翟治珠，王明軍,2*，吳必園

1 西安理工大學(xué)自動(dòng)化與信息工程學(xué)院，陜西 西安 710048；

2 陜西省智能協(xié)同網(wǎng)絡(luò)軍民共建重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，陜西 西安 710126

1 引 言

極化作為電磁波的基本特性之一，在天線、雷達(dá)等通信系統(tǒng)中有著重要的作用[1]。隨著應(yīng)用場(chǎng)景的多樣化，人們希望能夠自由控制電磁波的極化狀態(tài)，因此對(duì)于極化控制器件的性能追求永無止境，如更高的轉(zhuǎn)化效率、更寬的入射角、更強(qiáng)的環(huán)境適應(yīng)性等，并且對(duì)新材料極化性能的探究也持續(xù)備受重視[2]。研究新材料的極化性質(zhì)對(duì)于尋求性能更加優(yōu)異的極化調(diào)控器件以及應(yīng)用新材料等方面都具有重要的指導(dǎo)意義。

拓?fù)洳牧鲜墙陙肀活A(yù)測(cè)和觀察到的一種具有金屬表面態(tài)和絕緣體態(tài)的新型量子超材料[3-4]。其奇特的電子和光學(xué)性質(zhì)，比如量子霍爾效應(yīng)[5-6]、拓?fù)浯烹娦?yīng)[7]、克爾效應(yīng)和法拉第效應(yīng)[8-9]等，在量子計(jì)算、光學(xué)器件等方面都有可觀的應(yīng)用前景[10-13]，因此被國(guó)內(nèi)外廣泛研究。其中，由克爾效應(yīng)和法拉第效應(yīng)導(dǎo)致的偏振(也即極化)轉(zhuǎn)變可以被用作偏振分離或偏振轉(zhuǎn)換器件[14]，因此對(duì)拓?fù)浣^緣體偏振性質(zhì)的研究具有重要意義。2014 年，劉芬[15]首次將極化調(diào)控引入三維強(qiáng)拓?fù)浣^緣體(3D strong topological insulator，以下簡(jiǎn)稱TI)中，給出了調(diào)節(jié)極化狀態(tài)的新思路；利用覆蓋表面磁性薄膜的方法破壞TI 的表面態(tài)，激發(fā)出拓?fù)浯烹婑詈闲?yīng)，從而在普通介質(zhì)-拓?fù)浣^緣體介質(zhì)界面改變反射光的極化狀態(tài)。但是該模型對(duì)介電常數(shù)具有嚴(yán)格的要求，目前的TI 材料還無法滿足。因此本文對(duì)其進(jìn)行了改進(jìn)，討論了雙拓?fù)浣^緣體界面模型的極化調(diào)控性能，該調(diào)控模型對(duì)材料的介電常數(shù)有一定的容忍性，增加了TI 材料的可選擇性。

本文建立了平面波斜入射至兩種TI 介質(zhì)構(gòu)成的單界面的傳輸模型，計(jì)算得到了推廣的線偏振光完全轉(zhuǎn)化的條件。針對(duì)其中N的取值情況，分為3 種情形討論反射波中的極化性質(zhì)。數(shù)值計(jì)算中，通過雙拓?fù)浣^緣體模型下的直接反射率、交叉反射率以及極化轉(zhuǎn)化率分析了模型的極化調(diào)控性能，計(jì)算結(jié)果以及機(jī)理分析證明了該模型在一定的參數(shù)設(shè)置下可以實(shí)現(xiàn)極化狀態(tài)的完全轉(zhuǎn)換。該工作為電磁波極化性質(zhì)的調(diào)控以及TI 材料性質(zhì)的研究和應(yīng)用提供了理論參考。

2 理論推導(dǎo)

