王永海，郭 珂*，方 岳，葉玉玲

(1.北京航天長征飛行器研究所，北京 100076；2.中船重工集團第七一○研究所，湖北 宜昌 443003)

0 引 言

模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(FNN)是一種將模糊推理系統(tǒng)和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)有機結(jié)合，功能上與模糊推理系統(tǒng)完全等價的自適應(yīng)網(wǎng)絡(luò)，具有強大的學習和推理能力。它已經(jīng)在非線性系統(tǒng)辨識、控制、故障診斷等領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用[1-4]。

王立新[1]將模糊系統(tǒng)作為萬能逼近器，構(gòu)造了一個前饋三層FNN，用于逼近非線性函數(shù)。韓紅桂等人[4]提出了一種基于混合梯度下降算法的模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，應(yīng)用于非線性系統(tǒng)建模與污水處理過程關(guān)鍵水質(zhì)參數(shù)預(yù)測時，表現(xiàn)出了較好的收斂速度和泛化能力。Wang[5]提出了一種具有新型模糊隸屬度函數(shù)的模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，并在非線性時變系統(tǒng)的辨識[6-7]中取得了較好的結(jié)果。葉玉玲[8]基于模糊粗糙隸屬函數(shù)，建立了一種五層結(jié)構(gòu)的模糊粗糙神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，并通過一種混合智能優(yōu)化算法優(yōu)化了網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)和參數(shù)，取得了較好的精度和泛化能力。劉俊強[9]對FNN的結(jié)構(gòu)和學習算法進行了深入的研究，給出了四種FNN結(jié)構(gòu)，其中典型的基于零階TS模糊邏輯系統(tǒng)的多輸入單輸出FNN結(jié)構(gòu)分為五層：輸入層、模糊化層、模糊推理層、歸一化層和輸出層。這種FNN具有設(shè)計方法簡單，物理意義明確，可逼近任意非線性函數(shù)的特點。在其結(jié)構(gòu)設(shè)計過程中，輸入層和輸出層根據(jù)實際系統(tǒng)確定，只需要給出每個輸入空間劃分的子空間數(shù)目，就確定了模糊化層、規(guī)則層和歸一化層神經(jīng)元的個數(shù)及連接。FNN的參數(shù)設(shè)計，即FNN的學習，是一種多變量尋優(yōu)技術(shù)，一般把參數(shù)分為前件參數(shù)和結(jié)論參數(shù)，分別學習。先確定前件參數(shù)，然后用最小二乘法得到結(jié)論參數(shù)。前件參數(shù)的學習一般采用BP算法[10]、單純形算法、遺傳算法[11]、粒子群優(yōu)化算法[12-13]等。但是，這樣設(shè)計出來的FNN結(jié)構(gòu)一般比較龐大，如果有4個輸入，每個輸入空間被劃分為3個子空間，那么模糊化層有12個神經(jīng)元，規(guī)則層和歸一化層有81個神經(jīng)元，模糊化層與規(guī)則層之間共有324個連接。復(fù)雜的FNN結(jié)構(gòu)一方面增加了計算量，另一方面也降低了系統(tǒng)的泛化能力。

智能優(yōu)化技術(shù)如遺傳算法和粒子群算法等在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)及參數(shù)辨識中得到了廣泛的應(yīng)用，并取得了很好的結(jié)果。Leung[11]和Tsai[14]分別用改進的實數(shù)編碼的遺傳算法和HTGA算法，同時對給定隱層節(jié)點數(shù)的情況下前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的連接權(quán)和參數(shù)進行進化設(shè)計，在保證精度的情況下，有效簡化了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)。文獻[15]用遞階結(jié)構(gòu)的蟻群-粒子群算法來優(yōu)化FNN網(wǎng)絡(luò)參數(shù)，從而實現(xiàn)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的非線性建模與控制。還有采用多種群協(xié)同進化來優(yōu)化RBF網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)和參數(shù)[16]，利用刪除法確定RBF網(wǎng)絡(luò)隱層節(jié)點數(shù)，用細菌群體趨藥性算法來確定參數(shù)的方法[17]等。

本文提出了一種混合集群智能優(yōu)化算法，給出了其對應(yīng)的實數(shù)編碼形式(RIOA)和二進制編碼形式(BIOA)。把FNN的結(jié)構(gòu)用一個布爾變量來表示，然后利用協(xié)同進化的思想，分別用BIOA和RIOA對FNN的結(jié)構(gòu)參數(shù)和前件參數(shù)同時進行優(yōu)化設(shè)計，結(jié)論參數(shù)采用最小二乘法[18]計算得到。用此方法進行FNN設(shè)計，對太陽黑子數(shù)目進行建模，實驗驗證了方法的有效性。

