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        一種正三角形結(jié)構(gòu)的雙光束干涉裝置

        2021-04-08 00:56:28周國全
        大學(xué)物理 2021年4期

        周國全

        (武漢大學(xué) 物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,湖北 武漢 430072)

        兩列或若干列相干光波,頻率相同,位相差恒定,振動方向一致,就能在空間相遇時相互疊加,產(chǎn)生光的干涉現(xiàn)象,其表現(xiàn)是在某些區(qū)域始終加強(qiáng),在另一些區(qū)域則始終削弱,形成穩(wěn)定的強(qiáng)弱分布相互間隔的現(xiàn)象. 干涉現(xiàn)象是波動獨(dú)有的特征. 不同的光學(xué)干涉裝置就是用不同的方式滿足干涉條件[1-11]. 相干光束的產(chǎn)生方式分為波前分割式與振幅分割式;依據(jù)干涉光束的數(shù)量分類,又分為雙光束干涉與多光束干涉;而依據(jù)場強(qiáng)與光程差函數(shù)的等值變量來分類,則分為等傾干涉與等厚干涉兩種類型,例如Michelson干涉儀和Fabry-Perot(F-P)干涉儀. 文獻(xiàn)[5-8]論述了若干等厚干涉裝置及其變異的干涉結(jié)構(gòu);文獻(xiàn)[9-11]描述了兩種分振幅式多光束等傾干涉結(jié)構(gòu)——大頂角等腰劈與矩形腔干涉結(jié)構(gòu),而一般教科書中的等傾干涉是利用擴(kuò)展光源照射在厚度不變的薄膜上產(chǎn)生的多光束干涉現(xiàn)象,不同級序的干涉條紋對應(yīng)不同的傾角. 文獻(xiàn)[12-15] 介紹了幾種干涉結(jié)構(gòu)的若干應(yīng)用問題. 本文依據(jù)幾何光學(xué)與波動光學(xué)的原理,介紹和分析了一種具有正三角形結(jié)構(gòu)并能產(chǎn)生雙光束等傾干涉的光學(xué)裝置, 但它又不同于文獻(xiàn)[9-11]和教科書中的平行膜多光束干涉方式. 我們推導(dǎo)了正三角形干涉裝置的光程差的公式及其干涉斑紋的亮暗極值條件,解析推導(dǎo)并分析了其干涉斑紋的分布規(guī)律,并在結(jié)語中提出尚待解決的若干開放的問題.

        1 正三角形光學(xué)腔雙光束干涉光路圖

        如圖1-圖4所示是一種正三角形光學(xué)腔ΔABC, 邊長為a,其中AB是全反射鏡,AC、BC是兩塊相同的能夠部分反射部分透射的平板光學(xué)玻璃, 但BC被截去一半,BO=BC/2=a/2,且腔內(nèi)外空氣媒質(zhì)的折射率為n0?1.00. 一般用于光學(xué)干涉實(shí)驗(yàn)的無膜平板玻璃,標(biāo)稱厚度大約5 mm左右. 當(dāng)一束真空波長為λ的光線I以任意入射角i(入射光束被限制在30°左右),并在BO上任意點(diǎn)P入射,腔外得到反射線I′,腔內(nèi)部分經(jīng)各邊順次反射之后形成反射回路PP1→P1P2→P2P3,其中腔內(nèi)反射線P2P3(即I″ )交OC于P3;當(dāng)入射光束被限制在入射角i=30°左右很小范圍,經(jīng)兩次折射與反射后的出射光I″(P2P3)不經(jīng)過光學(xué)玻璃BO,直接射出并和反射光

        圖2 入射角i略大于30°的光路圖

        交于圖1、圖2中的D點(diǎn), 或圖3、圖4中的無窮遠(yuǎn)處(或凸透鏡的焦點(diǎn)).

        圖3 左入射i=30°時的光路圖

        圖4 右入射i=30°時的光路圖

        如圖1—圖4所示,首先可證:當(dāng)入射角i略小于30°,此時反射光線I′與反射光線I″ (即P2P3) 的反向延長線交于AB上側(cè)D點(diǎn);當(dāng)入射角i略大于30°,反射光光線I′與反射光線I″的延長線交于BC下側(cè)D點(diǎn);當(dāng)入射角i=30°,反射光線I′與反射光線I″平行, 交于凸透鏡焦點(diǎn)D′或D″點(diǎn)(分別從法線左右兩側(cè)入射時) .

