靳旭文，李國東

(新疆財經(jīng)大學統(tǒng)計與數(shù)據(jù)科學學院,新疆 烏魯木齊 830012)

1 引言

5G網(wǎng)絡時代的到來正在加快無線大數(shù)據(jù)的增長，造成數(shù)據(jù)量急劇膨脹，信息由傳統(tǒng)的文字信息慢慢轉變?yōu)閳D像和視頻。且互聯(lián)網(wǎng)上時事資訊和聊天會產(chǎn)生海量的圖像數(shù)據(jù)，因此，設計隱私保護的圖像安全性問題近年來成為熱點。

目前，數(shù)字圖像加密算法主要是通過對圖像像素點作位置和值的改變，從而經(jīng)過置亂和擴散對圖像完成加密。混沌系統(tǒng)是具有非常復雜的偽隨機性的非線性系統(tǒng)，對控制參數(shù)和初始條件具有高度敏感性，任何微小的初始偏差都會被指數(shù)式放大，符合圖像像素點擴散規(guī)則。同時，它可由非線性系統(tǒng)的方程、參數(shù)和初始條件完全確定[1]。1998 年，F(xiàn)ridrich[2]首次在圖像加密中引入混沌模型，由此拉開了圖像加密的新大門。由于混沌具有初值敏感性、無周期性和遍歷性，微小變動初始值參數(shù)就可產(chǎn)生符合加密的源序列。李春虎等[3]提出利用Tent映射和Anorld相結合的算法進行加密，能夠有效地擴展密鑰空間。不過又被證明，隨著時間周期的變換，混沌系統(tǒng)具有單一性及混沌性能退化等問題。接著研究者發(fā)現(xiàn)了具有更強混沌特性的超混沌系統(tǒng)，并引入其他學科工具結合混沌系統(tǒng)設計加密算法。例如，涂正武等[4]結合生物基因DNA規(guī)則，將腺嘌呤(A) 、鳥嘌呤(G) 、胞嘧啶(C) 和胸腺嘧啶(T) 4種堿基結合圖像和混沌序列作變換從而完成加密，但是其規(guī)則庫較小，可供DNA編碼的方式單一。姚麗莎等[5]利用DNA編碼與混沌系統(tǒng)相結合的加密方式，對原文分層加密，雖引入漢明距離作為初始值參數(shù)，但混沌系統(tǒng)特性仍會衰減。

為了解決以上加密算法中遇到的混沌特性衰減和序列編碼規(guī)則庫較小的問題，本文在數(shù)理命題邏輯逆運算的基礎上設計Strcmp分解混沌序列的圖像加密算法，對圖像分塊加密，創(chuàng)建密文熵反饋機制，使得混沌系統(tǒng)每次迭代時使用的控制參數(shù)都由加密完成的前一密文塊所提供，從而產(chǎn)生雙重加密源序列，進一步提升混沌特性和算法安全等級。

2 超Lorenz混沌系統(tǒng)

2.1 超Lorenz混沌

美國氣象學家Lorenz是混沌理論的奠基者之一。20世紀50年代末到60年代初，他利用計算機模擬觀測的天氣預測值時發(fā)現(xiàn)，對模型初始條件的微小改變也會顯著影響運算結果[6]。隨后得到了有3個變量的一階微分方程組，即Lorenz混沌：

(1)

在式(1)第1個方程中引入變化律令并加入2個新的控制參數(shù)時變?yōu)槌琇orenz混沌[7]，其中超Lorenz混沌系統(tǒng)的定義方程如式(2)所示：

(2)

其中，參數(shù)值a=10,b=8/3,c=28,r=-1時，式(2)處于超混沌狀態(tài)。利用其產(chǎn)生的混沌序列，可做出xn-yn相圖、xn-zn相圖、xn-wn相圖、yn-zn相圖、yn-wn相圖和zn-wn相圖,如圖1所示。

Figure 1 Phase diagram of hyperlorenz chaotic system

2.2 初值敏感性分析

對混沌系統(tǒng)的初始值x0、y0、z0、w0做微小改變，產(chǎn)生2組混沌序列，隨機抽取200對做對比，作出相應位置散點分布圖及其軌跡圖，如圖2和圖3所示。

Figure 2 Scatter distribution of hyperlorenz chaotic system

Figure 3 Strcmp sequence distribution of hyperlorenz chaotic system

由圖2和圖3可知，經(jīng)微小改動后的初始值代入混沌發(fā)生器，由于超混沌特性會產(chǎn)生無規(guī)則無周期性變化的序列，因此初始狀態(tài)和少量參數(shù)的變化就可以產(chǎn)生滿足密碼學基本特征的混沌源序列。

