包淑華 張 健

（呼倫貝爾學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，內(nèi)蒙古 呼倫貝爾 021008）

對(duì)高等院校來(lái)說(shuō)，概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程是理工類和管理類專業(yè)的一門(mén)重要的公共數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課，對(duì)學(xué)生綜合能力的提高和后續(xù)課程的學(xué)習(xí)都有重要作用。下面就相對(duì)偏遠(yuǎn)地區(qū)的高校如何切實(shí)改善概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程的應(yīng)用型教學(xué)，提高學(xué)生利用所學(xué)知識(shí)去解決各種問(wèn)題的能力進(jìn)行探討。

一、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程教學(xué)現(xiàn)狀

第一，在高等院校概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程的教學(xué)中存在“重視概率、輕視統(tǒng)計(jì)”的現(xiàn)象［1］。甚至有些給非數(shù)學(xué)專業(yè)授課的教師對(duì)數(shù)理統(tǒng)計(jì)部分只做簡(jiǎn)單介紹或者不講。主要原因是本課程知識(shí)點(diǎn)多，計(jì)劃學(xué)時(shí)量有限。第二，對(duì)課程理論部分的講解和練習(xí)比較多，對(duì)日常生活和學(xué)生所學(xué)專業(yè)有關(guān)聯(lián)的應(yīng)用型案例講得偏少。分析主要原因，大部分任課教師擅長(zhǎng)理論推導(dǎo)和分析，對(duì)授課專業(yè)的實(shí)踐應(yīng)用不夠了解［2］。第三，課程的開(kāi)課專業(yè)較多，但他們對(duì)學(xué)時(shí)量的設(shè)置參差不齊，雖然各專業(yè)學(xué)生的基礎(chǔ)與需求大不相同，但授課教師對(duì)課程內(nèi)容沒(méi)有明確界定，區(qū)分度不高［3］。

二、優(yōu)化概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程應(yīng)用型教學(xué)的措施

為更好地促進(jìn)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的意識(shí)，緩解因?qū)W時(shí)量有限造成統(tǒng)計(jì)學(xué)部分的缺失，任課教師要做到以下兩點(diǎn)：明確自主學(xué)習(xí)的重要性，制定學(xué)習(xí)的方案和細(xì)則，科學(xué)理性改進(jìn)課程考核方式，及時(shí)驗(yàn)收并聽(tīng)取學(xué)生匯報(bào)，使學(xué)生的自主學(xué)習(xí)落到實(shí)處，切實(shí)提高課程的教學(xué)質(zhì)量。

（一）學(xué)生自主學(xué)習(xí)的方案及考核方式

任課教師制定課程自主學(xué)習(xí)的方案時(shí)，既要掌握該課程產(chǎn)生的歷史背景和統(tǒng)計(jì)思想方面的內(nèi)容，更需要有統(tǒng)計(jì)軟件的操作能力，只有這樣才能更好地培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)、解決問(wèn)題的能力。學(xué)生執(zhí)行自主學(xué)習(xí)的方案如下：

項(xiàng)目1：基本掌握概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的起源和發(fā)展史；

項(xiàng)目2：會(huì)使用兩種統(tǒng)計(jì)軟件，能解決簡(jiǎn)單的統(tǒng)計(jì)問(wèn)題。

考核方式：項(xiàng)目1在開(kāi)課后前三周內(nèi)以2-3名學(xué)生為單位提交有關(guān)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的起源、發(fā)展歷史及統(tǒng)計(jì)思想的綜述，并以PPT形式匯報(bào)；項(xiàng)目2以2-3名學(xué)生組成項(xiàng)目組，在結(jié)課前提交相應(yīng)案例的統(tǒng)計(jì)軟件運(yùn)行結(jié)果，并進(jìn)行匯報(bào)和演示。由于時(shí)間有限，全班可分成兩組分別選擇項(xiàng)目1和項(xiàng)目2來(lái)完成。除此之外，為鼓勵(lì)學(xué)生參加相關(guān)學(xué)科競(jìng)賽，可邀請(qǐng)參加過(guò)“全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽”的同學(xué)（概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)方面的作品）分享參賽經(jīng)驗(yàn)和獲獎(jiǎng)作品。

