魏偉，蔡欣宇，劉載文，左敏

（北京工商大學(xué)計算機與信息工程學(xué)院，北京100048）

引 言

隨著我國經(jīng)濟(jì)的快速發(fā)展，工業(yè)廢水、城市污水的排放日益增多[1]。然而，目前，我國工業(yè)污水存在排放不達(dá)標(biāo)的問題[2]，由此造成水資源污染，進(jìn)而導(dǎo)致人民健康得不到保障。因此，為保障人民生命健康、實現(xiàn)水資源的可持續(xù)利用，必須高度重視廢水處理[3]。

厭氧消化廢水生物處理工藝是廣泛應(yīng)用于農(nóng)業(yè)、制藥和食品工業(yè)的廢水處理方案。厭氧消化過程能夠產(chǎn)生甲烷，并從污水中去除有機污染[4]。典型的厭氧消化過程包含四條代謝途徑，兩條用于產(chǎn)酸，兩條用于甲烷化。細(xì)菌在缺氧環(huán)境下，將有機物分解為二氧化碳、甲烷和水[5]。

厭氧消化廢水生物處理的控制目標(biāo)是降低其污染水平[6]。然而，這一復(fù)雜的動態(tài)反應(yīng)具有高度非線性、參數(shù)未知的特征[5]，并且整個生化反應(yīng)存在著諸多不確定因素，如：輸入組分、組分濃度的變化以及不確定的動力學(xué)參數(shù)等[4,6]，這些都給廢水處理過程控制帶來了極大的挑戰(zhàn)。為克服這些因素對廢水處理過程控制帶來的挑戰(zhàn)，各種先進(jìn)控制技術(shù)相繼提出，如反饋線性化技術(shù)[7]、自適應(yīng)控制[8]、滑?？刂芠9]等。反饋線性化技術(shù)是一種有效的非線性控制設(shè)計方案，但它需要系統(tǒng)的全部先驗知識[10]。文獻(xiàn)[8]提出了一種非線性自適應(yīng)控制策略，通過狀態(tài)觀測器和線性回歸參數(shù)估計器，實現(xiàn)對部分變量以及動力學(xué)參數(shù)的估計。然而，它依舊需要了解厭氧過程的所有輸入[11]?；？刂频膬?yōu)點在其魯棒性強，但其缺點在控制信號的抖振[12]。

事實上，若將厭氧消化過程中的各種不確定因素視為影響輸出污染水平的擾動，從抗擾控制的角度出發(fā)，實時估計并補償這些不確定因素，可獲得期望的控制效果[13-17]。

考慮到廢水生化處理過程非常復(fù)雜，具有強非線性、時變特征，且無法確切獲得其生化反應(yīng)動態(tài)，本文設(shè)計一種抗擾控制方法，實時估計并補償厭氧消化過程中的總擾動，控制輸出污染水平，進(jìn)而獲得期望的污水處理效果。

1 厭氧廢水降階模型

厭氧消化處理過程是不同的代謝微生物相互影響、相互制約而形成的復(fù)雜生態(tài)系統(tǒng)[18]，其建模、控制有諸多報道[5-6,9,12]。廢水生化處理過程的強非線性、時變性使其動態(tài)模型非常復(fù)雜，通常由10 個微分方程來描述[5]。從控制系統(tǒng)設(shè)計角度，本文采用與文獻(xiàn)[5]相同的降階模型

其中，φ1和φ2分別是第一次產(chǎn)酸反應(yīng)和甲烷化反應(yīng)的速率，QP=cpP 和QCO2分別表示甲烷和二氧化碳的氣體流出率。cp＞0，每個反應(yīng)速率都是一個增長速率，可寫為φi=μiXi，i=1,2，μi是反應(yīng)i 的增長速率[5,18]。μ1由Monod 定律模擬[19]，且μ1=μ01S1/(KM1+S1)；μ2由Haldane 定律模擬[19]，且μ2=μ02S2/(KM2+S2+S22/KI2)。這里μ01、μ02是最大增長速率，KM1、KM2是飽和常數(shù)，KI2是抑制常數(shù)[6,20]。

