李忠林

(中國直升機設(shè)計研究所，江西 景德鎮(zhèn) 333000)

0 引言

傳統(tǒng)的旋翼式無人直升機具有一個主旋翼和一個尾旋翼，主旋翼和尾旋翼的轉(zhuǎn)速保持恒定，依靠主槳舵機伸縮輸出帶動主旋翼產(chǎn)生變距，從而產(chǎn)生垂向、縱向和橫向的力，尾槳舵機伸縮輸出帶動尾旋翼產(chǎn)生變距，用以平衡主旋翼轉(zhuǎn)動產(chǎn)生的反扭矩，主旋翼和尾旋翼的變距相互搭配就可以實現(xiàn)無人直升機各個方向的運動。由于具有垂直起降、無人駕駛、懸停及可機動飛行等特性，無人直升機已經(jīng)被廣泛應(yīng)用在軍事和民事領(lǐng)域中。

與傳統(tǒng)的旋翼式無人直升機的構(gòu)型不同，四旋翼飛行器具有四個呈十字交叉布局的螺旋槳，每個螺旋槳都具有相同的變距，但是每個螺旋槳的轉(zhuǎn)速都可以變化，并且螺旋槳的轉(zhuǎn)動方向兩兩相反，依靠四個旋翼轉(zhuǎn)速的搭配就可以實現(xiàn)四旋翼飛行器各個方向的運動，完成各種飛行動作。由于具有結(jié)構(gòu)簡單、成本低廉和機動性強等特點，四旋翼飛行器已經(jīng)被廣泛應(yīng)用于偵查、航拍、勘探和救援等各方面，在國民生活中扮演著重要的角色。

自四旋翼飛行器問世以來，便以其獨特的布局結(jié)構(gòu)和新穎的飛行方式引起廣大學(xué)者的注意，其控制問題也隨之成為研究熱點。四旋翼飛行器有六個運動自由度，但只有四個控制輸入，這意味著它是一個欠驅(qū)動系統(tǒng)，并且四旋翼飛行器的垂向、縱向、橫向和航向具有較強的耦合性和非線性，因此，研究其控制問題具有較大的難度。

目前，已有眾多學(xué)者設(shè)計了不同的控制方法，比如，文獻[1]提出了經(jīng)典的PID控制器和LQ控制器，并比較了兩種控制器的特點和不同，之后將控制算法應(yīng)用在了試驗平臺上，以檢驗控制效果。文獻[2]將四旋翼飛行器模型分解為位置運動學(xué)、位置動力學(xué)、姿態(tài)運動學(xué)和姿態(tài)動力學(xué)四個子系統(tǒng)，針對每個子系統(tǒng)利用軌跡線性化方法設(shè)計控制器，最后的仿真結(jié)果表明所設(shè)計的控制器具有一定的魯棒性。另外，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制[3]，自適應(yīng)反步法[4]，自適應(yīng)滑?？刂芠5]，模型參考自適應(yīng)控制[6]和魯棒控制方法[7]等也被應(yīng)用到了四旋翼飛行器的控制中，并且取得了不錯的控制效果。

以上介紹的這些控制方法一般都是基于時標分離假設(shè)，將四旋翼飛行器系統(tǒng)分為內(nèi)外環(huán)兩個級聯(lián)的結(jié)構(gòu)，外環(huán)用來控制位置，內(nèi)環(huán)用來控制姿態(tài)，先根據(jù)控制目標在位置外環(huán)中提取期望的姿態(tài)角，然后再設(shè)計姿態(tài)內(nèi)環(huán)，使內(nèi)環(huán)姿態(tài)能夠快速跟蹤位置外環(huán)中提取出的期望姿態(tài)角。然而，時標分離假設(shè)要求內(nèi)環(huán)姿態(tài)比外環(huán)位置具有更大的增益，以使得內(nèi)環(huán)姿態(tài)能夠快速跟蹤位置外環(huán)中提取出的期望姿態(tài)角，這使得內(nèi)環(huán)控制器參數(shù)選取難度增大，并且整個閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析更加復(fù)雜。大多數(shù)文獻都是在內(nèi)外環(huán)結(jié)構(gòu)之上利用不同的控制方法去設(shè)計鎮(zhèn)定或軌跡跟蹤控制器。

近年來，終端滑?？刂品椒╗8]異軍突起，與傳統(tǒng)滑模變結(jié)構(gòu)控制方法相比，終端滑?？刂品椒ㄔO(shè)計的是一個非線性滑模面，當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)到達并停留在滑模面之后，系統(tǒng)狀態(tài)可以在有限時間內(nèi)收斂到原點。由于具有更快的收斂特性，控制性能也更加優(yōu)異，終端滑?？刂品椒ㄊ艿搅藢＜覍W(xué)者的廣泛關(guān)注和研究，被應(yīng)用到越來越多的控制系統(tǒng)中。在四旋翼飛行器的控制中也越來越多的見到終端滑模控制方法的身影。

