李羿萱，杜選民，周勝增，高 運

(上海船舶電子設(shè)備研究所，上海 201108)

0 引 言

隨著被動聲吶檢測性能的不斷提高，聲吶的作用距離得到有效提高，在聲吶作用距離內(nèi)可檢測到的目標(biāo)數(shù)大大增加，多目標(biāo)軌跡分布情況越來越復(fù)雜，同時背景雜波數(shù)目也隨之增多，如何在多目標(biāo)復(fù)雜的情況下對感興趣的威脅目標(biāo)進(jìn)行有效跟蹤具有迫切需求。

傳統(tǒng)的被動聲吶跟蹤方法，適用于目標(biāo)較少且方位間隔較大的情況，對于目標(biāo)較多且軌跡變化比較復(fù)雜的情況，例如目標(biāo)交叉、鄰近、新目標(biāo)出現(xiàn)、已有目標(biāo)突然消失等情形，往往會出現(xiàn)失跟、漏跟以及錯跟等情況。例如多假設(shè)跟蹤[1]和聯(lián)合概率數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)算法[2]等基于數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)技術(shù)的多目標(biāo)跟蹤方法，在目標(biāo)數(shù)較少、多目標(biāo)情況不復(fù)雜的條件下，可以獲得一定的有效跟蹤效果，但是在目標(biāo)數(shù)目增加或者目標(biāo)情況復(fù)雜的情況下，容易在計算復(fù)雜度增大的同時導(dǎo)致跟蹤效果較差。這是由于這些算法的中心思想是將多目標(biāo)跟蹤問題解析成多個單目標(biāo)問題，再對各個單目標(biāo)分別進(jìn)行濾波處理，最后通過數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)的方法融合每個單目標(biāo)處理后的結(jié)果。

針對傳統(tǒng)多目標(biāo)跟蹤算法面對強(qiáng)干擾或多目標(biāo)軌跡情況復(fù)雜時跟蹤效果較差的問題，Mahler 教授提出了基于隨機(jī)有限集理論（RFS）的概率假設(shè)密度濾波[3]（PHD）的多目標(biāo)跟蹤算法，實現(xiàn)了集函數(shù)的積分運算到單個變量積分運算的轉(zhuǎn)化，避免了數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)問題，解決了計算復(fù)雜度“爆炸”的問題，適用于較復(fù)雜背景下的多目標(biāo)跟蹤。Vo 教授的研究小組為了解決PHD 濾波器不存在一般意義上解析解的問題，分別提出了能提供閉合解的高斯混合PHD（GM-PHD）濾波器和粒子PHD（P-PHD）濾波器[4]。其中，GM-PHD 濾波器既可以提供PHD 的解析解，又避免了粒子采樣和聚類等復(fù)雜操作，具有運算效率高、計算量較小的優(yōu)點，已在雷達(dá)的多目標(biāo)領(lǐng)域得到應(yīng)用[5]。

本文針對多目標(biāo)干擾情況下被動聲吶的多目標(biāo)中威脅目標(biāo)方位的自動跟蹤進(jìn)行研究，提出一種基于GM-PHD 濾波器的威脅目標(biāo)方位的自動跟蹤算法。首先利用GM-PHD 濾波器對多目標(biāo)時間方位歷程圖進(jìn)行處理，得到觀測區(qū)域內(nèi)所有存在目標(biāo)的方位信息，對這些存在目標(biāo)的方位進(jìn)行功率譜估計，再利用GMPHD 濾波器對觀測區(qū)域內(nèi)所有目標(biāo)的線譜進(jìn)行跟蹤，通過提取不同頻段線譜能量區(qū)分干擾目標(biāo)和威脅目標(biāo)，有效地找出多目標(biāo)中威脅目標(biāo)的軌跡及方位信息。最后，利用試驗數(shù)據(jù)對所提算法的有效性進(jìn)行了驗證。

1 算法原理

為了精確地找到感興趣的威脅目標(biāo)的方位，首先對多目標(biāo)的時間方位歷程圖（BTR）進(jìn)行多目標(biāo)方位跟蹤處理，本文使用GM-PHD 濾波的算法進(jìn)行多目標(biāo)的跟蹤處理，得到觀測區(qū)域內(nèi)所有存在目標(biāo)的方位，并對每一個存在目標(biāo)的方位進(jìn)行功率譜估計和頻率歸一化，得到每個目標(biāo)的線譜信息，再使用GM-PHD 濾波算法對目標(biāo)線譜進(jìn)行跟蹤，通過分析不同頻段線譜的能量特征，找出感興趣的威脅目標(biāo)并給出威脅目標(biāo)的方位信息。

