董正中,陳天恩,李 賀

(中國電建集團(tuán)西北勘測設(shè)計研究院有限公司，西安 710065)

0 前 言

隨著中國越來越多的參與國際水電工程建設(shè)，需要我們對國外尤其是美國規(guī)范有更深入的理解。水電工程中的偏心受壓構(gòu)件多出現(xiàn)在結(jié)構(gòu)柱、水工襯砌結(jié)構(gòu)受外水壓力時的截面之中。本文在采用美國規(guī)范進(jìn)行水電工程偏壓構(gòu)件正截面承載能力計算時，主要參考了美國ACI 318M-14[1]《混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計規(guī)范》(簡稱ACI)和EM 1110-2-2104[2]《水工鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)強度設(shè)計規(guī)范》(簡稱EM)2本規(guī)范。

在查閱規(guī)范中發(fā)現(xiàn)，ACI對混凝土截面設(shè)計雖然做了一些原則性的規(guī)定與假設(shè)，但需要設(shè)計者在滿足ACI 規(guī)定情況下選用適宜的計算方法。而EM 規(guī)范針對水工結(jié)構(gòu)做了一些補充原則，且在EM附錄B中給出了偏壓正截面承載力計算公式，但附錄B限于篇幅，個別公式有疏漏之處，未把各種情況下的計算公式描述全面。筆者查閱了一些關(guān)于水工偏壓構(gòu)件正截面承載力計算教程，發(fā)現(xiàn)大部分采用手動計算判別，比如截面受拉還是受壓控制，受壓鋼筋是否屈服等。本文在梳理的EM附錄B公式的基礎(chǔ)上，補充相關(guān)計算公式，提出了適宜的壓彎構(gòu)件正截面承載力計算方法，提高設(shè)計工作效率。

1 計算原則與假定

(1) 混凝土最外邊緣受壓纖維處極限壓應(yīng)變εc等于0.003。

(2) 鋼筋應(yīng)力(受拉鋼筋應(yīng)力記為fs，受壓鋼筋應(yīng)力記為fs′)若小于fy，則應(yīng)取為鋼筋應(yīng)變(受拉鋼筋應(yīng)變記為εs，受壓鋼筋應(yīng)變記為εs′)的Es倍。當(dāng)鋼筋應(yīng)變大于與fy對應(yīng)的應(yīng)變εy時，鋼筋應(yīng)力應(yīng)考慮與應(yīng)變無關(guān)并等于fy。

(3) 平截面假定，應(yīng)變沿截面高度呈線性變化。

(4) 當(dāng)截面中受拉鋼筋達(dá)到fy對應(yīng)的應(yīng)變時，若受壓混凝土達(dá)到極限壓應(yīng)變0.003，截面存在臨界平衡條件。當(dāng)受壓混凝土達(dá)到極限壓應(yīng)變0.003時，若εs≤εy，則截面由受壓控制，若εs>εy，則截面由受拉控制。

(5) 假定存在數(shù)值為0.85fc′的混凝土等效受壓區(qū)(應(yīng)力均勻分布)，該區(qū)域由橫截面的邊緣線和一條與中和軸平行并與極限壓應(yīng)變距離為a=β1c的直線所限定，如圖2所示。β1的計算公式如下(fc′為混凝土抗壓強度)：

(1)

(6) 強度折減系數(shù)φ和受拉鋼筋的應(yīng)變εs相關(guān)[1]，其表達(dá)式如下。具體說明見本文4.1節(jié)。

(2)

(7) 受拉鋼筋的最大配筋率ρmax：建議限值為ρmax=0.25ρb[2]，超過此值將要求考慮適用性、可構(gòu)造性和經(jīng)濟(jì)性。ρb為當(dāng)截面達(dá)到臨界平衡條件時的受拉鋼筋配筋率。其計算方法和相關(guān)說明見本文4.2節(jié)。

2 計算簡圖及通項公式

2.1 符號說明

Pn和Mn為名義強度或者標(biāo)稱強度；φPn和φMn為設(shè)計強度；Pu和Mu為計算得到的軸力和彎矩；ku為相對受壓區(qū)高度；kb為臨界平衡狀態(tài)下相對受壓區(qū)高度。

2.2 計算簡圖

公式(3)～公式(19)相關(guān)參數(shù)的意義見圖1～ 4。

2.3 通項公式

(1) 截面壓力Pu到受拉鋼筋的偏心距：

(3)