本文首先對四旋翼飛行器數(shù)學(xué)模型進行了適當(dāng)?shù)淖儞Q，將其分解為高度、偏航角和縱橫向三個級聯(lián)的子系統(tǒng)，然后基于終端滑?？刂品椒ê妥兞糠蔷€性變換對三個子系統(tǒng)分別設(shè)計了軌跡跟蹤控制器，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性分析證明了所設(shè)計的軌跡跟蹤控制器可以保證閉環(huán)系統(tǒng)跟蹤誤差漸近穩(wěn)定到原點，最后仿真實驗的結(jié)果驗證了所設(shè)計的控制器的有效性。

與傳統(tǒng)內(nèi)外環(huán)控制策略相比，本文提出的軌跡跟蹤控制器不依賴時標分離假設(shè)，閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析更加容易，并且選取控制器參數(shù)更加簡單，控制性能更加優(yōu)異，可以使四旋翼飛行器系統(tǒng)狀態(tài)快速收斂到期望跟蹤軌跡上。

1 問題描述

1.1 參考坐標系及飛行原理

如圖1所示，四旋翼飛行器的數(shù)學(xué)模型建立在慣性坐標系I={Oexeyeze}和機體坐標系B={Oxyz}中。慣性坐標系I固連于地球，原點Oe位于地球表面某點；xe軸指向地理東方；ze軸垂直地面向上，ye軸與xe軸、ze軸符合右手定則，指向地理北方。機體坐標系B固連于四旋翼飛行器機體，原點O位于四旋翼飛行器的質(zhì)心位置；x軸位于連接旋翼1和旋翼3的直線上，指向旋翼1；y軸位于連接旋翼2和旋翼4的直線上，指向旋翼4，z軸與x軸、y軸符合右手定則，垂直于機體指向上方。

圖1 四旋翼飛行器示意圖

與傳統(tǒng)的主旋翼帶尾槳式旋翼機的飛行原理不同，四旋翼飛行器依靠四個旋翼轉(zhuǎn)速的相互搭配完成各種飛行動作。四旋翼飛行器的基本飛行動作包括垂直運動、滾轉(zhuǎn)運動、俯仰運動、偏航運動四種運動方式。

垂直運動：四旋翼飛行器沿著z軸做線運動，可以分為懸停、爬升和下降。從圖1中可以看出，旋翼1和旋翼3轉(zhuǎn)動方向相同，旋翼2和旋翼4轉(zhuǎn)動方向相同，而旋翼1、3和旋翼2、4的轉(zhuǎn)動方向相反，當(dāng)旋翼1、2、3、4的轉(zhuǎn)速相同時，恰好可以平衡其對機身的反扭矩。以同等幅度增加四個旋翼的轉(zhuǎn)速，則相應(yīng)的升力隨之增加，當(dāng)升力小于自身重力時，便實現(xiàn)了四旋翼飛行器的垂直下降；當(dāng)升力恰好等于自身重力時，便實現(xiàn)了四旋翼飛行器的懸停；當(dāng)升力大于自身重力時，便實現(xiàn)了四旋翼飛行器的垂直爬升。

滾轉(zhuǎn)運動：四旋翼飛行器繞著x軸旋轉(zhuǎn)做角運動。在懸停狀態(tài)下，旋翼4轉(zhuǎn)速降低，旋翼2轉(zhuǎn)速增高，飛行器會左滾，產(chǎn)生滾轉(zhuǎn)角的變化，為了不改變飛行器總升力和總反扭矩，旋翼4轉(zhuǎn)速的降低量應(yīng)與旋翼2轉(zhuǎn)速的增高量保持一致。滾轉(zhuǎn)運動會使?jié)L轉(zhuǎn)角發(fā)生變化，升力會產(chǎn)生一個沿y軸方向的分量，進而產(chǎn)生橫向左右運動。

俯仰運動：四旋翼飛行器繞著y軸旋轉(zhuǎn)做角運動。在懸停狀態(tài)下，旋翼1轉(zhuǎn)速降低，旋翼3轉(zhuǎn)速增高，飛行器會低頭，產(chǎn)生俯仰角的變化，為了不改變飛行器總升力和總反扭矩，旋翼1轉(zhuǎn)速的降低量應(yīng)與旋翼3轉(zhuǎn)速的增高量保持一致。俯仰運動會使俯仰角發(fā)生變化，升力會產(chǎn)生一個沿x軸方向的分量，進而產(chǎn)生縱向前后運動。

