李柯璇，鄭文忠，侯翀馳，王 英

(1.結(jié)構(gòu)工程災(zāi)變與控制教育部重點實驗室(哈爾濱工業(yè)大學(xué))，哈爾濱 150090；2.土木工程智能防災(zāi)減災(zāi)工業(yè)和信息化部重點實驗室(哈爾濱工業(yè)大學(xué))，哈爾濱 150090)

隨著混凝土技術(shù)的發(fā)展，高強(qiáng)度及超高強(qiáng)度混凝土的應(yīng)用成為發(fā)展趨勢。但混凝土強(qiáng)度越高，脆性愈發(fā)明顯，限制了其在工程中的推廣應(yīng)用。用箍筋約束混凝土是一種改善混凝土脆性的有效方式。隨著約束混凝土柱中混凝土強(qiáng)度提高，所配置的箍筋強(qiáng)度也在不斷增加。中國《混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計規(guī)范》[1]推廣HRB400、HRB500鋼筋的使用，順應(yīng)高強(qiáng)度箍筋約束高強(qiáng)度及超高強(qiáng)度混凝土結(jié)構(gòu)的發(fā)展趨勢。

文獻(xiàn)[2]對約束混凝土的應(yīng)力-應(yīng)變?nèi)€進(jìn)行了研究，該模型的上升段和下降段分別取決于兩個獨立的試驗參數(shù)，形式簡潔。但研究的混凝土強(qiáng)度在28～40 MPa，對強(qiáng)度較高的混凝土的適應(yīng)性還需驗證[3]。試驗僅考慮了矩形箍筋對約束混凝土應(yīng)力-應(yīng)變曲線的影響，沒有考慮其他箍筋形式對約束混凝土承載能力和變形能力的影響。

文獻(xiàn)[4-5]對箍筋屈服強(qiáng)度為300～340 MPa，體積配箍率為1%～2%，縱筋配筋率為1.6%～4.8%的約束普通強(qiáng)度混凝土圓柱受壓應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系進(jìn)行研究，提出了適用于多種箍筋形式的約束混凝土受壓應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系上升段和下降段統(tǒng)一的方程。Mander模型考慮了箍筋形式、體積配箍率、箍筋間距、箍筋強(qiáng)度及縱筋的影響，但對高強(qiáng)及超高強(qiáng)混凝土的適應(yīng)性還需進(jìn)一步研究。

文獻(xiàn)[6]提出了適用于高強(qiáng)混凝土的應(yīng)力-應(yīng)變模型，該模型考慮了混凝土強(qiáng)度等級、箍筋形式、體積配箍率、箍筋間距、箍筋屈服強(qiáng)度、截面尺寸等因素的影響。曲線下降段形式較簡單，便于應(yīng)用，但模型沒有考慮縱筋配筋率對約束效果的影響。

文獻(xiàn)[7]對箍筋條件屈服強(qiáng)度分別為411、716、1 120 MPa，混凝土強(qiáng)度等級C70～C80的約束混凝土圓柱進(jìn)行了試驗，給出了約束混凝土峰值應(yīng)力、峰值應(yīng)變及本構(gòu)關(guān)系方程。研究過程發(fā)現(xiàn)當(dāng)箍筋屈服強(qiáng)度高于700 MPa時，體積配箍率為1.3%～4.2%的約束混凝土達(dá)到峰值應(yīng)力時箍筋未屈服。

文獻(xiàn)[8]對非約束混凝土強(qiáng)度為120～160 MPa，體積配箍率為0.8%～2.1%的約束超高強(qiáng)混凝土圓柱進(jìn)行軸壓試驗，提出了受壓應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系的上升和下降分支模型，并且提出了一種殘余應(yīng)力計算方法。該模型對約束超高強(qiáng)混凝土準(zhǔn)確性較高，但對普通混凝土及高強(qiáng)混凝土適應(yīng)性還需驗證。

已有的約束混凝土本構(gòu)關(guān)系模型，大多是基于各自試驗數(shù)據(jù)得到的，適用范圍不同且有限。本文針對這一問題，收集大量試驗數(shù)據(jù)統(tǒng)一處理，建立了混凝土強(qiáng)度為19～160 MPa，箍筋屈服強(qiáng)度為164～1 386 MPa，體積配箍率為0.15%～16.7%，縱筋配筋率為0%～5.87%的約束混凝土軸壓試驗數(shù)據(jù)庫。在此基礎(chǔ)上，提出了約束混凝土受壓應(yīng)力-應(yīng)變曲線統(tǒng)一方程和峰值壓應(yīng)力、峰值壓應(yīng)變計算公式。經(jīng)驗證，該方程適用范圍廣，準(zhǔn)確度較高，有較高的理論意義和工程使用價值。

