李慧玲,陳 陽,林 榕

(沈陽師范大學(xué) 物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,沈陽 110034)

0 引 言

霍金發(fā)現(xiàn)黑洞具有熱輻射,人們由此把黑洞作為熱力學(xué)系統(tǒng),那么相應(yīng)的,黑洞也應(yīng)該具有相變行為。因?yàn)锳dS時(shí)空的相變結(jié)構(gòu)更加的豐富,人們大量研究的是AdS時(shí)空的相變行為?；贏dS/CFT對偶,用全息的角度來研究黑洞的相變行為,這能幫助人們更深入的了解黑洞。1999年,Chamblin等[1-3]首次在溫度—熵平面發(fā)現(xiàn)了類范德瓦爾斯相變的存在。在2017年,曾曉雄等[4]在全息框架下用兩點(diǎn)相關(guān)函數(shù)研究了典型的R-N AdS黑洞的相結(jié)構(gòu)。

對Schwarzschild黑洞施加整體電荷等效于整體單極子破壞Schwarzschild時(shí)空的真空和漸近平直性,由于出現(xiàn)整體單極子,該黑洞具有了實(shí)心赤角[5-6]。因此,具有整體單極子的黑洞的某些性質(zhì)值得進(jìn)一步研究。1994年,余洪偉[5]通過表面重力和歐氏路徑積分這兩種方法研究了靜態(tài)球?qū)ΨQ系統(tǒng)—整體單極黑洞的熱力學(xué)。Dadhich等[7]研究了整體單極電荷對粒子軌道和霍金輻射的影響,并在參考文獻(xiàn)[8]中校正了整體單極黑洞的霍金輻射。2016年,Ahmed等[9]研究了單極參數(shù)的質(zhì)量分?jǐn)?shù),發(fā)現(xiàn)它可以抑制最大吸積率。彭俊金和吳雙清[10]通過采用不同的過程并執(zhí)行各種坐標(biāo)轉(zhuǎn)換,通過要求消除地平線上的引力反常,應(yīng)用RWs方法從具有整體單極子的Schwarzschild型黑洞中推導(dǎo)出Hawking通量。

在全息框架下,兩點(diǎn)關(guān)聯(lián)函數(shù)是一個(gè)研究黑洞相結(jié)構(gòu)非常有用的工具,在以前的工作中,兩點(diǎn)關(guān)聯(lián)函數(shù)已經(jīng)被廣泛用來研究全息熱化[11-12]、全息奇點(diǎn)[13-14]等。

基于上述動機(jī),本文在全息框架下,用兩點(diǎn)關(guān)聯(lián)函數(shù)來研究帶有整體磁單極電荷的AdS黑洞是否具有類范德瓦爾斯相變。

1 溫度-熵平面的范德瓦爾斯相變

帶有整體磁單極電荷的AdS彎曲時(shí)空度規(guī)為

(1)

其中

(2)

M為質(zhì)量參數(shù),Q為AdS黑洞的電荷,η為磁單極參數(shù),L為AdS半徑且L=(-Λ/3)-1/2,帶有整體磁單極的黑洞的溫度為

(3)

(4)

由上式可知相變結(jié)構(gòu)不只取決于電荷Q,還取決于磁單極參數(shù)η。為了研究相變結(jié)構(gòu),可以通過上面公式求解相變結(jié)構(gòu)的臨界值

(5)

可以得到臨界熵

(6)

此時(shí)的臨界溫度為

(7)

圖1 溫度T與熵S之間的關(guān)系圖像Fig.1 The relationship between temperature T and entropy S

由此可以得到溫度T與熵S之間的關(guān)系,如圖1所示。在圖1中,令L=1,η=0.1,對應(yīng)曲線從上到下電荷的取值依次為QQCr。

從圖1中很明顯的看到,電荷的數(shù)值對相變有很大的影響。當(dāng)Q=QCr時(shí),圖像存在拐點(diǎn),說明此時(shí)存在二階相變。當(dāng)QQCr,溫度隨著熵的增加單調(diào)增加,無相變的產(chǎn)生。在溫度—熵平面,有著與普通熱力學(xué)中液-氣體系類似的范德瓦爾斯相變的產(chǎn)生。

2 兩點(diǎn)關(guān)聯(lián)函數(shù)的范德瓦爾斯相變

根據(jù)AdS/CFT的對應(yīng)關(guān)系,等時(shí)兩點(diǎn)關(guān)聯(lián)函數(shù)如下[15]:

〈Ο(t0,xi)Ο(t0,xj)〉≈e-ΔL

(8)

上式中的Ο是標(biāo)量算子,且Δ是標(biāo)量算子的共形維數(shù)。L是AdS邊界上的點(diǎn)(t0,xi)和(t0,xj)間的本體測地線的長度?？紤]到黑洞的時(shí)空對稱性,假設(shè)xi=θ且設(shè)邊界為θ0,這里用θ來參數(shù)化軌跡。因此,測地線長度可以表示為

(9)

f′(r(θ))(r′(θ))2-2f(r(θ))r″(θ)+2r(θ)f(r(θ))2=0

(10)

利用邊界條件r′(0)=0,r(0)=r0來數(shù)值求解r(θ)。值得注意的是,測地線長度對于固定的θ0來說是發(fā)散的,因此,需要減去純AdS具有同樣邊界θ0的測地線長度L0進(jìn)行重整化,重整化的測地線長度就變成δL=L-L0。設(shè)置一個(gè)UV截?cái)唳菴(無限接近θ0)。本文將以θ0取值0.38,0.45和0.50為例,對應(yīng)的θC取值0.379,0.449和0.499,可以繪制出溫度T與兩點(diǎn)關(guān)聯(lián)δL之間的關(guān)系圖像,如圖2所示。其他參數(shù)的取值分別為L=1,η=0.1。

(a) θ0=0.38;(b) θ0=0.45;(c) θ0=0.50圖2 溫度T與δL之間的關(guān)系Fig.2 The relationship between temperature T and δL

圖2中3個(gè)圖像同圖1中的曲線進(jìn)行比較可知,T-δL圖像中的相位結(jié)構(gòu)與T-S平面中的相位結(jié)構(gòu)完全相似,證明在兩點(diǎn)關(guān)聯(lián)函數(shù)中有類范德瓦爾斯相變的產(chǎn)生。

考慮到磁單極參數(shù)對兩點(diǎn)關(guān)聯(lián)函數(shù)的影響,以θ0取值0.38為例,改變η的取值,通過圖像展示出磁單極參數(shù)對兩點(diǎn)關(guān)聯(lián)函數(shù)的影響,如圖3所示。其中電荷Q的取值與圖2相同。

將圖2(a)同圖3中3個(gè)圖像比較可知,隨著η取值的增加,二階相變轉(zhuǎn)折點(diǎn)對應(yīng)的溫度值也在增大,說明η值的改變會影響相變的行為。但T-δL圖像中的相位結(jié)構(gòu)與T-S平面中的相位結(jié)構(gòu)完全相似,證明在磁單極參數(shù)的影響下兩點(diǎn)關(guān)聯(lián)函數(shù)中仍然有類范德瓦爾斯相變的產(chǎn)生。

(a) η=0.05;(b) η=0.2;(c) η=0.4圖3 溫度T與δL之間的關(guān)系Fig.3 The relationship between temperature T and δL

3 結(jié) 論

本文在全息框架下,用兩點(diǎn)關(guān)聯(lián)函數(shù)研究了帶有整體磁單極電荷的AdS黑洞的相變行為。我們首先研究了在溫度-熵平面的相變行為,結(jié)果表明,在溫度-熵平面存在類范德瓦爾斯相變,而且,電荷Q對相變的行為有影響。當(dāng)Q=QCr時(shí),圖像存在拐點(diǎn),說明此時(shí)存在二階相變。當(dāng)QQCr,溫度隨著熵的增加單調(diào)增加,無相變的產(chǎn)生。在T-S平面,有著與普通熱力學(xué)中液-氣體系類似的范德瓦爾斯相變的產(chǎn)生。隨后,利用兩點(diǎn)關(guān)聯(lián)函數(shù)對帶有整體磁單極電荷的AdS黑洞的相變進(jìn)行研究。觀察圖2中3個(gè)圖像可知,在全息框架下,改變θ0的值,曲線的相位結(jié)構(gòu)與圖1相似,因此在T-δL平面中仍然有類似的范德瓦爾斯相變的產(chǎn)生。為了探討磁單極參數(shù)對相變的影響,令θ0的值固定,改變磁單極參數(shù)η的值,由圖3可知,隨著η值的增大,二階相變轉(zhuǎn)折點(diǎn)對應(yīng)的溫度值也在增大。說明η對相變的行為有一定的影響。但曲線的相位結(jié)構(gòu)仍與圖1中相似,故在T-δL平面中仍然有類似的范德瓦爾斯相變的產(chǎn)生。