劉維惠，李曉輝,*，文聞，趙靖超，姚燕安，李銳明

1. 北京控制工程研究所 精密轉(zhuǎn)動(dòng)和傳動(dòng)機(jī)構(gòu)長(zhǎng)壽命技術(shù)北京市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100094 2. 北京交通大學(xué) 機(jī)械與電子控制工程學(xué)院，北京 100044

隨著航天任務(wù)的不斷拓展，太空環(huán)境中殘留的大量空間碎片已經(jīng)對(duì)航天事業(yè)的發(fā)展構(gòu)成了巨大的威脅[1]。空間非合作目標(biāo)具有運(yùn)動(dòng)狀態(tài)未知、慣性大和抓捕點(diǎn)不確定等特點(diǎn)[2]，因此，以空間機(jī)械臂為主的剛性捕獲[3-5]存在較大的碰撞風(fēng)險(xiǎn)。然而，以飛網(wǎng)、飛爪等[6]機(jī)構(gòu)為主的柔性捕獲方式難以執(zhí)行主動(dòng)消旋和在軌維護(hù)等復(fù)雜的精細(xì)操作任務(wù)。因此，研究適應(yīng)跨尺度、多樣化目標(biāo)并具有主動(dòng)消旋能力的新型空間捕獲系統(tǒng)具有重要意義。

由于可展機(jī)構(gòu)具備展收比大、剛度高、可重復(fù)利用和便于儲(chǔ)存等優(yōu)點(diǎn)，已應(yīng)用于桁架式展開天線[7]和星際探索機(jī)器人[8]等領(lǐng)域。姚燕安等[9]以3RRS并聯(lián)機(jī)構(gòu)為本體提出一種多面體網(wǎng)型空間抓捕機(jī)構(gòu)。劉洋等[10]利用Bricard機(jī)構(gòu)的縮放和翻轉(zhuǎn)特性實(shí)現(xiàn)對(duì)接目標(biāo)的夾持和推送。但上述研究忽略了復(fù)合機(jī)構(gòu)之間的運(yùn)動(dòng)耦合，僅對(duì)其簡(jiǎn)化模型進(jìn)行了分析。

并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有很強(qiáng)的耦合性，難以直接采用D-H等傳統(tǒng)串聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)建模方法[11]進(jìn)行分析。3RRS機(jī)構(gòu)一般選取末端球副中心建立動(dòng)平臺(tái)坐標(biāo)系，利用其與定平臺(tái)之間的連桿約束求解運(yùn)動(dòng)學(xué)。郭玉[12]和倪仕全[13]等分別應(yīng)用閉環(huán)矢量法和幾何法獲得3RRS逆運(yùn)動(dòng)學(xué)的解析表達(dá)。李大海等[14]基于3個(gè)連桿約束方程采用牛頓迭代法對(duì)其正運(yùn)動(dòng)學(xué)求解。馬春生等[15]采用代數(shù)消元法，將約束方程化簡(jiǎn)為一元高次方程進(jìn)行數(shù)值求解。但是，數(shù)值法求解效果依賴于迭代初值，計(jì)算量大且不適用于奇異位形[16]。因此，通過(guò)增加傳感器獲取機(jī)構(gòu)額外的狀態(tài)信息，可適當(dāng)簡(jiǎn)化并聯(lián)機(jī)構(gòu)正運(yùn)動(dòng)學(xué)求解[17]。Bricard機(jī)構(gòu)利用連桿閉環(huán)方程得到輸入及輸出角度之間的關(guān)系[18]。馬艷等[19]采用幾何法得到閉環(huán)環(huán)路方程。Shang等[20]分析了三重對(duì)稱Bricard機(jī)構(gòu)中幾何參數(shù)和關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角之間的關(guān)系。