        這是因?yàn)棣BC為等邊三角形,∠A=∠B=∠C=60°,根據(jù)反射定律,P1處入射角為60°-i;P2處入射角為i, 且 ∠PP1C=30°+i;∠PP1P2=2(60°-i); ∠AP1P2=∠PP1C=30°+i;∠P1P2P3=2i. 如圖1所示,當(dāng)入射角i略小于30°,在ΔPP3D中, ∠DPP3=90°+i;∠DP3P=30°+i;最后推得∠PDP3=2(30°-i);此式表明,當(dāng)入射角i略小于30°,則∠PDP3=2(30°-i)>0°,說明此時反射光線I″與反射光線I′的反向延長線交于AB上側(cè)D點(diǎn),如圖1所示.

        當(dāng)入射角i略大于30°,此時若按圖1計算,則得∠PDP3=2(30°-i)<0°,矛盾,故交點(diǎn)D不應(yīng)在AB上方腔外,而應(yīng)在BC下方的D點(diǎn);如圖2所示,在ΔPP3D中, ∠DPP3=90°-i,∠DP3P=150°-i,此時∠PDP3=2(i-30°)>0,可知反射光線I″與反射光線I′的延長線確實(shí)交于BC下側(cè)的D點(diǎn).

        特別地,當(dāng)入射角i=30°,并從法線左側(cè)入射,則∠PDP3=2(30°-i)=0°,交點(diǎn)D趨于無窮遠(yuǎn)處,此時反射光線I″與反射光線I′平行,通過凸透鏡相交并干涉于其焦平面上D'點(diǎn),如圖3所示. 而當(dāng)入射角i=30°,并從法線右側(cè)入射,∠PDP3=2(30°-i)=0°,交點(diǎn)D趨于無窮遠(yuǎn)處,此時反射光線I″與反射光線I′平行,通過凸透鏡相交并干涉于其焦平面上D″點(diǎn),如圖4所示.

        2 光程差公式與干涉條件

        其次可證,無論反射光線I″與反射光線I′相交于D點(diǎn),或無窮遠(yuǎn)處,其幾何光程差都與入射點(diǎn)P的位置無關(guān),亦即與BP=x無關(guān),而僅依賴于入射角i及ΔABC的邊長a,因而滿足雙光束等傾干涉條件. 以入射角i略大于30°的圖2情形為例,我們推導(dǎo)交點(diǎn)D處的光程差ΔL及相位差δ的表達(dá)式,并討論其干涉條紋的亮暗條件. 從P點(diǎn)開始計算光程差,反射光I′的表觀光程為PD,透射光的表觀光程為PP1+P1P2+P2P3+P3D+Δ0,光程差為

        ΔL=PP1+P1P2+P2P3+P3D+Δ0-PD+λ/2

        (1)

        其中計入了反射半波損失,而來自于半透型平板光學(xué)玻璃BO內(nèi)的光線穿過一定傾斜路徑(設(shè)長為h) 所帶來的附加光程,n為半透型平板光學(xué)玻Δ0=nh璃的折射率. 它給相位差δ帶來一個常數(shù)附加δ0=2πnh/λ. 這只會給干涉斑點(diǎn)或條紋帶來級序或位置的平移變化,不影響干涉場整體的相對分布規(guī)律.

        根據(jù)光線反射定律與平面幾何知識:∠PP1C=30°+i;∠PP1P2=2(60°-i);∠AP1P2=∠PP1C=30°+i;∠P1PC=90°-i;∠PP1C=30°+i;∠AP1P2=∠PP1C=30°+i;∠AP2P1=90°-i;∠BP2P3=∠AP2P1=90°-i;∠BP3P2=30°+i;∠DPP3=90°-i;∠DP3P= 150°-i;∠PDP3=2(i-30°), 在三角形ΔPP1C,ΔAP1P2,ΔBP2P3和ΔPP3D中分別運(yùn)用正弦定律,并設(shè)BP=x,則PC=a-x,可分別求得:

        (2)

        (3)

        (4)

        P3D=PP3cosi/sin2(i-30°)

        (5)

        PD=PP3sin(30°+i)/sin2(i-30°)

        (6)

        PP3=(2a-x)cosi/sin(30°+i)-(x+a)

        (7)

        (8)

        將上述式(2)—式(6)代入光程差ΔL式(1), 及相位差公式δ=2πΔL/λ,并做整理可得

        (9)

        (10)

        特別地,當(dāng)i=30°,即如圖3、圖4所示的情形,光程差ΔL與相位差δ分別為:

        ΔL=3a/2+λ/2+Δ0;δ=3πa/λ+π+δ0

        (11)

        顯然光程差ΔL、相位差δ僅和入射角有關(guān),并隨入射角i而變,而與BP=x無關(guān),即與入射點(diǎn)P的位置無關(guān).