1 約束混凝土本構(gòu)關(guān)系數(shù)據(jù)庫的建立

1.1 本文試驗數(shù)據(jù)

本課題組已完成47個螺旋箍筋約束混凝土圓柱軸壓試驗[9]，作為補(bǔ)充驗證性數(shù)據(jù)，考察本文結(jié)論的準(zhǔn)確性。測得試件軸壓應(yīng)力-應(yīng)變曲線及約束混凝土峰值壓應(yīng)力和峰值壓應(yīng)變的值。試驗結(jié)果見表1。

表1 本文試驗結(jié)果Tab.1 Experimental results of this paper

1.2 數(shù)據(jù)庫試驗數(shù)據(jù)處理方法

為避免由于各文獻(xiàn)中對數(shù)據(jù)處理方法不同帶來的誤差，對搜集的試驗數(shù)據(jù)按下列方法進(jìn)行統(tǒng)一處理。

1.2.1 混凝土保護(hù)層處理方法

本文在處理試驗數(shù)據(jù)時，假定縱筋應(yīng)變與混凝土應(yīng)變相同[10]，核心混凝土的承載力計算該公式為

F0(ε)=F(ε)-Acovfcov(ε)-Asfs(ε)

(1)

式中：F0(ε)為軸向應(yīng)變?yōu)棣艜r試件核心混凝土的軸向力，F(xiàn)(ε)為軸向應(yīng)變?yōu)棣艜r試件全截面的軸向力，Acov為混凝土保護(hù)層截面面積，As為縱筋總截面面積，fcov(ε)為軸向應(yīng)變?yōu)棣艜r對應(yīng)的保護(hù)層混凝土應(yīng)力，fs(ε)為豎向應(yīng)變?yōu)棣艜r的縱筋應(yīng)力。

縱筋采用的本構(gòu)模型在第1.2.3中詳述。保護(hù)層混凝土本構(gòu)模型采用過鎮(zhèn)海模型[2]。圖1是試件中保護(hù)層混凝土應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系示意。采用式(1)計算核心混凝土的承載力時，若軸向應(yīng)變(εp)在混凝土極限壓應(yīng)變(εu)與剝落應(yīng)變(εsp)之間時，見圖1(a)，假定保護(hù)層混凝土承擔(dān)的荷載線性下降；若εp>εsp，見圖1(b)，則Acovfcov(ε)=0。計算時，按下列標(biāo)準(zhǔn)來判斷混凝土保護(hù)層是否已剝落：fc<50 MPa，取εsp=0.003；50 MPa80 MPa，增加一個強(qiáng)度折減系數(shù)r1，此時εsp=0.002 5r1，r1=1-[(fc-80)/300]。

圖1 試件保護(hù)層混凝土應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系示意Fig.1 Schematic diagram of the stress-strain relationship of the concrete protective layer of the specimen

1.2.2 箍筋應(yīng)力的計算方法

箍筋約束混凝土軸壓試驗中，約束混凝土達(dá)到峰值壓應(yīng)力時，箍筋能否達(dá)到屈服強(qiáng)度是不可忽視的問題。對搜集的數(shù)據(jù)進(jìn)行處理分析，采用本課題組已有研究成果[9]，將體積配箍率作為判斷箍筋在約束混凝土達(dá)到峰值壓應(yīng)力時是否屈服的依據(jù)。箍筋屈服時，體積配箍率上限值ρsv,max和箍筋屈服強(qiáng)度、非約束混凝土軸心抗壓強(qiáng)度、箍筋和混凝土彈性模量存在關(guān)系，計算公式[9]為

(2)

當(dāng)體積配箍率小于該限制，則假定箍筋達(dá)到屈服強(qiáng)度，否則認(rèn)為箍筋無法達(dá)到屈服強(qiáng)度，此時箍筋應(yīng)力水平計算公式[6]為

(3)

式中：Es為鋼筋彈性模量；ρsv為體積配箍率；fco為非約束混凝土峰值壓應(yīng)力；fsy為箍筋屈服強(qiáng)度；k′與柱中配筋分布有關(guān)，系數(shù)k′由經(jīng)驗表達(dá)式(4)計算得到[6]。

(4)

式中：s為箍筋間距，sl為縱筋間距，bc為水平面箍筋凈距，箍筋內(nèi)沿間的距離。

1.2.3 縱筋應(yīng)力處理方法

搜集到的約束混凝土峰值壓應(yīng)力試驗數(shù)據(jù)，有一部分考慮了部分縱筋應(yīng)力影響。本文處理時，假定縱筋與核心混凝土無相對滑移，核心混凝土達(dá)到峰值壓應(yīng)力時對應(yīng)的應(yīng)變，為此時的縱筋應(yīng)變[11]。再根據(jù)縱筋單軸加載時的應(yīng)力-應(yīng)變本構(gòu)關(guān)系曲線，得到此時縱筋應(yīng)變對應(yīng)的應(yīng)力，從試驗數(shù)據(jù)中扣除縱筋應(yīng)力的影響，即可得到真正的約束混凝土峰值壓應(yīng)力。