圖1 多目標(biāo)中威脅目標(biāo)方位的自動跟蹤流程圖Fig. 1 Flow chart of automatic tracking of threat target position in multiple targets

2 基于GM-PHD 濾波器的多目標(biāo)跟蹤

2.1 PHD 濾波基本算法

假設(shè)在k時刻，目標(biāo)的數(shù)目是M(k)，且在k?1時刻的目標(biāo)狀態(tài)隨機(jī)集是Xk?1={xk?1,1,···,xk?1,M(k?1)}，則k時刻的目標(biāo)狀態(tài)隨機(jī)有限集可以表示為Xk={xk,1,···,xk,M(k)} 。觀測集可以表示為Zk={zk,1,···,zk,N(k)}，觀測到的目標(biāo)數(shù)目可以表示為N(k)。

可以將k時刻的狀態(tài)集Xk表示為隨機(jī)集：

其中，Sk|k?1(x) 表示由k?1時 刻至k時刻時仍然存在的目 標(biāo) 的 隨 機(jī) 有 限 集；Bk|k?1(x) 表 示 由k?1時 刻 的 狀 態(tài)x在k時刻衍生出的目標(biāo)隨機(jī)有限集； Γk表示在k時刻瞬間出現(xiàn)的新目標(biāo)的隨機(jī)有限集。

以此類推，觀測集Zk也可以用隨機(jī)有限集的形式來表示：

其中，Kk表示虛警或雜波產(chǎn)生的觀測值的隨機(jī)有限集，Θk(x) 表示由真實目標(biāo)Xk產(chǎn)生的觀測值的隨機(jī)有限集[4]。

多目標(biāo)系統(tǒng)需要滿足以下3 個假設(shè)條件[3]：

1）每個目標(biāo)運動過程與其產(chǎn)生的觀測彼此相互獨立；

2）由先驗概率預(yù)測獲得的多目標(biāo)隨機(jī)有限集（RFS）遵循泊松分布；

3）雜波的隨機(jī)有限集遵循泊松分布，并且與目標(biāo)所產(chǎn)生的觀測的隨機(jī)有限集相互獨立。

PHD 濾波的基本遞歸方程如下：

式中：vk|k?1(·)表 示多目標(biāo)隨機(jī)有限集的預(yù)測PHD，vk(·)表示多目標(biāo)隨機(jī)有限集的更新PHD。更新PHD 函數(shù)vk(·)是一個單目標(biāo)狀態(tài)空間上的多峰值函數(shù)，對其積分可以獲得所選區(qū)域內(nèi)的目標(biāo)的期望數(shù)，其物理意義是狀態(tài)空間中目標(biāo)個數(shù)的后驗強(qiáng)度，其所對應(yīng)的峰值即為目標(biāo)狀態(tài)，其峰值個數(shù)表示目標(biāo)個數(shù)。

2.2 基于GM-PHD 濾波器的被動聲吶目標(biāo)跟蹤方法

將GM-PHD 濾波器應(yīng)用于被動聲吶的目標(biāo)跟蹤，除了要遵循PHD 濾波器的假設(shè)外，多目標(biāo)的線性高斯模型應(yīng)包括新生目標(biāo)、消失目標(biāo)、一直存在目標(biāo)的3 種情況。

被動聲吶的觀測范圍為[0°,180°]，目標(biāo)狀態(tài)變量用xk=[ak,]表 示，其中ak表示k時刻時目標(biāo)的角度，表示k時刻目標(biāo)的角度變化率。

在多目標(biāo)的跟蹤系統(tǒng)中，目標(biāo)的運動狀態(tài)模型遵循下式的線性高斯條件：

其中：fk|k?1(·|·)表 示單目標(biāo)轉(zhuǎn)移概率密度；N(·;m,P)表示均值為m；協(xié)方差為P的高斯分布；Fk?1表示狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣；Qk?1表示過程噪聲協(xié)方差。

目標(biāo)的運動方程為：

其中，目標(biāo)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣Fk和噪聲協(xié)方差矩陣Qk分別為：

其中，取T=1表 示采樣時間，過程噪聲標(biāo)準(zhǔn)差 σv=1 m/s2。

目標(biāo)觀測模型服從下式的線性高斯條件：

其中，gk(·|·) 表示單目標(biāo)量測似然函數(shù)，Hk表示觀測矩陣，Rk表示觀測噪聲協(xié)方差。

目標(biāo)的觀測方程為：

其中，觀測向量zk=[θk]， θk為聲吶觀測的目標(biāo)方位信息，nk為環(huán)境噪聲。

假設(shè)每個目標(biāo)的運動模型和觀測模型都符合線性高斯模型，各目標(biāo)的存活概率PS,k(·) 和發(fā)現(xiàn)概率PD,k(·)相互獨立，則基于GM-PHD 的被動聲吶目標(biāo)跟蹤算法具體步驟為：

