李藝輝，劉作軍，李 潔

(河北工業(yè)大學人工智能與數(shù)據(jù)科學學院，天津 300132)

1 引言

開關磁阻發(fā)電機SRG(Switched Reluctance Generator)因具有結構簡單、堅固，成本低，低速運行性能好，可控參數(shù)多，高容錯性等諸多優(yōu)點，在風力發(fā)電[1]、航空航天[2]等領域具有十分廣闊的應用前景[3]。

由于轉矩脈動大、噪聲大等問題，SRG的實際應用受到限制。為解決SRG轉矩脈動較大的問題，國內外學者在SRG本體設計參數(shù)[4]、控制參數(shù)[5]優(yōu)化等方面進行了大量研究。在解決SRG轉矩脈動問題的基礎上，為了保證發(fā)電機全面高效的運行性能，需對SRG多個性能指標進行優(yōu)化，因此多目標優(yōu)化方法的引入對SRG的優(yōu)化研究具有重要意義[5]。目前，在智能優(yōu)化算法的研究領域，電機多目標優(yōu)化方法主要分為傳統(tǒng)多目標優(yōu)化方法和多目標進化算法[6]。其中，傳統(tǒng)多目標優(yōu)化方法主要通過評價函數(shù)法[7,8]、目標規(guī)劃[9]等方法將多目標問題轉化為單目標問題求解。多目標進化算法通過尋優(yōu)得到一個Pareto解集。基于遺傳算法的多目標優(yōu)化方法具備遺傳算法較強的全局搜索能力和魯棒性[10]。其中，快速非支配排序遺傳算法NSGA-Ⅱ[11]通過引入擁擠度和精英策略保持了種群的多樣性，提高了電機優(yōu)化的精度和效率[12,13]，可以高效率處理多目標優(yōu)化問題，而改善了種群分布的改進NSGA-Ⅱ[14]無法正確估量3目標及3目標以上優(yōu)化問題的擁擠程度，在優(yōu)化3個及以上目標的電機優(yōu)化設計中存在不足。因此，文獻[15,16]提出一種基于參考點的非支配排序遺傳算法NSGA-Ⅲ,以參考點與種群的關聯(lián)操作代替NSGA-Ⅱ的擁擠度選擇機制，可從精英策略方面更好地解決包含3～15個優(yōu)化目標的多目標優(yōu)化問題。

NSGA-Ⅲ可快速估計多目標優(yōu)化問題的最優(yōu)點[15]，但算法本身無法幫助決策者確定滿足自身偏好需求的最優(yōu)方案。目前，已有研究將后驗偏好信息[13]、交互偏好信息[17]和先驗偏好信息[18]引入多目標優(yōu)化方法，幫助決策者依據(jù)偏好選擇Pareto解集中的最優(yōu)方案。

本文提出一種基于模糊邏輯NSGA-Ⅲ的SRG多目標優(yōu)化算法，將偏好信息引入SRG多目標優(yōu)化。利用RSM對SRG的優(yōu)化目標進行回歸建模，在保證擬合精度的基礎上，采用基于模糊邏輯NSGA-Ⅲ的SRG多目標優(yōu)化算法對SRG結構參數(shù)和控制參數(shù)同時進行優(yōu)化，即搭建基于模糊邏輯的模糊推理系統(tǒng)，在NSGA-Ⅲ中引入決策者的偏好信息指導NSGA-Ⅲ的尋優(yōu)方向，通過尋優(yōu)得到考慮偏好的Pareto最優(yōu)解集，解集中的各個解附加了相對強度值，決策者選取相對強度值最大的解作為SRG多目標優(yōu)化的最優(yōu)方案。

2 SRG初始設計

本文依據(jù)SRG設計方法[19]計算得到如表1所示的1 kW四相8/6極SRG樣機的主要設計參數(shù)。

Table 1 Initial design size of four-phase 8/6 pole SRG

利用Ansoft Maxwell軟件對SRG模型進行有限元靜態(tài)及瞬態(tài)仿真分析，得到恒功率額定工況下SRG的性能，如表2所示。

Table 2 SRG performance under rated conditions

3 SRG優(yōu)化目標及優(yōu)化變量

3.1 優(yōu)化目標及優(yōu)化變量

通過對SRG的參數(shù)化分析，選取對SRG效率、功率密度和轉矩脈動影響較大的參數(shù)：定子極弧βs、轉子極弧βr、定子軛厚Ys、轉子軛厚Yr、定子內徑Dsi、開通角θon和導通角θc組成優(yōu)化變量X，如式(1)所示。

