夏飛揚(yáng)， 樊可清

(五邑大學(xué) 信息工程學(xué)院，廣東 江門 529020)

運(yùn)動控制系統(tǒng)的減振一直都是運(yùn)動控制系統(tǒng)研究的關(guān)鍵技術(shù)，因?yàn)橄到y(tǒng)的振動會嚴(yán)重影響運(yùn)動控制系統(tǒng)的加工效率和精度。如CNC系統(tǒng)的振動會影響系統(tǒng)的加工精度和機(jī)器的壽命，機(jī)器人運(yùn)動的平穩(wěn)性與其系統(tǒng)振動控制密切相關(guān)，機(jī)械手的振動會嚴(yán)重影響其定位精度和工作效率，吊車的擺動不僅會影響工作效率甚至還會影響操作人員的生命安全等[1-3]?？梢娺\(yùn)動控制系統(tǒng)的振動控制問題已成為運(yùn)動控制產(chǎn)業(yè)能否廣泛和進(jìn)一步應(yīng)用的關(guān)鍵。

文獻(xiàn)[4]～文獻(xiàn)[7]通過應(yīng)用輸入整形的方法來抑制機(jī)器人柔性臂的殘余振動，雖然在一定程度上可以抑制振動，但增加了系統(tǒng)的總運(yùn)動時間。文獻(xiàn)[8]～文獻(xiàn)[10]提出了減少加減速階段計(jì)算量的方法，通過減少加減速段的計(jì)算量可以增強(qiáng)系統(tǒng)的實(shí)時性，在一定程度上可以抑制系統(tǒng)的振動，但這種方法的抑制效果畢竟是較差的。文獻(xiàn)[11]引入了PID控制來抑制系統(tǒng)振動的方法，這種方法對系統(tǒng)模型要求非常高，對非線性系統(tǒng)的振動抑制程度很有限。

目前提出的運(yùn)動控制減振算法大都著重考慮系統(tǒng)的整個運(yùn)動過程，這就使得所設(shè)計(jì)的減振控制器比較復(fù)雜同時極大地增加了系統(tǒng)的計(jì)算量，從而使得控制器的實(shí)時性不好，而實(shí)時性是保證閉環(huán)控制系統(tǒng)穩(wěn)定性的首要條件，這將會導(dǎo)致設(shè)計(jì)的控制器不穩(wěn)定，這就是為什么很多控制方法很難在實(shí)際工程中運(yùn)用的原因。根據(jù)理論，系統(tǒng)的振動是由加減速階段引起的，可以研究控制系統(tǒng)的加減速頻譜和系統(tǒng)振動頻譜的關(guān)系，從而只在加減速階段著手來設(shè)計(jì)控制器，這樣可以大量減小計(jì)算量從而增強(qiáng)控制器的穩(wěn)定性，以此來優(yōu)化控制算法在實(shí)際工程中的運(yùn)用。通過大量閱讀文獻(xiàn)發(fā)現(xiàn)目前還沒有研究者真正在實(shí)際工程中研究運(yùn)動控制系統(tǒng)的加減速頻譜和系統(tǒng)振動頻譜的關(guān)系，所以筆者設(shè)計(jì)了一個運(yùn)動控制系統(tǒng)，來研究實(shí)際工程中加減速頻譜和系統(tǒng)振動頻譜的關(guān)系，然后通過控制加減速階段振動的條件來規(guī)劃加速度，通過仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)規(guī)劃算法可以確保運(yùn)動系統(tǒng)在加減速階段的擺動角度為零。

