東漢后期墓出土竹算籌9根，長約19.5厘米[37]。

2004年10月，河北容城縣東漢墓出土骨算籌[38]。

2006年4月，江蘇徐州后山西漢墓M1(上)出土錫算籌一組，殘存約 8 根，細(xì)長條狀，截面呈長方形，長 20厘米，寬0.4厘米，厚0.2厘米[39]。

2006年6月，江蘇徐州黑頭山劉慎墓骨算籌2組，每組原應(yīng)捆扎成一束，單枚算籌為細(xì)的圓棒形，骨質(zhì)，上髹紅褐色漆，均殘斷。標(biāo)本 M1∶3- 3殘長7.6厘米，徑0.3厘米[40]。

2007年，安徽含山凌家灘遺址M23大墓，出土3件玉龜及5根“玉簽”。玉簽上有兩道刻痕，應(yīng)是作為占卜使用的[41]。

2016年11月，北京通州后北營村東漢墓出土骨質(zhì)算籌26根。這些算籌長短不一，是由動物肢骨磨制，保存完好[42]。這次出土算籌的考古發(fā)掘及認(rèn)定，數(shù)學(xué)史家馮立昇也參與其事。另在這一新聞的報道中提及，在1974—1975年北京豐臺區(qū)大葆臺西漢墓中也有少量出土。

對于1986年前出土的算籌，王青建、張沛、田鳴等均著錄過一部分。本文加入新整理的出土算籌，賡續(xù)前者，作附表。

根據(jù)此表，西周以前疑似算籌2批，東周時期11批，秦代7批，兩漢、新莽時期37批，南北朝1批，宋遼金元時期7批。從出土地域看，湖北11批，陜西9批，河北8批，江蘇5批，湖南4批，安徽4批，內(nèi)蒙古4批，山西2批，山東2批，北京1批，河南1批，廣西1批，甘肅1批，廣東1批，遼寧1批。由此可以看出，出土算籌主要出現(xiàn)在秦漢及以前，唐朝未見出土，宋元時期則有7批，或與當(dāng)時數(shù)學(xué)高度發(fā)展有關(guān)。而且出土文物的地點也相對集中，北方居多。為何出現(xiàn)這樣的現(xiàn)象，需要進(jìn)一步討論。

此外，算籌在出土的同時又有數(shù)學(xué)著作出土，可以明確為數(shù)學(xué)計算所用的算籌也有兩起。其一為1983年12月至1984年1月湖北江陵(今荊州市荊州區(qū))張家山247號漢墓(公元前187—157)中出土的一捆算籌。同時還出土了一批數(shù)學(xué)竹簡，約有200支完好，共計約7000字，因其中一支竹簡背面刻有“算數(shù)書”三字而定名為《算數(shù)書》。其二為北大秦簡算籌。北京大學(xué)收藏的秦簡牘中，與數(shù)學(xué)相關(guān)者占比最大，計400余枚，分屬4卷，另有“九九術(shù)”木牘1方；在這些數(shù)學(xué)簡中混雜有竹制算籌三組[43]，李園《秦簡牘詞匯研究》中稱61根[44]。

出土算籌中，有相當(dāng)比例的六博籌。比如1973年長沙馬王堆三號漢墓出土博局盒，內(nèi)有象牙算籌42枚，長算籌12枚，短算籌30枚。“遣策”上記載數(shù)字30枚，與實物對照發(fā)現(xiàn)是短算籌。他如1973年山西渾源畢村西漢墓出土的6根鉛質(zhì)算籌，原裹有漆皮；1975年，湖北云夢縣睡虎地十一號、十三號秦墓中分別出土六博棋一套，各有6根竹算籌，斷面均為弧形，長度分別23.5 厘米和19.5厘米。

出土算籌中，也有一些占卜籌。比如1993年湖北江陵王家臺十五號秦墓出土了60枚骨-竹算籌，完整地保留在竹筒中，沒有散亂。算籌細(xì)長圓柱狀，一端為骨制，一端為竹制，竹制的一端均用絲線纏繞，外涂紅漆，長62.5厘米、徑0.4 厘米。同時出土的竹簡內(nèi)容為效律、日書和易占三類。發(fā)掘簡報將算籌和骰子一起歸為占卜用具。占卜是古代預(yù)測吉兇的常用手段。商周時期采用龜殼和蓍草作為工具。蓍草是算籌的前身。

