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        廣義度量空間上(ψ,φ,φ(φ*))-弱收縮映射的重合點和公共不動點

        2021-03-27 01:21:46樸勇杰
        關(guān)鍵詞:定義

        樸勇杰

        (延邊大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系,吉林 延吉 133002)

        1 預(yù)備知識

        2001年,Branciari[1]引進了廣義度量空間的概念,將通常度量空間定義中的三角不等式用含3項而不是2項的不等式所代替.文中指出任何度量空間都是廣義度量空間,但是其逆不成立,并給出了Banach型不動點定理.自此,很多研究人員[2-10]在該空間上討論并得到了一些不動點和公共不動點存在定理.特別地,文獻[11]利用文獻[12]中引進的(ψ,α,β)-弱收縮條件在廣義度量空間上討論了2個映射重合的點和公共不動點存在問題,文獻[13]也利用該收縮條件在偏序的G-度量空間上討論了相同的問題.

        本文引進4種實函數(shù)ψ,φ,φ,φ*和2個收縮條件,即(ψ,φ,φ)-弱收縮條件和(ψ,φ,φ*)-弱收縮條件,然后討論廣義度量空間上的2個映射重合的點和公共不動點存在問題.

        定義1.1[1]設(shè)X是非空集合,d:X×X→[0,∞)是映射.如果對任何x,y∈X和任何不同于x和y的2個不同的u,v∈X使得下列關(guān)系成立:

        (ⅰ)d(x,y)=0,當(dāng)且僅當(dāng)x=y;

        (ⅱ) 對任何x,y∈X,d(x,y)=d(y,x);

        (ⅲ)d(x,y)≤d(x,u)+d(u,v)+d(v,y)(四角不等式).

        則稱(X,d)是廣義度量空間(簡記為GMS).

        定義1.2[1]設(shè)(X,d)是GMS,{xn}是X中的一個序列且x∈X.

        (ⅰ) 稱{xn}是GMS收斂于x,如果d(xn,x)→0(當(dāng)n→∞時),并記xn→x.

        (ⅱ) 稱{xn}是GMS Cauchy序列,如果對任何>0,存在正整數(shù)N()使得對任何n>m>N(),d(xn,xm)<.

        (ⅲ) 稱(X,d)是完備的GMS,如果每個GMS Cauchy序列都是GMS收斂的.

        定義1.3[14]設(shè)X是非空集合,T,F(xiàn):X→X是2個映射.如果當(dāng)Tx=Fx時,TFx=FTx,則稱T和F是弱相容的.

        定義1.4[15-16]設(shè)X是非空集合,T,F(xiàn):X→X是2個映射.如果存在u,x∈X使得u=Tx=Fx,則稱x是T和F的重合點,u是T和F的重合的點.

        定義1.5[17]設(shè)(X,?)是偏序集,T,F(xiàn):X→X是2個映射.如果對任何x,y∈X,F(xiàn)x?Fy推出Tx?Ty,則稱T為F-單調(diào)遞增的.

        定義1.6[18]設(shè)T是度量空間X上的自映射.稱T為序列收斂的是指X中任何序列{xn},如果{Txn}收斂,則{xn}收斂.

        引理1.1[15-16]設(shè)X是非空集合,T,F(xiàn):X→X是弱相容的2個映射.如果u是T和F的唯一的重合的點,則u是T和F的唯一公共不動點.

        下面引進4種實函數(shù):

        ψ∈Ψ,當(dāng)且僅當(dāng)ψ:[0,+∞)→[0,+∞)是連續(xù)單調(diào)遞增函數(shù)且滿足ψ(t)=0?t=0;

        φ∈Φ,當(dāng)且僅當(dāng)φ:[0,+∞)→[0,+∞)是上半連續(xù)函數(shù)且滿足φ(0)=0;

        2 GMS上的公共不動點

        引理2.1設(shè){an}是非負實數(shù)列,ψ∈Ψ,φ∈Φ和φ∈Φ.如果

        ψ(an+1)≤φ(an)-φ(an,an),?n∈N,

        (1)

        ψ(t)-φ(t)+φ(t,t)>0,?t>0,

        (2)

        引理2.2設(shè){an}是非負實數(shù)列,ψ∈Ψ,φ∈Φ和φ*∈Φ*.如果

        ψ(an+1)≤φ(an)-φ*(an+1,an),?n∈N,

        (3)

        ψ(t)-φ(t)+φ*(t,t)>0,?t>0,

        (4)

        定理2.1設(shè)(X,d)是GMS,映射T,F(xiàn):X→X滿足TX?FX,且TX或FX是完備的.如果對任何x,y∈X,

        ψ(d(Tx,Ty))≤φ(d(Fx,F(xiàn)y))-φ(d(Fx,F(xiàn)y),d(Fx,F(xiàn)y)),

        (5)

        其中ψ∈Ψ,φ∈Φ和φ∈Φ滿足(2)式,則T和F有唯一重合的點.進一步,如果T和F是弱相容的,則T和F有唯一公共不動點.