        綜上所述,如圖2所示,腔內(nèi)外的兩束反射光相交于D點(diǎn),兩束光的波長與頻率相同,并具有僅依賴于入射角與邊長的一定的光程差,滿足雙光束相干條件,應(yīng)能觀察到定域于D點(diǎn)的亮暗干涉斑紋;由于入射角相同,光程差就相同, 從而形成雙光束等傾干涉現(xiàn)象. 對于級序?yàn)閗的亮暗干涉斑點(diǎn),當(dāng)

        ΔL=kλ,δ=2kπ,k∈N,亮斑.

        (12)

        ΔL=(k+1/2)λ,δ=2kπ,k∈N,暗斑.

        (13)

        其中N為正整數(shù)集合. 前述分析表明,當(dāng)光束以i>30°入射時,而當(dāng)光束以i<30°入射時,可憑肉眼逆著出射線,在圖1中的D點(diǎn)處觀察到干涉斑紋. 實(shí)際上圖1、圖2兩種情形,也可使用凸透鏡,在透鏡后觀察到定域于某點(diǎn)的干涉斑紋(D點(diǎn)經(jīng)透鏡的成像點(diǎn)). 而當(dāng)i=30°,如圖3所示(法線左側(cè)入射),或如圖4所示(法線右側(cè)入射),此時運(yùn)用凸透鏡,兩束平行光匯聚并干涉于其焦平面上D′或D″點(diǎn). 綜上所述,在圖1—圖4所示之4種情形,均可用凸透鏡觀察到干涉斑紋.

        3 干涉場強(qiáng)分布函數(shù)與對比度分析

        (14)

        (15)

        其中R=r2是半透型光學(xué)玻璃的能量反射系數(shù). 可知D點(diǎn)處的干涉場的場強(qiáng)ID為

        (16)

        (17)

        從AC膜處透射出去的光強(qiáng)IT為

        (18)

        根據(jù)式(16)中ID的表達(dá)式,當(dāng)cosδ=±1時,其極大與極小值分別為:

        IDmax=I0R(2-R)2;IDmax=I0R3

        (19)

        其中R∈[0,1],IDmax(R)的極大值為32I0/27(當(dāng)R=2/3時), 最小值為零;IDmax(R)的最大值為I0,最小值為零. 點(diǎn)D處干涉斑紋的明暗對比度η為

        (20)

        上式表明,增大玻璃板的能量透射系數(shù),或者減小平板玻璃表面的能量反射系數(shù)R,都能增加干涉斑紋的明暗對比度; 但是結(jié)合干涉場強(qiáng)表達(dá)式(16)、(19),可知能量反射系數(shù)R也不能太小,否則干涉場強(qiáng)ID直接趨于零了. 到底R多小為宜?顯然R的選取應(yīng)在增強(qiáng)明暗對比度η與增強(qiáng)條紋最大光強(qiáng)IDmax的兩難選擇之間達(dá)到某種平衡.

        4 干涉斑紋的位置分布及其間隔

        仍以入射角i>30°,i≈30° 的圖2情形為例,如圖2所示,取BC邊為直角坐標(biāo)系的X軸,點(diǎn)B為直角坐標(biāo)系的原點(diǎn),過原點(diǎn)B的Y軸垂直于BC邊并朝下(為方便起見,選定左手系). 不妨設(shè)Δ0=0,設(shè)第k級暗斑Dk的入射角為ik, 則

        (21)

        可求出

        cos(ik-30°)=3a/2kλ

        (22)

        由此可知干涉級序k值受限于3a/2kλ≤1;k∈, 即kmin=[3a/2λ],中括弧意即圓整為整數(shù). cos(ik-30°)=1即相應(yīng)于ik=30°的平行光干涉的情形(D點(diǎn)趨向于無窮遠(yuǎn)處,用凸透鏡可觀察干涉現(xiàn)象),此時具有最低干涉級序kmin. 注意為使反射光線P2P3(I″)能在OC之間無障礙射出,i,x須滿足條件:

        a/2≤BP3=x+PP3≤a

        (23)

