周蓉蓉 鄧雙英

【摘? ?要】分?jǐn)?shù)認(rèn)識(shí)教學(xué)橫跨兩個(gè)學(xué)段。《分?jǐn)?shù)再認(rèn)識(shí)》是學(xué)生在學(xué)習(xí)三年級(jí)上冊(cè)“初步認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)”的基礎(chǔ)上再次認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)的意義。教師在教學(xué)時(shí)應(yīng)基于學(xué)情前測(cè)，抓住分?jǐn)?shù)意義學(xué)習(xí)的生長(zhǎng)點(diǎn)與延伸點(diǎn)，幫助學(xué)生理解概念本質(zhì)。具體可從“數(shù)形結(jié)合，喚醒經(jīng)驗(yàn)，再認(rèn)識(shí)‘[34]的特征”“理性思辨，深化內(nèi)涵，再認(rèn)識(shí)‘一個(gè)整體”“從點(diǎn)到面，抽象概括，再認(rèn)識(shí)‘分?jǐn)?shù)意義”“充分體驗(yàn)，借助推理，再認(rèn)識(shí)‘分?jǐn)?shù)相對(duì)性”四個(gè)方面實(shí)施教學(xué)。

【關(guān)鍵詞】分?jǐn)?shù)再認(rèn)識(shí);分?jǐn)?shù)的意義;概念本質(zhì);數(shù)學(xué)素養(yǎng)

【課前思考】

目前，國(guó)內(nèi)各版本教材都將分?jǐn)?shù)安排在兩個(gè)階段進(jìn)行教學(xué)。第一階段一般安排在三年級(jí)，主要內(nèi)容為借助直觀模型，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)直觀操作，經(jīng)歷分?jǐn)?shù)的產(chǎn)生過(guò)程，并從部分與整體的關(guān)系初步理解分?jǐn)?shù)的意義。第二階段一般安排在五年級(jí)，將學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)的感性認(rèn)識(shí)上升到理性認(rèn)識(shí)，概括出分?jǐn)?shù)的意義，從分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系等方面加深對(duì)分?jǐn)?shù)意義的理解。五年級(jí)下冊(cè)《分?jǐn)?shù)的意義》一課的主要教學(xué)內(nèi)容是通過(guò)實(shí)例概括出分?jǐn)?shù)表示整體與部分之間關(guān)系的意義，進(jìn)一步理解分?jǐn)?shù)表示多少的相對(duì)性。

從三年級(jí)的分?jǐn)?shù)初步認(rèn)識(shí)到本節(jié)課的分?jǐn)?shù)再認(rèn)識(shí)，學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)意義的理解掌握情況是怎么樣的？知識(shí)的銜接點(diǎn)和困難點(diǎn)在哪里？為了更好地了解學(xué)情，課前筆者對(duì)本校五年級(jí)225名學(xué)生進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)查，前測(cè)題及結(jié)果如下。

結(jié)果

統(tǒng)計(jì) 1個(gè)圖形的[34]：61.9% 4個(gè)圖形的[34]：26.2% 8個(gè)圖形的[34]：2.4% 錯(cuò)誤率：9.5% ]

從前測(cè)結(jié)果看，40%左右的學(xué)生用[26]來(lái)表示題1中的三個(gè)圖，將1個(gè)小方格作為一份來(lái)理解圖形所表達(dá)的分?jǐn)?shù)意義，關(guān)注的是物體或圖形的個(gè)數(shù)，忽略了③號(hào)圖形中橢圓的作用，沒(méi)有順利地建立2個(gè)小方格是一份的概念，也就是關(guān)于“子集與集合”的分?jǐn)?shù)含義并沒(méi)有真正理解。90%的學(xué)生能有效地轉(zhuǎn)換[34]的符號(hào)表征與圖形表征，但61.9%的學(xué)生只能用一個(gè)物體作為一個(gè)整體來(lái)表征[34]。訪談后發(fā)現(xiàn)部分學(xué)生認(rèn)為只有在一個(gè)物體不夠分時(shí)才用分?jǐn)?shù)，幾個(gè)物體中的一部分不能用分?jǐn)?shù)表示。部分學(xué)生認(rèn)為一個(gè)整體中的物體或圖形必須是完整的、同類型的、明確數(shù)量的。而且用“多個(gè)物體”表示一個(gè)整體時(shí)，學(xué)生都偏好用分母的倍數(shù)個(gè)物體，一方面是因?yàn)檫@樣的數(shù)量容易平均分，另一方面也是教材所呈現(xiàn)的學(xué)習(xí)資源造成的。

