王琳濤，張先連，劉檢華，孫清超+

(1.大連理工大學(xué)機械工程學(xué)院，遼寧 大連 116024;2.北京理工大學(xué)機械與車輛學(xué)院，北京 100081)

0 引言

復(fù)雜設(shè)備往往由大量零部件通過緊固件裝配而成，其中螺栓連接由于具有拆卸方便、連接穩(wěn)定、互換性強等優(yōu)點，得到了廣泛使用。然而，在實際使用中，機械設(shè)備需要承受工作載荷以及機械振動，惡劣工作載荷將引起螺栓連接狀態(tài)變化，使螺栓頭部與被連接件之間發(fā)生相對轉(zhuǎn)動，從而導(dǎo)致螺栓夾緊力的減小，進而導(dǎo)致連接失效、設(shè)備整體性能下降等重大安全問題。因此，實現(xiàn)螺栓松動過程的預(yù)測對螺栓連接的防松設(shè)計具有重要的指導(dǎo)意義，避免許多安全事故的發(fā)生。

國內(nèi)外研究人員針對螺栓松脫機理模型開展了大量研究，但預(yù)測精度與實測數(shù)據(jù)往往存在較大偏差。早期對于螺栓松動機理的研究集中在軸向載荷的影響，Goodier等[1]對軸向振動載荷下的螺栓松動進行了研究，發(fā)現(xiàn)軸向載荷引起的預(yù)緊力下降非常有限。隨后，Junker[2]提出，橫向振動載荷沿斜面方向的分力會加速螺栓的相對轉(zhuǎn)動，更容易引起螺栓松動，并設(shè)計了橫向振動試驗機進行驗證。Nassar[3]對螺栓受橫向振動載荷的過程建立了簡單的數(shù)學(xué)模型，并分析了主要影響因素，如孔隙、初始預(yù)緊力等。在隨后的研究中，又通過分析端面力矩、螺紋力矩、螺距力矩三者的作用關(guān)系[4]，建立了更加準確詳盡的螺栓松脫模型，也是目前得到廣泛認同的松脫機理模型。但螺栓松脫是一個存在非線性與不確定性的復(fù)雜過程，理論推導(dǎo)的過程中不可避免地需要進行簡化，因此難以完成精確預(yù)測，僅適合做定性研究。

隨著人工智能理論的高速發(fā)展，基于數(shù)據(jù)的建模方法在工業(yè)領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用[5-8]。如劉志峰等[9]提出利用BP(back propagation)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建立預(yù)測特定工況下螺栓殘余預(yù)緊力的方法，為螺栓防松提供了參考。但在特征選擇中，缺少依據(jù)且只使用了單一均值作為預(yù)測結(jié)果，沒有考慮松脫過程中螺栓預(yù)緊力的分散性和不確定性。為解決這類存在不確定性的問題，高斯過程回歸(Gaussian Process Regression，GPR)得到了越來越多的關(guān)注[10-14]，該模型基于對貝葉斯理論的擴展，可以同時預(yù)測目標的均值與方差，從而更加合理地解決不確定性問題。

機理模型預(yù)測精度不高，而數(shù)據(jù)驅(qū)動的模型預(yù)測結(jié)果準確，但存在可解釋性差的問題，因此機理-數(shù)據(jù)融合的模型[15-17]有望實現(xiàn)螺栓松脫特性的精確預(yù)測。這種融合模型既包含了機理模型的可解釋性，同時還兼顧了數(shù)據(jù)模型預(yù)測準確的優(yōu)點[18]。目前，機理與數(shù)據(jù)模型融合的方法主要有以下幾種:利用機理模型引導(dǎo)數(shù)據(jù)模型進行特征選擇[19];利用數(shù)據(jù)模型對機理模型進行補償修正[20];建立兩部分模型，機理模型的輸出作為數(shù)據(jù)模型的輸入[21];使用數(shù)據(jù)模型預(yù)測機理模型的中間未知變量[22]?？紤]到現(xiàn)有螺栓松脫機理模型考量了螺栓在受橫向載荷時的復(fù)雜受力情況以及各種影響因素，能夠正確地反映螺栓松動發(fā)生的機理，但為了簡化分析過程進行了許多理想假設(shè)，導(dǎo)致機理模型與實驗數(shù)據(jù)的擬合結(jié)果仍有較大區(qū)別，不適宜采用后3種機理-數(shù)據(jù)融合方法，因此以機理模型引導(dǎo)數(shù)據(jù)驅(qū)動模型進行特征選擇是針對這一問題更合理的機理-數(shù)據(jù)融合方法。