定義狀態(tài)向量ζ=[X1,S1,X2,S2,S3,P]T，則模型(1)～模型(6)可寫為[5]

式中，流入率F=[0,DS1,in,0,0,0,0]T，氣體輸出率Q=[0,0,0,0,QCO2,QP]T，反應(yīng)速率φ=[φ1,φ2]T，且φ(ζ)=G(ζ)α(ζ)。G(ζ)為對角矩陣，是每個反應(yīng)中所涉及的組分濃度的乘積，α=[α1,α2]T是特定反應(yīng)速率向量，αi=μi/Si,i=1,2，K是產(chǎn)率系數(shù)矩陣。矩陣K、G具有以下結(jié)構(gòu)[5]

對于動力學(xué)模型(7)描述的厭氧生物過程，令輸出污染水平為受控量，并定義其為[6]

其中ω1、ω2是已知的轉(zhuǎn)換系數(shù)，選擇稀釋率D作為控制信號，即u=D。

由系統(tǒng)輸出(9)和模型(1)～模型(6)，可得輸入輸出過程模型[6]

該系統(tǒng)的控制目標(biāo)是使輸出y 保持在一個期望的低水平y(tǒng)*∈R+。反應(yīng)涉及的變量及其名稱見符號說明，生物過程參數(shù)見表1。

2 抗擾控制設(shè)計

2.1 控制問題描述

由系統(tǒng)(10)知，輸出污染水平(y)受產(chǎn)酸菌濃度X1、產(chǎn)乙烷菌濃度X2、葡萄糖濃度S1、乙酸濃度S2、進(jìn)水底物濃度S1,in以及反應(yīng)速率等諸多因素影響。在廢水處理過程中，這些量隨時間變化，且各變量間相互耦合。同時，厭氧消化處理過程存在大量不確定因素，如組分變化、進(jìn)水底物濃度變化以及動力學(xué)參數(shù)變化等。這些厭氧消化處理過程的不確定（擾動）因素給廢水處理過程控制(使輸出污染水平y(tǒng)保持在較低值)帶來了極大的挑戰(zhàn)。因此，對模型信息依賴性小、能夠克服廢水生化處理過程中各種不確定因素影響的控制方法，有望在廢水處理過程中獲得期望的控制效果。

表1 生物過程參數(shù)Table 1 Biological process parameters

厭氧消化處理輸入輸出過程模型(10)可改寫為

其中，d 為系統(tǒng)的總擾動，且d =(ω2k3-ω1k1)X1S1α1- ω2k2X2S2α2+(ω1S1,in- y - 1)u。

基于厭氧消化處理過程的特點以及輸出污染水平的控制要求，本文采用抗擾控制[21]。其控制思想與自抗擾控制思想相似，即主動估計并補償系統(tǒng)中非線性動態(tài)、模型不確定性以及外部擾動等綜合因素（總擾動）。

2.2 抗擾控制器

對于單變量非線性系統(tǒng)[21]

設(shè)系統(tǒng)的相對階r 已知，其輸出y 及y(i)[1≤i≤(r-1)] 可 測，那 么，存 在 同 胚 變 換zi= φi(x) =Li-1fh(x),i = 1,2,…,r; wi= φi(x),i = 1,2,…,n - r，將系統(tǒng)(12)化為如下標(biāo)準(zhǔn)型

對于系統(tǒng)(13)，將其中未知或不確定的量定義為系統(tǒng)的擴張狀態(tài)d(z,w,u)=a(z,w)+[b(z,w) -1]u。將擴張狀態(tài)代入標(biāo)準(zhǔn)型，得到包含擴張狀態(tài)的形式z˙r= d(z,w,u) + u。為估計并補償包含系統(tǒng)內(nèi)部不確定性以及外部擾動的總擾動d(z,w,u)，抗擾控制(disturbance rejection control,DRC)可設(shè)計為[21]

對于本文考慮的污水處理系統(tǒng)(10)，設(shè)計如下抗擾控制器

式中，y 是系統(tǒng)輸出，y*是期望的系統(tǒng)輸出，是總擾動(ω2k3-ω1k1)X1S1α1-ω2k2X2S2α2+(ω1S1,in-y-1)u 的估計值，ξ 是一個中間變量，h0、k0是需要調(diào)節(jié)的控制器參數(shù)。

