馬光鵬,孫小君,2,*

(1.黑龍江大學(xué) 電子工程學(xué)院,哈爾濱 150080;2.黑龍江省信息融合估計與檢測重點實驗室,哈爾濱 150080)

0 引 言

眾所周知，在實際生活中非線性環(huán)節(jié)普遍存在，尤其是在各種定位系統(tǒng)中。通常狀態(tài)方程是建立在笛卡爾坐標(biāo)下的，觀測方程是建立在極坐標(biāo)下的，這使整個定位系統(tǒng)呈現(xiàn)一種非線性特質(zhì)。處理這些非線性環(huán)節(jié)的方法為線性逼近。

多傳感器信息融合[1]也稱多傳感器數(shù)據(jù)融合，是20世紀(jì)70年代以來由于戰(zhàn)爭及高科技領(lǐng)域的迫切需要發(fā)展起來的一門新興邊緣學(xué)科，目前已成為備受人們關(guān)注的熱門領(lǐng)域[2]。第二次世界大戰(zhàn)期間，人們就已經(jīng)把兩傳感器數(shù)據(jù)融合應(yīng)用于火炮系統(tǒng)，增強了系統(tǒng)抗干擾能力，目前國內(nèi)外已經(jīng)提出了諸多算法，有在最小二乘法和最小方差意義下的集中式分布和混合式融合算法[3-5]，極大似然最優(yōu)信息融合準(zhǔn)則[6]，加權(quán)觀測融合估計算法[7]等，但是非線性系統(tǒng)的融合算法結(jié)構(gòu)和估計性能很大程度上取決于所采用的局部濾波方法，如擴展 Kalman 濾波 (Extend Kalman fifilter, EKF)[8]、無跡濾波 (Unscented Kalman fifilter,UKF)[9]、粒子濾波 (Particle fifilter, PF)[10-12]和求容積濾波 (Cubature Kalman fifilter, CKF)[13]等?；诓煌木植糠蔷€性濾波器所獲得同類融合算法的性能也存在差別。EKF算法有很多缺點和不足[14-19]，它的近似線性化方法就是略去二階以上Taylor級數(shù)展開式，大量信息被略去，這導(dǎo)致估計結(jié)果產(chǎn)生較大偏差。將針對這一問題進行研究。選擇的CI融合算法不需要求解局部估計誤差互協(xié)方差。提出的多傳感器非線性系統(tǒng)的CI融合Kalman濾波算法將提高多傳感器非線性系統(tǒng)的狀態(tài)估計精度。仿真實驗結(jié)果表明，所提出的非線性系統(tǒng)融合狀態(tài)估計方法有效可行。

1 問題描述

離散非線性系統(tǒng)動態(tài)方程可以表示為

X(k+1)=f[X(k),k]+G(k)W(k)

(1)

Zi(k)=h[X(k),k]+Vi(k)，i=1,…,L

(2)

當(dāng)過程噪聲W(k)和觀測噪聲Vi(k)恒為零時，系統(tǒng)模型的解為非線性模型的理論解，又稱為“標(biāo)稱軌跡”，而把非線性系統(tǒng)的真實解稱為“真軌跡”。

假設(shè)1過程噪聲W(k)是均值為零的高斯白噪聲，且矩陣G(k)是已知的。

假設(shè)2 觀測噪聲Vi(k)是均值為零的高斯白噪聲，并且過程噪聲W(k)和觀測噪聲Vi(k)相互獨立。

2 局部擴展Kalman濾波器

(3)

X(k+1)=Φi(k)X(k)+G(k)W(k)+φi(k)

(4)

(5)

Zi(k)=Hi(k)X(k)+yi(k)+Vi(k)

(6)

由射影定理可知

(7)

(8)

對(5)式求射影定理得

(9)

引出新息表達(dá)式

(10)

記濾波和預(yù)報估值誤差及方差陣為

(11)

(12)

(13)

(14)

則由式(6)和式(9)可得

(15)

由式(4)和式(7)有

(16)

(17)

由式(16)得到

(18)

因為

(19)

有

E[εi(k+1)X(i)T(k+1|k)]=0

(20)