為此，以機理模型先驗知識為引導(dǎo)，本文提出一種機理與數(shù)據(jù)融合的螺栓松脫預(yù)測模型。首先結(jié)合對螺栓松脫機理的研究，利用參數(shù)試驗法對機理模型中各特征進行敏感度分析并提取關(guān)鍵特征，隨后根據(jù)關(guān)鍵特征設(shè)計相應(yīng)松脫實驗，通過高斯過程回歸建立螺栓松脫和特征之間的數(shù)據(jù)模型。該模型考慮了松脫過程的分散性和非線性等特點，可以預(yù)測螺栓預(yù)緊力在不同工況下隨振動周期的變化以及概率分布，能夠更加準確地反映螺栓松脫過程，此外開發(fā)了相應(yīng)的預(yù)測軟件，為螺栓工程實踐中的防松設(shè)計提供指導(dǎo)。

1 螺栓松脫機理模型

1.1 螺栓受力分析

當螺栓被擰緊后，螺栓軸線方向共受到3個力矩的作用:螺距扭矩Tp、端面扭矩Tb以及螺紋扭矩Tt。當螺栓受到橫向激勵載荷時，螺距扭矩Tp與松動方向一致，端面扭矩Tb和螺紋扭矩Tt共同抵抗螺栓松動，螺栓力矩分布如圖1所示。

3個力矩共同決定螺栓回轉(zhuǎn)狀態(tài):

式中:J表示螺栓轉(zhuǎn)動慣量;ω'o表示螺栓回轉(zhuǎn)加速度。

1.2 螺栓松脫機理模型

根據(jù)Nassar等[4]的研究，對于端面扭矩Tb，以ηb為變量建立端面扭矩Tb和端面摩擦剪切力Fbs的函數(shù)關(guān)系:

式中:ηb=vb1/ωb表示端面平動速度vb1和端面轉(zhuǎn)動速度ωb的比值;μb表示端面摩擦系數(shù);qb0表示端面平均壓強;ri和re分別表示端面接觸半徑最小值和端面接觸半徑最大值;RTb和RFb表示連接Tb和Fbs的中間變量。

對于螺紋扭矩Tt，以ηt為變量建立螺紋扭矩Tt和螺紋摩擦切向力Fts的函數(shù)關(guān)系:

式中:ηt=vt1/ωt表示螺紋平動速度vt1和螺紋轉(zhuǎn)動速度ωt的比值;μt表示螺紋摩擦系數(shù);qt0表示螺紋接觸面平均壓強;rmin和rmaj分別表示螺紋小徑和螺紋大徑;α和β分別代表螺紋牙側(cè)角和螺紋導(dǎo)程角;RTt和RFt作為連接Tt和Fts的中間變量。

螺距扭矩

式中:FB表示螺栓夾緊力;P表示螺距。

為簡化推導(dǎo)過程，作出如下假設(shè):橫向振動位移較小且螺紋上的橫向位移xt(t)=0，且橫向剪切力不足以克服螺栓頭部的靜摩擦力，即螺栓頭部與上連接件沒有發(fā)生相對位移，螺栓頭部和上連接件共同運動。此時，當螺栓受到橫向載荷，螺栓頭部橫向變形xh(t)為:

式中:E表示螺栓材料彈性模量;I表示螺栓橫截面上慣性矩;L表示螺栓有效彎曲長度;k表示螺栓彎曲因子;λ表示一取決于螺栓頭部彎曲剛度的計算因子;kb與kc分別表示被連接件剛度與螺栓剛度;ξ表示頭部彎曲剛度系數(shù)，數(shù)值計算結(jié)果表明，ξ的減小會提高螺栓防松能力，在本文的研究中，ξ=1。

螺栓頭部橫向變形量xh(t)與橫向振動位移相同，即

式中:δ0表示橫向振動幅值;ω1表示激勵橫向振動頻率。

因此，螺栓頭部受到的端面摩擦剪切力Fbs由下式給出:

螺紋摩擦切向力Fts由下式給出:

式中τ=rmaj/rmin。

將Fbs、Fts分別代入式(3)和式(5)，可以通過ηt、ηb反求出Tb、Tt。結(jié)合式(1)和式(6)可以計算出螺栓頭部回轉(zhuǎn)角加速度ω'，并根據(jù)下式依次計算得到t+Δt時刻的螺栓頭部回轉(zhuǎn)角速度ω以及角位移Δθ。

