韓 夢，王凱悅，胡 峰?

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0 引 言

未來移動通信能夠滿足現(xiàn)代社會日益增長的數(shù)據(jù)業(yè)務需求，其核心特征為超高速率、超低時延、超高容量、大鏈接以及全覆蓋。大規(guī)模多進多出（Multiple Input Multiple Output，MIMO）系統(tǒng)基站端配備超大規(guī)模天線陣列，在滿足5G 系統(tǒng)對頻譜效率和能量效率超高需求的同時，也帶了巨大的能量消耗，造成通信系統(tǒng)的總能耗和運行成本大幅度增加。全球信息和通信技術行業(yè)碳排放量約占全球總排放量的5%，預計到2030 年，信息和通信技術行業(yè)將消耗全球51%的能源［1］。系統(tǒng)的能量效率優(yōu)化被認為是解決能源危機和環(huán)境問題的有效手段，尤其是對于約束條件復雜的大規(guī)模MIMO 系統(tǒng)，對能效優(yōu)化有著更為迫切的需求。

為了優(yōu)化能量效率，通常可以將不同的系統(tǒng)參數(shù)進行聯(lián)合優(yōu)化，以實現(xiàn)資源的優(yōu)化配置。常見的手段包括天線選擇、預編碼、導頻控制以及發(fā)射功率控制等，并以此定義傳輸模式。通過資源配置調(diào)整傳輸策略，需要界定明確的優(yōu)化目標函數(shù)，并使之最佳化。針對FDD 模式下的多用戶大規(guī)模MIMO 下行系統(tǒng)，文獻［2］根據(jù)隨機矩陣理論推導出能效優(yōu)化目標函數(shù)的表達式，并分析了天線數(shù)、用戶數(shù)及電路功耗等不同系統(tǒng)參數(shù)對通信系統(tǒng)能效的影響，通過對擬凹函數(shù)的求解得到最大的能效邊界；文獻［3］對能效優(yōu)化的目標函數(shù)進行迭代優(yōu)化，提出天線選擇和發(fā)射功率聯(lián)合優(yōu)化算法；文獻［4］對發(fā)射機的發(fā)射功率和接收端的用戶功率進行聯(lián)合優(yōu)化，得到大規(guī)模MIMO 系統(tǒng)上下行鏈路的全局能效邊界。通過分析已有的能效優(yōu)化方案，發(fā)現(xiàn)當前方案的主要問題在于計算復雜度較高、效率低，因此智能增強的優(yōu)化策略成為突破算力瓶頸的高效手段。另外，現(xiàn)有大部分資源配置方案假設信道參數(shù)是完備的，而在實際傳輸條件下信道狀態(tài)信息往往是不精確的，且信道偏差會對能效配置產(chǎn)生極大的影響。因此，考慮信道狀態(tài)信息統(tǒng)計偏差的能效優(yōu)化具有重要的現(xiàn)實意義［5］。

考慮估計精度對能效資源配置的影響，利用改進的分布式信道狀態(tài)信息（Channel State Information，CSI）反饋策略，在重構(gòu)的MIMO 架構(gòu)中調(diào)整每一個子信道的資源配置，并建立全局能效優(yōu)化模型和目標函數(shù)。對提出的能效優(yōu)化模型的全局最優(yōu)化問題進行求解和論證，采用擬牛頓算法進行智能搜索和算力增強，以提升智能搜索的能力和計算效率。最后，通過實驗結(jié)果驗證了智能搜索可以獲得最優(yōu)解集，從而實現(xiàn)能效邊界和相應的資源配置方案。

1 大規(guī)模MIMO 系統(tǒng)

1.1 大規(guī)模MIMO 系統(tǒng)模型

如圖1 所示，考慮大規(guī)模MIMO 系統(tǒng)下行鏈路模型，發(fā)射端和接收端分別配置Nt和Nr根天線，則接收信號可以表示為：

式中，x∈CNt×1表示歸一化的發(fā)射信號；代表功率分配矩陣；n代表均值為0、方差為σn2的加性高斯白噪聲；H表示Nr×Nt維獨立分布、均值為0 的復高斯信道矩陣，其中元素hji表示第i根發(fā)射天線與第j根接收天線之間的信道系數(shù)。