3 Strcmp序列分解算法設計

3.1 數(shù)理命題邏輯運算與位運算

命題邏輯研究以命題為基本單位，利用邏輯運算符和推理規(guī)則對命題進行演算，進而求出其真值[8]。

首先使用一個形式符號P表示在描述位置上有一個命題，稱該變量獲得指派，此時變量取得真假值。通常用1表示為真，用0表示為假。因此在具體的復合命題當中，需要引進所謂的命題聯(lián)詞以描述原子命題及其構造關系。將真假值與二進制序列組相結合，其中任意二進制序列按照每2位分割有4種可能情況：00，01,10和11。對傳統(tǒng)的邏輯運算略作修改使其滿足加密使用的二進制序列運算法則，且保證命題聯(lián)詞具有嚴格的邏輯含義，以及符號系統(tǒng)的語義與其原有自然系統(tǒng)語義的一致性。本文所討論的聯(lián)詞包括合取詞(∧)、析取詞(∨)、蘊涵詞(→)和等價詞(?)，并規(guī)定了其明確的運算規(guī)則，如表1所示。

Table 1 Truth table of mathematical propositional logic

其中，命題的合取式p∧q規(guī)則：p與q同時為真時才真，其余為假；命題的析取式p∨q規(guī)則：p與q同時為假時才假，其余為真；命題的蘊涵式p→q規(guī)則：p與q互異時為真，相同時為假；命題的等價式p?q規(guī)則：p與q同時為真或同時為假時才真。

3.2 Strcmp序列分解規(guī)則

以數(shù)理復合命題邏輯真值表逆運算為基礎，利用其逆運算對二進制分解源序列按照選取的運算規(guī)則與00，01，10，11做Strcmp對比，具體流程如圖4所示，最后將分解的序列排列為一維向量作為加密源序列。

Figure 4 Schematic diagram of Strcmp sequence decomposition

假設選取的合取式為表1中編號為3,6,9,10的逆運算組成合取分解規(guī)則，則可以將序列0110110011分解為：

result01=0110110011

result02=0111111011

若是選取表1中編號為2,6,9,10的逆運算組成合取分解規(guī)則，則會錯誤地把序列0110110011分解為：

result01=0110110011

result02=0111110111

由于混沌初值的敏感性，且Strcmp分解規(guī)則的選取可作為密鑰，會使得系統(tǒng)安全性得到很大提升。

4 加密算法

本文設計了一個具有密文熵反饋機制的混沌發(fā)生器，附加Strcmp分解規(guī)則的加密算法，利用反饋重置產(chǎn)生的序列分別對圖像塊進行加密，整體流程如圖5所示。

Figure 5 Overall image encryption algorithm

假定明文圖像大小為M*N。

Step1預處理分塊。

對明文圖像進行灰度轉換后按2*2均勻分塊，依次得到明文A、B、C、D塊，各塊大小變?yōu)镸/2*N/2。

Step2產(chǎn)生混沌序列。

設置混沌發(fā)生器，采用龍格-庫塔法(Runge-Kutta)[9]對超Lorenz混沌離散化處理后進行求解，產(chǎn)生4個序列X、Y、Z、W，并制定密文熵反饋機制：即代入原始初值產(chǎn)生混沌序列并利用序列X做分解得到result11和result12,對原文A塊進行置亂和擴散加密得到密文A′塊；再使密文A′的熵值H(其計算如式(3)所示)作為混沌發(fā)生器新初值，利用新初值產(chǎn)生的混沌序列Y做分解得到新序列result11和result12,用新序列加密原文B塊；同理根據(jù)密文熵反饋機制對圖像各塊依次完成加密。

(3)

其中,L為圖像的灰度隨機等級數(shù)；p(i)為灰度值i出現(xiàn)的概率。

在調(diào)用混沌序列時每3 000次利用式(4)對混沌狀態(tài)進行1次擾動，h為擾動項系數(shù)。

(4)

并對混沌系統(tǒng)本身產(chǎn)生的序列值s進行限定預處理，使之由浮點數(shù)類型的偽隨機序列生成整數(shù)類型的偽隨機序列S，長度為2*M/2*N/2，即:

S=mod(floor(s*pow2(16)),256)

(5)

最后經(jīng)過式(6)得到的向量Z就是要分解的源序列:

Z=reshape(dec2bin(S),1,

2*M/2*N/2*8)

(6)