式中ω0代表t時刻的螺栓回轉(zhuǎn)角速度值。

式中Δθ0代表t時刻的螺栓回轉(zhuǎn)角位移值。

當螺栓頭部回轉(zhuǎn)角位移為Δθ時，對應(yīng)的夾緊力下降值

利用上述模型可獲得螺栓預(yù)緊力隨橫向振動載荷的時變模型。該模型考慮了螺栓在受橫向載荷時的復(fù)雜受力情況以及各種影響因素，正確地反映了螺栓松動發(fā)生的機理，但為了簡化分析過程進行了理想假設(shè)，且許多定義的參數(shù)可能與實際相差較大，因此機理模型預(yù)測結(jié)果與試驗松脫數(shù)據(jù)擬合效果較差，如圖2所示。

2 螺栓松脫特征敏感性評價

機理模型充分考慮了螺栓受橫向載荷時的受力情況以及各種影響因素，盡管難以保證預(yù)測精度，但適合做定性研究，因此可以利用機理模型引導(dǎo)數(shù)據(jù)驅(qū)動模型輸入特征的選擇。從上述推導(dǎo)過程可以看到，螺栓松脫機理模型是一個隱式模型，難以直觀的分析各個特征對松脫過程的影響規(guī)律，因此，需要通過試驗方法對各參數(shù)進行敏感度分析。

機理模型中涉及到的特征較多，但其中包括大量標準化的參數(shù)。因此，對機理模型特征進行分析篩選后，需要進行特征敏感度分析的特征共6個，表1列出了這6項特征及其變化范圍。

表1 敏感度分析特征

然后利用參數(shù)試驗法對上述特征在機理模型上進行敏感度分析。參數(shù)試驗是一種在所有指定水平上獨立地變化每個特征，同時其他特征保持原有值的試驗方法。通過參數(shù)試驗可以研究每一個特征對某個響應(yīng)的敏感性，如圖3所示為參數(shù)試驗的樣本分布，其試驗次數(shù)為:

式中:m表示因子數(shù);ni表示第i個因子的水平數(shù)。

對每個特征在其變化范圍內(nèi)均勻取樣5個點，同時保持其他特征為初始值，計算在機理模型中各樣本點的松脫曲線，結(jié)果如圖4所示。

機理模型的計算結(jié)果表明，各特征的變化對螺栓松動的影響程度不同。其中，初始預(yù)緊力F對螺栓松動影響最為明顯，隨著初始預(yù)緊力的變化，螺栓松動趨勢產(chǎn)生了較大程度的變化;此外端面摩擦系數(shù)μb對螺栓松動過程也產(chǎn)生了較大影響，而其他特征的影響并不顯著。為定量評價螺栓松脫過程對不同特征的敏感程度，本文建立了敏感程度評價指標ε:

式中:εj表示螺栓松脫對第j個特征的敏感程度指標;Nj表示第j個特征的水平數(shù);Fi，j，end表示第j個特征的第i個水平對應(yīng)最后時刻的夾緊力;Fi，j，preload表示第j個特征的第i個水平對應(yīng)的初始預(yù)緊力;μj表示第j個特征各個水平夾緊力下降比重的平均值。

分別對各個特征計算ε，最終得到螺栓松脫對各個特征的敏感程度，如圖5所示?？梢钥吹?，螺栓松動對初始預(yù)緊力、螺紋摩擦系數(shù)、端面摩擦系數(shù)的變化較為敏感，而對于螺栓頭部外徑、螺栓頭部內(nèi)徑、被連接件剛度的敏感程度較低，因此，最終提取的輸入特征為初始預(yù)緊力F、螺紋摩擦系數(shù)μt、端面摩擦系數(shù)μb以及橫向振動次數(shù)。

3 數(shù)據(jù)驅(qū)動的不確定松脫規(guī)律預(yù)測模型

3.1 高斯過程回歸模型

螺栓連接的松脫具有非線性、不確定性等特點，因此選用高斯過程回歸作為數(shù)據(jù)驅(qū)動模型。高斯過程回歸是一種基于貝葉斯估計的生成式機器學(xué)習(xí)方法，可以同時預(yù)測目標的均值與方差，對螺栓松脫的分散性和不確定性進行度量，并且能夠處理小樣本、非線性等復(fù)雜回歸問題。下面首先介紹高斯過程(Gaussian Processes，GP)，高斯過程是指一個隨機過程，其中任意隨機變量的有限子集均服從聯(lián)合高斯分布。對于函數(shù){h(x):x∈R}，若任意有限個變量x1，…，xn，其對應(yīng)的h(x1)，…，h(xn)均服從下式的概率分布，則{h(x):x∈R}稱為高斯過程，可記為h(x)～GP(m(x)，K(x，x'))。

