陳夏春 白植舟 姜瑞娟 區(qū)達光 陳德偉

（1.深圳市尚智工程技術(shù)咨詢有限公司，深圳518000；2.同濟大學橋梁工程系，上海200092；3.山東大學土木工程系，濟南50061；4.深圳市市政設(shè)計研究院有限公司，深圳518029；5.香港大學土木工程系，香港）

0 引 言

波形鋼腹板組合箱梁是一種新型橋梁結(jié)構(gòu)（圖1和圖2），由混凝土頂?shù)装迮c波形鋼腹板連接構(gòu)成，通常設(shè)置橫隔板，以及體內(nèi)與體外兩種預(yù)應(yīng)力束。波形鋼腹板較傳統(tǒng)平鋼腹板有更高的抗屈曲能力，因此可以減小腹板的厚度，同時可以有效減少加勁肋的使用和相關(guān)焊接工作量，避免疲勞破壞，且有利于后期維護。波形鋼腹板厚度較傳統(tǒng)的平鋼腹板和混凝土腹板小，因此梁自重更小，從而使得橋梁跨度可以更大。由于顯著的“褶皺效應(yīng)”，波形鋼腹板的軸向剛度很小，因此預(yù)應(yīng)力可以更有效地施加在混凝土頂?shù)装迳?，防止其開裂，提高了預(yù)應(yīng)力效率。傳統(tǒng)組合橋梁在負彎矩區(qū)較容易出現(xiàn)混凝土受拉開裂的問題［1-2］，采用軸向剛度忽略不計的波形鋼腹板可很大程度上解決這個問題。近三十余年，波形鋼腹板組合橋梁在法國、日本、德國、韓國、中國等國家得到廣泛地推廣和應(yīng)用。

圖1 波形鋼腹板組合橋梁構(gòu)造Fig.1 A prestressed concrete bridge with corrugated steel webs

國內(nèi)外眾多學者已經(jīng)對波形鋼腹板組合橋梁的受彎性能開展了較廣泛的理論與試驗研究，取得了許多有價值的研究成果。

由于波形鋼腹板剪切剛度小及軸向剛度可以忽略不計的特點，平截面假定對于該類橋梁不適用。因此，傳統(tǒng)的歐拉梁和鐵木辛柯梁理論可能不適用于該類橋梁［3-5］。為了模擬該類橋梁的彎曲與剪切性能，Kato等［6］假設(shè)所有的剪力由波形鋼腹板承擔，彎矩全部由混凝土頂?shù)装宄袚?，將撓度和腹板轉(zhuǎn)角作為獨立的位移變量，但低估了頂?shù)装宄袚募袅?。?yīng)用變分原理，Machimdamrong等［3-4］推導(dǎo)出了一種梁理論（稱為G3 理論），將撓度、頂?shù)装遛D(zhuǎn)角、腹板轉(zhuǎn)角作為三個獨立的位移變量。吳文清等［7］提出“擬平截面假定”，簡化計算，以便進行設(shè)計。聶建國等［5］未采用平截面假定，而是將彎曲行為分解為桁架作用和彎曲作用進行分析計算。國內(nèi)的其他學者也做了大量的彎曲及剪切研究工作，例如蘇儉［8］、李立峰［9］、賀君［10］、冀偉［11］、張鴻［12］、武海鵬［13］等學者。