1 模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)和參數(shù)分析

在圖1所示的基于零階TS模糊邏輯系統(tǒng)的多輸入單輸出FNN結(jié)構(gòu)設(shè)計中，設(shè)FNN的輸入為x=(x1,x2,…,xm)，其中xi的輸入空間被劃分為ni個子空間，i=1,2,…,m，對應(yīng)的模糊集合記為Ai={Aij,j=1,2,…，ni}。將模糊量Aij的隸屬函數(shù)記為μij(xi)=μAij(xi)，則

(1)

圖1 模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)Fig.1 Structure of fuzzy neural network

(2)

FNN的設(shè)計可以表示為:對于訓練樣本Dq={u1q,u2q,…，unq,fq}，q=1,2,…，Q，尋找參數(shù)集S=S1+S2={ast,bst,L}+{wl}，其中，s=1,2,…,N；t=1，2，…，n，使如下參數(shù)最小化：

(3)

FNN的輸出是結(jié)論參數(shù)集的線性函數(shù)，因此，在固定前件參數(shù)和網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的條件下，采用最小二乘辨識得到的結(jié)論參數(shù)是最優(yōu)的。故而在FNN參數(shù)辨識中，主要任務(wù)即是尋找合適的參數(shù)集{ast,bst,L}。

2 混合集群智能優(yōu)化算法BIOA和RIOA

考慮如式(4)所示的全局數(shù)值優(yōu)化問題:

minf(x)=f(x1，x2，…，xn)

(4)

混合集群智能優(yōu)化算法BIOA和RIOA是一種算法的兩種不同編碼形式：二進制編碼和實數(shù)編碼。其基本思想借鑒了遺傳算法的交叉和變異操作、粒子群優(yōu)化算法的相關(guān)操作[19]，并對其進行了改進。其基本過程如圖2所示。

圖2 混合集群智能優(yōu)化算法BIOA和RIOA進化示意圖Fig.2 Evolution figure of hybrid swarm intelligent optimization algorithm BIOA and BIOA

算法可以簡單地描述為：

Step 2：計算各個體的目標函數(shù)值，并從小到大排序；令目標函數(shù)值最小的個體為a0，對應(yīng)的目標函數(shù)值設(shè)為f0。如果滿足結(jié)束條件|f0-fmin|≤es或者ns≥Ns，其中，fmin為目標函數(shù)全局最小值，則算法結(jié)束，返回a0。否則，轉(zhuǎn)Step 3。

Step 3：對a0進行變異，如果變異后的個體目標函數(shù)值減小，則用變異后的個體更新。

Step 4：對目標函數(shù)值較大的(round(n·α))個個體進行PSO操作，并計算得到個體的目標函數(shù)值，如果有小于f0的個體，則用該個體更新a0。

Step 5：對剩余的個體按交叉概率β進行交叉操作，并計算得到個體的目標函數(shù)值，如果有小于f0的個體，則用該個體更新a0。

Step 6：對所有新個體按目標函數(shù)值從小到大進行排序，選擇目標函數(shù)值較大的(round(n·γ))個個體進入下一代。

Step 7：隨機生成(round(n·(1-γ)))個新的個體，加入到下一代中。計算這些個體的目標函數(shù)值，ns=ns+1，轉(zhuǎn)Step 2。

2.1 二進制編碼的混合集群智能優(yōu)化算法BIOA

(5)

其中，rand(1)表示[0，1]之間的隨機數(shù)，round(·)為取整操作。

第4步的PSO操作為

其中,δ為閾值，0<δ<0.5。

j=round(rand(1)·m)

2.2 混合集群智能優(yōu)化算法RIOA

(6)

其中,λ∈[-0.5 0.5]，j=round(rand(1)·m)。

PSO操作為

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

2.3 算法特點

混合集群智能優(yōu)化算法BIOA和RIOA綜合了遺傳算法、粒子群優(yōu)化算法和免疫算法的優(yōu)點，改進了其算子，不僅大大提高了搜索的速度，同時也保證了種群的多樣性，從而有效避免了早熟和局部收斂。本文所提混合集群智能優(yōu)化算法為全局搜索算法，由于搜索范圍覆蓋了整個搜索域，因而總是可以找到全局最優(yōu)解的，從理論上可以證明算法可按期望收斂到全局最優(yōu)解，且算法是漸近穩(wěn)定的。歸納起來，有如下特點：

(1)每一種單一的搜索算法，都因其自身固有模式而存在自身缺陷。由遺傳算法、粒子群優(yōu)化算法和免疫算法結(jié)合而成的混合集群智能優(yōu)化算法BIOA和RIOA，其優(yōu)化性能通常優(yōu)于單一的任一種優(yōu)化方法的優(yōu)化性能。