拓?fù)浣^緣體的本構(gòu)關(guān)系[7,16-17]為

如圖1，考慮平面波斜入射至兩個(gè)參數(shù)分別為(ε1,μ1,Θ1)和 (ε2,μ2,Θ2)的半無限大TI 材料分界面。這兩個(gè)強(qiáng)拓?fù)浣^緣體分別覆蓋磁性薄膜(薄膜足夠薄，可認(rèn)為并不影響光波的傳輸)。分界面位于坐標(biāo)系x=0處，其入射面為xoz面。忽略時(shí)間項(xiàng)e-iωt，利用Jones矢量[15]表示圖1 中具有任意偏振性質(zhì)的單色入射光：

式中：γ為極化角，δ為s 極化分量和p 極化分量的初始相位差，對(duì)于線性偏振光，為TI1的波數(shù)，k1x=k1cosθ1和k1z=k1sinθ1分別為入射場(chǎng)波矢的x分量和z分量，θ1為入射角。a，b分別表示s 極化和p 極化的分量，即入射電場(chǎng)分別在垂直入射面和平行入射面的分量。

根據(jù)麥克斯韋方程及其連續(xù)性邊界條件，可得反射電場(chǎng)[15]：

圖1 TI1-TI2界面?zhèn)鬏斈Ｐ褪疽鈭DFig.1 Transmission model diagram of the TI1-TI2interface

式中：R為反射矩陣，矩陣中元素為分界面處菲涅爾反射系數(shù)，如式(4)～式(8)，s，p 分別表示TE，TM 兩種線偏振模式。

rss和rpp為直接反射系數(shù)，表示反射波中極化方向不變的量；rps和rsp為交叉反射系數(shù)，表示反射場(chǎng)中極化方向改變的量。α=1/137 為精細(xì)結(jié)構(gòu)常數(shù)，ε i,μi,Θi(i=1,2)為材料的參數(shù)，ε0為真空中的介電常數(shù)，c=2.998 ×108為光速。θ1為入射角，θ2為折射角，遵從折射定律。N=(Θ2-Θ1)/π，其中，Θ1，Θ2分別為兩種拓?fù)浣^緣體的拓?fù)浯烹姌O化率。由于拓?fù)浣^緣體的拓?fù)浯烹姌O化率Θ的取值為π 的奇數(shù)倍，所以N的取值為整數(shù)。

定義極化轉(zhuǎn)化率(polarization conversion ratio，PCR，在公式中用ηPCR表示)：

式中：|rij|2為交叉反射率，|rii|2為直接反射率。i，j=s，p 且i≠j。當(dāng)i=s，j=p 時(shí)，表示s 波入射時(shí)反射波中p波極化分量所占能量比；當(dāng)i=p，j=s 時(shí)，表示p 波入射時(shí)反射波中s 波極化分量所占能量比。由于拓?fù)浣^緣體材料的量子霍爾效應(yīng)以及電磁耦合效應(yīng)的存在，使材料中的電磁本構(gòu)關(guān)系得到修正，引入了拓?fù)浯烹姌O化率。根據(jù)交叉反射系數(shù)的公式來看，由于界面兩側(cè)的拓?fù)浯烹姌O化率的差值不為0，也即N≠0，從而使材料出現(xiàn)了極化偏轉(zhuǎn)性能。

3 數(shù)值計(jì)算

根據(jù)式(4)～式(8)中N的取值，模型可以分為兩種情況。當(dāng)N為偶數(shù)且N≠0 時(shí)，為兩種拓?fù)浣^緣體構(gòu)成的單界面。當(dāng)N為奇數(shù)時(shí)，為普通各向同性介質(zhì)-拓?fù)浣^緣體構(gòu)成的界面。在以下數(shù)值計(jì)算中，不考慮材料的磁性，|μ1|=|μ2|= 1。當(dāng)發(fā)生完全極化轉(zhuǎn)變時(shí)，直接反射率為0，極化轉(zhuǎn)化率ηPCR=1，因此可以得到任意雙拓?fù)浣^緣體界面模型的線偏振光完全轉(zhuǎn)化充要條件：