由于民族文化的融合，中原文化中的籌算也為其他少數(shù)民族所學(xué)習(xí)和使用，在一些少數(shù)民族墓葬也有算籌出土。比如1974—1978年間，中山王墓出土的兩批算籌。戰(zhàn)國中山國是由白狄所建立的國家。這些算籌的出土，也可反映出戰(zhàn)國時期少數(shù)民族接受中原文化的影響。又如1980年春內(nèi)蒙古碌碡平鄉(xiāng)遼代墓象牙算籌、1980年河北雙山子鄉(xiāng)遼金算籌、1983年內(nèi)蒙古白音敖包遼代算籌、1999年遼寧省朝陽溝遼墓骨算籌、2000年河北海豐鎮(zhèn)金代算籌等，這些算籌的出土，說明在遼金時期，籌算依然在北方游牧民族中得以使用。

2 算籌形制補(bǔ)論

在有算籌實物出土以前，有關(guān)算籌的形制只能通過傳世文獻(xiàn)的少量記載進(jìn)行描述。從文獻(xiàn)角度來看，由于用途不同，不同朝代的規(guī)制不同，因此算籌形制并不一致。對于算籌的形制，已有較多數(shù)學(xué)史家做過研究，比如李儼[45]、錢寶琮[46]、郭書春[47]、李兆華[48]等。然而，結(jié)合更多的出土文物，可對相關(guān)問題略作補(bǔ)益，因此就如下幾個方面作簡要介紹。

首先，關(guān)于算籌的數(shù)量。主要作為工具或相對簡單的記數(shù)所用的占卜類、游戲類的算籌，文獻(xiàn)中也有一定規(guī)制描述。比如《周易·系詞》稱“乾之策二百一十有六，坤之策百四十有四”[49]，可知周代用于占卜或周易推演的算籌，乾策216枚，坤策144枚?！秲x禮·鄉(xiāng)射禮》“箭籌八十”[50]，可知用于射禮的箭籌有80枚。在出土算籌中，博籌通常為6枚，占卜籌則數(shù)量較大，江陵王家臺15號秦墓易占籌有60枚，西周早期大型宮室建筑基址易占籌更是多達(dá)959枚。

用于歷法和更復(fù)雜的數(shù)學(xué)計算的算籌數(shù)量的記載，文獻(xiàn)中最早的為《漢書·律歷志》，稱“二百七十一枚，而成六觚，為一握”[51]，即西漢時算籌以271根為一握。《漢書·律歷志》注中稱“六觚，六角也。度角至角，其度一寸，面容一分，算九枚，相因之?dāng)?shù)有十，正面之?dāng)?shù)實九，其表六九五十四，算中積凡得二百七十一枚”[51]。《隋書·律歷志》記載“正策三廉，積二百一十六枚，成六觚，乾之策也；負(fù)策四廉，積一百四十四枚，成方，坤之策也。觚、方皆徑十二，天地之大數(shù)也”[52]?？芍宕糜谔煳臍v法計算的算籌為竹制，正籌共216枚，合在一起成六角形，徑長12分；負(fù)籌共144枚，合在一起成方形，邊長也是12分。這與《周易·系詞》說法一致。然而出土的算籌，數(shù)量不一，少則數(shù)枚，多則至百枚，如南越王趙眜陵墓出土象牙算籌約200枚。