圖2 波形鋼腹板組合橋梁截面與腹板波形Fig.2 Cross section configuration of bridge

在設(shè)計中，通常假設(shè)所有的剪力僅由波形鋼腹板承擔［14］。但是，該假設(shè)仍然存在爭議?；趯Σㄐ武摳拱褰M合橋梁縮尺模型的試驗和有限元分析，Shiratani 等［15］發(fā)現(xiàn)懸臂梁波形鋼腹板承擔的剪力在梁體支撐端附近明顯減小，但是懸臂梁截面和作用在組合截面的總剪力沿梁長是不變的。試驗結(jié)果表明支撐端波形鋼腹板承擔的剪力比率在混凝土頂?shù)装彘_裂前約為35%。隨著荷載增加和裂縫的發(fā)展，在波形腹板屈服前該比率也只增加至約45%。但是試件在離支撐端2 m 位置處，波形鋼腹板承擔的剪力比率在混凝土頂?shù)装彘_裂前約為72%，并隨著荷載增加和裂縫發(fā)展，在波形腹板屈服前該比率增加至約88%。Kadotani等［16］通過試驗研究了組合截面混凝土頂?shù)装迮c波形鋼腹板之間剪力承擔比率沿梁長方向的分布。一個簡支梁試件靜載的試驗結(jié)果表明，整體上來說波形鋼腹板承擔的剪力比率約為65%，然而在跨中集中荷載附近這一比率降低至僅約35%。

雖然國內(nèi)外眾多學者對波形鋼腹板梁的彎曲和剪切性能已取得豐碩的成果，但對于剪力在組合截面混凝土頂?shù)装迮c波形鋼腹板之間的分配比例的研究還不足，仍存在明顯分歧。其原因是目前尚缺乏完整的梁理論模型分析混凝土頂?shù)装寰植繌澢c波形鋼腹板耦合作用的影響，以及橫隔板的作用。因此，本文考慮混凝土頂?shù)装宓木植繌澢?，以及該局部彎曲與波形鋼腹板剪切變形的耦合作用，建立了一個適用于該類橋梁的夾層梁理論模型。該模型亦同時考慮橫隔板的作用；并基于提出的夾層梁模型，進一步提出了一種有限元梁單元，方便進行實際工程設(shè)計計算；最后通過試驗的方法對建立的夾層梁理論模型進行了驗證。

1 夾層梁模型

傳統(tǒng)夾層梁模型（sandwich beam model）很早應(yīng)用在航空航天和船舶領(lǐng)域［17］。波形鋼腹板組合橋梁與這些領(lǐng)域的夾層梁（圖3）受力特征非常類似。夾層梁主要由剛性上面層、剛性下面層及中間輕質(zhì)芯材層構(gòu)成。該類橋梁的波形腹板和夾層梁中間輕質(zhì)芯材層的軸向剛度都可忽略不計，主要承受剪力；該類橋梁的混凝土頂?shù)装搴蛫A層梁上下面層主要承受彎矩。不過，兩者仍存在一些小的差別。該類橋梁的腹板很薄，然而夾層梁的中間輕質(zhì)芯材層沿寬度方向均勻分布。另外，該類橋梁會設(shè)置一定數(shù)量的橫隔板。因此，需要對航空航天和船舶領(lǐng)域的傳統(tǒng)夾層梁理論模型進行一些修改，以應(yīng)用到該類橋梁。

圖3 傳統(tǒng)夾層梁結(jié)構(gòu)Fig.3 A simple sandwich beam structure

1.1 梁段控制方程

波形鋼腹板組合梁的梁段變形如圖4 所示，混凝土頂?shù)装宓目v向應(yīng)變εf為

式中：u 為梁截面形心軸的縱向位移；ef為頂板或底板自身形心軸的z軸坐標值；φ為截面轉(zhuǎn)角；v為梁撓度值。

由圖4 可知，波形鋼腹板剪應(yīng)變γw可以表示為

式中：β=h/hw；h 為頂?shù)装遄陨硇涡妮S之間的距離；hw為腹板高度（圖2）。

根據(jù)豎向力平衡可以得到

式中：V為截面上的總剪力；q為豎向分布力。

圖4 梁節(jié)段變形Fig.4 Deformation of a beam segment

作用在截面上的總剪力由兩部分構(gòu)成：①頂?shù)装宄袚呐c頂?shù)装謇@各自形心軸局部彎曲相對應(yīng)的剪力，即式（4）右側(cè)第一項；②組合截面承擔的與繞組合截面形心軸整體彎曲相對應(yīng)的剪力，此時假設(shè)頂?shù)装宀话l(fā)生繞各自形心軸的局部彎曲，即式（4）右側(cè)第二項。