        證明任取x0∈X,則根據(jù)TX?FX構(gòu)造2個序列{xn}和{yn}使得

        yn=Txn=Fxn+1,n=0,1,2,….

        (6)

        任意固定j=1,2,…,取x=xn,y=xn+j,則根據(jù)(5)和(6)式得

        ψ(d(yn,yn+j))=ψ(d(Txn,Txn+j))≤
        φ(d(Fxn,F(xiàn)xn+j))-φ(d(Fxn,F(xiàn)xn+j),d(Fxn,F(xiàn)xn+j))=
        φ(d(yn-1,yn+j-1))-φ(d(yn-1,yn+j-1),d(yn-1,yn+j-1)).

        令an=d(yn,yn+j),?n∈N.若存在aN=0,則從上式可知an=0,?n≥N.此時,可把{an}看做零數(shù)列,因此{yn}是柯西序列.于是不妨設(shè)an>0,?n∈N,根據(jù)引理2.1知

        (7)

        假設(shè){yn}不是GMS柯西序列,則存在>0使得對任何k∈N存在正整數(shù)nk,mk滿足nk>mk>k且

        d(ynk,ymk)≥.

        (8)

        進一步,相對于mk,可選取滿足上式的最小的nk,則成立

        d(ynk-1,ymk)<.

        (9)

        由于an>0,?n∈N,及任意固定的j∈N,可知ynk≠ynk-2,ynk-2≠ynk-1,ynk-1≠ymk.于是根據(jù)定義1.1及(8)和(9)式得

        ≤d(ynk,ymk)≤d(ynk,ynk-2)+d(ynk-2,ynk-1)+d(ynk-1,ymk)≤
        d(ynk,ynk-2)+d(ynk-2,ynk-1)+.

        令k→∞,則結(jié)合(7)式(取j=1,2)得

        (10)

        另外,

        d(ynk,ymk)≤d(ynk,ynk-1)+d(ynk-1,ymk-1)+d(ymk-1,ym-k),

        d(ynk-1,ymk-1)≤d(ynk-1,ynk)+d(ynk,ymk)+d(ymk,ymk-1).

        在上面2個式子中令k→∞并利用(7)和(10)式得

        (11)

        取x=xnk,y=xmk,則(5)式變成

        ψ(d(Txnk,Txmk))≤φ(d(Fxnk,F(xiàn)xmk))-φ(d(Fxnk,F(xiàn)xmk),d(Fxnk,F(xiàn)xmk)),

        ψ(d(ynk,ymk))≤φ(d(ynk-1,ymk-1))-φ(d(ynk-1,ymk-1),d(ynk-1,ymk-1)).

        令k→∞并利用(10)和(11)式,則由上式得

        根據(jù)ψ,φ,φ的性質(zhì)有ψ()≤φ()-φ(ε,ε),于是根據(jù)(2)式得到=0,矛盾.因此{yn}是GMS柯西序列.

        假設(shè)TX是完備的.因為yn=Txn∈TX,因此存在w∈TX使得yn→w.又因為w∈TX?FX,因此存在y∈X使得w=Fy,即

        (12)

        因為

        ψ(d(yn+1,Ty))=ψ(d(Txn+1,Ty))≤φ(d(Fxn+1,F(xiàn)y))-φ(d(Fxn+1,F(xiàn)y),d(Fxn+1,F(xiàn)y)),

        ψ(d(yn+1,Ty))≤φ(d(yn,w))-φ(d(yn,w),d(yn,w)),

        令n→∞,則由上式得

        根據(jù)ψ,φ,φ的性質(zhì)及引理1.2得

        ψ(d(w,Ty))≤φ(0)-φ(0,0)=0,

        于是得到d(w,Ty)=0,因此Ty=w=Fy.類似地,可證明當(dāng)FX是完備時,仍成立Ty=w=Fy.這就證明了w是T和F的重合點,y是T和F的重合點.

