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        對(duì)“入射粒子能量為閾能時(shí)的核反應(yīng)是完全非彈性碰撞”的更一般性證明

        2021-04-08 01:08:34蘇國(guó)珍
        大學(xué)物理 2021年4期

        蘇國(guó)珍

        (廈門大學(xué) 物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,福建 廈門 361005)

        文獻(xiàn)[1]給出了“入射粒子能量為閾能時(shí)的核反應(yīng)是完全非彈性碰撞”這一結(jié)論的一種證明,但只針對(duì)比較特殊的情況,即反應(yīng)后生成兩個(gè)粒子.一個(gè)粒子入射到一個(gè)靜止的靶產(chǎn)生核反應(yīng)后,可能生成一個(gè)粒子、兩個(gè)粒子或更多個(gè)粒子.若只生成一個(gè)粒子,入射粒子的動(dòng)能是定值;如果生成兩個(gè)或兩個(gè)以上的粒子,則入射粒子的動(dòng)能不是唯一的.使得核反應(yīng)能夠發(fā)生所需要的入射粒子的最小動(dòng)能稱為反應(yīng)閾能.本文將針對(duì)更一般的情況,即反應(yīng)后生成n(n≥2)個(gè)粒子,給出上述結(jié)論的證明.

        考慮以下核反應(yīng):

        A+B→C1+C2+…+Cn

        (1)

        1 通過動(dòng)量-能量矢量變換證明

        在質(zhì)心參照系中,根據(jù)能量守恒,有

        (2)

        質(zhì)心參照系中系統(tǒng)的總動(dòng)量為零,即

        (3)

        (4)

        (5)

        式中c為真空中的光速.由式(2)~(5)可解得:

        (6)

        圖1 實(shí)驗(yàn)室參照系與質(zhì)心參照系中的核反應(yīng)

        (7)

        (8)

        (9)

        由式(8)可得

        (10)

        (11)

        將式(10)和(11)代入式(9),并利用式(3)和(4),可得

        (12)

        最后,將式(6)和(7)代入式(12),我們得到實(shí)驗(yàn)室參照系中粒子A的能量:

        (13)

        其動(dòng)能為

        (14)

        (15)

        時(shí),入射粒子的動(dòng)能最小.此時(shí)反應(yīng)產(chǎn)生的粒子在質(zhì)心參考系中都處于靜止?fàn)顟B(tài),在實(shí)驗(yàn)室參照系中以共同的速度vC運(yùn)動(dòng),即核反應(yīng)是完全非彈性碰撞.將式(15)代入式(14),得到入射粒子動(dòng)能最小值,即閾能為

        (16)

        2 通過動(dòng)量-能量矢量不變量證明

        利用動(dòng)量-能量矢量不變量[2],可更方便地證明上述結(jié)論.由動(dòng)量p和能量E構(gòu)成的四維矢量(p,iE/c),其內(nèi)積p2-E2/c2是一個(gè)與參照系無關(guān)的不變量,這一性質(zhì)還可以推廣到質(zhì)點(diǎn)系,即(∑p)2-(∑E)2/c2是不變量.將這一結(jié)論應(yīng)用到粒子A、B組成的質(zhì)點(diǎn)系,可得

        (17)

        根據(jù)式(17),結(jié)合式(2)、(3)以及粒子A的動(dòng)量與能量所滿足的關(guān)系

        (18)

        不難得到粒子A能量的表達(dá)式,其結(jié)果為式(13).余下的證明過程與上述相同,不再贅述.

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