式中:m(x)=E(x)為均值函數(shù)，通常為簡化起見定義為0;K(x，x')=E[(x-m(x))(x'-m(x'))]為正定的均方差函數(shù)。

對于回歸問題，通常使用考慮噪聲的模型:

式中X為訓(xùn)練樣本矩陣。因此，訓(xùn)練樣本y和模型預(yù)測值y*的聯(lián)合先驗分布為:

式中:K(X，X)為n×n階對稱正定的協(xié)方差矩陣;K(x*，X)為預(yù)測值x*與訓(xùn)練樣本X之間的協(xié)方差矩陣;K(x*，x*)為預(yù)測值與自身的協(xié)方差矩陣。

在給定預(yù)測樣本和訓(xùn)練集后，模型預(yù)測值y*的后驗概率分布為

式中m*=K(x*，X) [K(X，X)+]-1y，cov(y*)=K(x*，x*)-K(x*，X)×[K(X，X)+]-1K(X，x*)+?？梢钥吹剑咚惯^程回歸模型不僅可以輸出預(yù)測結(jié)果的均值，還可以輸出預(yù)測結(jié)果的方差，因此可以對預(yù)測的不確定性進行度量，預(yù)測結(jié)果具有概率意義。

高斯過程回歸使用高斯過程作為先驗，即假設(shè)了學(xué)習(xí)樣本是高斯過程的采樣，因此協(xié)方差函數(shù)K(X，X)的選擇尤為重要，其描述了學(xué)習(xí)樣本間的相關(guān)性。利用高斯過程回歸對螺栓松脫數(shù)據(jù)進行建模就是確定合理的協(xié)方差函數(shù)，并確定相關(guān)超參數(shù)。本文中最終采用的協(xié)方差函數(shù)為平方指數(shù)函數(shù)，具體形式如下:

3.2 螺栓松脫測試及預(yù)測

本節(jié)以螺栓松脫實驗數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)建立高斯過程回歸模型。實驗數(shù)據(jù)由橫向振動松脫實驗臺獲取，試驗臺如圖6所示主要由移動板、固定板、偏心盤組成，偏心盤將電機的回轉(zhuǎn)運動轉(zhuǎn)化為往復(fù)運動，帶動固定板形成橫向振動，從而引起螺栓松動。本文中涉及到的模型以M14螺栓為例。

根據(jù)第2章中特征敏感度分析的結(jié)果，本文中涉及到的螺栓松脫模型的輸入輸出項如表2所示。

表2 螺栓松脫模型的輸入與輸出

為使模型具有泛化能力，需要控制輸入特征的變化來獲取充分的實驗數(shù)據(jù)對模型進行訓(xùn)練。其中初始預(yù)緊力由超聲測預(yù)緊力方法控制，分為50 kN、60 kN、70 kN三個水平;螺紋摩擦系數(shù)的變化通過對螺紋部分涂膠進行控制，具體數(shù)值由標定試驗獲得;端面摩擦系數(shù)通過使用3種不同墊圈或無墊圈進行控制，共分為4個水平，每組試驗對應(yīng)的端面摩擦系數(shù)經(jīng)端面摩擦系數(shù)測定試驗得到;振動周期通過時間控制，驅(qū)動電機工作頻率為50 Hz，采集前5 000個振動周期的實驗數(shù)據(jù)進行訓(xùn)練，采樣間隔為1 s。每種工況下重復(fù)試驗3次，取其中2組作為訓(xùn)練集，1組作為測試集，因此訓(xùn)練集共48組數(shù)據(jù)，測試集共24組數(shù)據(jù)。