式中：Bf為頂?shù)装逑鄬τ谧陨硇涡妮S的局部彎曲剛度；為波形鋼腹板的剪切剛度；Gw為腹板鋼材剪切模量；bw為腹板總厚度；s及s0分別為波形腹板半波范圍的實際與投影長度（圖2（b））。

根據(jù)彎矩平衡條件，可以得到

作用在截面上的總彎矩M 可以通過對截面上的正應(yīng)力進行積分得到，即

式中，Bg為圍繞組合截面形心的整體彎曲剛度，此時假設(shè)頂?shù)装宀话l(fā)生繞各自形心軸的局部彎曲（即應(yīng)變沿頂?shù)装搴穸确较虿蛔儯?/p>

式（6）右側(cè)第一項為繞整個截面形心的整體彎矩，即Mg=Bg(?φ/?x)；第二項為頂?shù)装鍑@各自形心軸的局部彎矩之和Mloc，即Mloc=-Bf(?2v/?x2)。

將式（4）及式（6）代入式（3）及式（5），并進行重新整理后可得到

由上述兩式消去參數(shù)φ 及其導(dǎo)數(shù)，可以得到由撓度v及其導(dǎo)數(shù)表達的梁段微分控制方程

式中，α2=

以上控制方程與學者Mead 和Markus［18］推導(dǎo)的傳統(tǒng)夾層梁模型基本一致，但是截面特性的表達式不同。式（8）左側(cè)第一個方括號內(nèi)的項為不考慮剪切變形的梁體彎曲最基本情況，即歐拉梁理論。其第二個括號內(nèi)的項由剪切變形引起。當腹板剪切剛度很大時，該項就可忽略不計。聯(lián)合第一個與第二個方括號內(nèi)的項即為鐵木辛柯梁理論。第三個方括號內(nèi)的項由混凝土頂?shù)装寰植繌澢c腹板剪切變形的耦合作用引起。當腹板剪切剛度無窮大時，該項也可忽略不計。參數(shù)α 為衡量上述耦合作用的關(guān)鍵參數(shù)，其為組合截面等效剪切剛度（B/Bg）β2Sw與頂?shù)装寰植繌澢鷦偠菳f比值的平方根。參數(shù)α越小，該耦合作用越顯著。

以一個波形鋼腹板組合簡支梁為例，在跨中集中力作用下其剪切變形如圖5 所示。假設(shè)忽略混凝土頂?shù)装宓木植繌澢诩辛Ω浇霈F(xiàn)變形不協(xié)調(diào)，如圖5（a）所示。實際上，在集中力作用處，混凝土頂?shù)装宀豢赡艹霈F(xiàn)無窮大的曲率，而是發(fā)生連續(xù)光滑的局部彎曲，如圖5（a）的粗虛線所示，從而引起混凝土局部彎曲與波形鋼腹板剪切變形的耦合，最終的整體剪切變形如圖5（b）所示。

圖5 波形鋼腹板組合簡支梁在跨中集中力作用下的剪切變形Fig.5 Shear deflection of a simply supported bridge under a point load at mid span

實際上，當剪力沿跨徑方向變化時，都會發(fā)生上述耦合作用，例如均布荷載作用工況。但是，在均布荷載作用下，剪力變化連續(xù)，耦合作用不顯著。

1.2 橫隔板作用

該類橋梁通常設(shè)置橫隔板。因為波形鋼腹板的軸向剛度很小，同時其剪切變形又比較顯著，因此橫隔板會通過約束波形腹板的剪切變形及頂?shù)装宓南鄬ξ灰茖Y(jié)構(gòu)的受力性能產(chǎn)生顯著的影響，如圖6所示。