鋼筋單軸加載的本構(gòu)關(guān)系曲線模型，有明顯屈服點的鋼筋采用三段式模型，無明顯屈服點鋼筋采用兩段式模型，見圖2。

圖2 鋼筋本構(gòu)關(guān)系曲線Fig.2 Constitutive relations of steel bars

有屈服點鋼筋，采用三段式模型：線彈性階段、屈服階段和硬化階段。計算公式[1]為

(5)

式中：εs為鋼筋應(yīng)變；εy是鋼筋屈服強(qiáng)度fy對應(yīng)的屈服應(yīng)變；εuy是鋼筋硬化起點的應(yīng)變；εu是鋼筋極限強(qiáng)度fu對應(yīng)的極限應(yīng)變；η為鋼筋硬化段斜率，η=(fu-fy)/(εu-εy)。

無屈服點鋼筋，采用兩段式模型：線彈性階段及硬化階段。計算公式[1]為

(6)

式中：εe為鋼筋在比例極限fe對應(yīng)的應(yīng)變；η為鋼筋硬化段斜率，η=(fu-fe)/(εu-εe)。

1.2.4 非約束混凝土峰值壓應(yīng)變處理方法

為避免計算方法的差異產(chǎn)生的誤差，本文采用文獻(xiàn)[12]中模型對非約束混凝土峰值壓應(yīng)變的處理方法，計算公式為

εco=0.000 5(fco)0.4

(7)

1.2.5 體積配箍率計算方法

數(shù)據(jù)庫中試件的箍筋形式符合“同心對稱”原則，本文按照文獻(xiàn)[13]的方法計算體積配箍率，見表2。

表2 各箍筋形式的體積配箍率計算方法Tab.2 Calculation methods of volumetric ratio for different stirrup configurations

1.3 數(shù)據(jù)庫試驗數(shù)據(jù)處理方法

為了提高研究結(jié)果的準(zhǔn)確性，本文按照以下原則進(jìn)行收集數(shù)據(jù)：約束混凝土柱中，箍筋均只有一層；試件的高寬比范圍均在2～6；試驗數(shù)據(jù)均是在試件軸心受壓作用下得到的。

為建立約束混凝受壓應(yīng)力-應(yīng)變曲線數(shù)據(jù)庫，本文搜集326個約束混凝土柱的軸壓應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系曲線數(shù)據(jù)，376個約束混凝土試件峰值壓應(yīng)力試驗數(shù)據(jù)及376個約束混凝土試件峰值壓應(yīng)變試驗數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)庫中涉及的箍筋形式見圖3。對數(shù)據(jù)庫試驗數(shù)據(jù)，按照本章中的計算方法進(jìn)行處理，數(shù)據(jù)見表3、4。

圖3 箍筋形式Fig.3 Stirrup configurations

表3 圓形箍筋及螺旋箍筋約束混凝土圓柱試驗數(shù)據(jù)Tab.3 Experimental results of concrete columns confined by circular and spiral stirrups

續(xù)表3

續(xù)表3

續(xù)表3

表4 箍筋約束混凝土矩形柱試驗數(shù)據(jù)Tab.4 Experimental results of square concrete columns confined by stirrups

續(xù)表4

續(xù)表4

續(xù)表4

2 關(guān)鍵參數(shù)對約束混凝土柱受力性能影響分析

研究各因素對約束混凝土強(qiáng)度增強(qiáng)系數(shù)(Kc=fcc/fc)和變形增強(qiáng)系數(shù)(Kε=εcc/εc)的影響，分析原因。

2.1 混凝土強(qiáng)度

圖4是強(qiáng)度增強(qiáng)系數(shù)和變形增強(qiáng)系數(shù)隨混凝土強(qiáng)度的變化[5，14-15,17,19,30]。

由圖4(a)和圖4(b)可知，同一研究中，隨著混凝土強(qiáng)度增加，約束混凝土強(qiáng)度增強(qiáng)系數(shù)和變形增強(qiáng)系數(shù)減小。當(dāng)混凝土強(qiáng)度較高時(fc>90 MPa)，強(qiáng)度增強(qiáng)系數(shù)均小于1.5。這主要是由于隨著非約束混凝土強(qiáng)度增加，其橫向擴(kuò)展變形能力降低，箍筋對混凝土的約束能力隨著混凝土強(qiáng)度的增加而減小。因此，為了提高高強(qiáng)混凝土的強(qiáng)度增強(qiáng)系數(shù)和延性增強(qiáng)系數(shù)，需要增加約束。