輸出污染物的抗擾控制結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 厭氧廢水處理過程輸出污染物抗擾控制Fig.1 Disturbance rejection control of the output pollutions in an anaerobic wastewater treatment process

2.3 穩(wěn)定性分析

證明：

其中，kr-1為觀測器增益且kr-1＞0，有

證明：對于有界輸入y*，利用觀測器的總擾動估計以及可測的y(i)[1≤i≤(r-1)]，作如下反饋控制

記 y*1= y*,y*2= y˙*,…,y*r+1= y*(r),y = z1,z˙1= z2,…,z˙r= zr+1跟隨偏差?i= y*i- zi。

將控制律(19)代入z˙r= d(z,w,u) + u，有

可得

即

選取hi(i=0,…,r-1)使A1有r 個不同的特征值λ1,…,λr且λ1＜…＜λr。那么，存在可逆陣T，使得A1= Tdiag{-λ1,…,- λr}T-1，則

且有

同樣地

那么

也就是說，跟隨偏差有界。那么，對于有界輸入y*，其輸出也必然有界。因此，閉環(huán)系統(tǒng)是有界輸入有界輸出穩(wěn)定的。

2.4 擾動觀測能力分析

于是

在概念網(wǎng)絡(luò)中，依據(jù)概念不同的特征，可以形成不同的概念聚類。基于語義的相似性形成的概念聚類和基于主題的相關(guān)性形成的概念聚類，與類比推理的研究密切相關(guān)。

于是

可見，觀測器的性能與kr-1有關(guān)。由式(31)、式(33)知，增大kr-1可加快總擾動的估計速度；同時，由式(34)知，增大kr-1可減小觀測器估計斜坡總擾動的穩(wěn)態(tài)誤差。

由上述分析可知，對于1階系統(tǒng)，若總擾動為單位階躍信號，觀測器可實現(xiàn)對總擾動的無差估計；若總擾動為單位斜坡信號時，觀測器的性能僅與k0有關(guān)。k0越大，觀測器估計總擾動的速度越快、總擾動估計的穩(wěn)態(tài)誤差越小。

3 數(shù)值仿真

本節(jié)以厭氧廢水降階模型(7)模擬兩種情形下抗擾控制、PI 控制以及精確反饋線性化(exact feedback linearizing,EFL)控制對輸出污染水平的調(diào)控效果（控制參數(shù)見表2）。仿真中，設(shè)定輸出污染水平在0.3～1.5 間變化（圖2）。假定進(jìn)水底物濃度S1,in可測，且

表2 EFL、PI與DRC控制參數(shù)Table 2 Control parameters of EFL，PI and DRC

S1,in變化見圖3。

PI控制律為

圖2 設(shè)定的輸出污染水平Fig.2 Set values of the pollution levels

圖3 進(jìn)水底物濃度Fig.3 Influent substrate concentrations

其中，y*- y為控制偏差，kp、Ti為控制參數(shù)。

精確反饋線性化控制律為

其中λ1為控制參數(shù)。

參照式(15)，DRC控制律可設(shè)計為

其 中，h0為DRC 的 控 制 參 數(shù)，為 總 擾 動 的估計。

采用時間乘以誤差絕對值積分(integral of timemultiplied absolute-value of error,ITAE)、誤差平方積分(integral of squared error, ISE)定量比較不同控制策略的調(diào)控效果。

考慮理想情況以及加入擾動兩種情形。兩種情形的初始條件一致，取值為[19]

（1）理想情況

理想情況, 即過程（10）的特定反應(yīng)速率向量α =[α1,α2]T完全已知，且所有變量都可測。三種控制方法的輸出污染水平和控制信號如圖4所示。

圖4 理想情況下污染水平控制效果及控制信號Fig.4 Pollution levels and control signals in an ideal case

可見，三種控制方法均可控制輸出污染水平跟隨設(shè)定值變化。DRC 控制信號的變化與另外兩種控制信號波動的趨勢相似，且在設(shè)定值跳變時，DRC的控制信號也隨之變化。同時，從系統(tǒng)響應(yīng)的局部放大圖可以看出，在設(shè)定值發(fā)生改變時，DRC 的響應(yīng)速度更快，其控制效果優(yōu)于PI 和EFL。三種控制的性能指標(biāo)如表3 所示。與EFL 對比，DRC 的ITAE指標(biāo)降低了79.68%，ISE 指標(biāo)減小了94.87%；與PI對比，DRC 的ITAE 指標(biāo)減少了74.89%，ISE 指標(biāo)減少了65.83%.

