□張 昊 楊艷玲 趙子岳 趙 偉 韓姝嫻

插值可以根據(jù)有限的樣本數(shù)據(jù)點預(yù)測柵格中的像元值，可以預(yù)測任何地理點數(shù)據(jù)（如高程、降雨、化學(xué)物質(zhì)濃度等）的未知值。常用的插值算法有克里金法、反距離權(quán)重法、含障礙的樣條函數(shù)、樣條函數(shù)法、自然鄰域法、趨勢面法等，各種插值算法均能根據(jù)有限測量樣本數(shù)據(jù)點實現(xiàn)插值功能，但基于各算法內(nèi)在屬性，插值成果各有優(yōu)劣。

利用一二維耦合數(shù)學(xué)模型進行洪水演進的分析，對模型模擬范圍內(nèi)地形插值是必不可少的關(guān)鍵步驟，而插值后地形場文件的精度對水位、水深、流速等計算成果影響較大，因此根據(jù)測量數(shù)據(jù)的精度及研究區(qū)域的具體情況合理選擇插值算法具有一定的推廣應(yīng)用價值。插值示意圖見圖1。

此文以滹沱河（南水北調(diào)—機場路）高標(biāo)準行洪區(qū)為研究對象，利用MikeFlood、Arcgis、Surfer 等 插 值 軟 件，通過采用不同插值算法對該區(qū)域地形場文件進行插值研究發(fā)現(xiàn)，平原區(qū)域河道高標(biāo)準行洪區(qū)（分洪區(qū)）制作地形場文件時，根據(jù)測量數(shù)據(jù)特點進行合理分區(qū)，對插值算法進行組合應(yīng)用可得到較為合理、準確度較高的插值結(jié)果。

1.插值算法簡介

圖1 插值示意圖

高程數(shù)據(jù)插值作為空間數(shù)據(jù)內(nèi)插的一個重要方面，在二維數(shù)學(xué)模擬、地形圖dem 制作中均有著廣泛的應(yīng)用。而高程插值方法也已經(jīng)成為一個重要研究方向。目前可采用的插值算法種類較多，可選用的工具軟件也較多，此文主要借助Mike、Arcgis、Surfer 三款軟件，選取反距離權(quán)重法、自然鄰近插值算法、克里金法進行研究。

利用Arcgis 工具箱進行插值時，還可利用障礙選項，指定將中斷表面連續(xù)性的線狀要素的位置。例如行洪區(qū)域內(nèi)的堤壩、道路等線狀阻水構(gòu)筑物，以期剔除其對插值產(chǎn)生的不良影響，障礙要素作為折線要素輸入即可。

1.1 反距離權(quán)重法

使用一組采樣點的線性權(quán)重組合來確定像元值。權(quán)重是一種反距離函數(shù)。此方法假定所映射的變量因受到與其采樣位置間的距離的影響而減小，主要依賴于反距離的冪值，冪參數(shù)可基于距輸出點的距離來控制已知點對內(nèi)插值的影響。通過定義更高的冪值，可進一步強調(diào)最近點。因此，鄰近數(shù)據(jù)將受到最大影響，表面會變得更加詳細，隨著冪數(shù)的增大，內(nèi)插值將逐漸接近最近采樣點的值。指定較小的冪值將對距離較遠的周圍點產(chǎn)生更大影響，從而導(dǎo)致更加平滑的表面。缺點在于由于反距離權(quán)重公式與任何實際物理過程都不關(guān)聯(lián)，因此無法確定特定冪值是否過大。若采樣對于正在嘗試模擬的本地變量來說足夠密集，則基于反距離權(quán)重法會獲得最佳結(jié)果。

圖2 網(wǎng)格剖分示意圖

圖3 模型區(qū)域?qū)崪y地形數(shù)據(jù)分布示意圖

1.2 自然鄰域法

該方法可找到距插值點最近的輸入樣本子集，并基于區(qū)域大小按比例對這些樣本應(yīng)用權(quán)重來進行插值。該方法的基本屬性是具有局部性，僅使用插值點周圍的樣本子集，且保證插值高度在所使用的樣本范圍內(nèi)。該方法不會推斷趨勢且不會生成輸入樣本尚未表示的山峰、凹地、山脊或山谷，但插值生成表面將通過輸入樣本且在除輸入樣本位置外其他位置均是平滑的。所有點的自然鄰域都與鄰近Voronoi（泰森）多邊形相關(guān)。相比之下，基于距離的插值器工具（如反距離加權(quán)）會根據(jù)距插值點相同的距離為最北部點和東北部點分配相同權(quán)重。而自然鄰域法插值會根據(jù)重疊百分比為其分別指定權(quán)重。

1.3 克里金法

通過一組具有z 值的離散點生成插值表面的高級地統(tǒng)計過程。與其他插值方法不同，選擇用于生成輸出表面的最佳估算方法之前應(yīng)對由z 值表示的現(xiàn)象的空間行為進行全面研究。假定采樣點之間的距離或方向可以反映可用于說明表面變化的空間相關(guān)性。可將數(shù)學(xué)函數(shù)與指定數(shù)量的點或指定半徑內(nèi)的所有點進行擬合以確定每個位置的輸出值。在反距離權(quán)重法中，權(quán)重λi 僅取決于預(yù)測位置的距離。而使用克里金方法時，權(quán)重不僅取決于測量點之間的距離、預(yù)測位置，還取決于基于測量點的整體空間排列。

2.實驗分析

2.1 研究區(qū)域概況

研究范圍西起南水北調(diào)、東至機場路，南北分別以滹沱河南堤和石黃高速為界，本段滹沱河河段全長約24km，為石家莊“一河兩岸”規(guī)劃的核心地帶。防洪標(biāo)準北堤為100 年一遇，南堤為50年一遇。中心城區(qū)段滹沱河超標(biāo)準洪水將在右堤以南、石黃高速以北區(qū)域行洪，以石黃高速作為中心城防洪的第二道防線。