圖4 混凝土強(qiáng)度對試件強(qiáng)度和變形的影響Fig.4 Influence of concrete strength on deformation and strength of specimens

2.2 箍筋屈服強(qiáng)度

箍筋屈服強(qiáng)度是影響約束混凝土強(qiáng)度和變形的主要參數(shù)之一。圖5是強(qiáng)度增強(qiáng)系數(shù)和變形增強(qiáng)系數(shù)隨箍筋屈服強(qiáng)度的變化[5,11,14,16-17,20,30-31]。當(dāng)箍筋在約束混凝土的峰值應(yīng)力處達(dá)到屈服強(qiáng)度，高強(qiáng)度箍筋可以有效提高約束混凝土的強(qiáng)度和變形能力。若箍筋在約束混凝土的峰值應(yīng)力處沒有達(dá)到屈服強(qiáng)度，提高箍筋屈服強(qiáng)度，無法增強(qiáng)約束效果。因此，單純提高箍筋強(qiáng)度并不能保證箍筋對整體試件的約束效果顯著提高，需要綜合考慮體積配箍率，混凝土強(qiáng)度等因素。

圖5 箍筋屈服強(qiáng)度對試件強(qiáng)度和變形的影響Fig.5 Influence of stirrup yield strength on deformation and strength of specimens

2.3 體積配箍率

箍筋的體積配箍率由箍筋間距、箍筋直徑和核心混凝土尺寸決定。高體積配箍率能夠抵抗較大的應(yīng)力，為核心混凝土提供較大的有效約束約束，提高約束程度。圖6給出了約束混凝土的強(qiáng)度增強(qiáng)系數(shù)和延性增強(qiáng)系數(shù)隨體積配箍率的變化[5,8,14-18,20,32]。當(dāng)體積配箍率大于1.5%時，約束混凝土的強(qiáng)度增強(qiáng)系數(shù)迅速增加。此外，在體積配箍率小于1%時，對約束混凝土試件強(qiáng)度的增強(qiáng)作用較小。在圖6(b)中，當(dāng)體積配箍率為1.0%～4.0%時，約束混凝土變形增強(qiáng)系數(shù)增長迅速。由此可見，在設(shè)計箍筋的體積配箍率時至少應(yīng)大于1%。

圖6 體積配箍率對試件強(qiáng)度和變形的影響Fig.6 Influence of volumetric ratio on deformation and strength of specimens

2.4 箍筋間距

圖7是約束混凝土強(qiáng)度增強(qiáng)系數(shù)和變形增強(qiáng)系數(shù)隨箍筋間距的變化規(guī)律[17,26,28,33-36]。由圖7可知，箍筋間距越小，試件強(qiáng)度和變形能力越好。在其他條件相同的條件下，箍筋間距過大，對核心混凝土無法提供有效的約束，約束混凝土試件的強(qiáng)度和變形能力都沒有明顯提高。當(dāng)箍筋間距大于150 mm，箍筋間距的變化對約束混凝土柱強(qiáng)度和變形能力的影響基本不再發(fā)生變化。此時箍筋能提供的約束效果較小，對約束混凝土柱的強(qiáng)度和變形能力作用不大。箍筋間距減小時，相鄰兩箍筋間被有效約束的混凝土面積增加，這樣可以顯著提高約束混凝土柱的強(qiáng)度，較好地改善柱子的變形能力。

圖7 箍筋間距對試件強(qiáng)度和變形的影響Fig.7 Influence of stirrup spacing on deformation and strength of specimens

2.5 縱筋配筋率

縱筋對試件核心區(qū)混凝土的峰值壓應(yīng)變產(chǎn)生較大影響，對峰值壓應(yīng)力有一定作用，特別是約束高強(qiáng)度混凝土柱中配置縱筋，有利于提高柱子的變形能力[6,24]。圖8是約束混凝土強(qiáng)度增強(qiáng)系數(shù)和變形增強(qiáng)系數(shù)隨縱筋配筋率的變化規(guī)律[5,16,21,26,30,37]。由圖8(a)可知，約束混凝土的強(qiáng)度增強(qiáng)系數(shù)隨著縱筋配筋率的增大提高。在圖8(b)中，約束混凝土變形增強(qiáng)系數(shù)，隨著縱筋配筋率增加有所提高。Kim[16]的研究中，由于試件混凝土強(qiáng)度大，體積配箍率小，縱筋與箍筋強(qiáng)度小，能提供的約束作用有限，出現(xiàn)了個別試件變形增強(qiáng)系數(shù)僅為1.0左右的情況?？v筋配筋率對約束混凝土柱強(qiáng)度和變形能力的影響不可忽略。

