東旭華，郭金運(yùn)，孔巧麗，金 鑫，趙春梅

(1. 山東科技大學(xué) 測繪與空間信息學(xué)院，山東 青島 266590;2. 北京房山人衛(wèi)激光國家野外科學(xué)觀測研究站，北京 100830)

隨著測繪技術(shù)的發(fā)展，人們對全球?qū)Ш叫l(wèi)星系統(tǒng)(global navigation satellite system, GNSS)定位的精度和效率有了新的要求，高精度實(shí)時定位領(lǐng)域受到人們的關(guān)注[1-2]。微型GNSS陣列因其天線之間的邊長已知的空間特征在高精度實(shí)時定位領(lǐng)域受到人們的關(guān)注[3]。微型GNSS陣列是由長度極短的超短基線構(gòu)成的GNSS基線網(wǎng)。微型GNSS陣列定位中，載波相位的雙差觀測可以消除接收機(jī)鐘差、衛(wèi)星鐘鐘差，具有空間相關(guān)性的電離層誤差、對流層誤差和衛(wèi)星星歷誤差也可忽略不計(jì)，定位主要受到多路徑效應(yīng)和測量噪聲的影響[4]。因此，通過載波相位雙差觀測可得到高精度的基線向量。以差分觀測后得到的基線向量為觀測量，同時以事先通過激光跟蹤儀確定微型陣列中天線的邊長為約束，進(jìn)行約束網(wǎng)平差，可以實(shí)現(xiàn)微型GNSS陣列快速高精度的定位[5]。需要注意的是，以邊長為非線性化約束條件，進(jìn)行線性化會產(chǎn)生非線性殘余項(xiàng)。聶志喜等[6]在GNSS動態(tài)相對定位中常附加非線性的基線長約束進(jìn)行解算。實(shí)驗(yàn)表明，超短基線進(jìn)行解算時，非線性殘余項(xiàng)可能對結(jié)果產(chǎn)生影響。薛樹強(qiáng)[7]在研究非線性問題時，指出非線性參數(shù)平差模型在進(jìn)行線性化時，線性誤差殘余可能會影響參數(shù)估計(jì)的無偏性和最優(yōu)性，以及影響單位權(quán)方差因子估計(jì)的可靠性。以微型GNSS陣列中天線之間的邊長為約束所產(chǎn)生的非線性殘余項(xiàng)在GNSS三維約束網(wǎng)平差中造成的影響，需要進(jìn)一步探究。

微型GNSS陣列的定位需要高精度的基線向量，目前，已有多位學(xué)者利用載波相位差分對超短基線的定位進(jìn)行了研究。王世進(jìn)等[8]對31 m的超短基線進(jìn)行載波相位差分觀測，實(shí)驗(yàn)表明，實(shí)時動態(tài)載波相位差分觀測的定位精度可達(dá)1 cm左右。楊元喜等[9]對4.2 m的超短基線進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，認(rèn)為載波相位差分動態(tài)定位水平分量的精度優(yōu)于3 mm，高程分量的精度約為5 mm。隋春玲等[10]對12 m的超短基線進(jìn)行GNSS多系統(tǒng)組合的單歷元單頻超短基線差分定位，結(jié)果表明，在東(E)、北(N)、天(U)三個方向的定位精度分別為7.5、4.5、9.0 mm。上述多位學(xué)者通過實(shí)驗(yàn)證明，對超短基線進(jìn)行載波相位差分觀測，可以得到高精度的動態(tài)基線向量。因此通過對微型GNSS陣列中距離很近的天線進(jìn)行載波相位雙差處理，可以得到高精度的動態(tài)基線向量。