當(dāng)i=s，j=p 時(shí)，表示s 波入射時(shí)反射波中p 波極化：

當(dāng)i=p，j=s 時(shí)，表示p 波入射時(shí)反射波中s 波極化：

其中：N為整數(shù)，且滿足Θ2-Θ1=Nπ。

以下討論N為偶數(shù)時(shí)的結(jié)果。由式(4)～式(8)可得，反射系數(shù)的取值與兩種材料的參數(shù)ε,μΘ,以及入射角1θ有關(guān)，且兩種材料拓?fù)浯烹姌O化率的差值Θ2-Θ1=Nπ在取較大值和較小的值時(shí)會(huì)呈現(xiàn)不同的特性。根據(jù)式(10)～式(11)，s 波入射情況下，反射波極性完全轉(zhuǎn)化時(shí)，拓?fù)洳牧? 的介電常數(shù)需要滿足條件：ε1-(Nα/ε0c)2≤ε2＜ε1，即ε1-7.57N2≤ε2＜ε1。可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)N較大時(shí)，只有具有較大介電常數(shù)的拓?fù)洳牧喜拍馨l(fā)生極化的完全轉(zhuǎn)變，而目前發(fā)現(xiàn)的拓?fù)洳牧辖殡姵?shù)通常在30 至80 之間[15]，因而拓?fù)浯烹姌O化率的差值較大時(shí)將很難觀察到完全極化轉(zhuǎn)變現(xiàn)象的發(fā)生。圖2、圖3、圖4 為拓?fù)浯烹姌O化率的差值較小(取N=2)時(shí)兩種偏振波(s 波，p 波)入射下的直接反射率|ri i|2(i=s,p)，交叉反射率|ri j|2(i=s,p;j=s,p;i≠j)，極化轉(zhuǎn)化率ηPCR隨入射角度1θ的變化。

圖2 TI1-TI2界面處s 波斜入射時(shí)反射場(chǎng)中極化轉(zhuǎn)變結(jié)果，ε1=60。(a) 直接反射率(b) 交叉反射率(c) 極化轉(zhuǎn)化率Fig.2 The results of the polarization conversion in the reflection field at the oblique incidence of the s-wave at the TI1-TI2interface when ε1=60.(a) Direct reflectivity (b) Cross-polarized reflectivity(c) Polarization conversion ratios (PCR)

取ε1=60，ε2=29.72，45，60，70，Θ1=π，Θ2=-π，即N=2，根據(jù) s 波入射完全轉(zhuǎn)化條件只有在29.72≤ε2＜60 時(shí)，才會(huì)出現(xiàn)極化的完全轉(zhuǎn)變，得到圖2。結(jié)果顯示：對(duì)于ε2=29.72，45，由光密介質(zhì)到光疏介質(zhì)，發(fā)生全反射效應(yīng)，全反射角，此時(shí)交叉反射率|rsp|2=0，極化性質(zhì)不發(fā)生改變；當(dāng)入射角分別大于臨界角30°，45°時(shí)，|rss|2+|rsp|2=1，由于此時(shí)|rss|2不為0，所以不能實(shí)現(xiàn)極化性質(zhì)的完全轉(zhuǎn)換；當(dāng)入射角小于該角度時(shí)，極化轉(zhuǎn)化率ηPCR=1，s波完全轉(zhuǎn)化為p 波，且ε2越接近于60，PCR 保持大數(shù)值的角度越大，因此想要獲得角穩(wěn)定性超強(qiáng)的極化轉(zhuǎn)化器，可以使兩種拓?fù)浣^緣體的介電常數(shù)盡量接近。對(duì)于ε2=ε1=60，PCR 是不為0 的常數(shù)，即同種TI 材料不能實(shí)現(xiàn)極化性質(zhì)的完全轉(zhuǎn)換。當(dāng)ε2=70 時(shí)，PCR 單調(diào)遞減，始終小于1。綜上可以看出，極化完全轉(zhuǎn)變條件符合式(10)～式(11)。