圖8 縱筋配筋率對試件強(qiáng)度和變形的影響Fig.8 Influence of longitudinal reinforcement ratio on deformation and strength of specimens

2.6 箍筋形式

圓形柱箍筋形式主要有圓形箍筋和螺旋箍筋。表5中列舉了分別采用圓形和螺旋箍筋試件的部分試驗結(jié)果。其他條件相同或接近的情況下，圓形箍筋為約束混凝土柱提供更好的約束效果，試件有更好的強(qiáng)度和變形能力。這是由于圓形箍筋都是獨立的，當(dāng)其中一個發(fā)生破壞時，其余箍筋繼續(xù)提供約束力。因此，宜使用圓形箍筋來設(shè)計試件。

表5 其他條件相同時，圓形箍筋和螺旋箍筋對Kc、Kε的影響Tab.5 Influence of stirrup configuration on Kc and Kε

對于矩形柱，箍筋形式?jīng)Q定了試件水平方向的有效約束面積和縱向鋼筋的分布，影響核心混凝土水平方向的有效約束面積。表6是不同箍筋形式對試件強(qiáng)度增強(qiáng)系數(shù)和變形能力增強(qiáng)系數(shù)的影響規(guī)律[10,23,25,27,38]。復(fù)雜的箍筋形式約束效果明顯好于單個矩形箍。箍筋形式B和D的約束效果相近，網(wǎng)格式箍筋形式C、F、G，能增強(qiáng)約束混凝土柱的強(qiáng)度和變形能力，網(wǎng)格劃分越密集，約束效果越好。從箍筋約束效果及施工復(fù)雜程度的角度出發(fā)，對于矩形柱，避免使用箍筋形式A(矩形箍)，建議采用B(十字復(fù)合箍)或C(井字箍)兩種箍筋形式。

表6 其他條件相同或接近時，圓形截面與矩形截面對Kc、Kε的影響Tab.6 Influence of cross section on Kc and Kε

圖9 箍筋形式對試件強(qiáng)度和變形的影響Fig.9 Influence of stirrup configuration on deformation and strength of specimens

2.7 試件截面形狀與尺寸

在混凝土強(qiáng)度、試件截面面積、縱筋配筋率及體積配箍率相同或接近的條件下，圓形箍筋或螺旋箍筋形式要比矩形箍筋對混凝土的約束效果好。圖10中列舉的曲線，是在其他條件相同或接近的情況下，約束混凝土圓柱和矩形柱試件受壓應(yīng)力-應(yīng)變曲線對比。由圖可知，在其他條件相同的情況下，圓形截面柱的承載能力及變形能力優(yōu)于矩形截面柱。

圖10 其他條件相同或接近時，約束混凝土圓柱和矩形柱受壓應(yīng)力-應(yīng)變曲線對比Fig.10 Comparison of compressive stress-strain curves of different confined concrete columns

在研究約束混凝土受壓應(yīng)力-應(yīng)變曲線時，試件的尺寸效應(yīng)不能忽略。符佳等[25]引入尺寸效應(yīng)影響系數(shù)。試件高寬比相同時，截面尺寸越大，配箍率越低，受壓時試件越容易破壞。通常采取較高體積配箍率和高強(qiáng)箍筋來增強(qiáng)試件的約束效果。在其他條件均相同情況下，由于尺寸效應(yīng)的存在，大尺寸試件的強(qiáng)度增強(qiáng)系數(shù)(Kc)和變形增強(qiáng)系數(shù)(Kε)通常小于小尺寸試件，見表7。分析原因認(rèn)為，一方面是由于箍筋約束作用是通過對核心區(qū)受彎和受拉作用來完成的，小尺寸試件箍筋主要是受拉破壞，大尺寸試件主要是受彎破壞[22]，其約束應(yīng)力要小，相應(yīng)的約束混凝土強(qiáng)度和變形能力都較低；另一方面是由于大尺寸截面的構(gòu)件在角部產(chǎn)生的應(yīng)力集中要比小尺寸截面的構(gòu)件嚴(yán)重，且在其他條件相同的情況下，大截面面積構(gòu)件體積配箍率要小于小截面面積構(gòu)件。

表7 其他條件相同或接近時，試件尺寸對Kc、Kε的影響Tab.7 Influence of size effect on Kc and Kε

3 約束混凝土受壓應(yīng)力-應(yīng)變曲線統(tǒng)一方程

3.1 約束混凝土受壓應(yīng)力-應(yīng)變曲線統(tǒng)一方程的建立

為了描述該應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系曲線統(tǒng)一方程，曲線采用無量綱坐標(biāo)，x=ε/εcc，y=f/fcc。由于文獻(xiàn)[5]中Mander模型對約束混凝土本構(gòu)關(guān)系曲線上升段預(yù)測較準(zhǔn)確，統(tǒng)一方程上升段直接采用Mander模型來描述。上升段公式為