微型GNSS陣列通過載波相位雙差觀測得到高精度的動態(tài)基線向量后，與事先測定的微型GNSS陣列中天線之間的邊長，共同進(jìn)行基于邊長約束的網(wǎng)平差處理。目前，已有多位學(xué)者在約束網(wǎng)平差方面開展研究。王解先等[11]以測距邊長為約束對靜態(tài)基線向量進(jìn)行了GNSS網(wǎng)平差，實(shí)驗(yàn)證明，邊長約束網(wǎng)平差可以提高定位精度。湯程禹[12]以邊長和角度為約束，對高鐵軌檢小車上相距約為1 m的三臺接收機(jī)和高鐵周圍的基準(zhǔn)站進(jìn)行GNSS網(wǎng)平差，實(shí)驗(yàn)證明高精度的邊長和角度約束可以提高定位精度。白征東等[5]以邊長和姿態(tài)為約束，對載體上相距1～2 m的三臺接收機(jī)和地面上的基準(zhǔn)站進(jìn)行GNSS網(wǎng)平差，得到單歷元較為穩(wěn)定而精確的坐標(biāo)解算結(jié)果。上述多位學(xué)者通過實(shí)驗(yàn)證明，基于邊長約束的GNSS網(wǎng)平差可以提高定位精度。但上述學(xué)者的實(shí)驗(yàn)仍有不足：①數(shù)據(jù)事后處理，實(shí)時性差；②測站和基準(zhǔn)站相距較遠(yuǎn)，基線的誤差相對較大。微型GNSS陣列中天線之間距離極短，以載波相位差分得到的高精度動態(tài)基線向量為觀測量，以天線之間的邊長為約束，進(jìn)行網(wǎng)平差解算，可實(shí)現(xiàn)快速高精度的定位，彌補(bǔ)上述不足。

目前，多位學(xué)者在超短基線差分定位和約束網(wǎng)平差方面做了大量研究，然而在基于差分觀測得到的動態(tài)基線向量進(jìn)行約束網(wǎng)平差方面研究較少。本研究根據(jù)微型GNSS陣列中天線之間邊長已知的特點(diǎn)，通過邊長約束網(wǎng)平差方法實(shí)現(xiàn)微型GNSS陣列的高精度定位。該方法以載波相位差分觀測得到的高精度動態(tài)基線向量為觀測量，以微型GNSS陣列中已知邊長為約束，進(jìn)行網(wǎng)平差，進(jìn)而確定陣列中天線的坐標(biāo)。通過實(shí)驗(yàn)分析了不同邊長約束方案對微型陣列定位精度的影響，驗(yàn)證了微型GNSS陣列可實(shí)現(xiàn)實(shí)時高精度定位。

1 微型GNSS陣列約束網(wǎng)平差

微型GNSS陣列經(jīng)過載波相位雙差觀測后，接收機(jī)鐘差和衛(wèi)星鐘差得以消除，電離層誤差、對流層誤差和衛(wèi)星星歷誤差可忽略，解算出來的基線精度較高，在此基礎(chǔ)上以微型GNSS陣列中天線之間的邊長為約束進(jìn)行網(wǎng)平差可進(jìn)一步提高定位精度[13-14]。GNSS網(wǎng)三維約束平差是為了獲取GNSS網(wǎng)中各點(diǎn)在指定坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，評定GNSS網(wǎng)的外符合精度而進(jìn)行的平差改正[13]。采用附有限制條件的間接平差模型，以GNSS基線作為觀測量，在約束平差中引入必要的起算數(shù)據(jù)，使得GNSS網(wǎng)的位置和尺度基準(zhǔn)發(fā)生變化[15]。微型GNSS陣列如圖1所示，測站A、B、C和D呈規(guī)則分布，測站之間空間距離可通過激光跟蹤儀通過距離測量測定。

圖1 微型GNSS陣列觀測模型

1.1 微型GNSS陣列誤差方程的推導(dǎo)

微型GNSS陣列約束網(wǎng)平差以微型GNSS陣列中精度最高的點(diǎn)為基準(zhǔn)點(diǎn)，根據(jù)基準(zhǔn)點(diǎn)的坐標(biāo)和基線向量計(jì)算其他待定點(diǎn)的近似坐標(biāo)[16]。本研究以測站A為基準(zhǔn)點(diǎn)，根據(jù)測站的坐標(biāo)和基線向量計(jì)算測站B、C和D的近似坐標(biāo)。4個測站，共構(gòu)成BC、BD、CD、AB、AC、AD6條基線。以基線BC為例介紹，基線BC與基線兩端點(diǎn)的數(shù)學(xué)關(guān)系為：