1 加速度頻譜和系統(tǒng)振動頻譜關(guān)系研究

1.1 S曲線速度規(guī)劃模型

高速高質(zhì)是運(yùn)動控制產(chǎn)業(yè)追求的目標(biāo)，這就要求運(yùn)動控制系統(tǒng)快速達(dá)到指定的設(shè)定速度并平穩(wěn)停止在指定的位置。但由于系統(tǒng)本身的特性使得運(yùn)動系統(tǒng)在運(yùn)動過程中會有一個加減速的過程，這個過程很容易激起系統(tǒng)的振動模態(tài)從而引起系統(tǒng)的振動，這就要求規(guī)劃好加減速從而實(shí)現(xiàn)運(yùn)動控制系統(tǒng)的柔性加減速以便減小起停時系統(tǒng)的振動使系統(tǒng)快速停止，從而加快系統(tǒng)的運(yùn)作效率[12]。

現(xiàn)有的加減速算法有直線加減速控制方法[13]、指數(shù)加減速控制方法[14]和S曲線加減速控制方法[15]等。直線加減速控制方法雖然計(jì)算簡單，但它的加速度不連續(xù)會引起很大的沖擊；指數(shù)加減速控制方法的加速度雖然連續(xù)但其計(jì)算復(fù)雜影響系統(tǒng)的實(shí)時性；S曲線加減速控制方法加速度連續(xù)，計(jì)算量小于指數(shù)加減速控制方法，是目前比較常用的一種控制方法。本文首先通過采用S曲線加減速控制方法來控制設(shè)計(jì)的二階單擺系統(tǒng)運(yùn)動，采集在不同加減速時間下系統(tǒng)振動數(shù)據(jù)，再通過FFT變換分析系統(tǒng)加速度所含的頻率成分和系統(tǒng)振動頻率成分的關(guān)系；然后根據(jù)前面的實(shí)驗(yàn)結(jié)論來規(guī)劃加速度，在確保系統(tǒng)在起停時的擺動為零的條件下得到加速度曲線中的相關(guān)參數(shù)。通過仿真可以發(fā)現(xiàn)本方法可以確保系統(tǒng)在起停時的振動加速度為零，控制了系統(tǒng)在起停時的振動，這就可以使運(yùn)動系統(tǒng)快速停止在指定的位置，從而提高了運(yùn)動控制系統(tǒng)的工作效率。

在研究加速度頻譜和系統(tǒng)振動頻譜的實(shí)驗(yàn)中采用的是常規(guī)7段S型加減速控制方法，實(shí)驗(yàn)運(yùn)動的行程是單點(diǎn)的直線運(yùn)動，并且起始速度為零，如圖1所示，整個過程由加加速度、勻加速度、減加速度、勻速、加減速、勻減速及減減速7段組成[16-17]。

圖1 S型加減速運(yùn)動過程

圖1中，vc為指令速度，vmax為運(yùn)行的最大速度，tk(k=1,2,…,7)為各階段的過渡點(diǎn)時刻；vi(i=1,2,…,7)為各階段的過渡點(diǎn)時刻的速度；τk(k=1,2,…,7)為局部時間坐標(biāo)，表示以各階段的起始點(diǎn)作為零點(diǎn)的時間,τk=t-tk-1;Tk(k=1,2,…,7)為各個階段的持續(xù)運(yùn)行時間；amax為最大加速度；J為加加速度；L為整個運(yùn)行長度。

其中加加速度J在運(yùn)動過程中的取值為

(1)

而加速度a(t)、進(jìn)給速度v(t)和位移s(t)之間的積分關(guān)系

(2)

即可得到加速度a(t)、進(jìn)給速度v(t)和位移s(t)在運(yùn)動過程中的取值：

(3)

(4)

(5)

(6)