X=[x1x2x3x4x5x6x7]T=

[βsβrYsYrDsiθonθc]T

(1)

將結構參數(shù)和控制參數(shù)的取值范圍作為優(yōu)化變量的區(qū)間約束條件；此外，考慮到定子極磁密對SRG運行鐵耗的影響，鐵心軛部的結構強度以及發(fā)電機運行過程中的溫升和銅耗等因素，將發(fā)電機定子極磁密、定子軛部磁密和定子繞組電流密度作為性能約束條件。

為減小SRG轉矩脈動、提高運行效率和功率密度，滿足發(fā)電機高效穩(wěn)定的運行需求，SRG多目標優(yōu)化問題可表示為：

(2)

3.2 SRG優(yōu)化目標的響應面建模

由于SRG的非線性，優(yōu)化目標η(x)、ρm(x)和KTr(x)無顯式表達，本文采用響應面法RSM(Response Surface Methodology)對SRG優(yōu)化目標函數(shù)進行回歸建模。利用中心復合實驗設計CCD(Central Composite experiment Design)[20]方法進行優(yōu)化變量的5水平采樣，通過Expert Design軟件得到采樣結果，如表3所示。

待優(yōu)化因素數(shù)目為n，則采用CCD方法進行的總實驗次數(shù)為：

m=no+2n+2n

(3)

Table 3 Factor and level reference table

其中，no為中心點數(shù)目，2n為軸向點數(shù)目，2n為析因點數(shù)目。本文設置待優(yōu)化因素數(shù)即優(yōu)化變量數(shù)為7，取中心點數(shù)目為1，總實驗次數(shù)為143次。利用Maxwell軟件對不同水平下的參數(shù)組合進行有限元仿真分析得到143組對應響應值，如表4所示。

對表4中的實驗數(shù)據(jù)進行多元二次回歸擬合，得到SRG優(yōu)化目標轉矩脈動KTr、發(fā)電機效率η和功率密度ρm響應面模型的函數(shù)表達分別如式(4)～式(6)所示：

KTr(x)=fKTr(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7)

(4)

η(x)=fη(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7)

(5)

ρm(x)=fρm(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7)

(6)

SRG響應面模型分別如式(7)～式(9)所示。

Table 4 Factor and response test data

(7)

(8)

ρm(x)=185.17473-31.53661x1-11.11662x2-1.81560x3-0.73350x4-0.42486x5-0.015081x6+0.00626168x7

(9)

SRG優(yōu)化目標響應面模型(式(3)～式(5))的回歸分析如表5所示。

Table 5 SRG optimization target response surface model regression analysis table

有效信號與噪聲比值Adeq.Precision>4，變異系數(shù)C.V.<10，響應面模型有較高的可信度和精度；P值(Model Prob>F)均小于0.01，響應面模型顯著，擬合度好，具有高度統(tǒng)計學意義；多元相關系數(shù)R2及校正系數(shù)Adj.R2均大于0.9，各響應面模型預測精度較高。因此，通過響應面法構造的SRG優(yōu)化目標模型擬合度好，可信度與精度較高。

4 基于模糊邏輯NSGA-Ⅲ的SRG多目標優(yōu)化算法

4.1 模糊推理系統(tǒng)

由于決策者對不同優(yōu)化目標重要程度的判定以及解改進程度的大小無法做出定量的描述，因此本文引入模糊推理系統(tǒng)，建立種群個體間的“強度優(yōu)于”關系[17]以比較個體的優(yōu)劣。首先，建立模糊推理系統(tǒng)，通過相對強度值的比較判斷Pareto前沿解之間的優(yōu)劣，用于指導算法的尋優(yōu)方向?；谀：壿嫿㈦p輸入、單輸出的Mamdani模糊推理系統(tǒng)，利用模糊語言描述決策者的偏好信息，定量輸出相對強度值Si，如圖1所示。

Figure 1 Fuzzy reasoning system of Mamdani

圖1中優(yōu)化目標fi(i=1,2,3)的重要性因子Pi由式(10)和式(11)計算得到。

(10)

(11)