(1)

根據(jù)公式(1)得到基線BC的誤差方程：

(2)

根據(jù)公式(1)和公式(2)，推導(dǎo)出基線BC的誤差方程：

(3)

微型GNSS陣列網(wǎng)中6條基線的誤差方程為：

(4)

其中：

GNSS網(wǎng)平差中，若基線解算模式為單基線解，無法給出同步觀測基線之間的統(tǒng)計(jì)相關(guān)性[17]。權(quán)矩陣為：

(5)

式中：I為三階單位矩陣，D是由觀測基線的方差-協(xié)方差矩陣組成的矩陣。

1.2 微型GNSS陣列約束條件方程

GNSS網(wǎng)的三維約束平差可以采用地面已知固定點(diǎn)坐標(biāo)、固定大地方位角以及固定空間弦長等作為約束條件[18]。微型GNSS陣列各測站之間的距離始終保持不變，采用固定基線邊長條件進(jìn)行三維約束平差。

以微型陣列中基線BC為例，設(shè)Sbc為基線BC的邊長，平差時作為GNSS網(wǎng)的尺度基準(zhǔn), 則有約束條件：

(6)

對公式(6)進(jìn)行微分得：

(7)

根據(jù)公式(7)得約束方程:

(8)

1.3 微型GNSS陣列法方程的組成和解算

微型陣列GNSS網(wǎng)三維約束平差的實(shí)質(zhì)為附有限制條件的間接平差。由公式(4)和(8)組成法方程：

(9)

式中，NBB=BTPB，V=BTPl，k為聯(lián)系數(shù)。

根據(jù)公式(9)得

(10)

2 方法驗(yàn)證與案例分析

2.1 數(shù)據(jù)準(zhǔn)備

為驗(yàn)證高精度基線向量，經(jīng)過約束網(wǎng)平差解算可進(jìn)一步提高測站的定位精度，仿真時長為15 min采樣頻率為1 Hz的基線向量數(shù)據(jù)。進(jìn)行仿真時，設(shè)置了4個天線構(gòu)成的微型陣列，相對位置關(guān)系如圖1所示。圖1中微型GNSS陣列在X方向相差2 m，在Y方向相差2 m，Z方向數(shù)值相同?；€向量有6條，其中基線AB、AC、BD、CD長度均為2 m，基線BC和AD長度為2.828 4 m。

筆者基于Visual Studio平臺通過C++程序向各基線中添加高斯白噪聲，高斯白噪聲信息如表1所示。

6條基線的高斯白噪聲在平均值(MEAN)、最大值(MAX)、最小值(MIN)、標(biāo)準(zhǔn)偏差(STD)和均方根誤差(RMS)五個方面數(shù)值大致相同。從表1可以看出，所有基線的高斯白噪聲的平均值都趨近于零；高斯白噪聲最大值約為3.44 cm，最小值約為-3.77 cm；STD(標(biāo)準(zhǔn)偏差)和RMS(均方根誤差)在數(shù)值上一致，約為1 cm。

表1 高斯白噪聲統(tǒng)計(jì)

表2 實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)

2.2 實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)

基于仿真基線向量，利用微型GNSS陣列中邊長已知的特點(diǎn)，以A點(diǎn)為基準(zhǔn)點(diǎn)，通過固定基線邊長作為約束條件進(jìn)行三維約束網(wǎng)平差。以不同的約束條件進(jìn)行網(wǎng)平差實(shí)驗(yàn)如表2所示。

2.3 結(jié)果分析

2.3.1 無約束網(wǎng)平差精度分析

微型GNSS陣列無約束網(wǎng)平差，是以A點(diǎn)為基準(zhǔn)點(diǎn)，以基線AB、AC、AD、BC、BD、CD為觀測量，采用間接平差模型進(jìn)行解算。解算后的結(jié)果如圖2所示。