根據(jù)前測(cè)分析，以下問(wèn)題值得思考：①如何幫助學(xué)生完善對(duì)于“一份的概念”的理解？②如何改編教材，呈現(xiàn)學(xué)習(xí)材料，幫助學(xué)生突破對(duì)“整體”認(rèn)識(shí)的局限性？③除了從“平均分成幾份，取若干份”份數(shù)定義角度認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)，這節(jié)課還需要“再認(rèn)識(shí)”什么？

結(jié)合課前思考，筆者從以下幾個(gè)方面展開(kāi)教學(xué)。

【教學(xué)實(shí)踐】

（一）數(shù)形結(jié)合，喚醒經(jīng)驗(yàn)，再認(rèn)識(shí)“[34]的特征”

分?jǐn)?shù)是一個(gè)非常抽象的概念，需要有足夠的直觀表象作為支撐。課始教師從兩組圖入手（見(jiàn)圖1），引導(dǎo)學(xué)生回憶已學(xué)的按單個(gè)計(jì)數(shù)的策略，再借助已有的“表示一個(gè)正方形的[34]”的經(jīng)驗(yàn)，理解不同圖形的[34]的意思。在這一過(guò)程中產(chǎn)生認(rèn)知沖突，引發(fā)思考：“為什么左邊4個(gè)圖用4個(gè)不同的數(shù)表示，右邊4個(gè)不同的圖形卻能用同一個(gè)數(shù)表示？”在從按個(gè)計(jì)數(shù)法轉(zhuǎn)換到用分?jǐn)?shù)表示圖的過(guò)程中，找出分?jǐn)?shù)與之前學(xué)習(xí)的數(shù)的不同點(diǎn)，深刻理解[34]表示部分與整體的關(guān)系的本質(zhì)特征。

（二）理性思辨，深化內(nèi)涵，再認(rèn)識(shí)“一個(gè)整體”

“一個(gè)整體”是理解分?jǐn)?shù)的意義的重要組成部分，是學(xué)生真正理解分?jǐn)?shù)意義的基石。本節(jié)課理解“一個(gè)整體”分三步走。

1.結(jié)合理解[34]的特征，認(rèn)識(shí)“一個(gè)整體”

在“用[34]表示圖”的學(xué)習(xí)活動(dòng)中，引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)只要把這4個(gè)圖形作為一個(gè)整體就可以表示出[34]的意思，特別是表示2個(gè)圓的[34]，打破學(xué)生“一個(gè)整體包括的物體數(shù)量必須是分母倍數(shù)”的思維局限性。再通過(guò)找一個(gè)相同的數(shù)“1”來(lái)表示一個(gè)整體，并在左邊圖形上圈一圈，感悟用分?jǐn)?shù)和自然數(shù)表征數(shù)量的不同之處，實(shí)現(xiàn)思維方式的轉(zhuǎn)變。

2.拓展外延，理解深化“一個(gè)整體”

針對(duì)前測(cè)中部分學(xué)生認(rèn)為“一個(gè)整體中的物體或圖形必須是完整的、同類型的、明確數(shù)量的”這一狀況，以及學(xué)生在后續(xù)學(xué)習(xí)中會(huì)經(jīng)常面對(duì)各種各樣的數(shù)量作為“一個(gè)整體”的現(xiàn)實(shí)，筆者增加了關(guān)于“一個(gè)整體”的學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)，依托三個(gè)典型例子，拓展“整體”概念的外延，深刻理解其內(nèi)涵。