(2)根據(jù)個體的目標函數(shù)值不同，采用不同的操作，大大降低了計算量，提高了搜索的效率。

(3)由于PSO算法可以靈活調(diào)節(jié)算法全局搜索和局部開發(fā)的平衡，這在一定程度上較有效地克服了算法早熟、局部收斂的缺陷，提高整體算法的搜索能力[20]。

(4)采用競爭擇優(yōu)的交叉算子代替常規(guī)的交叉算子，大大提高了搜索的速度，同時，由于搜索范圍覆蓋了整個搜索域，有利于避免局部收斂和保持種群的多樣性。

(5)直接對最優(yōu)個體進行變異操作，在RIOA中變異的幅度隨進化代數(shù)自適應(yīng)變化，增強了算法的局部搜索能力。

(6)募集新成員操作進一步保證了抗體群的多樣性。

3 基于BIOA和RIOA協(xié)同進化的模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)設(shè)計

基于BIOA和RIOA的模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)設(shè)計是在給定ni的情況下，利用BIOA和RIOA協(xié)同進化，尋找最優(yōu)的參數(shù)集{ast,bst,L}。協(xié)同進化示意圖如圖3所示。

圖3 BIOA和RIOA協(xié)同進化示意圖Fig.3 Cooperative optimization figure of BIOA and RIOA

Step 1：隨機生成NB個長度為L的二進制編碼初始種群{a1,a2,…,aNB}和NR個長度為2m的實數(shù)編碼種群{b1,b2,…,bNR}。給參數(shù)ec(或者Nc)和ξ賦值，nc=1。

Step 2：種群1和種群2的個體進行組合，得到NB·NR個完整的參數(shù)集個體{a1b1，…，a1bNR，a2b1，…，a2bNR，…，aNBbNR}。

Step 3：對每個個體aibj(1≤i≤NB，1≤j≤NR)，根據(jù)最小二乘法計算結(jié)論參數(shù)和目標函數(shù)值。令目標函數(shù)值最小的個體為最優(yōu)個體a0b0。如果結(jié)束條件(最優(yōu)個體對應(yīng)的目標函數(shù)值|f0-fmin|≤ec或者nc≥Nc)滿足，則結(jié)束，否則轉(zhuǎn)到Step 4。

Step 4：用a0與種群2的個體進行組合，得到完整的參數(shù)集種群{a0b1,a0b2,…，a0bNR}。保持a0部分不變，利用優(yōu)化算法RIOA對種群{b1,b2,…,bNR}進行進化，得到最優(yōu)個體a0b′。

Step 7：nc=nc+1，轉(zhuǎn)到Step 2。

其中，超級個體的變異操作包括：刪除連接，增加連接(如果{a1，a2，…，aNB}中有為0的項)，對參數(shù)進行小的隨機擾動，刪除節(jié)點。其操作如下：

(1)刪除連接

ifai=1 thenai=1-ai,

i=round(rand(1)·NB)

(2)增加連接

ifai=0 thenai=1-ai,

i=round(rand(1)·NB)

(3)對參數(shù)施加小的隨機擾動

bi=bi+(rand(1)-0.5)ξ

(4)刪除節(jié)點

aj=0，aj為所有與規(guī)則層中第i個神經(jīng)元連接的連接值，i=round(rand(1)·M)。

ξ根據(jù)實際情況取較小的值。

4 實驗及結(jié)果分析

太陽黑子的數(shù)目是年份的函數(shù)，這個函數(shù)是非線性、非穩(wěn)態(tài)、非高斯的，很難對其進行預(yù)測。1700年至1980年的太陽黑子數(shù)如圖4所示。文獻[11]用改進的遺傳算法進化神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，文獻[14]用混合Taguchi遺傳算法進化神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)。和文獻[11]相比，在相同的隱層節(jié)點下，文獻[14]的方法不僅提高了精度，而且得到的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)也更加簡化。本實驗采用模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來建立太陽黑子數(shù)目的模型，用混合集群智能優(yōu)化算法BIOA和RIOA協(xié)同進化來優(yōu)化FNN的結(jié)構(gòu)和參數(shù)。

圖4 1700年至1980年的太陽黑子數(shù)目Fig.4 Sunspot cycles from 1700 to 1980

作為比較，引入了用BP算法訓練前件參數(shù)和最小二乘法得到結(jié)論參數(shù)的FNN設(shè)計方法(FNN-BP)。

(2)把數(shù)據(jù)集分為訓練集和測試集，前180年(1705≤t≤1884)的數(shù)據(jù)作為訓練集，被用來訓練模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，剩余數(shù)據(jù)作為測試集，用于測試訓練好的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。

(3)訓練誤差定義為

(12)

其中，y1(t)表示t年FNN輸出的太陽黑子數(shù)目。

測試誤差定義為

(13)

適應(yīng)值定義為

(14)