偏航運動：四旋翼飛行器繞著z軸旋轉(zhuǎn)做角運動。在懸停狀態(tài)下，旋翼1和旋翼3轉(zhuǎn)速降低，旋翼2和旋翼4轉(zhuǎn)速增高，飛行器的反扭矩會產(chǎn)生變化，進而產(chǎn)生偏航角的變化，為了不改變飛行器總升力，旋翼1和旋翼3轉(zhuǎn)速的降低量應(yīng)與旋翼2和旋翼4轉(zhuǎn)速的增高量保持一致。

1.2 數(shù)學(xué)模型

為了實現(xiàn)控制目標，設(shè)計控制器的前提便是建立四旋翼飛行器的精確數(shù)學(xué)模型。將四旋翼飛行器視作一個六自由度剛體，假設(shè)它的機械結(jié)構(gòu)對稱，忽略空氣阻力和旋翼轉(zhuǎn)動引起的陀螺效應(yīng)，利用牛頓-歐拉方程可建立其數(shù)學(xué)模型[9]：

(1)

(2)

(3)

(4)

式中，p=[x,y,z]T和v=[vx,vy,vz,]T分別是四旋翼飛行器質(zhì)心位置和質(zhì)心速度在系I中的表示，γ=[φ,θ,ψ]T為描述四旋翼飛行器姿態(tài)的歐拉角(分別為滾轉(zhuǎn)角、俯仰角和偏航角)，ω=[ωx,ωy,ωz]T為四旋翼飛行器角速度在系B中的表示，m為四旋翼飛行器質(zhì)量，g為重力加速度常數(shù)，e3=[0,0,1]T，f為四旋翼飛行器升力在系B中的表示，J=diag{J1,J2,J3}為四旋翼飛行器機體慣性張量陣，τ為作用到四旋翼飛行器機體的力矩在系B中的表示，W為角速度變換矩陣，可表示如下：

式中，s(·)=sin(·)，c(·)=cos(·)。因為det(W)=cθ，所以當(dāng)θ∈(-π/2,π/2)時，W可逆。R為由系B到系I的旋轉(zhuǎn)矩陣，可用歐拉角表示如下：

S(·)代表叉乘矩陣，對于向量x=[x1,x2,x3]T，其運算定義如下[10]：

1.3 實際控制輸入

四旋翼飛行器的位置和姿態(tài)是通過改變四個旋翼的轉(zhuǎn)速來實現(xiàn)控制的，上述數(shù)學(xué)模型中的升力f和力矩τ并不是實際控制輸入，然而，設(shè)計完升力f和力矩τ之后，可以很容易的利用文獻[11]中所述的f、τ和四個旋翼轉(zhuǎn)速之間的關(guān)系，反解出實際的控制輸入旋翼轉(zhuǎn)速：

式中，Ωi(i=1,2,3,4)為四個旋翼的轉(zhuǎn)速，b為常值升力系數(shù)，l為旋翼中心到機體中心的距離，d為常值反扭矩系數(shù)。因此，本文以升力f和力矩τ作為四旋翼飛行器系統(tǒng)的控制輸入來設(shè)計控制器。

1.4 控制目標

本文的控制目標是設(shè)計控制律f和τ使得由式(1)～(4)描述的四旋翼飛行器系統(tǒng)能夠漸近跟蹤期望軌跡：

qd(t) =[pdT(t),γdT(t)] =

[xd(t),yd(t),zd(t),0,0,ψd(t)]T

1.5 模型變換

聯(lián)立(1)式和(3)式，(2)式和(4)式得到：

(5)

(6)

取控制律為：

(7)

(8)

(9)

(10)

則四旋翼飛行器數(shù)學(xué)模型可由(9)和(10)表示，重寫如下：

(11)

(12)

四旋翼飛行器數(shù)學(xué)模型(12)可以分解為級聯(lián)的高度、偏航角和縱橫向三個子系統(tǒng)：

(13)

(14)

(15)

2 控制器設(shè)計

2.1 高度子系統(tǒng)控制器設(shè)計

設(shè)計高度子系統(tǒng)(13)的控制律為：

(16)

(17)

選取滑動模態(tài)為[8]：

(18)

其中：β1>0，α1和σ1均為奇數(shù)，且α1>σ1?；瑒幽B(tài)s1沿系統(tǒng)(18)軌跡的導(dǎo)數(shù)為：

(19)

(20)

其中:ρ1>0，λ1>0。由(19)式和(20)式得到：

(21)

約去(21)式左右兩邊的|s1|，得到：

(22)

微分方程(22)的解為：

(23)

因為ρ1>0，λ1>0，所以(23)式是遞減的，故系統(tǒng)會在有限時間:

(24)

到達滑動面s1=0。

在滑動面s1=0上，高度子系統(tǒng)(13)可以用下面的一階微分方程描述：

(25)