圖1 截面尺寸及鋼筋位置圖

圖2 截面受力簡圖

(2) 根據(jù)臨界平衡狀態(tài)下應(yīng)變相似三角形(見圖3)，聯(lián)立：

圖3 臨界平衡應(yīng)變?nèi)切螆D

(4)

(3) 截面力的平衡即可推出：

(5)

(4) 截面所有力對受拉鋼筋的力矩求和即可推出：

(6)

(5) 由Pne′=Mn得出：

(7)

(6) 公式Mn/Pn即得出截面壓力Pn到受拉鋼筋的偏心距：

(8)

公式(5)～(8)即為偏心受壓正截面承載力計算的通項公式。

圖4 受拉/壓控制應(yīng)變?nèi)切螆D

3 計算過程

本文將按先按單側(cè)(受拉側(cè))配筋求解ρ，若單側(cè)配筋無法得出ρ，再按雙側(cè)配筋求解ρ和ρ′。無論是單側(cè)還是雙側(cè)配筋，在計算前根據(jù)ACI規(guī)范，Pn需按下面公式進(jìn)行軸力判斷，若不滿足則需調(diào)整截面尺寸。

φPn(max)=0.8φ[0.85fc′(Ag-(ρ+ρ′)bd)+fy(ρ+ρ′)bd]

(9)

3.1 單側(cè)配筋

令ρ′=0以及ρ在0～ρmax之間搜索；對于每個ρ，先求解臨界平衡條件下的eb(公式8)；若e′≥eb則按單側(cè)受拉控制，若e′

3.1.1單側(cè)配筋臨界平衡的eb

令ρ′=0，ku=kb，fs=fy，代入公式(8)即可求出臨界平衡下的偏心距eb。

3.1.2單側(cè)配筋受拉控制

令ρ′=0，fs=fy，代入公式(7)整理如下，計算時需剔除小于0的根。

(10)

3.1.3單側(cè)配筋受壓控制

先假設(shè)fs>-fy，則根據(jù)應(yīng)變?nèi)切?見圖4)，利用混凝土極限壓應(yīng)變εc側(cè)的相似三角形，很容易推出：

(11)

將公式(11)和ρ′=0代入公式(7)如下，此方程為ku的一元三次方程，本文采用盛金公式[3]求解，計算中不需要迭代求解，可根據(jù)判別式直接求出根，但需剔除掉復(fù)數(shù)根和小于0的根。

(12)

求出ku后需代回公式(11)看是否fs>-fy。若是，則ku即為所求；若不是，則令fs=-fy以及ρ′=0重新代入公式(7)來求解ku，整理如下：

(13)

3.2 雙側(cè)配筋

3.2.1雙側(cè)配筋臨界平衡的eb

臨界平衡條件下，根據(jù)應(yīng)變?nèi)切?見圖3)，利用混凝土極限壓應(yīng)變εc側(cè)的相似三角形推出：

(14)

將公式(14)，ku=kb，fs=fy，代入公式(8)即可求出臨界平衡下的偏心距eb。

3.2.2雙側(cè)配筋受拉控制

先假定fs′≤fy，則根據(jù)應(yīng)變?nèi)切?見圖4)，利用混凝土極限壓應(yīng)變εc側(cè)的相似三角形(EM規(guī)范B-31在此情況下利用受拉鋼筋εy側(cè)的相似三角形來推導(dǎo)fs′，本文覺得不妥，在此情況下受拉鋼筋εs已大于εy，所以不該用εy推導(dǎo)而應(yīng)該用εc推導(dǎo))，很容易推出：

(15)

將公式(15)以及fs=fy代入公式(7)整理如下：

(16)

求出ku后代回公式(15)判斷是否fs′≤fy。若是，ku即為所求；若否，則令fs′=fy以及fs=fy重新代入公式(7)來求解ku，整理如下：

(17)

3.2.3雙側(cè)配筋受壓控制

先假設(shè)fs′≤fy，則根據(jù)應(yīng)變?nèi)切?見圖4)，利用混凝土極限壓應(yīng)變εc側(cè)的相似三角形(見圖4)，推出fs和fs′分別為公式(11)和公式(15)，將公式(11)和公式(15)代入公式(7)整理如下：

(18)