其中，cij為優(yōu)化目標fi對優(yōu)化目標fj的相對重要程度。本文采用5級標度賦值，并設定3個優(yōu)化目標的相對重要程度：SRG效率和功率密度同等重要，轉矩脈動比效率、功率密度重要。

Table 6 5-level scale assignment of relative importance between optimization goals

由表6得到SRG多目標優(yōu)化中3個優(yōu)化目標相對重要程度的賦值矩陣C如式(12)所示：

(12)

圖1中Di為2個解x、x′相對于優(yōu)化目標的改進程度，由式(13)得到：

Di=fi(x′)-fi(x)

(13)

Mamdani模糊推理系統(tǒng)輸出變量Si作為解x對于x′在優(yōu)化目標fi(i=1,2,3)上的相對強度值，對輸出變量Si采用常用反模糊化方法重心法得到Mamdani模糊推理系統(tǒng)輸出的精確強度值S′。因此，x對優(yōu)化目標的綜合相對強度值如式(14)所示：

(14)

4.2 模糊邏輯NSGA-Ⅲ算法的主要操作

模糊邏輯NSGA-Ⅲ創(chuàng)建15條模糊規(guī)則的雙輸入、單輸出Mamdani模糊推理系統(tǒng)，并預定義一組與種群規(guī)模相近的參考點，將種群規(guī)模為N的第t代父代種群Pt與經(jīng)過交叉、變異生成的子代種群Qt合并，對種群數(shù)量為2N的合并種群Rt=Pt∪Qt進行相對強度值的比較。同時，對種群個體與參考點進行關聯(lián)操作，建立關于種群個體到參考點距離的適應度函數(shù)，以保證改進NSGA-Ⅲ的種群多樣性，最終將相對強度值篩選出新的種群數(shù)量為N的集合作為新的父代種群。

模糊邏輯NSGA-Ⅲ算法的主要操作：

(1)創(chuàng)建Mamdani模糊推理系統(tǒng)。

依據(jù)輸入變量Pi、Di和輸出變量Si的隸屬度函數(shù)及規(guī)則搭建Mamdani模糊推理系統(tǒng)，設置SRG優(yōu)化目標相對重要程度的賦值矩陣C以模糊化決策者對于優(yōu)化目標重要程度的偏好信息。

(2)預定義一組參考點。

采用Deb and Jain方法生成內、外2層參考點，不僅減少了參考點數(shù)目，而且還保證了參考點的廣泛分布[16,21]。外層參考點uij由Das and Dennis方法生成。

(15)

其中，M為優(yōu)化目標的個數(shù)；H為歸一化各優(yōu)化目標坐標軸上平均分成的區(qū)域數(shù),uij是集合U1中第i行第j列元素。

基于外層參考點，由式(16)得到內層參考點集U2：

u′ij∈U2

(16)

則(M-1)維超平面上預定義的參考點集U=U1∪U2。

(3)初始化理想點。

(17)

(4)建立適應度函數(shù)。

為保證種群個體能夠均勻擴展到整個Pareto搜索域中，基于參考點到種群個體間的距離建立適應度函數(shù)，如式(18)所示：

f(x)=(U(x)-Umin+1)×(dmax/d)2

(18)

其中，U(x)和Umin分別為參考點是變量的函數(shù)和參考點最小值，d為參考點到種群個體的距離。

模糊邏輯NSGA-Ⅲ算法流程圖如圖2所示。

Figure 2 Flowchart of fuzzy logic NSGA-Ⅲ algorithm

5 優(yōu)化結果及仿真分析

在Matlab軟件中，利用NSGA-Ⅲ和模糊邏輯NSGA-Ⅲ分別優(yōu)化1 kW四相8/6極SRG的轉矩脈動、效率和功率密度響應面函數(shù)，設置種群規(guī)模N=200，交叉分布參數(shù)ηc=30，變異分布參數(shù)ηm=20，最大迭代次數(shù)GMax=500。得到Pareto前沿如圖3和圖4所示。