圖6 橫隔板附近剪切變形Fig.6 Shear deformation in the vicinity of a diaphragm

橫隔板將梁分成一個個梁段。在每個橫隔板位置處，梁段都必須滿足力的平衡和變形協(xié)調(diào)條件。假設(shè)橫隔板與頂?shù)装搴透拱寰B接。由于橫隔板的作用，在橫隔板鄰近區(qū)域波形鋼腹板發(fā)生扭曲，剪切變形沿腹板高度不再一致。原來位于同一平面上的腹板截面a-c-b 扭曲成曲面a*-c-b*。同時與橫隔板相連接的頂?shù)装逦恢冒l(fā)生相對位移Δd。在橫隔板位置處的變形協(xié)調(diào)條件可以表示為

在橫隔板位置處的力的平衡條件可以表示為

或

式中，Kd為橫隔板約束頂?shù)装逑鄬ξ灰频膭偠取?/p>

聯(lián)立變形協(xié)調(diào)條件方程式（9）與力的平衡方程（11），得到橫隔板位移需要滿足的附加條件為

如果橫隔板與腹板不連接，式（12）也同樣適用。

如果橫隔板很厚，可以將橫隔板當作一個沿橋跨徑方向的梁段。

在本質(zhì)上，橫隔板的作用是頂?shù)装寰植繌澢c腹板剪切變形耦合作用的一種特例。

2 有限元梁單元

為了方便進行實際工程設(shè)計計算，本文基于建立的夾層梁模型，提出一種有限元梁單元。

2.1 梁單元

提出的三節(jié)點梁單元（C1階連續(xù)）如圖7所示。

該三節(jié)點梁單元的位移向量d 由梁軸心縱向位移u、撓度v 以及轉(zhuǎn)角φ 組成，分別采用線性、三次Hermite以及二次多項式插值函數(shù)，即

式中：梁單元節(jié)點位移向量

圖7 三節(jié)點C1梁單元Fig.7 A C1 three-node beam finite element

di={ui-1vi-1v′i-1φi-1φibuiviv′iφi}T；形函數(shù)矩陣N包含子形函數(shù)矩陣Nu、Nv及Nφ；Nu1=1-ξ；Nu2=ξ；Nv1=1-3ξ2+2ξ3；Nv2=(ξ-2ξ2+ξ3)Li；Nv3=3ξ2-2ξ3；Nv4=(-ξ2+ξ3)Li；Nφ1=1-3ξ+2ξ2；Nφ2=4ξ-4ξ2；Nφ3=-ξ+2ξ2；(0≤ξ ≤1)；以及Li為第i 個單元的長度。

第i個單元的應(yīng)變能Uib為

將式（13）中各變量的表達式代入式（14）可以得到

式中：kia為單元的軸向剛度矩陣；kib為單元的彎曲剛度矩陣；kis為單元的剪切剛度矩陣；ki為單元的總剛度矩陣，即ki=kia+kib+kis。

這些剛度矩陣的表達式為

2.2 橫隔板作用的模擬

在劃分梁單元時，在橫隔板位置布置為端節(jié)點。第k 個橫隔板的作用可以用一對值為Kdhwβ(φ+v′)h的內(nèi)力偶（見式（12））模擬，其引起的應(yīng)變能Udia，k為

式中，xk為第k 個橫隔板位于x 軸方向的位置；dk為端節(jié)點的位移向量；kdia，k為由第k個橫隔板提供的附加剛度，其可以表示為

如果橫隔板較厚，也可以將橫隔板當作沿橋縱向的梁單元，并將實心截面劃分成虛擬的頂?shù)装迮c腹板，并計算它們的彎曲及剪切剛度等截面特性，以保證與夾層梁單元連接時的協(xié)調(diào)相容。