第二，關(guān)于算籌的長寬高或長徑。《儀禮·鄉(xiāng)射禮》“長尺有握”[50]，一握即4根手指高度，因此射禮用的算籌長約1尺4寸。《大戴禮記》第十二投壺第七十八“筭長尺二寸”[53]，可知用于投壺的壺籌(或壺矢)長1尺2寸。出土的博籌中，有些與常規(guī)算籌長度相似，也有較長者，如山西渾源畢村西漢木槨墓、湖北江陵紀(jì)南城鳳凰山八號西漢墓、長沙馬王堆三號西漢墓、山東萊西岱墅西漢墓M2號墓、山東臨沂金雀山31 號和33 號西漢墓、甘肅天水放馬灘M1秦墓出土的六博籌等長度均在20厘米以上。更有甚者，湖北江陵王家臺15號秦墓出土算籌長達(dá)62.5厘米，盡管考古簡報歸于占卜用具，但它是否還可能為射禮、投壺之類用籌，尚不得而知。

《漢書·律歷志》記載，用于歷法和更復(fù)雜的數(shù)學(xué)計算的算籌的長徑，“筭法用竹，徑一分，長六寸”[51]，即西漢時，由于天文歷法計算的算籌為竹制，徑1分(合0.23厘米)，長6寸(合13.86厘米)。漢代許慎《說文解字》稱“筭，長六寸，計歷數(shù)者”[54]，可知其時算籌長度也是6寸。東漢徐岳《數(shù)術(shù)記遺》中有“積筭”方法，北周甄鸞注稱“今之常筭者也，以竹為之。長四寸，以放四時。方三分，以象三才”[55]，可知當(dāng)時的算籌長4寸(合11.68厘米)，方3分(0.87厘米)，并且用這些數(shù)值以分別象征春夏秋冬四時和天地人三才。《隋書·律歷志》記載“備數(shù)，其算筭用竹，廣二分，長三寸”[52]。可知隋代用于天文歷法計算的算籌為竹制，徑2分(合0.59厘米)，長3寸(合8.88厘米)(2)由于各代尺度不一，因此各家在換算時略有差異。如李兆華《關(guān)于算籌與籌算的幾點注記》一文中稱《漢書·律歷志》、《數(shù)術(shù)記遺》北周甄鸞注及《隋書·律歷志》所載算籌長度約13.8cm、11.8cm和8.85cm。王青建《試論出土算籌》一文中，以新嘉量尺長23.09cm換算，《說文解字》之“六寸”約13.85cm；以北周尺長24.51cm換算，甄鸞注稱的算籌長為9.80cm、徑廣約0.74cm；以隋尺長 29.51cm換算，《隋書》所載算籌長約8.85cm，徑廣約0.59cm。本文換算結(jié)果，據(jù)丘光明、邱隆、楊平《中國科學(xué)技術(shù)史·度量衡卷》所考定之兩漢、新莽尺長23.1cm，北周市尺長29.2cm，隋初日常用尺長29.6cm換算而來。。出土算籌中，漢代的算籌大致與文獻(xiàn)記載相吻合。

第三，關(guān)于算籌的形狀?！稘h書·律歷志》所記載的竹籌應(yīng)為圓形竹棍?！稊?shù)術(shù)記遺》記載算籌方三分，說明此時算籌為長條形，截面為方形?！端鍟ぢ蓺v志》中提及的正籌3廉，負(fù)籌4廉，可以推知正算籌的形狀應(yīng)該是三棱柱，負(fù)算籌的形狀為四棱柱。出土算籌中，除去發(fā)掘簡報未描述者外，主要以圓柱形和長條形為主，也有湖北云夢睡虎地十一號、十三號秦墓中出土的截面為弧形的博籌。

第四，關(guān)于算籌的材質(zhì)。雖然文獻(xiàn)中也有“牙籌”“枝”等稱謂，但絕大多數(shù)都稱竹籌，可以推想有玉質(zhì)、木質(zhì)算籌存在，實際使用中的算籌以竹質(zhì)為主。然而在出土文物中，算籌材質(zhì)很豐富。基于附錄“出土算籌一覽表”，竹籌17批，骨籌14批，銀籌6批，牙籌6批，玉籌5批，鉛籌4批，木籌3批，銅籌2批，石籌2批，鐵籌1批，錫籌1批，骨-竹籌1批，角籌1批，可知竹籌出土批次最多，骨籌其次，金屬質(zhì)地算籌的數(shù)量再次之，象牙、玉質(zhì)、石質(zhì)、木質(zhì)等算籌較少。