1）預(yù)測

假設(shè)在k?1時刻，多目標(biāo)的后驗強(qiáng)度（PHD）可以用高斯混合形式表示：

在k時刻，也可以通過高斯混合形式來表示預(yù)測的多目標(biāo)強(qiáng)度函數(shù)（PHD）：

其中，可以利用卡爾曼濾波分別推導(dǎo)得到存活目標(biāo)和衍生目標(biāo)的高斯分量的預(yù)測均值和協(xié)方差：

2）更新

根據(jù)卡爾曼濾波得到更新后的多目標(biāo)概率假設(shè)密度（PHD）的高斯分量的特征參數(shù)如下：

由式（4）可得更新后的多目標(biāo)概率假設(shè)密度（PHD）為：

其中：

3）合并與裁剪

在GM-PHD 濾波實現(xiàn)的過程中，隨著時間的增加，后驗概率的高斯項的數(shù)目會不斷增多，所以需要通過對濾波后的高斯分量進(jìn)行合并和裁剪來達(dá)到控制高斯項數(shù)目的目的[6]。可以通過設(shè)置合并閾值U，將兩個歐氏距離在門限U內(nèi)的高斯分量合并為一個；可以通過設(shè)置裁剪閾值T，裁剪掉權(quán)值低于T的高斯分量。

經(jīng)過對高斯混合分量的合并與裁剪，可以估計目標(biāo)的數(shù)目為分量的權(quán)值之和

2.3 基于GM-PHD 濾波的線譜跟蹤方法

通過對多目標(biāo)進(jìn)行方位跟蹤得到各個目標(biāo)的方位信息后，對其進(jìn)行功率譜估計，并進(jìn)行頻率歸一化的計算，將標(biāo)準(zhǔn)化的頻譜通過基于GM-PHD 濾波的線譜跟蹤器進(jìn)行線譜跟蹤。

基于GM-PHD 濾波的線譜跟蹤與2.2 節(jié)中方位跟蹤的區(qū)別在于，將目標(biāo)的狀態(tài)變量用表示，其中fk表示k時刻時線譜的頻率，表示k時刻時線譜的頻率變化率，其預(yù)測與更新過程均與方位跟蹤的過程相同。

3 試驗數(shù)據(jù)驗證

海試數(shù)據(jù)由拖曳式48 元均勻線列陣采樣獲得，試驗過程中合作目標(biāo)包含豐富的線譜成分，方向由68°向57°變化，同時存在約15 個干擾目標(biāo)。圖2 為寬帶能量檢測檢測圖，圖中包含給出個多個目標(biāo)的軌跡，在實際應(yīng)用中很難快速找出感興趣的窄帶線譜目標(biāo)。

GM-PHD 濾波跟蹤算法對圖2 數(shù)據(jù)的跟蹤結(jié)果，如圖3 所示。

圖2 真實海試數(shù)據(jù)的寬帶能量檢測圖Fig. 2 Broadband energy detection map of real sea trial data

圖3 基于GM-PHD 濾波器的真實海試數(shù)據(jù)的跟蹤結(jié)果Fig. 3 Tracking results of real sea trial data based on GM-PHD filter

通過對所選區(qū)域所有存在目標(biāo)的方位進(jìn)行線譜特征分析，可以找出感興趣的威脅目標(biāo)，其時間方位歷程圖如圖4 所示。

圖4 威脅目標(biāo)的時間方位歷程圖Fig. 4 Time-bearing gragh of the threat target

4 結(jié) 語

本文利用GM-PHD 濾波算法在復(fù)雜情況下的被動聲吶的多目標(biāo)跟蹤時的良好性能，建立目標(biāo)運動與觀測的隨機(jī)有限集模型，有效地跟蹤了多目標(biāo)的方位軌跡，驗證了高斯混合概率密度假設(shè)濾波跟蹤算法可以在強(qiáng)雜波的條件下，對多目標(biāo)交叉鄰近、新目標(biāo)衍生或新生、目標(biāo)突然消失的多目標(biāo)復(fù)雜情況進(jìn)行有效跟蹤。

本文基于此實現(xiàn)了復(fù)雜情況下多目標(biāo)中威脅目標(biāo)方位的自動跟蹤，成功獲取了威脅目標(biāo)的時間方位歷程圖，有望在被動聲吶中得到工程實用。