2.3 結(jié)構(gòu)體系的模擬

由梁體與橫隔板組成的整個結(jié)構(gòu)體系的總勢能為

式中：Ub為梁體的總應(yīng)變能；Udia為橫隔板引起的總應(yīng)變能；WE為外力作用f的勢能，其表達式為

式中，外力作用f包含軸向分布力p 以及橫向分布力q，即f =[p q 0]T以及

根據(jù)最小勢能原理，可以得到

根據(jù)常規(guī)的有限元方法推導(dǎo)步驟，可以得到有限元的公式為

3 試驗驗證

本部分通過試驗對所提出的夾層梁理論進行驗證。其中的3 個試件A-1、B-1 及B-2 分別如圖8-圖10 所示。試件A-1 總長4 700 mm，跨徑4 500 mm，高300mm，波形鋼腹板厚5 mm。試件B-1及B-2總長3 800 mm，跨徑3 600 mm，高360 mm，波形鋼腹板厚5 mm。波形鋼腹板與混凝土頂?shù)装逯g采用埋入式連接件。

每個試件均施加兩根直徑12.7 mm 的體外預(yù)應(yīng)力鋼絞線。試件A-1 預(yù)應(yīng)力筋采用折線形布置，鋼絞線錨固于端橫隔板中心線位置，在中橫隔板位置的轉(zhuǎn)向孔距梁底70 mm。試件B-1 預(yù)應(yīng)力筋采用直線形布置，預(yù)應(yīng)力鋼絞線錨固于端橫隔板距梁底110 mm 處。試件B-2 預(yù)應(yīng)力筋采用折線形布置，鋼絞線錨固于端橫隔板中心線位置，在中橫隔板位置的轉(zhuǎn)向孔距梁底100 mm。施加在試件A-1、B-1及B-2的有效總預(yù)應(yīng)力分別為191 kN、268 kN及252 kN。

圖8 試件A-1Fig.8 Configuration of Specimen A-1

圖9 試件B-1Fig.9 Configuration of Specimen B-1

圖10 試件B-2Fig.10 Configuration of Specimen B-2

試件的材料特性如表1、表2所示。

表1 試件混凝土材料性能Table 1 Material properties of concrete from tests（MPa）

表2 試件鋼筋、預(yù)應(yīng)力筋及波形腹板材料性能Table 2 Material properties of steel reinforcing bar，prestresing steel，and steel web from tests (MPa)

分別對試件A-1、B-1、B-2 進行靜力加載試驗，如圖11所示。

圖11 靜力加載Fig.11 Static loading test

試驗結(jié)果如圖12—圖16所示，并與建立的夾層（Sandwich）梁理論、傳統(tǒng)的鐵木辛柯（Timoshenko）梁理論、及歐拉（Euler）梁理論結(jié)果進行比較。如圖12 所示，應(yīng)用鐵木辛柯梁理論得到的撓度大于試驗值，因為該理論未考慮頂?shù)装寰植繌澢c腹板剪切變形的耦合作用以及橫隔板作用；應(yīng)用歐拉梁理論得到的撓度小于試驗值，因為其未考慮剪切變形。如圖13 所示，由于上述耦合和橫隔板作用，波形鋼腹板的剪應(yīng)力在橫隔板與集中力位置附近急劇地減小，相對應(yīng)的混凝土頂?shù)装宄袚募袅υ谶@些位置急劇地增加。如圖14—圖16 所示，在橫隔板及集中力附近正應(yīng)力沿截面高度線性分布的假定不適用，例如試件A-1的截面A 與C，試件B-1 與B-2 的截面A 與C。而在遠離橫隔板及集中力的位置，正應(yīng)力沿截面高度線性分布的假定是適用的，例如試件A-1 的截面B 與E，試件B-1 與B-2 的截面B。夾層梁理論結(jié)果與試驗結(jié)果基本吻合，驗證了所提出的夾層梁理論模型的可靠性。