（二）把握課程內(nèi)容的區(qū)分度

授課學(xué)院應(yīng)明確理工類、文管類及不同學(xué)時(shí)專業(yè)的授課計(jì)劃和考核方式，統(tǒng)一應(yīng)用型教育的思想，規(guī)范應(yīng)用型教學(xué)的內(nèi)容。如，理工類專業(yè)可根據(jù)學(xué)時(shí)量進(jìn)行隨機(jī)事件及其概率，隨機(jī)變量及其分布，隨機(jī)變量的數(shù)字特征、抽樣分布、參數(shù)估計(jì)等內(nèi)容；對(duì)文管類專業(yè)的學(xué)生根據(jù)高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較弱等特點(diǎn)，依照學(xué)時(shí)量適當(dāng)刪減二維連續(xù)型隨機(jī)變量及其分布、參數(shù)估計(jì)等內(nèi)容，并加強(qiáng)和保障學(xué)生在數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)方面的準(zhǔn)確應(yīng)用。

（三）規(guī)范和加強(qiáng)課程網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)建設(shè)

鼓勵(lì)任課教師建立對(duì)應(yīng)課程的微信群和網(wǎng)絡(luò)教學(xué)平臺(tái)（如超星學(xué)習(xí)通、釘釘?shù)龋?。一方面，方便教師布置學(xué)習(xí)任務(wù)、課下答疑和互動(dòng)交流。另一方面，教師上傳到平臺(tái)的應(yīng)用視頻案例、學(xué)習(xí)資料等能隨時(shí)被學(xué)生下載和參考，減少學(xué)習(xí)的障礙。

三、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程的教學(xué)與實(shí)踐

應(yīng)用型教學(xué)法的目的是以“理論與應(yīng)用相結(jié)合”的教學(xué)法縮短教與學(xué)的距離，提高學(xué)生運(yùn)用掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力。下面通過(guò)個(gè)別案例來(lái)說(shuō)明理論與應(yīng)用相結(jié)合的模式。

（一）理論與軟件應(yīng)用相結(jié)合

教師可用經(jīng)典的“三門(mén)問(wèn)題”作為貝葉斯公式的引入?！叭T(mén)問(wèn)題”是來(lái)自美國(guó)某一電視節(jié)目中的游戲，此游戲是在三個(gè)關(guān)閉的門(mén)（編號(hào)不妨記為1到3）后分別停放一輛汽車(chē)、兩只羊。游戲的參與者只能從中選擇一扇門(mén)，該門(mén)打開(kāi)后參與者就可以免費(fèi)獲得門(mén)后的獎(jiǎng)品（汽車(chē)或山羊）。如果假設(shè)，主持人事先已經(jīng)知道幾號(hào)門(mén)后是汽車(chē)，當(dāng)游戲參與者選擇了1號(hào)門(mén)，而在未打開(kāi)此門(mén)時(shí)主持人先開(kāi)了2號(hào)門(mén)，并且發(fā)現(xiàn)門(mén)后是一只山羊。這個(gè)時(shí)候，主持人問(wèn)參與者是否要更換最初的選擇。如果你是游戲的參與者，是和否會(huì)更換選擇呢？

從表面上看，由于已經(jīng)排除了2號(hào)門(mén)，所以在1號(hào)和3號(hào)門(mén)后是汽車(chē)的概率相等，那實(shí)際情況果真如此嗎？

分析：為使參賽者獲大獎(jiǎng)（汽車(chē)）的概率最大化，我們需要計(jì)算兩個(gè)條件概率。第一，在已知2號(hào)門(mén)后是山羊的條件下1號(hào)門(mén)后是汽車(chē)的概率；第二，在已知2號(hào)門(mén)后是山羊的條件下3號(hào)門(mén)后是汽車(chē)的概率。