從圖2可以看出，無約束網(wǎng)平差解算后，微型GNSS陣列中接收機(jī)的坐標(biāo)精度有所提升。B點(diǎn)Y方向的RMS最大，為7.5 mm；B點(diǎn)Z方向的RMS最小，為6.9 mm；其他方向的RMS均在7.1 mm處波動。造成B點(diǎn)的Y方向和Z方向的RMS相差較大的原因?yàn)楦咚拱自肼暤碾S機(jī)分布，在進(jìn)行網(wǎng)平差時，各點(diǎn)的坐標(biāo)精度會有細(xì)微的差別。圖3中各方向的差異均在亞毫米級，說明無約束網(wǎng)平差對各點(diǎn)在X、Y、Z三個方向的改正比較均勻。

2.3.2 固定一條基線邊長的約束網(wǎng)平差精度分析

固定一條基線邊長的約束網(wǎng)平差，是以無約束網(wǎng)平差為基礎(chǔ)，分別固定基線AB、AC和AD的邊長，采用附有限制條件的間接平差模型進(jìn)行解算。解算后的結(jié)果如圖3所示。

圖3 固定一條基線邊長的約束網(wǎng)平差解算后各點(diǎn)RMS

從圖3可以看出，固定一條基線邊長的約束網(wǎng)平差解算后，3組實(shí)驗(yàn)解算的坐標(biāo)在X、Y、Z三個方向的RMS大部分集中在7 mm左右。以基線AB的邊長為約束的網(wǎng)平差在X方向的精度有所提高，B、C、D三點(diǎn)X方向的RMS分別為0、6.2、6.1 mm。這是因?yàn)榛€AB為(2,0,0)，因此在以AB的空間弦長為約束的網(wǎng)平差中，X方向改正的權(quán)重比較大，尤其是B點(diǎn)X方向。以基線AC的邊長為約束的網(wǎng)平差在Y方向的改正較大，B、C、D三點(diǎn)在Y方向的RMS分別為6.4、0、6.3 mm。和以基線AB的邊長為約束的網(wǎng)平差的原因類似，基線AC為(0,2,0)，因此在Y方向改正的權(quán)重較大。以基線AD為約束的網(wǎng)平差在X和Y方向上的精度均有所提升，B、C和D在X方向的RMS分別為6.6、6.6、5.1 mm，B、C和D在Y方向的RMS分別為6.9、6.6、5.1 mm。具體原因是，約束基線AD為(2,2,0)，網(wǎng)平差時X和Y方向的權(quán)重相同，因此計(jì)算的X和Y方向的改正大致相同。以基線AD的邊長為約束，解算后D點(diǎn)的X和Y方向改正最大。

2.3.3 固定兩條基線邊長的約束網(wǎng)平差精度分析

固定兩條基線邊長的約束網(wǎng)平差中，分別以基線AB、AC的邊長為約束，以基線AB、AD的邊長為約束和以基線AC、AD的邊長為約束條件進(jìn)行網(wǎng)平差。解算結(jié)果如圖4所示。

圖4 固定兩條基線邊長的約束網(wǎng)平差解算后各點(diǎn)RMS

從圖4可以看出，固定兩條基線邊長為約束網(wǎng)平差解算后，三點(diǎn)在X和Y方向的RMS大部分集中在6.5 mm左右；Z方向變化不大，約為7.0 mm。以基線AB、AC邊長為約束網(wǎng)平差解算后，B、C、D在X方向的RMS分別為0、6.2、6.1 mm；B、C、D在Y方向的RMS為6.4、0、6.3 mm。以基線AB、AD邊長為約束網(wǎng)平差解算后，B、C、D在X方向的RMS為0、6.1、4.7 mm；B、C、D在Y方向的RMS為6.8、6.5、4.7 mm。以基線AC、AD邊長為約束網(wǎng)平差解算后，B、C、D在X方向的RMS為6.5、6.6、4.7 mm；B、C、D在Y方向的RMS為6.2、0、4.7 mm。上述三種約束方案在X和Y方向均有所改正，原因是基線AB為(2,0,0)，X方向權(quán)重大，因此在X方向改正最大，尤其是B點(diǎn)X方向；基線AC為(0,2,0)對Y方向改正最大，尤其是C點(diǎn)Y方向；基線AD為(2,2,0)在X和Y方向的權(quán)重相同、改正量大致相同，其中D點(diǎn)X和Y方向的改正量最大。