1.2 基于CSI 的MIMO 系統(tǒng)重構(gòu)

當發(fā)射端知曉完備的信道狀態(tài)信息（Channel State Information，CSI）時，可以增加功率這一資源調(diào)配維度，獲得信道容量的提升。發(fā)射端可以根據(jù)CSI 為每根天線分配恰當?shù)墓β剩沟孟到y(tǒng)的整體性能最高。以下為推導重構(gòu)的CSI 策略與算法［6］。

對H進行奇異值分解操作H =UΣVH，發(fā)射信號在發(fā)射端基于V矩陣進行預處理，接收端基于UH矩陣進行均衡操作，模態(tài)分解的重構(gòu)結(jié)構(gòu)如圖2所示。

圖1 大規(guī)模MIMO 系統(tǒng)模型

圖2 模態(tài)分解重構(gòu)圖

圖2中重構(gòu)的MIMO系統(tǒng)接收信號可以表示為：

在重構(gòu)的MIMO 架構(gòu)中，發(fā)射端根據(jù)CSI 狀態(tài)為每個子信道分配合理的發(fā)射功率，實現(xiàn)信道容量的優(yōu)化。

對HHH執(zhí)行特征值分解操作HHH=QΛQH，Q是Nr×Nr的矩陣，滿足QHQ=QQH=INr，對角矩陣的對角元素可以寫成：

式中，σi是對H進行奇異值分解得到的奇異值，且Σ=diag{σ1,σ2,…,σr,0,…,0}。大規(guī)模MIMO 系統(tǒng)的信道容量是所有子信道容量之和，則MIMO 信道容量可以表示為：

結(jié)合功率分配算法，不完備CSI 下的信道容量可以表示為：

式中，|?|代表激活天線數(shù)目，σe2為信道估計誤差的方差，σn2+|?|σe2為信道估計誤差和信道噪聲疊加的等效噪聲［7］。

2 基于多維資源配置能效模型

相比于傳統(tǒng)的MIMO 系統(tǒng)，大規(guī)模MIMO 系統(tǒng)的總功率消耗Psum要大很多［8］。根據(jù)功耗與發(fā)射功率的關系，可以將總功耗分為兩部分：一部分是功率放大器功耗，與系統(tǒng)發(fā)射功率有關；另一部分是除功率放大器功耗之外的電路功耗，與發(fā)射端天線數(shù)目有關。

假設功率放大器的效率為η，則通信系統(tǒng)總功耗可以表示為：

需要注意，式（6）中特征值是從大到小排列的。隨著天線數(shù)的增加，λi的數(shù)值越來越小，因而對信道容量的增益效果越來越不明顯。當信道容量的增益較小時，電路功耗占據(jù)主導地位，會降低系統(tǒng)的能量效率。因此，研究天線子集選擇方案十分必要。

在大規(guī)模MIMO 系統(tǒng)中，將能效定義為單位焦耳能量所傳輸?shù)谋忍財?shù)，單位為bit/J［9］，單位帶寬下的能效單位為bit/J/Hz?？紤]導頻開銷τ對系統(tǒng)容量的影響和激活射頻鏈數(shù)目對功耗的影響，大規(guī)模MIMO 系統(tǒng)下行鏈路的能量效率可表示為：

重構(gòu)后的CSI 結(jié)構(gòu)可以把激活天線數(shù)目和發(fā)射功率等資源維度相關聯(lián)，并且可以考慮實際信道估計誤差對大規(guī)模MIMO 系統(tǒng)的影響。