        可得P點(diǎn)位置x的極大值

        (24)

        及其允許范圍0≤x≤xmax≤a/2, 由此可得其實(shí)驗(yàn)觀察允許的入射角范圍為

        16.10°≤ik≤43.90°

        (25)

        具體而言,圖2情形(ik≥30.00°)的實(shí)像干涉情形的允許入射角范圍為

        30°≤ik≤43.90°

        (25)

        而圖1所示(ik<30.00°)的虛像干涉情形的允許入射角范圍為

        16.10°≤ik<30.00°

        (26)

        由式(22)又可求出

        (27)

        (28)

        則干涉場的暗斑Dk的坐標(biāo)(Xk,Yk)為

        Xk(x,i)=x+PDsinik=

        (29)

        Yk(x,ik)=PDcosik=

        (30)

        從式(29,30)易知Dk的含參數(shù)的軌跡方程為

        Xk(x,ik)=x+Yk(x,ik)tanik

        (31)

        由于相位差與P點(diǎn)位置即x無關(guān),再由式(27-29)可知,在ik不變時,入射點(diǎn)P的平移不會改變干涉級序k值,但第k級暗斑的位置將在一條直線段上連續(xù)移動,形成暗紋,如圖5所示.

        圖5 第k級暗斑隨入射點(diǎn)x的移動而形成暗紋(干涉級序k=119100;a=0.05 cm;ik=36.65°)

        另一方面,在保持入射點(diǎn)P不動,即x不變的條件下,改變?nèi)肷浣莍,使之滿足不同級序k的暗斑條件i=ik,k=119100+i,i=0,1,2,…7;取定腔體邊長數(shù)a=5 cm;入射點(diǎn)x=a/4;入射波長λ=632.8 nm,用軟件繪制出暗斑分布圖Xk(ik)-Yk(ik),如圖6所示. 尤須指出,從式(31)可知, 因?yàn)閠anik隨不同級序k值而變,Xk(ik)與Yk(ik)之間并不是線性關(guān)系,斑點(diǎn)的分布圖形嚴(yán)格而言并不是直線,但由于圖6中所取的k值范圍使得式(31)中tanik近似不變,因此不同級序干涉斑點(diǎn)分布的局部軌跡近似于一段直線.

        圖6 固定入射點(diǎn)x時,不同級序斑點(diǎn)的分布圖(參數(shù)a=5 cm, λ=632.8 nm;x=a/4;斑點(diǎn)級序:k=119100+i; i=0,1,2,…,7;入射角近35)

        下面再計算相鄰第k級、k+1級干涉暗斑的間隔dk=DkDk+1,即Dk(Xk(x,ik),Yk(x,ik))與Dk+1(Xk+1(x,ik+1),Yk+1(x,ik+1))的間距dk為

        dk(x,a,λ;k)=DkDk+1=

        (32)

        將式(29,30)分別代入tanik=sinik/cosik及式(32),即得距離dk的嚴(yán)格解析表達(dá)式;而式(32)僅在tanik?tanik+1的情況下近似成立.

        前述間距公式表明:相鄰干涉斑點(diǎn)的間隔與級序k值或入射角(ik,ik+1)有關(guān),并與x,a,λ有關(guān). 如欲使干涉斑紋肉眼可辨,須使相鄰斑紋的間隔dk(x,a,λ;k)≥1 mm; 這就是腔體尺寸a與波長λ、級序k所須滿足的條件. 如果相鄰斑紋的間隔很小,則須用讀數(shù)顯微鏡進(jìn)行觀測. 為使讀者有一個簡單而直觀的印象,不妨取λ=632.8 nm, 在不用凸透鏡觀察的情況下,我們分別在三種情形給出如下參考數(shù)據(jù):1)a=5 cm(宏觀情形),入射點(diǎn)P在BO的中點(diǎn):x=a/4,k=119100,ik=35.65°,斑紋位置在Dk(5.46 cm,5.87 cm);相鄰條紋間隔dk=8.29 cm;2)a=7.5 μm (微觀情形),x=a/8,k=18,ik=39.01°,斑紋位置在Dk(7.1 μm,7.7 μm);相鄰條紋間隔dk=9.5 μm;3) 而對于腔體邊長a=1 mm的中間尺度情形x=a/4,k=2371,ik=31.27°,斑紋位置在Dk(3.0 mm,7.7 mm);相鄰條紋間dk=9.1 mm, 顯然肉眼可辨. 另一方面,理論分析與計算表明,在保持a,λ及入射點(diǎn)x不變的前提下,隨著級序k值增加,入射角ik也增加,斑紋坐標(biāo)值減小,斑紋位置離裝置(入射點(diǎn)P)越近,斑紋處相鄰條紋間隔也越?。环粗?,隨著k值和入射角ik(從最大允許入射角43.9)逐漸減小,斑紋位置離裝置(入射點(diǎn)P)越遠(yuǎn),斑紋處相鄰條紋間隔dk也越大,直至ik減小至30°,斑紋位置趨于無窮遠(yuǎn)處,此時干涉級序k值有最小值,kmin=[3a/2λ],一般用凸透鏡觀察平行光的干涉現(xiàn)象,如圖3、圖4所示.