（1）3名學(xué)生和1名老師

師：“3名學(xué)生和1名老師”能作為一個(gè)整體嗎？

生：可以。

師：它的[34]是什么意思？

生：因?yàn)閷W(xué)生和老師一共有4個(gè)人，可以看作一個(gè)整體，再把3名學(xué)生分出去，就是[34]。

生2：“3名學(xué)生和1名老師”作為一個(gè)整體時(shí)，每個(gè)人都是4個(gè)人的[14]，3名學(xué)生就是其中的[34]。

（2）[12]塊巧克力

師：[12]塊巧克力是什么意思？

生：半塊巧克力，就是一塊巧克力的一半。（根據(jù)學(xué)生的表述，用圖表示出[12]塊巧克力，形成板書）

師：怎么表示出它的[34]？

生：把[12]塊巧克力平均分成4份，然后表示這樣的3份，就是[34]。（根據(jù)學(xué)生的回答，出示相應(yīng)的圖，形成板書）

師：這么說(shuō)來(lái)，[12]塊巧克力能不能作為一個(gè)整體，并從中找出它的[34]？

生（齊）：能。雖然它只是半塊巧克力，但依然可以作為一個(gè)整體。

（3）6米（7米，……，[x]米）

師：我們用一條線段來(lái)表示6米，它可以作為一個(gè)整體嗎？

生：可以把它看成一個(gè)整體，每份1.5米，然后取其中的3份，就是[34]。（根據(jù)學(xué)生的回答，出示相應(yīng)的圖，形成板書）

師：把6米換成7米，還行嗎？

生：7米也可以看成1，把7米除以4，取其中的3份就可以表示[34]。（根據(jù)學(xué)生的回答，出示相應(yīng)的圖，形成板書）

師：6米、7米可以作為一個(gè)整體，還可以是多少米？怎么找到x米的[34]？

生：可以把x平均分成4份，取出其中的3份就行了。

師：這個(gè)不確定的數(shù)量依然可以作為一個(gè)整體。如果把[x]米換成m千克，還可以嗎？（生答）

師：再換。（出示0.8米的繩子、買5本書的總錢數(shù)、學(xué)校占地面積）

生（齊）：都是可以的。

板書：

3.學(xué)生再次舉例，內(nèi)化一個(gè)整體的意義

師：像這些都是可以作為一個(gè)整體來(lái)表示[34]的，你們能不能再說(shuō)幾個(gè)？

……

這里的學(xué)習(xí)材料形式多樣，有用圖表示的，也有用語(yǔ)言表述的;有具體的，也有不確定的;有教師提供的材料，也有學(xué)生舉的例子，充分體現(xiàn)了“一個(gè)整體”的豐富性與全面性。這個(gè)學(xué)習(xí)過(guò)程，從圖到文字，從數(shù)到字母，從一個(gè)到多個(gè)的集合，從具體到抽象，學(xué)生經(jīng)歷了“一個(gè)整體”概念形成、發(fā)展、拓展的過(guò)程，有效地改變了原有的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，再次認(rèn)識(shí)到“一個(gè)整體”外延的豐富性、內(nèi)涵的深刻性。

（三）從點(diǎn)到面、抽象概括，再認(rèn)識(shí)“分?jǐn)?shù)意義”

每一個(gè)數(shù)學(xué)概念的理解都需要經(jīng)歷從具體到抽象，再回到具體的過(guò)程，分?jǐn)?shù)的意義也一樣。雖然前面已經(jīng)利用圖形充分理解了[34]的特征，但隨著“一個(gè)整體”的拓展，[34]也有了新的含義。本節(jié)課濃墨重彩地引導(dǎo)學(xué)生理解[34]的意義，幫助學(xué)生建立[34]豐富多彩的直觀表象，充分經(jīng)歷直觀形象到抽象概括的過(guò)程。力圖通過(guò)以點(diǎn)及面，以一個(gè)分?jǐn)?shù)的深度理解與概念的建立，完善對(duì)分?jǐn)?shù)意義的整體構(gòu)建。