同樣的，也可以根據(jù)式(10)～式(11)得出p 波入射時(shí)，若反射波極性完全轉(zhuǎn)化，介電常數(shù)需要滿足：ε2＞ε1＞ 0或者ε2≤ε1-(Nα/ε0c)2，即ε2＞ε1＞ 0或者ε2≤ε1-7.57N2，因此分為兩種情況討論，如圖3，圖4 所示。

圖3 為第一種情況，ε2＞ε1＞ 0。取N=2，ε1=31，ε2=35，4 5，分別計(jì)算p 波入射時(shí)直接反射率，交叉反射率，極化轉(zhuǎn)化率隨入射角度的變化。結(jié)果表明，隨著入射角的增大，|rpp|2存在極小值0，此時(shí)反射場(chǎng)中p分量消失。|rps|2在70°范圍內(nèi)幾乎保持不變，所以PCR在該入射角范圍內(nèi)一直保持較高的數(shù)值，雖然不能達(dá)到完全轉(zhuǎn)化，但仍具有較強(qiáng)的極化調(diào)控性能。隨后PCR分別在75.6 和69 時(shí)達(dá)到最大值1，此時(shí)反射波中只有s 偏振模式，實(shí)現(xiàn)了極化的完全轉(zhuǎn)變；另外，ε2=35，45相比，ε2=35 可以在更大的角度范圍內(nèi)取得更高的極化轉(zhuǎn)化率，這說明兩種TI 材料的介電常數(shù)越接近，極化調(diào)控性能對(duì)入射角度的依賴性越低。因此，合理選擇兩種材料，可以得到超強(qiáng)角穩(wěn)定性的極化轉(zhuǎn)化器，這在實(shí)際工程應(yīng)用中具有很大的意義。

圖3 ε2＞ε1＞0 條件下，TI1-TI2界面處p 波斜入射時(shí)反射場(chǎng)中的極化轉(zhuǎn)變結(jié)果，ε1=31。(a) 直接反射率|rpp|2；(b) 交叉反射率|rps|2；(c) 極化轉(zhuǎn)化率PCRFig.3 Under the condition of ε2＞ε1＞0,results of the polarization conversion in the reflection field at the oblique incidence of the p-wave at the TI1-TI2interface when ε1=31.(a) Direct reflectivity |rpp|2;(b) Cross-polarized reflectivity |rps|2;(c) Polarization conversion ratios(PCR)

圖4 為第二種情況：ε2≤ε1-7.57N2，取N=2，ε1=70，根據(jù)轉(zhuǎn)化條件，只有ε2≤39.72才能實(shí)現(xiàn)極化的完全轉(zhuǎn)化，分別取ε2=30,35,39.72。由圖可知，PCR變化趨勢(shì)同s 波入射類似，θ1大于全反射角θc時(shí)，也存在全反射情況，即|rps|2+|rpp|2=1，但此時(shí)|rpp|2≠ 0，p 波并不能全部轉(zhuǎn)化為s 波。ε2取不同參數(shù)曲線對(duì)比顯示，ε2值越接近于39.72 時(shí)，|rpp|2=0保持的角度越大，在ε2=39.72 時(shí)達(dá)到最大入射角度30°，即入射角小于30°時(shí)可以實(shí)現(xiàn)完全轉(zhuǎn)化。

根據(jù)圖2 和圖3 分析結(jié)果，當(dāng)兩個(gè)拓?fù)浣^緣體的介電常數(shù)越接近，角穩(wěn)定性就越強(qiáng)。對(duì)于s 波入射和p 波入射情況，現(xiàn)分別給出一款強(qiáng)角穩(wěn)定性極化轉(zhuǎn)化器的設(shè)計(jì)思路，可以在大入射角情況下表現(xiàn)出良好的極化轉(zhuǎn)換性能。