        假設(shè)w1也是T和F的重合的點,則存在y1使得w1=Ty1=Fy1.根據(jù)(5)式,

        ψ(d(w,w1))=ψ(d(Ty,Ty1))≤
        φ(d(Fy,F(xiàn)y1))-φ(d(Fy,F(xiàn)y1),d(Fy,F(xiàn)y1))=φ(d(w,w1))-φ(d(w,w1),d(w,w1)).

        于是由(2)式知d(w,w1)=0,即w=w1,因此w是T和F的唯一重合的點.最后,若T和F是弱相容的,則根據(jù)引理1.1知w是T和F的唯一公共不動點.

        定理2.2設(shè)(X,d)是GMS,映射T,F(xiàn):X→X滿足TX?FX且TX或FX是完備的.如果對任何x,y∈X,

        ψ(d(Tx,Ty))≤φ(d(Fx,F(xiàn)y))-φ*(d(Tx,Ty),d(Fx,F(xiàn)y)),

        (13)

        其中ψ∈Ψ,φ∈Φ,φ*∈Φ*滿足(4)式,則T和F有唯一重合的點.進一步,如果T和F是弱相容的,則T和F有唯一公共不動點.

        證明考慮定理2.1中定義的2個序列{xn}和{yn}.任意固定j=1,2,…,且取x=xn,y=xn+j,則根據(jù)(6)和(13)式得

        ψ(d(yn,yn+j))=ψ(d(Txn,Txn+j))≤
        φ(d(Fxn,F(xiàn)xn+j))-φ*(d(Txn,Txn+j),d(Fxn,F(xiàn)xn+j))=
        φ(d(yn-1,yn+j-1))-φ*(d(yn,yn+j),d(yn-1,yn+j-1)).

        如果{yn}不是GMS柯西序列,則存在>0,使得對任何k∈N,存在正整數(shù)nk,mk滿足nk>mk>k,d(ynk,ymk)≥.進一步,相對于mk,可選取滿足上式的最小的nk,則d(ynk-1,ymk)<.

        重復(fù)(10)與(11)式的推理過程,可得

        (14)

        在(13)式中取x=xnk,y=xmk,則經(jīng)整理得

        ψ(d(ynk,ymk))≤ψ(d(ynk-1,ymk-1))-φ*(d(ynk,ymk),d(ynk-1,ymk-1)).

        在上式中令k→∞,利用(14)式有

        ψ()
        ()-φ*(,).

        假設(shè)TX是完備的,則類似于定理2.1的證明,存在w∈TX和y∈X使得

        根據(jù)(13)式,有

        ψ(d(yn+1,Ty))=ψ(d(Txn+1,Ty))≤φ(d(Fxn+1,F(xiàn)y))-φ*(d(Txn+1,Ty),d(Fxn+1,F(xiàn)y)),

        ψ(d(yn+1,Ty))≤φ(d(yn,w))-φ*(d(yn+1,Ty),d(yn,w)).

        令n→∞,則由上式得到

        根據(jù)ψ,φ,φ*的性質(zhì)及引理1.2得

        0≤ψ(d(w,Ty))≤φ(d(w,w))-φ*(d(w,Ty),d(w,w))=0-φ*(d(w,Ty),0),

        因此必有ψ(d(w,Ty))=0.由ψ的性質(zhì)得到d(w,Ty)=0,于是Ty=w=Fy.同理可證當(dāng)FX完備時仍成立Fy=w=Fy.

        如果w1也是T和F的重合的點,則存在y1∈X使得w1=Ty1=Fy1.根據(jù)(13)式,

        ψ(d(w,w1))=ψ(d(Ty,Ty1))≤φ(d(Fy,F(xiàn)y1))-φ*(d(Ty,Ty1),d(Fy,F(xiàn)y1))=
        φ(d(w,w1))-φ*(d(w,w1),d(w,w1)).

        于是根據(jù)(4)式得d(w,w1)=0,即w=w1.這說明w是T和F的唯一重合的點.最后,若T和F是弱相容的,則根據(jù)引理1.1知w是T和F的唯一公共不動點.

        注2.1(1) 定理2.1和定理2.2中不要求φ(t)=0?t=0和φ(s,t)=0?s=t=0.這與文獻[11]中相應(yīng)定理中α,β的要求是不同的.

        (2) 若定義β(t)=φ(t,t),?t≥0,并用β代替定理2.1中的φ,則定理2.1變成文獻[11]中的定理1.因此定理2.1推廣和改進了文獻[11]中的定理1.

        (3) 定理2.2是定理2.1的另一個表現(xiàn)形式,因此定理2.2同樣推廣和改進了文獻[11]中的定理1.