于是由式(15)得新息方差陣為

(21)

根據(jù)式(17)得

(22)

因為

(23)

因為射影定理正交性

(24)

(25)

(26)

現(xiàn)在用Ki(k+1)的表達(dá)式簡化Pi(k+1|k+1)得

Pi(k+1|k+1)=[In-Ki(k+1)Hi]Pi(k+1|k)

(27)

這是根據(jù)線性Kalman濾波基本方程[20]得到的擴展Kalman濾波遞推方程[21-23]。根據(jù)上述推理則遞推擴展Kalman濾波器如下：

定理1多傳感器非線性系統(tǒng)(1)和(2)，在假設(shè)1和假設(shè)2下，有局部擴展Kalman濾波器

(28)

(29)

(30)

(31)

(32)

Pi(k+1|k+1)=[In-Ki(k+1)Hi]Pi(k+1|k)

(33)

狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣和觀測矩陣由f和h的雅可比矩陣代替。假設(shè)狀態(tài)變量有n維，即X=[x1x2…xn]T，則相應(yīng)的雅可比矩陣的求法[24]如下：

(34)

3 魯棒CI融合估計算法

(35)

(36)

注意0≤ω≤1，則有

(37)

引出u∈R，故R?RP1?RP2成立，注意

(38)

(39)

則R就是PCI(k+1|k+1)的協(xié)方差橢圓，即

(40)

(41)

(42)

(43)

(44)

(45)

將式(42)代入式(43)和式(44)得到CI融合擴展Kalman濾波算法。通過上述文字描述和公式推理得到的CI融合算法如下：

定理2多傳感器非線性系統(tǒng)(1)和(2)，在假設(shè)1和假設(shè)2下，有CI融合擴展Kalman濾波器

(46)

(47)

4 仿真模型和結(jié)果分析

實驗結(jié)果表明，當(dāng)系統(tǒng)存在非線性環(huán)節(jié)時，使用局部線性化擴展Kalman濾波時有較大的誤差，而在擴展Kalman濾波基礎(chǔ)上在進行CI融合估計可以有效地降低系統(tǒng)誤差，相較其他觀測融合估計計算量較小且提高了多傳感器的系統(tǒng)狀態(tài)估計的精度。

考慮非線性阻尼諧振子模型[26]，設(shè)X為二維向量，狀態(tài)分量分別為位置(m)、速度(m/s)即X(k)=[x1(k),x2(k)]T，相應(yīng)的兩傳感器非線性離散系統(tǒng)為

X(k)=f(X(k-1))+ΓW(k-1)

(48)

Zi(k)=HiX(k)+Vi(k),i=1,2

(49)

狀態(tài)的真實值與局部和CI融合擴展Kalman濾波器的對比曲線見圖1。由圖1可見，CI融合有效提高了估計精度。

CI融合最優(yōu)參數(shù)見圖2，CI融合和局部濾波器的精度關(guān)系仿真見圖3。在仿真程序的調(diào)試過程中，發(fā)現(xiàn)選取的系統(tǒng)參數(shù)不同時，圖3的精度關(guān)系也會出現(xiàn)融合估計精度低壓局部某個融合估計的情況，這也正是CI融合的魯棒性所在。

圖1 狀態(tài)X(k)=[x1(k),x2(k)]T的真實值與局部和CI融合擴展Kalman濾波器的對比曲線Fig.1 Comparison curve between the true value of X(k) and the local CI fusion extended Kalman filter

圖2 參數(shù)ω的仿真Fig.2 Simulation diagram of parameter ω

圖3 CI融合和局部濾波器的精度關(guān)系仿真Fig.3 Simulation diagram of the accuracy relation ship between CI fusion and local filter

5 結(jié) 論

本文對多傳感器非線性離散系統(tǒng)提出了魯棒CI融合擴展Kalman濾波算法。通過兩傳感器二維系統(tǒng)仿真實驗表明，引入魯棒CI信息融合算法提出的CI融合擴展Kalman濾波器有效提高了多傳感器非線性系統(tǒng)的狀態(tài)估計精度，且算法形式簡單，便于工程應(yīng)用。