因此，只要確定vmax，amax，J，就可以確定整個運(yùn)動過程。

1.2 運(yùn)動系統(tǒng)模型

一個系統(tǒng)有無數(shù)階振動模態(tài)，但通常起主要作用的往往只有前兩階，所以在本實(shí)驗(yàn)中用兩個質(zhì)量鋁塊和鋼直尺來等效一個二階的系統(tǒng)。本實(shí)驗(yàn)的運(yùn)動控制系統(tǒng)如圖2所示，兩個鋁塊拴緊在鋼直尺的不同位置上，在鋁塊上分別粘貼傳感器來測量鋁塊的振動，鋼直尺的上端固定在橫梁的滑塊上，橫梁固定在剛性圓柱支架上，每個圓柱支架的底座都有防振腳墊，來減少其他振動的干擾，橫梁的一端固定有PANATERM A5伺服電機(jī)。本實(shí)驗(yàn)的控制采集系統(tǒng)如圖3所示，控制機(jī)箱是NI的cRio9033，該機(jī)箱配有可重置的FPGA和基于RT的系統(tǒng)，從而確保了系統(tǒng)的實(shí)時性。振動信號的采集是采用NI 9239采集卡，最大采樣率50 kS/s，A/D分辨率達(dá)24位，確保足夠的采樣精度。運(yùn)動控制卡采用NI的9512，該運(yùn)動控制卡可以設(shè)置梯形、S型、三角函數(shù)型等多種控制模式，而且可以讀取編碼器反饋的信號，方便了系統(tǒng)的準(zhǔn)確調(diào)試。

圖2 運(yùn)動系統(tǒng)

圖3 控制采集系統(tǒng)

1.3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

在實(shí)驗(yàn)開始時先用力敲擊鋼直尺，通過鋁塊上的加速度計(jì)可以采集到敲擊后的振動信號，再通過傅里葉變換可以得到系統(tǒng)的固有頻率。通過多次實(shí)驗(yàn)得到本系統(tǒng)振動頻域如圖4所示，可知本系統(tǒng)的第一階固有頻率為0.84 Hz，第二階固有頻率為4.75 Hz。

圖4 系統(tǒng)第一、二階固有頻率圖

實(shí)驗(yàn)時設(shè)置系統(tǒng)的總行程L=1000 mm,系統(tǒng)總的運(yùn)行時間t=12 s,本實(shí)驗(yàn)是為了研究加速度的頻譜和系統(tǒng)振動的頻譜之間的關(guān)系，所以通過控制加速度的時間來控制加速度頻帶的寬度，對比在加速度包含的頻率成分及幅值不同時，系統(tǒng)振動頻率的變化。本實(shí)驗(yàn)中設(shè)置兩個加速度時間，分別為0.25 s和5 s，為防止偶然因數(shù)的影響，每個加速度時間下的實(shí)驗(yàn)重復(fù)5次，再在5次中取偶然因數(shù)影響最小的一次作為本實(shí)驗(yàn)的測試結(jié)果，得到兩種不同加速度時間下的加速度時頻圖和對應(yīng)的系統(tǒng)振動時頻圖，分別如圖5～圖10所示。

圖5 加速時間0.25 s頻域圖

圖6 加速時間5 s頻域圖

圖7 加速時間0.25 s時系統(tǒng)振動時域圖

圖8 加速時間5 s系統(tǒng)振動時域圖

圖9 加速時間0.25 s系統(tǒng)振動頻域圖

圖10 加速時間5 s系統(tǒng)振動頻域圖

通過對比電機(jī)加速度頻譜和系統(tǒng)振動頻譜發(fā)現(xiàn)，系統(tǒng)振動頻譜中包含有加速度頻譜中沒有的成分，所以系統(tǒng)的振動并不是完全由電機(jī)引起的，可能還有摩擦等其他激勵系統(tǒng)的振動。

1.4 結(jié)論

① 在實(shí)驗(yàn)過程中發(fā)現(xiàn)加速階段含有系統(tǒng)固有頻率成分的幅值越大，系統(tǒng)擺動的幅度就越大，停止時所花費(fèi)的時間就越長，這可能是加速度引起了系統(tǒng)共振的結(jié)果。

② 從系統(tǒng)振動的時域圖可以發(fā)現(xiàn)，系統(tǒng)的振動主要是在起停階段，因此要想減小系統(tǒng)的振動只需規(guī)劃好系統(tǒng)的加減速，而且在實(shí)際工程中也是起停階段的振動降低了工作效率。