求出ku后需代回公式(15)判斷是否fs′≤fy。若是，則ku即為所求；若否，則將公式(11)以及fs′=fy重新代入公式(7)來求解ku，整理如下：

(19)

3.3 搜索失敗

若搜索完畢仍找不出滿足0≤(φPn-Pu)/Pu≤0.01條件的ρ或者ρ和ρ′，則看所有搜索的ρ和ρ′求出的φPn的最大值。假如最大值仍比Pu小，則說明截面尺寸不夠，需增大，否則說明截面不需要配筋(此處的不需要配筋僅從平衡方程角度來說，實際仍需考慮構(gòu)造要求)。

4 兩個參數(shù)

4.1 強度折減系數(shù)

根據(jù)φ的定義，第1種最直接的方式求解φ即為在求出滿足要求的ku后，再根據(jù)應(yīng)變?nèi)切吻蟪靓舠，然后按定義求解。但是計算的第一步是軸力判斷公式(9)，此時并不知道φ的值，若將軸力判斷放在求解ku之后會帶來一些不必要的計算。

本文采用第2種方法，經(jīng)過觀察試算，截面壓力Pn到受拉鋼筋的偏心距e′公式(8)與εs近似線性相關(guān)。因此，可以利用e′公式(8)來線性插值求解φ。具體計算方法和本文3.1.1以及3.2.1求解eb的方法類似，即在計算公式(4)的kb時，分別令εy=fy/Es和0.005，求出2個kb(kb1和kb2)，用kb1和kb2分別可以求出eb1和eb2，用公式(3)的e′在eb1和eb2之間插值即可求出φ。

4.2 臨界平衡受拉鋼筋配筋率ρb

根據(jù)單側(cè)配筋臨界平衡時的應(yīng)變相似三角形，以及軸力平衡，推出 ：

(20)

以及類似可以求出雙側(cè)配筋臨界平衡受拉鋼筋配筋率：

(21)

當(dāng)按單側(cè)配筋搜索時，ρ在0～0.25ρb1之間變化；當(dāng)按雙側(cè)配筋搜索時,ρ′在0～0.25ρb1之間變化，同時ρ在0～0.25ρb2之間變化。

5 計算實例

某截面尺寸及鋼筋混凝土強度如表1。

表1 截面參數(shù)表

截面在幾種典型內(nèi)力組合下的配筋如表2。

表2 典型內(nèi)力組合下配筋量表

從計算結(jié)果看出，首先保持Pu為一極小的值，在逐漸增大Mu過程中，單側(cè)受拉鋼筋面積一直增大至變成雙側(cè)配筋，這一過程即為純彎正截面承載力計算過程，若再增大Mu，則截面尺寸不夠。此時保持Mu不變，逐漸增大Pu，截面由雙側(cè)受拉控制——單側(cè)受拉控制——單側(cè)受壓控制——雙側(cè)受壓控制，與實際規(guī)律相符。將每種組合下的結(jié)果代入平衡方程公式(7)驗算，發(fā)現(xiàn)等式成立。

若已知截面尺寸和鋼筋配筋面積，要求核算截面所能承受內(nèi)力，則相對容易，根據(jù)鋼筋面積判斷拉/壓控制，然后代入平衡方程求解ku，進(jìn)而求出φPn。

6 結(jié) 語

(1) EM計算壓彎構(gòu)件時，先按單側(cè)配筋計算;單側(cè)無法滿足再按雙側(cè)配筋考慮，配筋時實際滿足要求的ρ和ρ′組合可能不止一個。本文選取的附加條件是滿足ρ′最小，比如：DL/T 5057-2009《水工混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計規(guī)范》選取的附加條件是ρ+ρ′最小或者ρ=ρ′等[4]，計算中可結(jié)合不同工況受力的分析以及工程需要選擇合適的附加條件。

(2) 按照平衡方程計算ρ和ρ′，實際配筋時需考慮最小配筋率等相關(guān)構(gòu)造要求。

(3) EM規(guī)范與DL/T 5057-2009《水工混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計規(guī)范》在原則假定以及平衡方程基本相通，但在細(xì)節(jié)處理上有所不一致。如我國大偏壓截面為保證受壓鋼筋屈服需滿足x≥2a′[5]，而EM則無此要求，若實際鋼筋強度很高時，加入x≥2a′的條件會影響配筋經(jīng)濟(jì)。