圖4 ε2≤ε1-7.57N2 條件下，TI1-TI2界面處p 波斜入射時(shí)反射場(chǎng)中極化轉(zhuǎn)變結(jié)果，ε1=70。(a) 直接反射率|rpp|2；(b) 交叉反射率|rps|2；(c) 極化轉(zhuǎn)化率(PCR)Fig.4 Under the condition of ε2≤ε1-7.57N2,results of the polarization conversion in the reflection field at the oblique incidence of the p-wave at the TI1-TI2interface when ε1=70.(a) Direct reflectivity |rpp|2;(b) Cross-polarized reflectivity |rps|2;(c) Polarization conversion ratios(PCR)

圖5 為s 波入射和p 波入射的兩種強(qiáng)角穩(wěn)定性極化轉(zhuǎn)化器的性能。其中，s 波入射的極化轉(zhuǎn)化器參數(shù)為：N=2，ε1=60，ε2=59，滿足s 波入射完全轉(zhuǎn)化條件ε1-7.57N2≤ε2＜ε1；p 波入射的極化轉(zhuǎn)化器參數(shù)為：N=2，ε1=31，ε2=32，滿足p 波入射完全轉(zhuǎn)化條件ε2＞ε1＞ 0。圖中可以看到兩種極化轉(zhuǎn)化器的角穩(wěn)定性比一般的極化轉(zhuǎn)化器[18]顯著增強(qiáng)，可以達(dá)到80°左右，并分別在78.5°，82.1°時(shí)達(dá)到極化完全轉(zhuǎn)化。

圖5 兩種強(qiáng)角穩(wěn)定性極化器性能Fig.5 Performance of two polarizers with strong angular stability

當(dāng)N為奇數(shù)時(shí)，界面一側(cè)為非拓?fù)浣^緣體介質(zhì)。若左側(cè)為右手介質(zhì)(介質(zhì)的介電常數(shù)1ε和磁導(dǎo)率1μ為正值)，Θ1=0，取TI2的拓?fù)浯烹姌O化率Θ2為π，則N=1，此時(shí)結(jié)果與論文[15]中相同。若左側(cè)為左手介質(zhì)(介電常數(shù)和磁導(dǎo)率為負(fù)值)，Θ1=0，記ε1=-|ε1|，μ1=-|μ1|，此時(shí)計(jì)算結(jié)果與右手介質(zhì)-TI 模型的結(jié)果相同，這是由于左手介質(zhì)-TI 和右手介質(zhì)-TI 界面克爾旋轉(zhuǎn)角和法拉第旋轉(zhuǎn)角大小相同[17]。

此外，對(duì)于N=0 即Θ2=Θ1的特殊情形，分為兩種情況討論。1)Θ2=Θ1=0時(shí)，為兩種普通各向同性介質(zhì)，此時(shí)rsp=0，ηPCR=0，不存在極化轉(zhuǎn)化。2)Θ2=Θ1≠0時(shí)，分界面兩側(cè)拓?fù)浣^緣體材料拓?fù)浯烹姌O化率相同，rsp=0，也不存在極化轉(zhuǎn)化。此時(shí)反射率|rss|2逐漸增大，直到為1。如圖6 所示，圖中ε1=9，ε2=1.4,3,6,9,12。

圖6 中，ε2=ε1=9時(shí)，反射率始終為0，與事實(shí)相符。當(dāng)ε2＞9時(shí)，即從光疏介質(zhì)入射至光密介質(zhì)，直接反射率|rss|2逐漸增大，在入射角等于90°時(shí)(即垂直入射時(shí))達(dá)到1。當(dāng)ε2＜9時(shí)，即從光密介質(zhì)入射至光疏介質(zhì)，在入射角大于一定值時(shí)，反射率就已增大至1，這可用全反射定律解釋。

綜上所述，雙拓?fù)浣^緣體模型的極化完全轉(zhuǎn)變條件符合充要條件。對(duì)于普通介質(zhì)-TI 介質(zhì)界面，此時(shí)滿足條件的TI 介質(zhì)的介電常數(shù)比較小，需要發(fā)現(xiàn)新的TI 材料才能夠?qū)崿F(xiàn)；而對(duì)于TI1-TI2模型，利用現(xiàn)有的第二代TI 材料[19-20](如Bi2Te3，Bi2Se3)即可滿足轉(zhuǎn)化條件，實(shí)現(xiàn)極化狀態(tài)的完全轉(zhuǎn)變。