Step3選取分解規(guī)則。

從真值表中選取4式分解規(guī)則，對密文熵反饋后混沌發(fā)生器產(chǎn)生的序列進行分解。

Step4混沌序列分解。

對各塊密文熵反饋得到的混沌序列值經(jīng)式(5)限定處理后，分別進行序列X合取分解、序列Y析取分解、序列Z蘊涵分解、序列W等價分解，按照分解算法每兩位一組，做循環(huán)分解i=1:k，其中k=length(Z)/2-1。

最后利用式(7)得到加密序列，其中M和N為圖像的長和寬,a1和b1為分解項。

(7)

Step5圖像置亂及擴散。

利用分解得到加密序列對各圖像塊進行置亂和擴散，result11用于置亂操作,result12用于擴散操作，最終得到密文塊A′、B′、C′、D′。

置亂部分：

序列分解完成后，利用result11序列對塊進行偽隨機矩陣優(yōu)化Anorld置亂[10]；將明文圖像展開為一維向量，記為A，大小為M*N*1，對向量A的任一點坐標位置(1,j)進行Anorld變換，得到新的坐標位置(p,q)，如式(8)所示:

(8)

利用式(8)可通過偽隨機變量a和b實現(xiàn)像素點(1,j)和(1,q)之間的變換，同時，將a*b+1視為一個新的隨機數(shù)，記為a′。

擴散部分：

利用result12序列按照式(9)對塊進行加取模擴散[11]:

Ci=(Ci-1+Si+Pi) mod 256

(9)

其中，原始明文圖像被展開為一維向量P，相應的密文也為一維向量C，S為密碼向量，i=1,2,…,M*N，i=0時初始值C0來自密鑰。

將分解產(chǎn)生的序列分別保存到正向算法和逆向算法的偽隨機向量中，如式(10)所示:

(10)

加取模循環(huán)2次使得任意明文像素點信息擴散到整個密文圖像中。正向(按i從1到M*N)的算法與其逆算法分別如式(11)和式(12)所示：

Ci=(Ci-1+Si+Pi) mod 256

(11)

Pi=(2*256+Ci-Ci-1-Si) mod 256

(12)

逆向(按i從M*N到1)的算法與其逆算法分別如式(13)和式(14)所示：

Ci=(Ci+1+Si+Pi) mod 256

(13)

Pi=(2*256+Ci-Ci+1-Si) mod 256

(14)

Step6合塊密文。

將利用序列分解后加密得到的密文塊按照分塊順序合并，得到最終密文圖。

解密為加密的逆運算，即對密文圖分塊,將原始初值代入混沌系統(tǒng)，利用Strcmp分解規(guī)則對產(chǎn)生的序列進行分解后再對A塊加密，計算A′熵值后，代入密文熵反饋機制產(chǎn)生混沌序列，依次對各分塊進行解密后合并得到原文。

Table 2 Decomposition rules selected by this paper

Figure 9 Detection diagram of sequence run-time distribution

5 實驗仿真及安全性分析

5.1 實驗仿真

在64位Windows 10操作系統(tǒng)、4 GB內(nèi)存及Matlab 2016a環(huán)境中進行仿真實驗。選取大小為512*512的Lena、Pepper和Ape圖像作為明文，利用表2分解規(guī)則得到的結果分別如圖6～圖8所示。

Figure 6 Encryption effect of Lena

Figure 7 Encryption effect of Pepper

Figure 8 Encryption effect of Ape

5.2 安全性分析

5.2.1 分解序列均勻性檢驗

對序列作游程隨機分布檢驗，即檢測分解序列局部分布值，理想狀態(tài)下0和1的分布不宜過多，也不宜過少，理論占比為50%，如式(15)所示，結合二進制的運算機制才能產(chǎn)生較好的加密序列值[12]。

(15)

其中，U為局部序列中0和1的總個數(shù)，π(i)(i=0,1)為序列中i所占個數(shù)。從分解序列中隨機選取100位序列值作游程性隨機分布圖，由圖9可知，不經(jīng)過序列分解的混沌序列值(圖9c橢圓形標出部分)分布不均勻，而經(jīng)過Strcmp分解得到的加密源序列更接近期望圖分布圖。

5.2.2 直方圖分析

直方圖可直觀地顯示出圖像像素點大小所占比重，對比圖10～圖12所示原文灰度直方圖和密文灰度直方圖可知，加密后圖像像素值整體平穩(wěn)且于像素區(qū)間均勻分布，可認為經(jīng)加密得到的密文能很好地抵抗統(tǒng)計分析攻擊。