表3 理想情況下的ITAE與IAE指標(biāo)Table 3 ITAE and IAE values in an ideal case

（2）加入擾動

考慮輸入端擾動以及反應(yīng)i 的增長速率發(fā)生變化兩種情形。三種控制方法對應(yīng)的輸出污染水平和控制信號如圖5所示。這里輸入端擾動設(shè)為正弦擾動[0.2sin(t)]；同時，假設(shè)最大增長速率、非定值，而是兩個時變參數(shù)[5]，記為μ01(t)、μ02(t)，且

由圖5(a)可見，存在擾動時，DRC 的響應(yīng)與設(shè)定值的偏差最小。這表明，擾動存在時，精確反饋線性化控制由于對模型信息依賴大，沒有實時估計、補償擾動的能力，輸出響應(yīng)已明顯變差。PI 與DRC則因具有較好的適應(yīng)性，仍可較好地跟隨設(shè)定。同時，由圖5(b)可知，DRC 以相似的控制信號獲得了比PI 更好的設(shè)定值跟隨效果。三種控制的性能指標(biāo)如表4 所示。與EFL 相比，DRC 的ITAE 指標(biāo)減少了99.74%，ISE 指標(biāo)降低了99.93%；與PI 相比，DRC 的ITAE指標(biāo)降低了74.89%，ISE指標(biāo)減少了93.25%。

上述數(shù)值仿真結(jié)果表明，理想情況下，穩(wěn)態(tài)時，抗擾控制與精確反饋線性化控制有比較接近的控制效果，且二者均優(yōu)于PI 控制。同時，在設(shè)定值跳變時刻，抗擾控制動作更快，使系統(tǒng)響應(yīng)能夠及時跟隨設(shè)定。存在擾動時，抗擾控制明顯優(yōu)于精確反饋線性化控制以及PI 控制，這表明面對不確定性因素時，抗擾控制能夠較好地估計并補償各種擾動因素對系統(tǒng)輸出的影響，以保證控制效果。

圖5 加入擾動時的污染水平控制效果及控制信號Fig.5 Pollution levels and control signals in presence of disturbances

表4 擾動情況下的ITAE與IAE指標(biāo)Table 4 ITAE and IAE values in presence of disturbances

4 結(jié) 論

本文研究了厭氧污水處理過程輸出污染水平的控制問題。采用抗擾控制，研究兩種情形下污染水平的抗擾控制，并與精確反饋線性化控制及PI 控制作對比。仿真結(jié)果表明，盡管在理想情況下，穩(wěn)態(tài)時，DRC 的控制精度與精確反饋線性化控制相近，但是，當(dāng)擾動存在時，抗擾控制相比于精確反饋線性化控制和PI 控制，其控制效果更佳。同時，需要指出，精確反饋線性化控制是一種較為理想的控制方法，其控制律是以被控對象信息完全已知為前提的。然而，抗擾控制對被控對象的依賴更小，能夠?qū)崟r、有效地估計并補償擾動，以盡可能地減小擾動對輸出的影響、保證良好的控制效果。因而，抗擾控制是一種更為實用的污水處理過程控制方法。

符 號 說 明

D——稀釋率，h-1

ki——產(chǎn)率系數(shù)

P——甲烷濃度，g/L

QCO2——二氧化碳?xì)怏w流出率,m3/h

QP——甲烷氣體流出率,m3/h

S1——葡萄糖濃度，g/L

S1,in——進(jìn)水底物濃度,g/L

S2——乙酸濃度，g/L

S3——二氧化碳濃度，g/L

X1——產(chǎn)酸菌濃度，g/L

X2——產(chǎn)乙烷菌濃度，g/L