(4) BIOA和RIOA中的參數(shù)取值為：種群規(guī)模NB=Ng=20，α=0.5，β=0.5，γ=0.8，停止條件為ns=1，nc=10。

20次實驗所得訓練集上適應(yīng)值結(jié)果如表1所示。

其網(wǎng)絡(luò)類型中，F(xiàn)NN-BIOA/RIOA表示由BIOA和RIOA協(xié)同優(yōu)化結(jié)構(gòu)和參數(shù)得到的FNN；FNN-BP表示僅由BP算法和最小二乘法訓練得到的FNN；NN-HTGA表示用HTGA優(yōu)化結(jié)構(gòu)和參數(shù)得到的三層前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，其數(shù)據(jù)來源于文獻[14]。由表1所列出的結(jié)果可以看出：(1)FNN-BIOA/RIOA得到的適應(yīng)值(最優(yōu)值和平均值)總是大于相同網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的FNN-BP，而且兩者的適應(yīng)值都隨著網(wǎng)絡(luò)規(guī)模的增大而增加。這也證明了網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)越復(fù)雜，越能以更高的精度逼近非線性函數(shù)。(2) FNN-BIOA/RIOA得到的適應(yīng)值平均值幾乎都大于NN-HTGA，F(xiàn)NN-BP在網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)大于[3 2 2]時也都優(yōu)于NN-HTGA的最優(yōu)值。隨著隱層節(jié)點數(shù)的增加，NN-HTGA的適應(yīng)值先增加后降低，當隱層節(jié)點數(shù)為6時，結(jié)構(gòu)最優(yōu)。這說明在對非線性系統(tǒng)進行建模時，F(xiàn)NN更容易得到更高的精度。(3) FNN-BIOA/RIOA和NN-HTGA得到的適應(yīng)值的標準差幾乎都在10-4這一數(shù)量級。對于平均值而言，標準差很小。由于FNN-BP的參數(shù)初值每次實驗都相同，算法也相同，所以適應(yīng)值標準差為0。這說明三種方法建立的網(wǎng)絡(luò)模型精度都比較穩(wěn)定。

表1 訓練集上適應(yīng)值結(jié)果比較Table 1 Comparison of fitness values on train set

20次實驗得到的適應(yīng)值、訓練集上的訓練誤差、預(yù)測集上的預(yù)測誤差和連接數(shù)平均值如表2所示。圖5給出了FNN-BIOA /RIOA方法的平均訓練誤差。

圖5 FNN-BIOA /RIOA平均訓練誤差Fig.5 Average training error of FNN-BIOA /RIOA

表2 網(wǎng)絡(luò)性能和結(jié)構(gòu)比較Table 2 Comparison of network performance and structure

其中，NN-IGA表示用IGA優(yōu)化結(jié)構(gòu)和參數(shù)得到的三層前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，其數(shù)據(jù)來源于文獻[11]。從表2的結(jié)果可以看出：(1)就訓練誤差而言，在相同的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)時，F(xiàn)NN-BIOA/RIOA比FNN-BP小，兩者都低于NN-IGA的最優(yōu)值。FNN-BIOA/RIOA在網(wǎng)絡(luò)規(guī)模大于[2 2 2]時，F(xiàn)NN-BP在網(wǎng)絡(luò)規(guī)模大于[3 2 2]時，兩者的訓練誤差均低于NN-HTGA的最優(yōu)值。(2)就預(yù)測誤差而言，F(xiàn)NN-BIOA/RIOA得到的FNN預(yù)測誤差最小，F(xiàn)NN-BP和NN-HTGA的預(yù)測誤差大致相等，均低于NN-IGA。(3)就網(wǎng)絡(luò)的復(fù)雜程度而言，F(xiàn)NN- BIOA/RIOA的連接數(shù)明顯比FNN-BP少，這說明FNN-BP的結(jié)構(gòu)中確實含有許多冗余的連接，而BIOA/RIOA可以有效地降低其冗余。

5 結(jié) 論

將典型的基于零階TS模糊邏輯系統(tǒng)的模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模糊化層和規(guī)則層之間的連接用一個布爾變量表示后，模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入輸出表達式中就包含了一個反映FNN結(jié)構(gòu)的參數(shù)。把這個結(jié)構(gòu)參數(shù)和模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的前件參數(shù)分別放在兩個種群中，用本文提出的混合集群智能優(yōu)化算法BIOA和RIOA進行協(xié)同進化，得到最優(yōu)的前件參數(shù)后用最小二乘法計算得到優(yōu)化的結(jié)論參數(shù)。對太陽黑子數(shù)目的建模實驗表明，本方法能得到比普通用BP算法和最小二乘算法得到的模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和用三層前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)更高的精度和泛化能力，同時也能有效地簡化模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)。