③ 通過對比分析加速度頻域圖和系統(tǒng)振動頻域，可以發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)振動的頻譜圖中包含了加速度信號中沒有的頻率成分，這可能是實(shí)際工程中系統(tǒng)運(yùn)動滑塊的不平滑、連接部位的剛度不夠等引起的沖擊性或強(qiáng)迫性的振動。

2 規(guī)劃加速度減振仿真實(shí)驗(yàn)

2.1 系統(tǒng)模型

設(shè)計(jì)本仿真實(shí)驗(yàn)的系統(tǒng)物理模型如圖11所示。

圖11 二階系統(tǒng)物理模型

由拉格朗日方程可得系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型如下：

(7)

要想系統(tǒng)到達(dá)指定的位置并且在起始時的擺動角度為零就得滿足

(8)

由運(yùn)動系統(tǒng)本身的特性，在運(yùn)動過程中的速度和加速度有極限條件，即

(9)

2.2 規(guī)劃滿足約束條件的加速度

由前面實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)的振動主要在加減速階段并且實(shí)際工程中影響工作效率的也是在起停階段，因此可以只通過規(guī)劃加速度來控制系統(tǒng)的振動以簡化控制器、減少計(jì)算量從而提高控制器的魯棒性，以便更廣泛地應(yīng)用于實(shí)際工程中。在實(shí)驗(yàn)中重新規(guī)劃的加速度公式如下：

(10)

式中，k，b為常數(shù),現(xiàn)通過約束條件式(8)、式(9)來確定加速度(10)中參數(shù)k，b,t1～t7的值。通過分析發(fā)現(xiàn)t1可以通過式(11)確定

(11)

k可以通過迭代學(xué)習(xí)公式(12)得到滿足相應(yīng)條件下的值。

(12)

式中，T為迭代的時間間隔；kk為自學(xué)習(xí)的參數(shù)。參數(shù)b可以通過式(13)得到。

b=kt1

(13)

t2跟最大速度和運(yùn)動的行程有關(guān)，即

(14)

而t3=t2+t1，t4可由式(15)得到。

2x(t3)+v(t3)·(t4-t3)=xf

(15)

由運(yùn)動時加速度和減速度的對稱性，可以得到t5，t6，t7：

t5=t4+t1
t6=t4+t2
t7=t4+t3

(16)

2.3 Matlab仿真實(shí)驗(yàn)

通過大量實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)這種通過規(guī)劃加速度來控制運(yùn)動控制系統(tǒng)起始擺動的方法魯棒性高、計(jì)算量少，并可以保證運(yùn)動控制系統(tǒng)在起始的擺動角度為零。本實(shí)驗(yàn)中選取的參數(shù)如下：g=9.8 m/s2,am=1 m/s2，vm=1.5 m/s,θm=0.1 rad,xf=10 m,l1=1 m,l2=0.5 m，m1=1 kg,m2=3 kg。得到的仿真結(jié)果如圖12所示。

從仿真結(jié)果可以看出，在起停時刻的振動角度為零，所以提出的通過規(guī)劃加速度來控制運(yùn)動控制系統(tǒng)的振動算法是有效的。

圖12 仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果圖

3 結(jié)束語

由于目前提出的運(yùn)動控制算法比較復(fù)雜、計(jì)算量大，因而很難在實(shí)際工程中應(yīng)用。考慮到在實(shí)際工程中影響系統(tǒng)效率的主要是加減速階段系統(tǒng)的振動，所以本文從引起系統(tǒng)振動的加減速階段入手，首先分析了在實(shí)際工程中加速度頻譜和系統(tǒng)固有振動頻譜的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)振動頻譜中含有加速度頻譜中沒有的頻率成分，所以單靠去除加速度中系統(tǒng)的固有頻率的話系統(tǒng)還是會被引起沖擊性的振動，所以就通過約束加減速過程的振動來規(guī)劃加速度曲線，通過實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)可以保證運(yùn)動控制系統(tǒng)在起停時的擺動角度為零。