3 多元全局最優(yōu)化問題

能效優(yōu)化問題屬于非線性優(yōu)化問題。如果目標函數(shù)同時滿足下面兩個假設條件，則可以通過擬牛頓法搜索到全局最優(yōu)值［10］：

條件1：f：Rn→R 二階連續(xù)且可微；

條件2：目標函數(shù)在水平集內(nèi)是一致凸函數(shù)，在該集合內(nèi)有唯一極小值點。

下面證明優(yōu)化函數(shù)ηEE關于發(fā)射功率Pi的凹凸性。

將能效優(yōu)化函數(shù)表示為關于Pi的函數(shù)，即：

對f(Pi)關于Pi求一階偏導數(shù)，判斷其導函數(shù)的性質(zhì)。求導后的導函數(shù)為：

在判斷式（10）的正負性時，由于分母f2(Pi)為正，因此僅需要判斷分子的正負。將分子f1(Pi)關于Pi求一階導數(shù)，f1(Pi)的一階導數(shù)f1′(Pi)＜0，因此f1(Pi)單調(diào)遞減。又由于f1(0)＞0，f1(+∞)＜0，因此f1(Pi)先大于零，后隨著Pi的增加小于零，說明原函數(shù)f(Pi)呈現(xiàn)先單調(diào)遞增后單調(diào)遞減的趨勢，并在拐點處存在f(Pi)的最大值。通過建立優(yōu)化算法合理分配單根天線的發(fā)射功率，可以得到能效的最佳值。

綜上所述，能效優(yōu)化的目標函數(shù)關于發(fā)射功率P和各個子信道分配的子功率Pi的擬凹函數(shù)滿足擬牛頓法全局優(yōu)化的條件。下面介紹關于擬牛頓算法的非線性多元優(yōu)化問題［10］。

隨著i的增加，λi的數(shù)值越來越小，因而對信道容量的增益效果越來越不明顯。式（8）分母中的電路功耗P1關于激活天線數(shù)目呈線性增加趨勢，信道容量的增益較小時，電路功耗占據(jù)主導地位，會降低系統(tǒng)的能量效率，因此存在發(fā)射天線數(shù)目的最佳值使得能效最佳。

4 基于擬牛頓法的多元全局優(yōu)化

為解決擬牛頓法中求解海森矩陣及其逆矩陣時計算量大的問題，同時避免海森矩陣奇異或接近奇異的情況，構(gòu)造目標函數(shù)海森矩陣的一個近似替換海森矩陣及其逆矩陣。假定已得到目標函數(shù)在xk處的海森矩陣的近似Bk，并通過dk=-Bk-1gk進行線搜索產(chǎn)生下一迭代處xk+1。下面給出目標函數(shù)在xk+1處的海森矩陣的一個近似［11］。

定 義f(xk+s)=ηEE(P1,…,P|?|,|?|) 為 能 效 優(yōu) 化 函數(shù)，xk=[P1,…,P|?|,|?|]為能效優(yōu)化資源配置的變量組合。將目標函數(shù)在xk+1處的二階泰勒公式展開式表示為：

等式兩邊關于x求梯度，并令x=xk、yk=gk+1-gk、sk=xk+1-xk，可以得到y(tǒng)k≈Gk+1sk。

如果矩陣Bk+1代表海森矩陣Gk+1的一個近似，可以得到y(tǒng)k=Bk+1sk。令Hk+1代表Bk+1的逆矩陣，可以得到Hk+1yk=sk，也被稱為擬牛頓條件。擬牛頓算法的核心就是利用擬牛頓條件得到能效優(yōu)化目標函數(shù)海森矩陣的一個近似。

設Hk為目標函數(shù)在xk處的海森矩陣逆的一個近似，借助一個秩為1 的對稱矩陣vkvkT的改變后，使之滿足擬牛頓算法的條件，可以得到對稱秩1 校正公式，簡稱SR1 校正公式。

