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        多項式根的友矩陣估計方法①

        2014-06-14 03:37:14鄭圣明
        關(guān)鍵詞:高等教育出版社方陣范數(shù)

        徐 鑫, 鄭圣明

        (安徽大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,安徽合肥 230601)

        0 引言

        代數(shù)基本定理[1]揭示其在復(fù)數(shù)域C內(nèi)至少有一根,然而并沒有給出根的具體表達式.實際上,Abel和Galois的工作表明,5次及以上的一般的一元多項式不存在根式解[6].因此,多項式根的范圍的估計便成為了研究的熱點,這方面的估計成果十分豐富,經(jīng)典的結(jié)論有 Sturm[3]定理,再如[4,5]等.

        矩陣的特征值是基本且重要的概念,其求解問題實質(zhì)上是多項式的求根問題,在矩陣?yán)碚撝杏兄毺氐难芯糠椒?對特征值最經(jīng)典的估計當(dāng)數(shù)Gerschgorin圓盤定理,近年來新的估計層出不窮,如文獻[8]等.矩陣是個強有力的工具.本文將用多項式的友矩陣把多項式與矩陣統(tǒng)一起來,主要給出一元實系數(shù)多項式根的模的幾個上界.

        對于一元n次實系數(shù)多項式

        1 準(zhǔn)備知識

        為了方便,我們討論首一多項式

        定義 多項式(2)的友矩陣為

        易知,Af的特征多項式正是f(λ),即

        其中,In為n階單位陣.由此可見,多項式(2)的根的估計問題等價于其友矩陣Af的特征值的估計問題.關(guān)于矩陣特征值的分布,有以下著名的Gerschgorin圓盤定理.

        引理1(Gerschgorin圓盤定理)[3]給定n階復(fù)方陣A=(aij)n×n,在平面上作閉圓盤:

        引理2[2]n階復(fù)矩陣A的譜半徑為ρ(A),‖A‖為A的任一相容的矩陣范數(shù),則ρ(A)≤‖A‖.

        引理3[1]設(shè)A,B分別是 n×m,m ×n級矩陣,則

        引理4(Weyl定理)[3]設(shè) λ ≥ λ ≥ … ≥

        12λn,μ1≥μ2≥…≥μn分別是n階實對稱方陣A和B的n個特征值,v1≥v2≥…≥vn是A+B的n個特征值,則有λi+μn≤vi≤λi+μ1

        2 主要結(jié)果

        定理1 記

        則多項式(2)的根λ0滿足

        證明: 對于f(λ)的友矩陣應(yīng)用引理1,則一

        方面Af的特征值落在行圓盤的并中,即 | λ0|,|λ0+an-1|≤1中至少有一個不等式成立.注意到若 | λ0+an-1|≤1 成立,則 | λ0|≤1+|an-1|必成立.故知|λ0|≤max{|a0|,1+|a1|,…,1+|an-1|},即 | λ0|≤ Mf.

        另一方面,Af的特征值λ0必落在列圓盤的并中,同樣知 | λ0|≤ Mf′,從而 | λ0|≤min{Mf,Mf′}證畢.

        推論1 多項式(2)的根λ0滿足

        證明: 注意到

        由定理1即得到(4).

        推論1是多項式根模的估計中的一個基本結(jié)論,最早由Cauchy得到.而對于一般的多項式(1),對f(λ)運用定理1有如下的結(jié)果:推論2 多項式(1)的根λ0滿足

        上面利用圓盤定理估計了根模.接下來基于引理2利用矩陣范數(shù)估計根模.

        注意到這是定理1的又一證明.

        其實,Carmichael和Mason 給出了優(yōu)于(6)的界[7]:

        下面利用友矩陣給出異于[7]中的方法證明之.

        定理2 多項式(2)的根λ0滿足Carmichael-Mason界(7).

        證明: 記 α = [a0,a1,…,an-1]T,

        故ααT的特征值從大到小為λ3=… =λn=0.而B的特征值從大到小為μ1=μ2= … = μn-1=1,μn=0,所以根據(jù)引理 4 得,A最大特征值滿足

        現(xiàn)考慮Af的譜范數(shù)它是相容的矩陣范數(shù)[2],其中為Af的共軛轉(zhuǎn)置.由引理2及(8)得Af的特征值λ0滿足

        定理2的證明過程啟示我們可以進一步考慮Af的譜范數(shù),為此考慮AHfAf的最大特征值.

        定理3 多項式(2)的根λ0滿足

        由于λ2-(a+2)λ+的判別式

        顯然 λ1≥ λ2,下證 λ1≥1.若 a≥1,則 λ1≥≥1;若a <1,則由4a2≥知(a+1)2-≥(1- a)2.進一步即得λ1≥1.從而λ1是的最大特征值,所以由引理2便得到|證畢.

        推論3 若多項式(2)的常數(shù)項a0≠0,則其根λ0滿足

        證明: 由于a0≠0,λ0≠0.由等式

        的根,從而對g(λ)應(yīng)用定理3得

        [1]王萼芳,石生明.高等代數(shù)[M].北京:高等教育出版社,2003.

        [2]方保镕等.矩陣論[M].北京:清華大學(xué)出版社,2004.

        [3]許以超.線性代數(shù)與矩陣論[M].北京:高等教育出版社,2008.

        [4]宋永忠.多項式零點的存在區(qū)域[J].數(shù)學(xué)學(xué)報,1993.

        [5]趙維加.多項式零點的界的一種估計[J].青島大學(xué)學(xué)報,2000,13(2).

        [6]Rotman.Advanced Modern Algebra[M].Prentice Hall,2002.

        [7]M.Fujii and F.Kubo,Operator norms as Bounds for Roots of Algebraic Equations[J].Proc.Japan Acad.49(1973):805-808.

        [8]H.Wolkowicz and George P.H.Styom.Bounds for Eigenvalues Using Traces[J].Linear Algebra Appl,29(1980):471- 506.

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