Figure 3 Pareto front after NSGA-Ⅲ optimization

Figure 4 Pareto front after fuzzy logic NSGA-Ⅲ optimization

圖3和圖4中Pareto前沿上所有解的約束違反度為0，均為滿足SRG性能約束的可行解。SRG優(yōu)化后的模型滿足：KTr<2.0619，η>80.54%，ρm>117.2574 W/kg。圖4中采用模糊邏輯NSGA-Ⅲ優(yōu)化后的Pareto前沿上解的性能均優(yōu)于優(yōu)化前的，且標注點為相對強度值最大的解，即為滿足決策者偏好的最優(yōu)解。而圖3中采用NSGA-Ⅲ優(yōu)化后的部分解不完全滿足優(yōu)化需求，將其剔除，決策者依據(jù)偏好從剔除后的Pareto解集中選取最優(yōu)解，在SRG功率密度約束下，取7組不同效率下的SRG可行解，其分布如圖5所示。

Figure 5 Pareto feasible solution distribution with constraints

圖5的7組優(yōu)化方案中，方案1轉矩脈動最小，方案7功率密度、發(fā)電效率最大。表7和表8為對采用NSGA-Ⅲ和模糊邏輯NSGA-Ⅲ優(yōu)化后的8組SRG優(yōu)化方案的分析結果(表7中的θon和θc均為電角度)。

表7列出的8組優(yōu)化方案的SRG參數(shù)組合均從不同程度對SRG的3個優(yōu)化目標進行了優(yōu)化，較好地解決了SRG的多目標優(yōu)化問題，其中方案1～ 方案7為圖5中NSGA-Ⅲ優(yōu)化后篩選的7組解，方案8為圖4中模糊邏輯NSGA-Ⅲ優(yōu)化后相對強度值最大的解。

Table 7 SRG optimization schemes based on NSGA-Ⅲ and fuzzy logic NSGA-Ⅲ

Table 8 Results analysis of SRG optimization schemes

從表9可以看出，方案1～方案5相對于方案8的強度值均為負，即考慮偏好信息時這5組解劣于通過模糊邏輯NSGA-Ⅲ優(yōu)化得到的相對強度值最大的解。方案6和方案7的相對強度值略大于方案8的，但幅度較小，認為NSGA-Ⅲ優(yōu)化后的方案6和方案7亦可滿足決策者偏好。NSGA-Ⅲ優(yōu)化得到的190組Pareto前沿上的解相較于方案8的強度值如圖6所示。

Table 9 Comparison of the relative intensity values of schemes 1～7 and scheme 8

Figure 6 Comparison of the intensity values of the Pareto front of NSGA-Ⅲ and scheme 8

NSGA-Ⅲ優(yōu)化后Pareto前沿上190組解中有176組解相對于方案8的強度值為負，即考慮偏好的解劣于方案8的。14組解略優(yōu)于方案8的，均能滿足決策者的偏好需求。由圖6中相對強度值的分布情況可知，NSGA-Ⅲ優(yōu)化后的Pareto前沿上有可以滿足決策者偏好的解，而模糊邏輯NSGA-Ⅲ相較于NSGA-Ⅲ的優(yōu)勢在于在算法搜索前設定模糊邏輯，界定了算法的整體尋優(yōu)方向，更有指向性地實現(xiàn)了全局尋優(yōu)。

6 結束語

本文進行了基于模糊邏輯NSGA-Ⅲ的SRG多目標優(yōu)化方法的研究。利用響應面法搭建了SRG非線性模型-回歸模型；采用模糊邏輯NSGA-Ⅲ建立基于模糊邏輯的Mamdani模糊推理系統(tǒng)，通過對優(yōu)化目標重要性和解改進程度的模糊化，在NSGA-Ⅲ的基礎上引入決策者的偏好信息，以實現(xiàn)Pareto解集相對強度值的量化處理，由相對強度值的大小指導尋優(yōu)方向；同時，建立適應度函數(shù)，以保證種群個體能夠均勻分布到整個搜索域，通過尋優(yōu)確定SRG的最優(yōu)參數(shù)組合方案。算法采用相對強度值的比較代替了NSGA-Ⅲ中基于關聯(lián)操作的非支配排序，使得算法的仿真時長略有增加，但是極大地減小了決策者的決策負擔，縮短了選取最優(yōu)解的時間。通過有限元仿真對比優(yōu)化前后SRG的運行性能，強度值最大的優(yōu)化方案能在減小SRG轉矩脈動的同時，提高發(fā)電機的整體運行效率和功率密度，在滿足決策者偏好的基礎上有效地改善了SRG的運行性能，驗證了基于模糊邏輯NSGA-Ⅲ的SRG多目標優(yōu)化方法的有效性。