4 機(jī)理分析

以下通過雙拓?fù)浣^緣體介質(zhì)模型退化后的左手介質(zhì)-TI 模型討論模型具有極化完全轉(zhuǎn)化的原因。

對(duì)于左手介質(zhì)-TI 模型，以s 波入射為例。s 波入射時(shí)，克爾旋轉(zhuǎn)角[17]的計(jì)算公式為

其中β和γ分別對(duì)應(yīng)入射角和折射角。

若要將s 波完全轉(zhuǎn)化為p 波，則克爾旋轉(zhuǎn)角等于90°，其正切值趨于無窮大，根據(jù)式(12)，此時(shí)分母趨于0。我們?nèi)》帜覆糠值亩囗?xiàng)式為0，即：

對(duì)比s 波入射時(shí)的共極化反射系數(shù)rss，即式(4)，可以發(fā)現(xiàn)，該式與式(4)中rss=0 的結(jié)果是完全等效的。因此，克爾效應(yīng)可以用來解釋雙拓?fù)浣^緣體模型具有極化轉(zhuǎn)化能力并且在合理的參數(shù)設(shè)置后能夠達(dá)到100%轉(zhuǎn)化的原因。由于拓?fù)浣^緣體材料具有的量子霍爾效應(yīng)以及電磁耦合效應(yīng)，使反射波中出現(xiàn)了克爾效應(yīng)，從而改變了反射波的極化性質(zhì)。當(dāng)反射波中偏振面旋轉(zhuǎn)90°時(shí)，實(shí)現(xiàn)了線偏振光的完全轉(zhuǎn)化。

圖6 N=0 時(shí)反射率|rss|2 隨入射角的變化，取ε1=9Fig.6 Direct reflectivity |rss|2 for different incident angles when N=0 and ε1=9

5 結(jié) 論

本文主要研究了平面波在兩種TI 介質(zhì)分界面時(shí)反射波的偏振性質(zhì)，給出了分界面的極化完全轉(zhuǎn)變條件。根據(jù)兩種TI 介質(zhì)的拓?fù)浯烹姌O化率的差值情況，對(duì)模型進(jìn)行分類討論，證明退化前后的結(jié)果均符合極化完全轉(zhuǎn)化條件。這種極化轉(zhuǎn)化特性可以利用克爾效應(yīng)來解釋，由于TI 材料的磁電耦合性質(zhì)使反射波中出現(xiàn)了克爾效應(yīng)，從而使模型參數(shù)在滿足一定的條件時(shí)可以達(dá)到線極化狀態(tài)的完全轉(zhuǎn)化。從數(shù)值計(jì)算中，可以得到：1) 本模型對(duì)入射角有一定的容忍性，選取介電常數(shù)盡量接近兩個(gè)拓?fù)浣^緣體，實(shí)現(xiàn)較強(qiáng)角穩(wěn)定性的完全極化轉(zhuǎn)化器件，這對(duì)TI 材料的實(shí)際工程應(yīng)用具有重要意義；2) 在合適的條件下，本模型的極化轉(zhuǎn)化率能夠達(dá)到1，得到完全轉(zhuǎn)化的純的極化波；3) 本模型利用現(xiàn)有的第二代強(qiáng)拓?fù)浣^緣體材料，選擇合適角度的入射光和拓?fù)浯烹姌O化率，得到任意線偏振性質(zhì)的反射光，實(shí)現(xiàn)極化的自由操控。目前的模型中也有很多的缺陷需要繼續(xù)深入研究：1) 模型只考慮了界面的情況，真實(shí)的應(yīng)用場(chǎng)景中還需要考慮拓?fù)浣^緣體的厚度，因此還需要進(jìn)一步的研究；2) 模型在一定的條件下可以實(shí)現(xiàn)100%的轉(zhuǎn)化率，但是損耗較大，需要考慮減少損耗的方法。