（內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，內(nèi)蒙古 呼和浩特 010051；內(nèi)蒙古自治區(qū)特殊服役智能機(jī)器人重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，內(nèi)蒙古 呼和浩特 010051）

引言

光學(xué)三維輪廓測(cè)量在逆向工程、機(jī)器人視覺(jué)、虛擬現(xiàn)實(shí)、醫(yī)學(xué)圖像診斷等領(lǐng)域有著廣泛應(yīng)用[1-2]。條紋投影測(cè)量法是一種重要的三維輪廓測(cè)量技術(shù)，具有非接觸、全場(chǎng)測(cè)量，測(cè)量速度快等優(yōu)點(diǎn)[3-4]。條紋投影三維輪廓測(cè)量系統(tǒng)通常需要偏轉(zhuǎn)投影儀的鏡頭光軸，獲得合適的光軸夾角。對(duì)于參考平面而言，此時(shí)處于傾斜投影狀態(tài)，需要采用遠(yuǎn)心鏡頭投影[5]來(lái)保證條紋周期的一致性。如果采用普通鏡頭進(jìn)行傾斜投影，則參考平面上條紋周期不再恒定，必然導(dǎo)致相位-高度映射模型復(fù)雜化[6]，對(duì)后續(xù)測(cè)量系統(tǒng)標(biāo)定帶來(lái)困難[7]。此外，若采用傅里葉變換法也就是傅里葉變換輪廓術(shù)[8-9]進(jìn)行相位復(fù)原，會(huì)影響頻域?yàn)V波操作，甚至影響系統(tǒng)測(cè)量精度。特別是應(yīng)用在大視場(chǎng)測(cè)量時(shí)，這種現(xiàn)象對(duì)測(cè)量精度的影響會(huì)更加嚴(yán)重。

針對(duì)上述情況，可通過(guò)對(duì)投影條紋周期進(jìn)行校正來(lái)解決，許多學(xué)者對(duì)此進(jìn)行了研究。當(dāng)傾斜投影時(shí)，若把參考平面上的條紋周期看成恒定值，將會(huì)產(chǎn)生高度測(cè)量誤差。為此，Sansoni 等人[10]提出一個(gè)誤差補(bǔ)償算法作為校正措施。Maurel 等人[11]指出參考平面上條紋周期從左向右逐漸增大，如果得到傾斜投射角則可以得到參考面上的條紋周期表達(dá)式。Zhang 等人[12]、和Fu 等人[13]在傳統(tǒng)二維模型基礎(chǔ)上建立了光柵投影模型的方法，提高了測(cè)量精度。這2種方法需要事先測(cè)量出模型中的未知參數(shù)，例如Zhang的方法需要測(cè)量出投影儀光軸和攝像機(jī)光軸之間的夾角，測(cè)量難度較大；Fu的方法需要測(cè)量投影儀光心與攝像機(jī)光心之間的距離以及投影儀光心至參考平面的距離，由于投影儀與攝像機(jī)的光心位置難以確定，所以這2個(gè)幾何長(zhǎng)度的準(zhǔn)確測(cè)量存在困難。邊心田等人[14]建立了雙光軸異面情況下的高度計(jì)算模型，并在模型中實(shí)現(xiàn)條紋周期預(yù)校正，主要是為了解決測(cè)量系統(tǒng)約束條件問(wèn)題；但是仍存在類似前面方法的問(wèn)題，需事先測(cè)量3個(gè)距離參數(shù)。李巖等人[15]提出一種無(wú)模型預(yù)校正方法，通過(guò)投射標(biāo)準(zhǔn)正弦條紋到參考平面，使用傅里葉條紋分析方法復(fù)原出非線性相位分布，對(duì)比理想線性相位分布反算新的待投影條紋；因?yàn)榉蔷€性相位分布與空間坐標(biāo)關(guān)系會(huì)給相位計(jì)算帶來(lái)誤差，并且條紋周期不便于控制。此外也有學(xué)者采用后處理技術(shù)消除非線性載波影響，如Srinivasan 等人[16]針對(duì)未校正條紋利用相位調(diào)制技術(shù)復(fù)原相位，采用相位映射方法得到高度數(shù)據(jù)。

上面的技術(shù)方法能夠在一定程度上消除條紋周期非線性變化所帶來(lái)的誤差。然而，處理過(guò)程或者復(fù)雜、可操作性較差，或者不能完全消除條紋周期誤差；多次實(shí)驗(yàn)結(jié)果的重復(fù)性較差，校正效果存在不確定性。本文借鑒反向條紋投影思想實(shí)現(xiàn)投影條紋周期校正，以投影條紋圖像中各級(jí)條紋橫向坐標(biāo)為控制變量推導(dǎo)條紋周期校正理論模型。通過(guò)建立實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)，引入特定光柵圖案實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)模型中未知參數(shù)標(biāo)定，進(jìn)而生成反向投影條紋；最后通過(guò)條紋周期校正實(shí)驗(yàn)和三維測(cè)量實(shí)驗(yàn)進(jìn)一步驗(yàn)證本文方法正確性和有效性。