師：同學(xué)們，這就奇怪了，[34]只是一個(gè)數(shù)啊，為什么可以找到那么多不同的整體來(lái)表示它？

生：因?yàn)樗囊馑季褪前岩粋€(gè)整體平均分為4份，表示這樣的3份。

生：[34]就是把一個(gè)物體平均分成4份，取其中的3份。無(wú)論是什么東西都可以平均分成4份。

師：[34]可以用不同的整體表示，那換一個(gè)分?jǐn)?shù)，[57]能不能也用不同的整體來(lái)表示？

生：把一個(gè)整體平均分成7份，取其中的5份，就是[57]。

師：[1320]呢？

生：把一個(gè)整體平均分成20份，取其中的13份，就是[1320]。

師：同學(xué)們，學(xué)到這兒，你能用自己的話來(lái)說(shuō)說(shuō)什么是分?jǐn)?shù)嗎？

生：把一個(gè)整體平均分成幾份，取其中的幾份，就是這個(gè)數(shù)的幾分之幾。

生：把一個(gè)整體平均分成n份，取其中的x份，就是分?jǐn)?shù)的幾分之幾。

師：同學(xué)們，雖然他們的說(shuō)法不同，但都抓到了分?jǐn)?shù)的基本特征。數(shù)學(xué)家也是這么說(shuō)的，一起來(lái)讀一讀。

生（讀）：把一個(gè)整體平均分成若干份，其中的一份或幾份，可以用分?jǐn)?shù)表示。

師：這里有一個(gè)詞語(yǔ)，若干份，你覺(jué)得是什么意思？

生：x份。

生：多少份都可以。

師：是的，不管多少份都可以，這就是分?jǐn)?shù)的意義。

（四）充分體驗(yàn)，借助推理，再認(rèn)識(shí)“分?jǐn)?shù)相對(duì)性”

分?jǐn)?shù)的相對(duì)性包括：整體不同，相同分?jǐn)?shù)所對(duì)應(yīng)的具體數(shù)量不同;整體相同，不同分?jǐn)?shù)所對(duì)應(yīng)的具體數(shù)量不同;整體不同，不同分?jǐn)?shù)所表示的數(shù)量卻可能相同。這與整數(shù)表示數(shù)的多少有很大的區(qū)別，需要教師在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷、體會(huì)、感受、領(lǐng)悟、總結(jié)，讓學(xué)生學(xué)會(huì)有根有據(jù)地進(jìn)行表達(dá)，充分認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)的相對(duì)性，培養(yǎng)推理能力。

活動(dòng)一：做一做

教師出示問(wèn)題：“每人都從信封里拿出筆的[12]，拿出的筆的數(shù)量會(huì)一樣多嗎？”

（1）學(xué)生猜測(cè)，引發(fā)思考

學(xué)生猜測(cè)可能一樣多，也可能不一樣多，由此引發(fā)思考：真的是這樣嗎？

（2）合作學(xué)習(xí)，經(jīng)歷過(guò)程

猜想：每人從信封里拿出筆的數(shù)量? ?? ? ? ? 。

驗(yàn)證：①拿：信封里筆的[12]。

②猜：信封里放的筆的總數(shù)。

③討論：大家的猜想對(duì)嗎？理由是什么？

結(jié)論：我們組認(rèn)為每人從信封里拿出筆的數(shù)量? ? ? ?，因?yàn)? ? ? ? ? ? ? ? ? ?。

（3）小組匯報(bào)，補(bǔ)充質(zhì)疑（略）

（4）集體討論，歸納總結(jié)