α1和σ1均為奇數(shù)保證對于任意一個實數(shù)ze，zeσ1 /α1也是一個實數(shù)。微分方程(25)的解為：

ze(t)1-σ1/α1=ze(tr)1-σ1/α1-β1(1-σ1/α1)(t-tr),t≥tr

(26)

因為β1>0，α1和σ1均為奇數(shù)，且α1>σ1，所以(26)式是遞減的，則系統(tǒng)從到達滑動面的狀態(tài)ze(tr)到ze(t)=0的時間間隔ts為：

(27)

由(16)和(20)可得到高度子系統(tǒng)(13)的控制律為：

(28)

2.2 航向子系統(tǒng)控制器設(shè)計

(29)

其中:β2>0，α2和σ2均為奇數(shù)，且α2>σ2，ρ2>0，λ2>0。

2.3 縱橫向子系統(tǒng)控制器設(shè)計

(30)

取可逆的狀態(tài)變換：

縱橫向子系統(tǒng)模型(30)可變換為：

(31)

上面的系統(tǒng)模型(31)可以寫為下面級聯(lián)的兩個子系統(tǒng)：

(32)

(33)

(34)

(35)

(36)

可使得縱向子系統(tǒng)(32)轉(zhuǎn)化為系統(tǒng):

(37)

系統(tǒng)(37)可寫為如下狀態(tài)方程的形式：

(38)

利用極點配置方法設(shè)計控制律：

(39)

將控制律(39)代入系統(tǒng)(38)得到的閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為：

λ4+p4λ3+p3λ2+gp2λ+gp1=0

利用Hurwitz判據(jù)，選取：

p3>0,p4>0,0

0

(40)

(41)

(42)

(43)

可使得橫向子系統(tǒng)(33)轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)：

(44)

系統(tǒng)(44)可寫為如下狀態(tài)方程的形式：

(45)

利用極點配置方法設(shè)計控制律：

(46)

將控制律(46)代入系統(tǒng)(45)得到的閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為：

λ4+k4λ3+k3λ2+gk2λ+gk1=0

利用Hurwitz判據(jù)，選?。?/p>

k3>0,k4>0,0

0

(47)

上面的控制器設(shè)計可總結(jié)為如下結(jié)果。

定理1：對于由式(1)～(4)描述的四旋翼飛行器系統(tǒng)，給定一條時變的期望軌跡：

qd(t) = [pdT(t),γdT(t)] =

[xd(t),yd(t),zd(t),0,0,ψd(t)]T

3 仿真實驗

為了驗證本文設(shè)計的控制器的有效性，使用MATLAB 軟件對四旋翼飛行器非線性模型進行仿真。仿真步長設(shè)置為0.005 s，利用文獻[3]中給出的仿真模型參數(shù)：

m=0.9 kg，g=9.81 m/s2，

J=diag{0.32,0.42,0.63} kg·m2。

控制器參數(shù)選取為：

β1=β2=1，α1=α2=5，σ1=σ2=3，ρ1=ρ2=0.1，

λ1=λ2=7，

p1=0.1，p2=0.5，p3=4，p4=4，

k1=0.1，k2=0.5，k3=4，k4=4。

期望位置軌跡為：

[xd(t),yd(t),zd(t)]T=[t,-t,8]Tm，

期望偏航角軌跡為：

ψd(t)=0.2 rad。

設(shè)置系統(tǒng)初始狀態(tài)為：

[x(0),y(0),z(0)]T=[1,-2,1]Tm，

[φ(0),θ(0),ψ(0)]T=[0,0,0]Trad，

仿真結(jié)果如圖2～4所示，圖2為三維位置跟蹤圖，圖3為位置、姿態(tài)角、線速度、角速度變化曲線圖，圖4為升力和力矩曲線圖。

圖2 三維位置跟蹤圖

圖3 位置、姿態(tài)角、線速度、角速度變化曲線圖

圖4 升力和力矩曲線圖

從圖2中可以看出，在所設(shè)計的控制器作用下，四旋翼飛行器可以跟蹤上期望軌跡；從圖3中可以看出，位置跟蹤誤差、姿態(tài)角跟蹤誤差、線速度誤差和角速度誤差均漸近穩(wěn)定到原點；從圖4中可以看出，四旋翼飛行器升力和力矩都是有界的。仿真結(jié)果驗證了本文所設(shè)計的控制器的有效性。

4 結(jié)束語

本文提出了一種與傳統(tǒng)內(nèi)外環(huán)控制策略不同的四旋翼飛行器軌跡跟蹤控制器，實現(xiàn)了閉環(huán)系統(tǒng)跟蹤誤差的漸近穩(wěn)定?；诮K端滑模控制方法和變量非線性變換所設(shè)計的控制器避免了對時標分離假設(shè)的依賴，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性分析簡單，控制器參數(shù)選取容易，控制性能優(yōu)異，具有較大的應(yīng)用前景。