(8)

式中γ是控制上升段曲線的參數(shù)，由式(9)計算

γ=Ec/[Ec-(fcc/εcc)]

(9)

式中Ec為非約束混凝土初始彈性模量

統(tǒng)一方程下降段以文獻(xiàn)[2]中過鎮(zhèn)海模型下降段為基礎(chǔ)，建立統(tǒng)一方程下降段公式。統(tǒng)一方程下降段為

(10)

式中α和β是下降段曲線的重要參數(shù)，決定了該公式的預(yù)測效果。本文采用回歸分析的方法來確定α和β的計算公式。

本文用無量綱坐標(biāo)描述曲線，x>0，0≤y≤1，采用Mander與過鎮(zhèn)海的組合的形式來描述統(tǒng)一方程，能夠滿足約束混凝土本構(gòu)關(guān)系曲線的特性：1)曲線通過坐標(biāo)初始點，即x=0時，y=0；2)從坐標(biāo)初始點開始的切線斜率可以表述為dy/dx=Ec/Eco；3)上升段曲線滿足0≤x≤1時，d2y/d2x<0；4)在曲線峰值點(εcc，fcc)處的切線近似為水平直線，即x=1時，y=1且dy/dx=0；5)下降段曲線中存在一個拐點，即x>1時，d2y/d2x=0；6)下降段曲線中存在一個最大曲率點，即x>1時，d3y/d3x=0；7)當(dāng)應(yīng)力無窮大時，曲線應(yīng)力趨近于0，即x→∞，y→0，dy/dx→1。

3.1.1α計算公式

約束混凝土的應(yīng)力-應(yīng)變曲線關(guān)系的變化，不僅與非約束混凝土強(qiáng)度、體積配箍率、箍筋屈服強(qiáng)度有關(guān)，還與箍筋間距、縱筋配筋率以及試件截面尺寸存在一定關(guān)系。此處試件截面尺寸為圓柱截面直徑或方柱截面邊長，用符號D表示。分析各影響因素對α的影響，以此為基礎(chǔ)，提出α回歸分析模型。

圖11中各圖為其他條件相同或接近時，α隨某一影響因素的變化規(guī)律。由圖11 (a)可知，隨著非約束混凝土強(qiáng)度的提高，α呈下降趨勢，但fc<80 MPa時，該現(xiàn)象不明顯。這是由于試件體積配箍率和箍筋強(qiáng)度存在較大差異，對核心混凝土的約束效果差異明顯，導(dǎo)致α的變化規(guī)律不明顯。由圖11(b)和(c)可知，隨著體積配箍率和箍筋屈服強(qiáng)度的提高，α呈增大趨勢。根據(jù)已有文獻(xiàn)的研究，發(fā)現(xiàn)核心混凝土的橫向擴(kuò)張程度不僅與體積配箍率、箍筋屈服強(qiáng)度有關(guān)，而且受非約束混凝土的強(qiáng)度影響。在一定范圍內(nèi)，被約束混凝土強(qiáng)度較低，體積配箍率和箍筋屈服強(qiáng)度較高時，試件被壓碎時，核心混凝土部分橫向擴(kuò)張程度較大，試件延性較好。引入約束效果相關(guān)系數(shù)η，η=ρsvfsv/fc，其中，fsv是約束混凝土達(dá)到峰值壓應(yīng)力時箍筋達(dá)到的應(yīng)力水平。綜合反映體積配箍率、箍筋屈服強(qiáng)度和非約束混凝土強(qiáng)度對參數(shù)α的影響。分析發(fā)現(xiàn)，α0.5隨約束效果相關(guān)系數(shù)η的變化規(guī)律較明顯，見圖11(d)。隨著約束效果相關(guān)系數(shù)η的增大，α0.5先迅速下降之后趨近于0.92，呈冪函數(shù)變化規(guī)律。由圖11(e)中可知，α與縱筋配筋率ρs呈正相關(guān)關(guān)系，隨著縱筋配筋率的增加，α呈明顯的線性增加趨勢。圖11(f)～(g)中是箍筋間距s與試件截面尺寸D對參數(shù)α的影響規(guī)律，隨著箍筋間距的增大，參數(shù)α呈下降趨勢；試件截面尺寸D越大，參數(shù)α越大，但增加程度減小。參數(shù)α隨箍筋間距與試件截面尺寸變化的規(guī)律性并不十分明顯，這是因為箍筋間距與試件截面尺寸會影響試件水平面內(nèi)有效約束面積的大小，且通常與箍筋間距呈負(fù)相關(guān)，與試件截面尺寸呈正相關(guān)。定義箍筋間距s與試件截面尺寸D的比值(s/D)為有效約束面積影響系數(shù)，經(jīng)分析發(fā)現(xiàn)，α0.5與有效約束面積影響系數(shù)s/D，有較強(qiáng)的規(guī)律性，α0.5與s/D線性相關(guān)，α0.5隨s/D增大而減小。