        (4) 如果T=F或T和F中有一個是恒等映射,則T和F顯然是弱相容的.因此如果在定理2.1及定理2.2中取T=F或F=1X,則T有唯一不動點;如果取T=1X,則滿映射F有唯一不動點.

        3 偏序的GMS上的重合的點和公共不動點

        記C(T,F(xiàn))為T和F的重合的點的集合.

        定理3.1設(shè)(X,?)是偏序集且(X,d)是GMS,映射T,F(xiàn):X→X滿足TX?FX,T是F-單調(diào)遞增的,且TX或FX是完備的.如果對任何滿足Fx?Fy的x,y∈X,有

        ψ(d(Tx,Ty))≤φ(d(Fx,F(xiàn)y))-φ(d(Fx,F(xiàn)y),d(Fx,F(xiàn)y)),

        (15)

        其中ψ∈Ψ,φ∈Φ,φ∈Φ滿足(2)式.假設(shè)X中任何單調(diào)遞增的序列{xn}收斂于x∈X時,xn?x,?n∈N.如果存在x0∈X使得Fx0?Tx0,則T和F有重合的點.進一步,如果C(T,F(xiàn))的任何2個元素都是可比較的,則T和F有唯一重合的點.進一步,若F和T又是弱相容的,則T和F有唯一公共不動點.

        證明由TX?FX可知,存在x1∈X滿足Fx0?Tx0=Fx1.根據(jù)T的F-單調(diào)遞增性得到Tx0?Tx1,因此Fx0?Tx0=Fx1?Tx1.又存在x2∈X滿足Tx1=Fx2,因此Fx1?Tx1=Fx2,再由T的F-單調(diào)遞增性得到Tx1?Tx2,于是得到Fx0?Tx0=Fx1?Tx1=Fx2?Tx2.重復(fù)此過程可得到2個序列{xn}和{yn}滿足yn=Txn=Fxn+1,n=0,1,2,…,且成立以下關(guān)系:

        Fx0?Tx0=Fx1?Tx1=Fx2?Tx2?…?Txn-1=Fxn?Txn=Fxn+1?….

        (16)

        利用條件(15)和(16)式,并采用定理2.1的證明方法可證明{yn}是GMS柯西序列(只是在證明過程中把ynk和ymk的位置對換即可)且不論TX完備還是FX完備,總存在w,y∈X使得w=Fy∈FX且滿足

        (17)

        因為{yn}是單調(diào)遞增的且yn→w=Fy,因此Fxn=yn-1?w=Fy,?n∈N.于是根據(jù)(15)式,得

        ψ(d(Txn,Ty))≤φ(d(Fxn,F(xiàn)y))-φ(d(Fxn,F(xiàn)y),d(Fxn,F(xiàn)y)),

        整理得

        ψ(d(yn,Ty))≤φ(d(yn-1,F(xiàn)y))-φ(d(yn-1,F(xiàn)y),d(yn-1,F(xiàn)y)).

        令n→∞,則根據(jù)ψ,φ,φ的性質(zhì)及引理1.2,由上式得ψ(d(Fy,Ty))≤φ(d(Fy,F(xiàn)y))-φ(d(Fy,F(xiàn)y),d(Fy,F(xiàn)y))=0,于是得到Fy=Ty=w,即w∈C(T,F(xiàn)).如果w1∈C(T,F(xiàn)),則存在y1∈X使得w1=Ty1=Fy1.由條件可設(shè)w?w1,則Fy?Fy1,于是根據(jù)(15)式得

        ψ(d(w,w1))=ψ(d(Ty,Ty1))≤φ(d(Fy,F(xiàn)y1))-φ(d(Fy,F(xiàn)y1),d(Fy,F(xiàn)y1))=
        φ(d(w,w1))-φ(d(w,w1),d(w,w1)),

        因此由(2)式得d(w,w1)=0,即成立w=w1.這說明w是T和F的唯一的重合的點.如果F和T是弱相容的,則由引理1.1知w是T和F的唯一公共不動點.

        定理3.2設(shè)(X,?)是偏序集且(X,d)是GMS,映射T,F(xiàn):X→X滿足TX?FX,T是F-單調(diào)遞增的且TX或FX是完備的.如果對任何滿足Fx?Fy的x,y∈X,得

        ψ(d(Tx,Ty))≤φ(d(Fx,F(xiàn)y))-φ*(d(Tx,Ty),d(Fx,F(xiàn)y)),

        (18)

        其中ψ∈Ψ,φ∈Φ,φ*∈Φ*滿足(4)式.假設(shè)X中任何單調(diào)遞增的序列{xn}收斂于x∈X時,xn?x,?n∈N.如果存在x0∈X使得Fx0?Tx0,則T和F有重合的點.進一步,如果C(T,F(xiàn))的任何2個元素都是可比較的,則T和F有唯一重合的點.進一步,如果F和T又是弱相容的,則T和F有唯一公共不動點.