①都是拿出信封里的筆的[12]，為什么有些時(shí)候一樣多，有些時(shí)候不一樣多呢？

②信封里的筆的總數(shù)是整體量，拿出的筆的數(shù)量是部分量。整體量不一樣多，相同的分?jǐn)?shù)表示的部分量也不一樣多。相反，如果部分量一樣多，這個(gè)分?jǐn)?shù)對(duì)應(yīng)的整體量也一樣。

本環(huán)節(jié)采用小組合作學(xué)習(xí)的方式，可操作性強(qiáng)。學(xué)生經(jīng)歷了完整的研究數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程，利用不完全歸納法得出結(jié)論，深刻體會(huì)分?jǐn)?shù)的相對(duì)性，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

活動(dòng)二：選一選

教師出示問(wèn)題：“有一個(gè)整體，露出它的[25]是[]，這個(gè)整體是什么樣子的？”

這是由部分量推斷整體量，本題需要學(xué)生充分理解[25]的意思，深入分析部分量與整體量之間的關(guān)系，找出正確的答案。下面是學(xué)生的作品，充分展示了學(xué)生不同的思維過(guò)程。

生：第①幅圖把原來(lái)的長(zhǎng)方形平均分成5份，其中的2份和上面的長(zhǎng)方形是一樣的，是[25]。第③幅圖和第①幅圖一樣，畫的方法不同。

生：第②幅圖是錯(cuò)的，因?yàn)樗硎境?份，是題目中長(zhǎng)方形的全部，這個(gè)全部并不表示一個(gè)整體，只表示[25]。

生：第④幅圖也是對(duì)的，題目告訴我們露出它的[25]，是個(gè)長(zhǎng)方形，它的整體應(yīng)該是[55]，所以在它旁邊再加個(gè)[25]，是[45]，[45]再加上[15]，那也就等于1，原來(lái)的一個(gè)整體。

生：第⑤幅圖也是對(duì)的，因?yàn)樗@里有5個(gè)小正方形，有3份沒(méi)有涂顏色，有2份涂了顏色，也表示[25]。

本環(huán)節(jié)的學(xué)習(xí)活動(dòng)有效地訓(xùn)練了學(xué)生的辨析能力和推理能力。同時(shí)也讓學(xué)生充分體會(huì)到如果部分量確定了，整體量也確定了，形狀可以不同。

活動(dòng)三：辯一辯

教師出示問(wèn)題：“在為抗擊新冠肺炎舉行的捐款活動(dòng)中，奇思捐獻(xiàn)了零花錢的[15]，妙想捐獻(xiàn)了零花錢的[35]。妙想捐的錢一定比奇思多嗎？”

脫離具象，從抽象概括的角度去理解分?jǐn)?shù)的相對(duì)性是學(xué)生是否真正理解分?jǐn)?shù)的意義的表現(xiàn)。在這里，整體量不確定，分?jǐn)?shù)也不相同，部分量也無(wú)法確定。這對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)是一個(gè)挑戰(zhàn)，就此引發(fā)他們的質(zhì)疑、討論，學(xué)生通過(guò)不斷地探究，拓展了思考問(wèn)題的角度，深刻體會(huì)到關(guān)鍵是看與[15]、[35]相對(duì)應(yīng)的整體量，培養(yǎng)了數(shù)學(xué)思維的深刻性、靈活性。

數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)，需要學(xué)生經(jīng)歷概念的形成過(guò)程，通過(guò)外顯性行為及語(yǔ)言，促進(jìn)學(xué)生對(duì)概念的準(zhǔn)確把握，進(jìn)而理解概念的本質(zhì)。這個(gè)過(guò)程，也是數(shù)學(xué)素養(yǎng)形成的過(guò)程。

參考文獻(xiàn)：

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（浙江省衢州市衢江區(qū)教師進(jìn)修學(xué)校? ?324022）浙江省衢州市衢江區(qū)第一小學(xué) 324022）