圖11 α隨各影響因素的變化規(guī)律Fig.11 Influence of parameters on α

基于α隨各影響因素變化規(guī)律的分析，建立α的回歸分析模型

(11)

回歸分析發(fā)現(xiàn)，參數(shù)α隨非約束混凝土強(qiáng)度的變化產(chǎn)生波動，在fc>80 MPa時，參數(shù)α的擬合值偏小，fc<80 MPa時，參數(shù)α的擬合值偏大，增加一個混凝土強(qiáng)度影響系數(shù)r，r=80 MPa/fc，得到α的計算公式為

(12)

式中fsv為約束混凝土達(dá)到峰值壓應(yīng)力時的箍筋應(yīng)力水平，由式(3)和式(4)計算。

該公式R2=0.916 3，標(biāo)準(zhǔn)差是0.006 5，平均絕對誤差是0.005 0，說明擬合效果較好。

3.1.2β計算公式

基于對參數(shù)α的研究，分析其他條件相同的情況下，β分別隨約束效果相關(guān)系數(shù)、有效約束面積影響系數(shù)和縱筋配筋率的變化規(guī)律，見圖12。

圖12中各圖為其他條件相同或接近，β隨某一影響因素的變化規(guī)律。由圖12可知：1)一定范圍內(nèi)，η越大，β越小，且線性變化較明顯，見圖12(a)。究其原因，約束效果相關(guān)系數(shù)η較大時，箍筋對核心混凝土的約束效果提高，試件受壓應(yīng)力-應(yīng)變曲線下降段較平緩，此時參數(shù)β較小。2)由圖(b)知，一定范圍內(nèi)，有效約束面積影響系數(shù)越小，箍筋間距越小試件截面尺寸越大，參數(shù)β越小，試件延性發(fā)展越好。3)由圖(c)知，參數(shù)β與縱筋配筋率ρs呈正相關(guān)關(guān)系，隨著縱筋配筋率的增加，β呈明顯的線性增加趨勢。

圖12 β隨各影響因素的變化規(guī)律Fig.12 Influence of parameters on β

基于參數(shù)β隨η、s/D和ρs變化規(guī)律的分析，建立β的回歸分析模型

(13)

回歸分析發(fā)現(xiàn)，在fc>80 MPa時，參數(shù)β的擬合值偏小，fc<80 MPa時，參數(shù)β的擬合值偏大，引入混凝土強(qiáng)度影響系數(shù)r，r=80 MPa/fc，能明顯增強(qiáng)參數(shù)β的擬合效果。本文得到β的計算公式為

(14)

該公式R2=0.920 1，標(biāo)準(zhǔn)差等于0.003 9，平均絕對誤差等于0.002 7，R2接近1，標(biāo)準(zhǔn)差與平均絕對誤差接近0，說明擬合效果較好。

圖13是參數(shù)α和參數(shù)β的擬合效果圖，圖中可以看出參數(shù)α和參數(shù)β計算公式具有較好的擬合效果。

圖13 α與β擬合效果Fig.13 Fitting curves of α and β

3.1.3 本文統(tǒng)一方程模型分析驗證

為了進(jìn)一步驗證本文統(tǒng)一方程的精確度，用統(tǒng)一方程和已有的受壓應(yīng)力-應(yīng)變模型，對本課題組試驗得到的試驗結(jié)果，進(jìn)行了計算。各模型及本文模型對部分試件的計算結(jié)果和試驗結(jié)果的比較，見圖14。

由圖14可知，由本文統(tǒng)一方程得到的預(yù)測曲線和試驗曲線的吻合程度均好于已有模型。分析原因認(rèn)為是：1)每一種模型都是在各自的試驗基礎(chǔ)上提出的，混凝土材料離散性大，試驗方法與測量手段又不統(tǒng)一，模型在計算fcc、εcc、ε80時誤差較大。2)模型中所考慮的影響因素是否全面，是下降段延性好壞的關(guān)鍵[31]。Li Bing模型未考慮試件達(dá)到峰值壓應(yīng)力時箍筋的應(yīng)力水平，且每個試驗曲線的參數(shù)β是用試驗法和誤差法得來的，對預(yù)測試件應(yīng)力-應(yīng)變曲線會產(chǎn)生較大誤差。3)模型建立的試驗基礎(chǔ)廣泛與否對模型模擬是否準(zhǔn)確起著重要作用。本文統(tǒng)一方程考慮的影響因素比較全面，且范圍較廣，這也是本文模型下降段延性較好的一個主要原因。本文提出的分析模型精確度較高，適用范圍更廣，計算結(jié)果是精確可信的。