考慮洪水自滹沱河河道分洪后順地形地勢的演進情況，二維模型模擬區(qū)域（地形插值區(qū)域）以滹沱河規(guī)劃右堤堤線位置作為北邊界，石黃高速公路為南邊界，西邊界為南水北調(diào)總干渠，東邊界到深澤縣省道233。右堤至石黃高速之間模型計算范圍面積約為321.2km2。計算區(qū)網(wǎng)格擬采用不規(guī)則三角形網(wǎng)格進行剖分，對于模型區(qū)域內(nèi)堤防、道路沿線重點計算區(qū)域，確定公路、堤防的長度、高度等技術(shù)指標(biāo)，要求模擬精度較高，采用局部加密的方法，網(wǎng)格劃分最大面積不大于0.01km2。計算區(qū)域內(nèi)網(wǎng)格劃分共計30832 個，計算節(jié)點16388 個。網(wǎng)格剖分示意圖見圖2。

2.2 地形數(shù)據(jù)

對各計算分區(qū)進行網(wǎng)格剖分后，為滿足地形插值的需要，對關(guān)鍵區(qū)域采用1∶1000、1∶2000 高程數(shù)據(jù)，其余非核心區(qū)域采用1∶10000、1∶50000 地形圖進行 網(wǎng) 格 高 程 插 值。其 中1∶1000、1∶2000 提取高程點75000 個，其余比例尺高程點據(jù)18000 個。

2.3 插值精度評價標(biāo)準

此次選用誤差M、標(biāo)準差R、相對誤差分布3 個評價指標(biāo)進行精度評價。模型區(qū)域?qū)崪y地形數(shù)據(jù)分布示意圖見圖3。

2.4 插值結(jié)果對比分析

在利用反距離權(quán)重法插值前，根據(jù)采樣點集合，利用加權(quán)函數(shù)計算插值權(quán)重。選取核心區(qū)域內(nèi)實測點據(jù)高程值作為X 軸，不同插值算法插值出的高程值作為Y 軸，建立正交坐標(biāo)系，得到3種插值算法的正交坐標(biāo)圖見圖4—圖6。

自然鄰域法和反距離權(quán)重法與實測高程點據(jù)擬合程度更好，擬合曲線基本從點群中心穿過，偏差相對較小，首尾點據(jù)也有所兼顧，而樣條函數(shù)法偏離點群位置相對較大，整體效果不如前二者，與自身特性以及實測數(shù)據(jù)精度有關(guān)，即前二者僅使用插值點周圍的樣本子集，且保證插值高度在所使用的樣本范內(nèi)，即便插值表面不夠平滑，實測數(shù)據(jù)點集在插值時也得到了充分的考慮。若采樣對于正在嘗試模擬的高程變量來說足夠密集，則會獲得最佳結(jié)果。

圖4 反距離權(quán)重法

圖5 自然鄰域法

圖6 克里金法

表1 不同插值算法誤差統(tǒng)計表（全區(qū)域）

對3 種插值算法分別計算其中誤差與標(biāo)準差，計算成果見表1。由表中數(shù)據(jù)可知，對于整個行洪區(qū)域，自然鄰域法插值誤差最小，反距離權(quán)重法次之。

相對誤差的分布能夠直接體現(xiàn)插值效果，3 種插值結(jié)果的相對誤差分布見圖7—圖8 所示。自然鄰域插值法結(jié)果相對誤差主要集中分布在0.5% 附近，反距離權(quán)重法集中分布在0.5%～0.8%之間，克里金法則在0.5%～1.2%之間均有分布，集中分布在0.5%、1%附近。

3.結(jié)論

通過對滹沱河高標(biāo)準行洪區(qū)地形插值的研究，對平原區(qū)河道高標(biāo)準行洪區(qū)（分洪區(qū)）地形插值算法提出優(yōu)先推薦方案。

反距離權(quán)重法以插值點和樣本點之間距離作為權(quán)重進行加權(quán)平均，離散點距插值點越遠，影響力越小，甚至完全沒有影響力。自然鄰域法具有局部性，不會推斷趨勢，僅使用插值點周圍的樣本子集，并保證插值在使用樣本范圍內(nèi)。行洪區(qū)處于平原區(qū)域，坡度相對較緩，對于實測高程數(shù)據(jù)較為密集、采樣較均勻的區(qū)域，可優(yōu)先采用自然鄰域法或反距離權(quán)重法進行插值，雖然實測數(shù)據(jù)鄰近插值表面未必特別平滑，但整體來看，對于真實地形的插值效果相對最優(yōu)，插值誤差相對較小?？死锝鸩逯邓惴紤]了實測點與插值點的位置關(guān)系，且考慮了各實測點間的相對位置關(guān)系，采樣均勻時插值整體效果不如前兩者，但在模型網(wǎng)格尺度較小、地形數(shù)據(jù)相對稀疏的區(qū)域，所插值表面較為平滑，效果反而比反距離權(quán)重等方法要好。

對于研究范圍較大的區(qū)域，可以根據(jù)實測數(shù)據(jù)采樣精度、數(shù)學(xué)模型網(wǎng)格尺度劃分不同片區(qū)，采用多種插值算法分區(qū)域組合插值的方法。

利用誤差、標(biāo)準差、相對誤差等指標(biāo)圖、表可以量化各種插值算法插值成果的優(yōu)劣，對研究區(qū)域插值算法的最終選用具有一定指導(dǎo)意義?！?/p>

圖7 不同插值算法相對誤差分布圖

圖8 不同插值方案比選后采用成果圖