圖12 試件撓度Fig.12 Deflection of specimens tested

理論與試驗結(jié)果存在細微差異的主要原因可能是理論推導(dǎo)過程中采用了以下假設(shè)：①混凝土頂?shù)装迮c波形腹板的連接是理想的，無滑移；②混凝土頂?shù)装宓募羟凶冃慰珊雎圆挥?；③波形鋼腹板沿橋縱向的軸向剛度可忽略不計。因此，在使用該理論進行分析計算時，需要注意以下對應(yīng)的應(yīng)用條件：①若結(jié)構(gòu)可能發(fā)生明顯剪切滑移，則須根據(jù)剪力連接件的類型引入合適的剪切-滑移關(guān)系；②梁跨徑與混凝土翼板厚度的比值宜大于10；③實際工程中，波形鋼腹板沿橋縱向的軸向剛度通常可忽略不計。如果波形鋼腹板的波形參數(shù)比較特殊，須核算其軸向剛度是否可以忽略（小于相同厚度平鋼腹板軸向剛度的1%可忽略不計）［19-20］。

當結(jié)構(gòu)處于彈性階段，夾層梁理論的假設(shè)都基本成立，引起的誤差可以忽略。在實際工程設(shè)計時，可以應(yīng)用該理論驗算結(jié)構(gòu)正常使用極限狀態(tài)的應(yīng)力與變形。該理論也可以清晰地計算出組合截面的混凝土翼板與波形鋼腹板各自承擔的剪力比例，以便進行承載能力極限狀態(tài)下抗剪強度的驗算。當結(jié)構(gòu)處于塑性狀態(tài)，為了準確計算該類橋梁的抗彎承載力，還需要基于推導(dǎo)的夾層梁理論，進一步引入材料非線性本構(gòu)關(guān)系、剪切-滑移關(guān)系、幾何非線性方程、體外預(yù)應(yīng)力與梁體耦合作用方程等。

4 結(jié) 論

圖13 腹板中間高度位置剪應(yīng)力Fig.13 Shear stresses at mid-height of the web

圖14 試件A-1截面正應(yīng)力（加載至50.2 kN時）Fig.14 Normal stress distribution of Specimen A-1（loading 50.2 kN）

本文提出了一種適用于波形鋼腹板組合橋梁的夾層梁理論模型，以分析該類橋梁的彎曲與剪切性能。該模型考慮了混凝土頂?shù)装寰植繌澢c波形腹板剪切變形的耦合作用以及橫隔板作用。應(yīng)用試驗驗證了該理論模型的可靠性。研究表明總體上正應(yīng)力沿截面高度線性分布的假設(shè)對于該類橋梁是成立的，但是由于頂?shù)装寰植繌澢c波形腹板剪切變形的耦合及橫隔板作用，在集中力與橫隔板附近的混凝土頂?shù)装鍟霈F(xiàn)顯著的剪應(yīng)力與正應(yīng)力集中，并導(dǎo)致正應(yīng)力沿截面高度線性分布的假設(shè)局部不成立。由于上述耦合和橫隔板作用，波形鋼腹板承擔剪力的比例在集中力與橫隔板附近急劇地減小，相對應(yīng)地混凝土頂?shù)装宄袚袅Φ谋壤谶@些位置急劇地增加。

在設(shè)計該類橋梁時，需要注意在集中力位置（例如支撐位置）及橫隔板位置附近的混凝土頂?shù)装鍍?nèi)應(yīng)力集中的問題，建議通過設(shè)置加腋減輕上述應(yīng)力集中。

圖15 試件B-1截面正應(yīng)力（加載至60.4 kN時）Fig.15 Normal stress distribution of Specimen B-1（loading 60.4 kN）

圖16 試件B-2截面正應(yīng)力（加載至70 kN時）Fig.16 Normal stress distribution of Specimen B-2（loading to 70 kN）