Figure 10 Text-ciphertext histogram of Lena

Figure 11 Text-ciphertext histogram of Pepper

Figure 12 Text-ciphertext histogram of Ape

5.2.3 相鄰像素相關性分析

明文圖像具有較強的相關性，相鄰像素點大多在水平、垂直、正對角和反對角方向上，有效的加密算法會大大降低其相關性，使得其相關系數(shù)趨近0。令一小塊中的像素集合為“相鄰像素點”，在理想狀態(tài)下，應該將相鄰的像素點盡可能地分散開，使得相鄰像素點間相關性降低[13]。從圖像中任取G對相鄰像素點，則他們的灰度值為(ui,vi)，i=1,…,G,則向量u={ui}，v={vi} 的相關系數(shù)定義如式(16)所示：

(16)

其中cov(u,v),D(u)和E(u)分表代表協(xié)方差、方差和平均值。

本文分別隨機選取4 000個明文和密文的相鄰像素點通過式(16)，對明文和密文圖像中3個不同方向的相鄰像素相關性進行對比分析，分析結果如圖13和圖14所示。

從明文相鄰像素相關性分布圖中可知，明文圖像相鄰像素間具有很強的線性關系；而由密文相鄰像素相關性分布圖可知，其各個方向上皆無相關性，且像素點分布較為均勻。

利用式(17)可以計算出明密文相鄰像素水平、垂直、正反對角方向上的相關系數(shù)。

(17)

5.2.4 信息熵

信息熵是衡量隨機性的重要標準，其計算方式如式(3)所示，理論上，灰度隨機圖像在理想狀況下的信息熵應該為8。

表3列出了Lena、Pepper和Ape圖像的信息熵以及與不同方法之間的比較結果，可以看出經(jīng)過加密算法得到的測試對象熵值均接近理論值，能夠有效抵抗信息熵攻擊。

Figure 13 Correlation diagram of adjacent pixels of Lena plaintext image

Figure 14 Correlation diagram of adjacent pixels of Lena ciphertext image

5.2.5 抗差分攻擊分析

為了抵抗差分攻擊，加密算法需要對明文圖像高度敏感，即稍微改變明文圖像像素的任何一位就能產(chǎn)生完全不同的密文圖像。像素變化率(NPCR)和統(tǒng)一平均變化強度(UACI)可以衡量加

Table 3 Correlation coefficient relation test results of adjacent pixels

密算法對明文圖像的敏感性。其定義分別如式(18)和式(19)所示:

(18)

(19)

(20)

其中，x(i,j)和x′(i,j)為改變像素值前后圖像同一位置的像素點坐標，NPCR和UACI的期望值分別為 99.609 4%和 33.463 5%[17]。在分析測試中，隨機改變Lena、Peppers和Ape中的1個像素值 ，得到的NPCR和UACI值如4表所示，其值均接近期望值，表明本文算法對明文圖像具有較強的敏感性，可以有效抵制差分攻擊。

5.2.6 選擇明文攻擊

選擇明文攻擊是傳統(tǒng)密碼攻擊手段中最具威脅性的，因此對于已知明文攻擊，攻擊者可以通過加密一些特殊圖像嘗試找到加密密鑰[18]。在本次測試中,選擇大小為 512*512 的純黑色和純白色圖像進行加密仿真，結果如圖15所示，相應的信息熵和相關系數(shù)列于表5。由仿真模擬可得，實驗數(shù)據(jù)均接近期望值，這表明無法從加密圖像獲得任何有用的信息，本文提出的加密算法對特殊圖像可進行有效加密，且攻擊者無法使用相同的密鑰解密其他加密圖像。因此，本文算法可以有效抵抗已知明文攻擊和選擇明文攻擊。本次測試的時間復雜度如表5所示，良好的時間特性也可以體現(xiàn)出本文加密算法的優(yōu)越性能。

Figure 15 Chosen plaintext attack test

6 結束語

本文將離散數(shù)學中的數(shù)理命題邏輯運算與混沌序列結合起來，并設定密文塊熵值反饋交互機制，利用邏輯逆運算設計了Strcmp序列的分解規(guī)則，結合超Lorenz混沌系統(tǒng)提出了一種圖像加密算法。對明文做分塊處理后，將超混沌系統(tǒng)產(chǎn)生的序列進行分解，按照加密算法的設計對明文塊分別加密，能夠在減少時間冗余的情況下，進一步提高加密算法安全性。實驗結果表明，該算法各項安全性分析值皆接近期望值，能抵抗常見密碼學攻擊，且對特殊圖像加密效果較好。

未來將更進一步尋找設定新運算規(guī)則，從而與混沌序列中八位二進制的轉化相結合，盡可能地使源序列更好地達到混沌序列的統(tǒng)計特性，以提出更高效的圖像加密算法。

Table 4 Results of resistance to differential attack

Table 5 Analysis results of special images