再由條件概率和全概率公式可得

從上述兩個(gè)事件發(fā)生的概率可知，參賽者若將已選擇的1號(hào)門(mén)改為3號(hào)門(mén)能讓獲大獎(jiǎng)的概率增加1倍。通過(guò)這樣一個(gè)案例，學(xué)生能很自然地掌握并理解這個(gè)求“后驗(yàn)概率”的方法（貝葉斯公式）。

除了用上述貝葉斯公式外，教師還可以引導(dǎo)學(xué)生自主學(xué)習(xí)Matlab或python 軟件來(lái)隨機(jī)模擬求解“三門(mén)問(wèn)題”。例如，在已知2號(hào)門(mén)后是山羊的條件下，用python 軟件模擬10000次的重復(fù)試驗(yàn)，通過(guò)分別計(jì)算1號(hào)和3號(hào)門(mén)后是汽車(chē)的頻率來(lái)驗(yàn)證上述結(jié)論，這樣不僅能提高學(xué)生學(xué)習(xí)本課程的熱情，還能培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)踐能力。下面是使用python的random模塊和matplotlib模塊繪制的折線圖（圖1）。

圖1

對(duì)一些不方便實(shí)體操作的案例，教師要會(huì)靈活改變?cè)囼?yàn)場(chǎng)景，例如上面的“三門(mén)問(wèn)題”可以改成方便操作的“有獎(jiǎng)競(jìng)猜”游戲：教師在講桌上放三個(gè)粉筆盒分別記為1、2、3號(hào)，其中一個(gè)裝有粉筆，其他兩個(gè)均為空盒。讓學(xué)生猜測(cè)哪一個(gè)是裝有粉筆的盒子，如果猜中了有獎(jiǎng)勵(lì)。假設(shè)任課教師事先知道哪個(gè)盒子里裝有粉筆，如果學(xué)生選擇的是1號(hào)盒，但在未打開(kāi)此盒之前任課教師打開(kāi)2號(hào)盒，顯示該盒是空盒。這時(shí)，老師征詢?cè)撋欠駥?dāng)初選的1號(hào)盒更換為3號(hào)盒？通過(guò)這樣簡(jiǎn)單的互動(dòng)，不僅能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，還能充實(shí)應(yīng)用案例教學(xué)的內(nèi)容，使概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的知識(shí)變得形象而生動(dòng)［4］。

（二）邏輯與思考相結(jié)合

《論語(yǔ)·為政》中說(shuō)：“學(xué)而不思則罔，思而不學(xué)則殆”。對(duì)一個(gè)實(shí)用性很強(qiáng)的課程，教師在講新概念時(shí)如果只是介紹定義，那么學(xué)生基本只會(huì)知其然而不知其所以然［5］。為讓學(xué)生養(yǎng)成較好的邏輯思維能力，教師要善于啟發(fā)、設(shè)問(wèn)和增加互動(dòng)。

例如講方差的概念時(shí)，教師可通過(guò)列舉有關(guān)案例提出問(wèn)題：怎樣用數(shù)學(xué)的方法去度量隨機(jī)變量與其期望值的偏離程度？有學(xué)生會(huì)提出用來(lái)表示的想法；但是的正負(fù)項(xiàng)能抵消，顯然不能很好地反映需要的偏差；而確實(shí)能度量與其期望的偏離程度，只因絕對(duì)值存在運(yùn)算不方便的缺點(diǎn)，從而有了方差的定義式。通過(guò)這一系列辯證思考，學(xué)生對(duì)定義能加深理解。

四、結(jié)語(yǔ)

為更好地加強(qiáng)應(yīng)用型教學(xué)的目的，將“理論與應(yīng)用相結(jié)合”的教學(xué)法引入課堂教學(xué)，能夠縮短教與學(xué)的距離，提高學(xué)生運(yùn)用掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力。應(yīng)用型教學(xué)法，無(wú)論對(duì)學(xué)生還是教師都是一種挑戰(zhàn)，也是一分收獲，既能提高教師的業(yè)務(wù)水平，又能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣學(xué)以致用，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生自主思考和創(chuàng)新能力，實(shí)現(xiàn)應(yīng)用型人才的培養(yǎng)起到推動(dòng)作用。