具體地，令Hk+1=Hk+vkvkT，其中vk=Rn，根據(jù)擬牛頓條件Hkyk+vkvkTyk=sk，若vkTyk≠0，則有：

擬牛頓法的算法流程如圖3 所示。

圖3 擬牛頓算法流程圖

利用擬牛頓法進行多元優(yōu)化搜索單根天線的功率分配因子與最佳的發(fā)射功率，核心步驟如下。

輸入：初始自變量x0、精度ε；

輸出：目標函數(shù)的極值、對應自變量的取值；

步驟1：給定能效優(yōu)化目標函數(shù)的初始值x0、正定矩陣H0、精度ε，求解g0=?f(x0)，記k=0；

步驟2：如果||gk||≤ε，算法終止，否則計算牛頓法的搜索方向dk=-Hkgk；

步驟3：牛頓步長sk=μdk，令xk+1=xk+sk；

步驟4：根據(jù)式（14）對矩陣Hk進行更新和校正，得到Hk+1，使其滿足擬牛頓條件；令k+1～k，返回步驟2。

5 實驗結(jié)果分析

為了驗證所提的信道估計算法對系統(tǒng)性能的影響，量化擬牛頓法多元優(yōu)化的性能?；贔DD 模式下的大規(guī)模MIMO 系統(tǒng)，下行鏈路采用不相關的瑞利衰落信道，同時假設加性高斯白噪聲的方差在不同信噪比的情況下固定。主要的仿真參數(shù)如表1所示。

表1 仿真參數(shù)

圖4 仿真了不完備CSI 下大規(guī)模MIMO 系統(tǒng)能效與發(fā)射功率和激活天線數(shù)目的理論三維關系圖。從圖4 可以看出，對于不同的發(fā)射功率和激活的天線數(shù)目，存在一個最佳能效值。

圖4 能效與激活天線數(shù)目、發(fā)射功率理論三維關系圖

圖5 仿真了單位帶寬下擬牛頓算法下能效與發(fā)射功率、激活天線數(shù)目的智能搜索曲線。可以看出，通過擬牛頓算法可以智能搜索出最佳的發(fā)射功率和激活天數(shù)數(shù)目。

圖5 擬牛頓算法智能搜索圖

表2 將理論能效極值與擬牛頓算法智能搜索得到的能效極值進行對比?？梢钥闯?，通過擬牛頓算法搜素得到的能效極值36.13 bit/J/Hz 與理論最佳能效值37.35 bit/J/Hz 相差1.22 bit/J/Hz，約是3%（1.22÷37.35×100%≈3%）。

表2 能效邊界與對應參數(shù)

圖6 仿真了不完備CSI 下大規(guī)模MIMO 系統(tǒng)能效隨迭代次數(shù)的變化關系圖?？梢钥闯觯S著迭代次數(shù)的增加，系統(tǒng)的能效逐漸增加。迭代5 次左右后，能效的數(shù)值趨于穩(wěn)定，此時達到擬牛頓算法的收斂條件。通過擬牛頓法進行迭代搜索可以得到能效的邊界值，為36.13 bit/J/Hz。

圖6 能效隨迭代次數(shù)的變化關系圖

圖7 仿真了不完備CSI 下的大規(guī)模MIMO 系統(tǒng)的發(fā)射功率隨著迭代次數(shù)的變化關系圖?？梢钥闯?，迭代5 次左右，最佳發(fā)射功率的數(shù)值趨于穩(wěn)定。通過擬牛頓算法進行迭代搜索，可以搜索到能效邊界所對應的發(fā)射功率值，同時也可以獲得各個發(fā)射天線的功率分配因子。

圖7 發(fā)射功率隨迭代次數(shù)的變化關系圖

6 結(jié) 語

基于CSI 對大規(guī)模MIMO 系統(tǒng)進行系統(tǒng)重構(gòu)，建立CSI 和可激活鏈路與子信道的關聯(lián)并進行多維資源的聯(lián)合配置，獲得了多維資源配置條件的能效優(yōu)化模型。實驗證明，利用擬牛頓算法可以實現(xiàn)多維能效模型的多元全局最優(yōu)化，搜索可得到最佳全局最優(yōu)解及對應資源配置方案，且搜索得到的全局最優(yōu)解和理論邊界基本吻合，能夠基于搜索多元參數(shù)擬合出資源配置方案。