        證明類似定理3.1的證明過程可得到{xn}和{yn}滿足(16)和(17)式.因為{yn}是單調(diào)遞增的且yn(=Txn=Fxn+1)→w=Fy,因此Fxn=yn-1?w=Fy,?n∈N.于是根據(jù)(18)式,得

        ψ(d(Txn,Ty))≤φ(d(Fxn,F(xiàn)y))-φ*(d(Txn,Ty),d(Fxn,F(xiàn)y)).

        令n→∞,得

        根據(jù)ψ,φ,φ*的性質(zhì)及引理1.2整理得

        0≤ψ(d(Fy,Ty))≤φ(d(Fy,F(xiàn)y))-φ*(d(Fy,Ty),d(Fy,F(xiàn)y))=0-φ*(d(Fy,Ty),0)),

        于是必有ψ(d(Fy,Ty))=0.因此Ty=Fy=w,即w∈C(T,F(xiàn)).如果w1∈C(T,F(xiàn)),則存在y1∈X使得w1=Ty1=Fy1.由條件可設(shè)w?w1,則Fy?Fy1,于是根據(jù)(18)式得到

        ψ(d(w,w1))=ψ(d(Ty,Ty1))≤φ(d(Fy,F(xiàn)y1))-φ*(d(Ty,Ty1),d(Fy,F(xiàn)y1))=
        φ(d(w,w1))-φ*(d(w,w1),d(w,w1)),

        由(4)式得d(w,w1)=0,即成立w=w1.這說明w是T和F的唯一的重合的點.進一步,如果F和T是弱相容的,則由引理1.1知w是T和F的唯一公共不動點.

        定理3.3設(shè)(X,?)是偏序集且(X,d)是GMS,連續(xù)映射T,F(xiàn):X→X滿足TX?FX,T是F-單調(diào)遞增的且TX或FX是完備的.如果對任何滿足Fx?Fy的x,y∈X,得

        ψ(d(Tx,Ty))≤φ(d(Fx,F(xiàn)y))-φ(d(Fx,F(xiàn)y),d(Fx,F(xiàn)y)),

        (19)

        其中ψ∈Ψ,φ∈Φ,φ∈Φ滿足(2)式.如果T或F是序列收斂的且存在x0∈X使得Fx0?Tx0,則T和F有重合的點.進一步,如果C(T,F(xiàn))的任何2個元素都是可比較的,則T和F有唯一重合的點.如果F和T又是弱相容的,則T和F有唯一公共不動點.

        證明類似定理3.1證明過程,可得到2個序列{xn}和{yn}以及w∈X使得

        當(dāng)T或F是序列收斂時,由于{yn}收斂,因此根據(jù)定義1.6知{xn}是收斂的.設(shè)xn收斂于x,則根據(jù)T和F的連續(xù)性得到

        于是Tx=Ty=w,即w∈C(T,F(xiàn)).余下的證明與定理3.1的證明類似.

        類似地,可給出定理3.2的連續(xù)映射條件下的表現(xiàn)形式:

        定理3.4設(shè)(X,?)是偏序集且(X,d)是GMS,連續(xù)映射T,F(xiàn):X→X滿足TX?FX,T是F-單調(diào)遞增的且TX或FX是完備的.如果對任何滿足Fx?Fy的x,y∈X,

        ψ(d(Tx,Ty))≤φ(d(Fx,F(xiàn)y))-φ*(d(Tx,Ty),d(Fx,F(xiàn)y)),

        (20)

        其中ψ∈Ψ,φ∈Φ,φ*∈Φ*滿足(4)式.如果T或F是序列收斂的且存在x0∈X使得Fx0?Tx0,則T和F有重合的點.進一步,如果C(T,F(xiàn))的任何2個元素都是可比較的,則T和F有唯一重合的點.如果F和T又是弱相容的,則T和F有唯一公共不動點.

        注3.1(1) 類似于注2.1,如果在定理3.1—3.4中取T=F或F=1X,則T有唯一不動點;如果取T=1X,則滿映射F有唯一不動點.

        (2) 定理2.1—2.2及定理3.1—3.4中不需要X滿足Hausdorff條件,但是文獻[11]中的定理中都要求X具有Hausdorff性質(zhì).

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