1 條紋周期校正理論模型

條紋投影三維測(cè)量原理如圖1所示，Ep和Ec分別為投影儀的出瞳和攝像機(jī)的入瞳。投影儀光軸和攝像機(jī)光軸相交于參考面R上O點(diǎn)，二者夾角為φ。投影平面和CCD平面分別與光軸和垂直。經(jīng)過(guò)Op點(diǎn)作參考面R的平行線作為虛擬平面I。

圖1 條紋投影三維測(cè)量系統(tǒng)示意圖Fig.1 Schematic diagram of fringe projection 3D measurement system

由圖1可知，投影儀將周期性分布的條紋圖像（柵線垂直于投影平面，即平面）投射在參考平面R上，此時(shí)參考平面上的條紋從左向右逐漸增大，呈現(xiàn)非均勻變化。要使得R上的條紋為周期性分布，則虛擬平面I上的條紋同樣也應(yīng)該為周期性分布。假設(shè)A點(diǎn)為投影平面上任意一點(diǎn)，光線投射在參考面R上于B點(diǎn)，B點(diǎn)在成像系統(tǒng)（即CCD平面）中的像點(diǎn)為Bc點(diǎn)。另外的反向延長(zhǎng)線交虛擬平面I于Bp點(diǎn)。過(guò)A點(diǎn)作平行于虛擬平面I的直線交光軸于于C點(diǎn)。設(shè)投影平面上A點(diǎn)的坐標(biāo)為Xp，即=Xp，該點(diǎn)在成像系統(tǒng)中對(duì)應(yīng)的像點(diǎn)Bc的坐標(biāo)為Xc，即=Xc。

另設(shè)由 ?BpOpEp與?ACEp相似可得

在 ?ACOp中，根據(jù)三角形定理可得

將（2）和（3）式代入（1）式可得

設(shè)投影儀與攝像機(jī)的放大倍率分別為M1=u和并設(shè)再由?BpOpEp～?BOEp、?BOEc～?BcOcEc得

進(jìn)一步可得

式中：φ、u、M1和M2均為測(cè)量系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)或?yàn)楹愣浚?sinφ/uM1M2=a，cosφ/M1M2=b，于是（9）式可以簡(jiǎn)寫為

式中：Xp與Xc單位均為像素。上式表明Xp/Xc與Xp呈明確的線性關(guān)系。這樣將原來(lái)的4個(gè)系統(tǒng)參數(shù)轉(zhuǎn)化為2個(gè)組合參數(shù)，盡管這2個(gè)參數(shù)a和b不具有明確的物理意義，但是它卻為后續(xù)的條紋周期校正提供了極大方便。

（10）式所示的數(shù)學(xué)模型中的2個(gè)參數(shù)的確切數(shù)值可通過(guò)標(biāo)定方法獲取。若得到a和b的數(shù)值后，也就建立了CCD平面與投影平面上各級(jí)條紋橫向坐標(biāo)之間的關(guān)系，即

經(jīng)投影條紋周期校正后得到的條紋應(yīng)為周期分布，即Xc與條紋級(jí)次為線性關(guān)系，因此可以將線性變化的Xc作為輸入量，再通過(guò)求取反函數(shù)計(jì)算出待投影條紋坐標(biāo)：

將其代入下面余弦函數(shù)：

便可設(shè)計(jì)出待投影條紋模式，然后經(jīng)該系統(tǒng)投影后便得到周期分布條紋。這里Ib和Im分別表示條紋的背景和調(diào)制度，f表示條紋頻率。

2 模型參數(shù)標(biāo)定

條紋投影實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)如圖2所示，投影儀傾斜投射，攝像機(jī)安裝在一維平移臺(tái)上可上下平移。計(jì)算機(jī)1 控制投影儀加載條紋圖像，計(jì)算機(jī)2 顯示和處理由攝像機(jī)獲取到的條紋圖像。實(shí)驗(yàn)之前需調(diào)整攝像機(jī)光軸與參考平面垂直，以及投影儀光軸與攝像機(jī)光軸相交于參考平面。具體步驟為：投影儀投影一幅田字格圖像至參考平面，田字格目標(biāo)位于投影平面中心位置；攝像機(jī)拍攝參考平面上目標(biāo)圖像并在計(jì)算機(jī)2 實(shí)時(shí)顯示。打開(kāi)攝像機(jī)控制軟件中的十字線（代表CCD 圖像平面坐標(biāo)系），上下一定范圍內(nèi)移動(dòng)攝像機(jī)的過(guò)程中，通過(guò)調(diào)節(jié)攝像機(jī)位姿使控制軟件中的十字線始終與田字格中心線重合，由此完成系統(tǒng)調(diào)整。

圖2 條紋投影實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)Fig.2 Experimental system of fringe projection