        5 可能的應(yīng)用前景

        這種干涉結(jié)構(gòu)不僅在光學(xué)科研與教學(xué)方面具有理論研究的意義,而且具備技術(shù)應(yīng)用的現(xiàn)實(shí)可能性. 在以i=30°入射時,根據(jù)其光程差公式與干涉斑點(diǎn)亮暗條件(11-13),如能讓平板玻璃AC沿著BC方向(X軸方向)平移,或者讓BO光學(xué)板沿著垂線AO方向(Y軸方向)平移,就能在各自平移過程中保持ABC為正三角形. 如此則通過D(D′、D″)處干涉斑點(diǎn)的吞吐數(shù)目ΔN,配置以機(jī)械傳動裝置,即可實(shí)現(xiàn)對邊長AB方向和高線AO方向位移的光學(xué)傳感,精度可達(dá)1 μm;如果在記錄亮(暗)斑吞(吐)的數(shù)目ΔN的同時又記錄其所花時間Δt,則可同時實(shí)現(xiàn)對二維微位移速度的傳感測量. 而且這種等邊三角干涉裝置結(jié)構(gòu)對稱,操作簡便. 當(dāng)然這種干涉結(jié)構(gòu)對其位移傳感量程的限制,在于不能讓光線超出各自的合理范圍或者逸出透鏡的接收孔徑.

        另一方面,對于給定尺寸的正三角結(jié)構(gòu)光學(xué)干涉腔,按照圖3、圖4的i=30°單色平行光入射方式實(shí)現(xiàn)雙光束干涉,也可以根據(jù)干涉明暗條件(11-13),很方便地測定入射光波長,或者反過來測定正三角形光學(xué)腔的結(jié)構(gòu)參數(shù)——邊長a或高線長. 對于非30°入射情形的可能應(yīng)用,尚有待于作者的繼續(xù)研究與讀者的發(fā)現(xiàn).

        6 結(jié)語

        研究表明,本文給出的正三角形干涉結(jié)構(gòu),當(dāng)光線在i~30°附近入射的情況下,確實(shí)能夠發(fā)生雙光束干涉現(xiàn)象. 當(dāng)i=30°時,干涉場定域于無窮遠(yuǎn),可以運(yùn)用凸透鏡觀測;當(dāng)i≠30°時干涉場定域于有限遠(yuǎn)處,也可在凸透鏡后側(cè)觀察到干涉斑紋. 本文推導(dǎo)了正三角形雙光束干涉結(jié)構(gòu)的光程差與相位差、及干涉場強(qiáng)與對比度的公式,分析討論了干涉斑紋的極大與極小條件及其觀察方法,定量地推導(dǎo)與分析了干涉斑紋的分布規(guī)律,特別是相鄰條紋間隔公式,并討論了其可能的應(yīng)用前景.

        當(dāng)然,由于時間與經(jīng)費(fèi)的限制,我們目前的研究還僅限于入射光線在正三角腔的橫截面(即紙面)情形的初步理論探索. 后續(xù)的工作將專注于實(shí)驗(yàn)對理論的檢驗(yàn)工作,以及隨之而來的一個自然產(chǎn)生的問題:當(dāng)入射角ik~30°,且在保持ik不變的情況下,入射光線繞法線旋進(jìn)若干角度,干涉斑紋又將如何變形?這個開放的問題,留待感興趣的同仁賜教.

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