圖14 各模型及本文模型與本文試驗曲線對比Fig.14 Comparison of different models

3.2 峰值壓應(yīng)力

采用Richard公式[39]的形式，引入?yún)?shù)kc，定義kc=pη，kc與約束效果相關(guān)系數(shù)有關(guān)，而且受縱筋配筋率和箍筋體積配箍率的影響。回歸分析得到峰值壓應(yīng)力計算公式

(15)

式中：η為約束效果相關(guān)系數(shù)，η=ρsvfsv/fc；ρsv為體積配箍率；fsv為約束混凝土達(dá)到峰值壓應(yīng)力時箍筋的應(yīng)力水平，由公式(3)計算；p為鋼筋影響系數(shù)，p=(1+ρsv)/[3(1-ρs)]；ρs為縱筋配筋率。

系數(shù)mc、nc按混凝土強(qiáng)度和試件截面形狀劃分，回歸分析，得出mc、nc取值表，見表8。

表8 mc、nc取值表Tab.8 Values of mc and nc

由R2及殘差平方和可知，該公式擬合效果較好。圖15是本文提出的峰值壓應(yīng)力公式，對數(shù)據(jù)庫試件峰值壓應(yīng)力的預(yù)測值，與試驗值的對比圖。本文公式的誤差小。以絕對誤差積分為指標(biāo)，該公式的絕對誤差積分為12.35%，精確度較高。

圖15 本文公式的峰值壓應(yīng)力預(yù)測值與試驗值對比Fig.15 Comparison of experimental values and calculated values of peak stress

3.3 峰值壓應(yīng)變

綜合考慮約束混凝土影響因素，引入?yún)?shù)kε，定義kε=pη(3-1.1(s/Dcor))，Dcor為核心混凝土長度，回歸分析得出峰值壓應(yīng)變計算公式為

(16)

式中：εco為非約束混凝土的峰值壓應(yīng)變，按式(7)計算；參數(shù)mε、nε按混凝土強(qiáng)度和試件截面形式劃分，回歸分析得出mε、nε的取值表，見表9。

表9 mε、nε取值表Tab.9 Values of mε and nε

R2接近于1，相關(guān)關(guān)系強(qiáng)，殘差平方和接近于0，數(shù)據(jù)分布較好，圖16是本文提出的峰值壓應(yīng)變計算公式，對數(shù)據(jù)庫試件峰值壓應(yīng)變的預(yù)測值，與試驗值的對比圖。從圖中可以看出，本文峰值壓應(yīng)變計算公式，預(yù)測值與試驗值之間誤差小，絕對誤差積分為13.21%，精確度較高。

圖16 本文公式的峰值壓應(yīng)變預(yù)測值與試驗值對比Fig.16 Comparison of experimental values and calculated values of peak strain

4 結(jié) 論

1)建立數(shù)據(jù)庫試驗數(shù)據(jù)處理方法，包括混凝土保護(hù)層處理方法、約束混凝土達(dá)到峰值應(yīng)力時箍筋應(yīng)力計算方法、縱筋應(yīng)力處理方法、非約束混凝土的峰值壓應(yīng)變處理方法及體積配箍率計算方法。

2)本文搜集326個約束混凝土柱的軸壓應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系曲線數(shù)據(jù)，376個約束混凝土試件峰值壓應(yīng)力試驗數(shù)據(jù)及376個約束混凝土試件峰值壓應(yīng)變試驗數(shù)據(jù)，建立了約束混凝土本構(gòu)關(guān)系數(shù)據(jù)庫。

3)基于Mander模型和過鎮(zhèn)海模型，建立了約束混凝土受壓應(yīng)力-應(yīng)變曲線統(tǒng)一方程。對數(shù)據(jù)庫試驗數(shù)據(jù)進(jìn)行對比分析，結(jié)果表明，本文統(tǒng)一方程的預(yù)測曲線與試驗曲線吻合較好，準(zhǔn)確性較高，適用范圍更廣。

4)本文基于Richard公式的形式，提出了峰值壓應(yīng)力和峰值壓應(yīng)變計算公式，定義了參數(shù)kc、kε。利用本文得出的計算公式，對數(shù)據(jù)庫試驗數(shù)據(jù)進(jìn)行對比分析。結(jié)果表明，本文公式預(yù)測誤差控制在15%以內(nèi)，預(yù)測結(jié)果精確度較高，適用范圍更廣。