通過(guò)實(shí)驗(yàn)方式標(biāo)定數(shù)學(xué)模型（10）式中的未知參數(shù)時(shí)，輸入和輸出參量為條紋圖像中各級(jí)條紋的橫向坐標(biāo)。為了方便準(zhǔn)確地提取條紋位置坐標(biāo)，由計(jì)算機(jī)仿真產(chǎn)生一幅如圖3（a）所示的光柵圖像，大小為1 309×200像素，包含11條白色柵線，任意兩條相鄰白色柵線中心之間的距離為130像素。這里指出，投影圖像的大小只與顯示器分辨率、投影于參考平面上的視場(chǎng)范圍以及攝像機(jī)空間分辨率有關(guān)。將光柵圖像投影到參考平面后，攝像機(jī)拍攝到的投影條紋如圖3（b）所示，大小為1 361×200像素；計(jì)算出的條紋間距如圖4所示，由圖4可見(jiàn)條紋間距從左向右逐漸增加且呈非線性變化，最大最小間距之差為46像素。

圖3 未校正光柵條紋圖像Fig.3 Fringe images without correction

圖4 未校正條紋的間距Fig.4 Spacing of fringe without correction

以圖3所示2 幅光柵圖像左側(cè)第一級(jí)柵線為基準(zhǔn)，由此分別獲得各級(jí)條紋橫向坐標(biāo)Xp和Xc。對(duì)Xp/Xc和Xp進(jìn)行線性擬合后有

式中：a=1.50×10?4，b=1.08。圖5給出了計(jì)算數(shù)據(jù)和擬合直線，二者吻合很好，這也進(jìn)一步驗(yàn)證了上述理論模型的正確性。

圖5 理論模型的擬合結(jié)果Fig.5 Fitting results of theoretical model

3 投影條紋周期校正實(shí)驗(yàn)

獲得模型參數(shù)后代入（12）式得Xp=Xc/(1.08?1.50×10?4Xc)。其中Xc為線性坐標(biāo)，由1像素開(kāi)始，其最大范圍結(jié)合攝像機(jī)空間分辨率、參考平面上投影視場(chǎng)范圍等條件給出。進(jìn)一步代入（13）式可以設(shè)計(jì)出待投影余弦條紋，設(shè)Ib=Im=128，f=1/150，待投影余弦條紋如圖6（a）所示，大小為1 300×200像素；將其投射至參考平面，采集到校正后的條紋圖像如圖6（b）所示，大小為1 381×200像素。校正后條紋間距如圖7所示，間距變化不超出均值的±0.1像素范圍，說(shuō)明本文方法能夠準(zhǔn)確獲得周期分布的投影條紋。

圖6 校正后投影條紋圖像Fig.6 Projection fringe image after correction

圖7 校正后條紋的間距Fig.7 Spacing of fringe after correction

4 三維輪廓測(cè)量實(shí)驗(yàn)

針對(duì)周期校正前后的光柵條紋分別產(chǎn)生四步移相條紋后投影于參考平面。將一個(gè)平板作為測(cè)量對(duì)象，利用四步移相算法求解相位分布。對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行標(biāo)定后恢復(fù)出物體高度信息。投影條紋周期校正前后的物體測(cè)量結(jié)果分別如圖8和圖9所示。使用精度為0.02 mm 游標(biāo)卡尺多次測(cè)量得到物體的實(shí)際高度為8.22 mm；條紋校正前測(cè)量結(jié)果為7.304 mm，誤差為?0.916 mm；條紋校正后測(cè)量結(jié)果為8.242 mm，誤差為0.022 mm，測(cè)量誤差為校正前誤差的2.4%。

圖8 條紋周期校正前三維測(cè)量結(jié)果Fig.8 3D measurement results before fringe period correction

圖9 條紋周期校正后三維測(cè)量結(jié)果Fig.9 3D measurement results after fringe period correction

5 結(jié)論

提出一種新的投影條紋周期校正方法，推導(dǎo)出的校正模型只包含2個(gè)未知參數(shù)，且為明確的線性關(guān)系；在系統(tǒng)搭建時(shí)，投影儀出瞳與攝像機(jī)入瞳連線無(wú)需平行于參考平面，放寬了傳統(tǒng)方法對(duì)測(cè)量系統(tǒng)的約束條件。詳細(xì)介紹了實(shí)驗(yàn)測(cè)量系統(tǒng)調(diào)整以及模型參數(shù)標(biāo)定過(guò)程，通過(guò)實(shí)驗(yàn)在參考平面上獲得了周期性分布的投影條紋。該方法原理簡(jiǎn)單、易于操作、結(jié)果準(zhǔn)確，可以應(yīng)用于投影條紋三維形貌測(cè)量中改善測(cè)量精度、降低系統(tǒng)標(biāo)定復(fù)雜性。尤其是在大視場(chǎng)、條紋數(shù)目少的測(cè)量場(chǎng)合，該方法的優(yōu)勢(shì)和價(jià)值將更為明顯。