2.3.4 固定三條基線邊長的約束網(wǎng)平差精度分析

固定三條基線邊長的約束網(wǎng)平差，是在無約束網(wǎng)平差的基礎(chǔ)上，以基線AB、AC、AD的邊長為約束進(jìn)行網(wǎng)平差。解算后結(jié)果如圖5所示。

從圖5可以看出，固定基線AB、AC、AD邊長的約束網(wǎng)平差解算后，三點(diǎn)X和Y方向的RMS均小于6.5 mm；Z方向變化不大，約為7.0 mm。解算后，B、C、D在X方向的RMS為0、6.1、4.5 mm，在Y方向的RMS為6.2、0、4.5 mm。以基線AB、AC、AD的邊長為約束進(jìn)行網(wǎng)平差解算，在X和Y方向的精度均有較大提升。具體原因是，基線AB對所有點(diǎn)在X方向的改正均較大，尤以B點(diǎn)X方向最大；基線AC對所有點(diǎn)Y方向的改正較大，其中在C點(diǎn)的Y方向最大；基線AD對所有點(diǎn)X和Y方向均有改正，D點(diǎn)在X和Y方向相比于其他點(diǎn)改正最大。這三條約束基線共同作用，造成網(wǎng)平差后各點(diǎn)的坐標(biāo)精度均有所提升。

圖5 固定基線AB、AC、AD邊長的約束網(wǎng)平差解算后各點(diǎn)RMS

2.3.5 不同約束方案的精度比較

為了確定精度最高的以邊長為約束的網(wǎng)平差，選擇4個實(shí)驗(yàn)中精度最高的網(wǎng)平差進(jìn)行比較：無約束網(wǎng)平差，以基線AB的邊長為約束的網(wǎng)平差，以基線AB、AC的邊長為約束的網(wǎng)平差，以基線AB、AC、AD的邊長為約束的網(wǎng)平差，結(jié)果如圖6和表3所示。

圖6 不同約束網(wǎng)平差的RMS

從圖6可以看出，不同約束方案的網(wǎng)平差解算后的坐標(biāo)與原始坐標(biāo)對比分析后，RMS的量級均在毫米級。以基線AB、AC和AD的邊長為約束的網(wǎng)平差解算后精度最高，X和Y方向的RMS低于其他網(wǎng)平差，Z方向的RMS相比于其他網(wǎng)平差無明顯變化。由表3顯示，以AB、AC和AD的邊長為約束的網(wǎng)平差定位精度明顯優(yōu)于其他方案，B、C、D三點(diǎn)的點(diǎn)位誤差(3D)分別為9.2、9.4和9.4 mm。因此，在由4個天線組成的微型陣列中，以AB、AC、AD三條基線的邊長為約束的網(wǎng)平差的定位精度優(yōu)于其他約束方案。

表3 不同約束網(wǎng)平差的RMS統(tǒng)計(jì)

3 結(jié)語

本研究以微型GNSS陣列中高精度的動態(tài)基線向量為觀測量，根據(jù)微型GNSS陣列中天線邊長已知的特點(diǎn)，對微型GNSS陣列進(jìn)行基于邊長約束的網(wǎng)平差，實(shí)現(xiàn)了微型GNSS陣列快速高精度定位。并分析了不同的邊長約束方案對GNSS定位精度的影響，得到以下結(jié)論：

1) 微型GNSS陣列采用GNSS三維約束網(wǎng)平差可以實(shí)現(xiàn)高精度定位；

2) 基于微型GNSS陣列中接受機(jī)之間的距離可以通過激光跟蹤儀測定的空間特點(diǎn)，提出以邊長為約束的GNSS三維約束網(wǎng)平差，并通過案例進(jìn)行驗(yàn)證。