第五，關(guān)于正負(fù)算籌。《九章算術(shù)》劉徽注稱“正算赤，負(fù)算黑。否則以邪正為異”[56]，可知在當(dāng)時已有用顏色來區(qū)別算籌的正負(fù)，即紅色算籌為正，黑色算籌為負(fù)?！端鍟ぢ蓺v志》中提及的正籌3廉，負(fù)籌4廉，可以推知正算籌的形狀應(yīng)該是三棱柱，負(fù)算籌的形狀為四棱柱，這是以形狀來區(qū)分正負(fù)。但在出土文物中，尚未發(fā)現(xiàn)明確的正負(fù)籌分類。

第六，關(guān)于算籌的盛放器物。文獻(xiàn)中有不少有關(guān)算袋的記載。算袋的形狀，有龜形和魚形之分。比如據(jù)秦始皇扔算袋化為算袋魚故事，說明在秦代時算袋已是隨身之物，算袋或形似烏賊魚。又如在唐代時，佩戴算袋是朝廷法度、等級象征。出土文物中，并未有算袋一同出土，但有絹囊、竹筒等物出土，或是算袋的類似物品。此外，在漢墓中出土的隨葬品清單“遣策”中，記載有“算囊”“算衣”等物品，比如張家山二四七號墓“筭囊一”，尹灣六號墓“筭及衣”等?！八隳摇薄八阋隆睉?yīng)該是盛裝算籌的物品，類似算袋的作用。

第七，關(guān)于算板或算格等。文獻(xiàn)中尚未發(fā)現(xiàn)算板的記載，但有少許算格的間接用詞。比如漢代佚名《太平經(jīng)》中“余算一歲一算格”。由于籌算的計算特點，如果不是特別復(fù)雜的運(yùn)算，并不需用較大的空間，因此在實際計算時，或許存在算板或算格之類方便籌算運(yùn)算的輔助工具。但如果進(jìn)行天文歷法、復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題計算時，所需的空間就非算板或算格能承擔(dān)，往往不拘一格，就便而布算。比如《明道雜志》記載北宋歷家衛(wèi)樸“每算歷，布算滿案”，《北史·許遵傳》“于是布算滿床”，《測圓海鏡》“置甲南行六百步在地”等，幾案、床、地等無不可作為布算之所。但籌算傳播到日本后，日本則有算格板之用。在出土文物中，鳳凰山八號墓“遣策”記載有“博、筭……博席一具，博橐一，筭席一”，“算席”或許是用于籌算計算時的工具，類似算板或算格，但應(yīng)已朽爛而未見實物出土。又如洛陽曹魏大墓出土的石牌銘文，提及陪葬有多種游戲所用的算籌、算囊等，其中一方碑文中提及“丹縑表、青縑里計旃一，具骨筭，囊自副”，說明陪葬有置放算籌以計算的氈子(計旃)和骨籌[57]。

綜上所述，根據(jù)文獻(xiàn)記載，從漢代至隋代，用于計算的算籌長度逐漸縮短，從6寸到4寸再到3寸，應(yīng)該是為了縮小布算所需；而形狀從圓柱體變?yōu)殚L方體或三棱體，應(yīng)是為了避免圓形算籌容易滾動而造成錯誤。唐宋及以后的文獻(xiàn)中，對于算籌形制的描述，多引用《漢書》《隋書》中的說法，并未提及其相應(yīng)時代的算籌規(guī)制。結(jié)合出土算籌而論，古代算籌材質(zhì)多樣；形狀多呈圓柱形或長條形；不同用途的算籌長度不一，但用于計算的算籌長度大致與文獻(xiàn)相符；其中有些長短不一者，或是實用算籌，便于布算之用；盡管尚無出土實物，但確有類似算袋、算板等算籌附屬物品。

致 謝本文得到中國科學(xué)院自然科學(xué)史研究所郭書春研究員、孫承晟研究員，清華大學(xué)馮立昇教授的具體建議或文獻(xiàn)幫助。特此致謝!