使用試驗實測數(shù)據(jù)的訓(xùn)練集建立高斯過程回歸模型，需要確定合適的協(xié)方差函數(shù)，因此根據(jù)模型在測試集上的表現(xiàn)進行選擇。如圖7所示為分別使用多項式函數(shù)、立方函數(shù)、平方指數(shù)函數(shù)、正弦平方函數(shù)4種不同協(xié)方差函數(shù)在初始預(yù)緊力為50 kN、端面摩擦系數(shù)為0.16、螺紋摩擦系數(shù)為0.20工況下的預(yù)測結(jié)果。可以看到，不同的協(xié)方差函數(shù)對預(yù)測結(jié)果會產(chǎn)生較大的影響，為選擇預(yù)測效果最好的協(xié)方差函數(shù)，利用在所有測試集上模型預(yù)測值與實驗數(shù)據(jù)的平均絕對百分比誤差(MAPE)以及均方根誤差(RMSE)作為評價不同協(xié)方差函數(shù)預(yù)測表現(xiàn)的指標，計算公式分別為:

式中，T表示數(shù)據(jù)點總數(shù)量;yi表示第i個數(shù)據(jù)點螺栓夾緊力的真實值;表示模型在第i個點的預(yù)測值。

計算結(jié)果如表3所示?？梢钥闯觯褂闷椒街笖?shù)函數(shù)作為協(xié)方差函數(shù)的模型預(yù)測得到的誤差最小且趨勢較為平滑，取得了更好的表現(xiàn)。從圖7中出也可以看到，本文提出的基于高斯過程回歸的螺栓松動預(yù)測模型輸出為一條具有概率意義的分布帶而不是一條確定的曲線，與實驗數(shù)據(jù)的吻合程度較好，能夠準確地反映螺栓夾緊力變化的趨勢，驗證了該模型的有效性。

表3 不同協(xié)方差函數(shù)的預(yù)測表現(xiàn)

圖8給出了在兩種不同工況下，高斯過程回歸模型預(yù)測結(jié)果與內(nèi)核嶺回歸、支持向量回歸(Support Vector Regression，SVR)預(yù)測結(jié)果的對比?？梢钥吹?，高斯過程回歸模型獲得了與其他模型相似的預(yù)測結(jié)果，但考慮到螺栓在松脫過程中，螺栓夾緊力并不是一個穩(wěn)定連續(xù)變化的過程，包含了分散性，不能簡單地使用一個預(yù)測值表征，因此使用高斯過程回歸估計螺栓夾緊力在概率意義上的置信區(qū)間，能夠更加準確地反映螺栓的松脫過程，具有其獨特的優(yōu)勢。

3.3 軟件工具開發(fā)

為提高本文提出的螺栓連接松脫預(yù)測方法的工程實用性，筆者采用PyQt5在Eric6環(huán)境下開發(fā)了相應(yīng)的螺栓松動預(yù)測軟件，界面如圖9所示。該軟件提供了預(yù)測給定工況下螺栓預(yù)緊力的變化范圍以及繪制相應(yīng)的松脫趨勢曲線的功能。此外，還提供了導(dǎo)入新的實驗數(shù)據(jù)的接口，便于對模型重新訓(xùn)練，提高模型對各種工況的適應(yīng)能力以及預(yù)測精度。

4 結(jié)束語

針對螺栓松脫機理模型預(yù)測結(jié)果不準確，數(shù)據(jù)模型可解釋性不強、置信度不高等問題，本文提出一種機理與數(shù)據(jù)融合的螺栓松脫特性預(yù)測模型，得到以下結(jié)論:

(1)考慮機理模型與數(shù)據(jù)模型保真度差異性，建立了松脫機理引導(dǎo)數(shù)據(jù)模型特征選擇過程的融合方法。

(2)建立了螺栓松脫機理模型，提出了螺栓松脫敏感度評價指標，確定初始預(yù)緊力、螺紋摩擦系數(shù)、端面摩擦系數(shù)以及振動周期，作為數(shù)據(jù)模型的輸入特征。

(3)考慮螺栓松脫規(guī)律非線性、不確定性特征，提出了基于高斯過程回歸的螺栓松脫預(yù)測模型，獲取概率意義上預(yù)緊力變化的置信區(qū)間，從而更加準確地預(yù)測螺栓松脫過程。

測試及驗證結(jié)果表明，本文提出的模型能夠準確預(yù)測不同工況下螺栓在受橫向振動時夾緊力與振動周期的關(guān)系，相關(guān)軟件工具已在國內(nèi)某大型工程機械制造企業(yè)得到應(yīng)用。未來通過構(gòu)造適應(yīng)性更強的核函數(shù)、優(yōu)化模型參數(shù)等手段，有望進一步提高模型預(yù)測精度。