但是針對(duì)具有多閉環(huán)回路的3RRS-Bricard復(fù)合系統(tǒng)，由于3RRS、Bricard、消旋機(jī)構(gòu)和衛(wèi)星平臺(tái)之間的運(yùn)動(dòng)相互耦合，難以直接采用上述方法分析其運(yùn)動(dòng)學(xué)。Angeles和Kecskemethy[21]提出將閉環(huán)回路“切斷”轉(zhuǎn)換為樹型運(yùn)動(dòng)鏈，基于“切斷”處運(yùn)動(dòng)約束求解復(fù)雜閉環(huán)鏈的方法，并將其推廣到閉環(huán)系統(tǒng)多體動(dòng)力學(xué)建模的應(yīng)用中[22]。VREP(Virtual Robot Experimentation Platform)仿真平臺(tái)[23]結(jié)合該方法，實(shí)現(xiàn)對(duì)并聯(lián)機(jī)構(gòu)建模和正、逆運(yùn)動(dòng)學(xué)求解，采用阻尼最小二乘法(Damped Least Squares，DLS)[24]以避免陷入局部最優(yōu)解。但是該方法容易在極限位置附近產(chǎn)生較大誤差，且不適用于計(jì)算能力受限的星載計(jì)算機(jī)。

針對(duì)上述問題，本文開展基于Bricard和3RRS機(jī)構(gòu)的可折展復(fù)合捕獲系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)學(xué)研究。通過(guò)構(gòu)建Bricard與3RRS間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，實(shí)現(xiàn)捕獲系統(tǒng)各機(jī)構(gòu)間的運(yùn)動(dòng)學(xué)解耦；結(jié)合空間捕獲系統(tǒng)的構(gòu)型特點(diǎn)，設(shè)計(jì)復(fù)合系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)解析求解方法，并在仿真環(huán)境下開展針對(duì)動(dòng)態(tài)捕獲目標(biāo)的軌跡跟隨實(shí)驗(yàn)。

1 復(fù)合捕獲系統(tǒng)的組成和特點(diǎn)

1.1 捕獲系統(tǒng)的組成和自由度分析

基于3RRS-Bricard的復(fù)合捕獲系統(tǒng)通過(guò)變剛度旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)與搭載衛(wèi)星相連，其組成如圖1所示。系統(tǒng)整體具有7個(gè)自由度，通過(guò)控制Bricard、3RRS、變剛度關(guān)節(jié)和搭載衛(wèi)星間的協(xié)同運(yùn)動(dòng)，實(shí)現(xiàn)對(duì)捕獲目標(biāo)的夾持、消旋、位姿調(diào)整和捕獲。

Bricard由6根等長(zhǎng)連桿和6個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副組成，且首尾連桿相連形成閉環(huán)運(yùn)動(dòng)鏈。機(jī)構(gòu)整體具有1個(gè)縮放自由度，可通過(guò)變形實(shí)現(xiàn)針對(duì)不同形狀和尺度捕獲目標(biāo)的夾持操作。3RRS[25]并聯(lián)操作機(jī)構(gòu)由3條支鏈組成，每條支鏈上依次安置了2個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副(R副)和1個(gè)球副(S副)，其中第一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副為主動(dòng)，另一個(gè)為從動(dòng)。當(dāng)Bricard運(yùn)動(dòng)狀態(tài)確定時(shí)，3RRS機(jī)構(gòu)具有3個(gè)自由度，在衛(wèi)星參考坐標(biāo)系下，分別是沿z方向的移動(dòng)、繞x軸和y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)。衛(wèi)星平臺(tái)保證系統(tǒng)x和y方向移動(dòng)的機(jī)動(dòng)能力。變剛度關(guān)節(jié)可在衛(wèi)星坐標(biāo)系下繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng)，通過(guò)調(diào)整自身剛度消除捕獲目標(biāo)沿自身慣量主軸的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)。根據(jù)捕獲目標(biāo)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，3RRS機(jī)構(gòu)協(xié)同衛(wèi)星平臺(tái)和變剛度關(guān)節(jié)調(diào)整系統(tǒng)位置和姿態(tài)，從而避免過(guò)大交互力并提高消旋效率，為成功抓捕目標(biāo)提供保障。

1.2 驅(qū)動(dòng)和傳感器布局

根據(jù)1.1節(jié)的自由度分析，綜合考慮機(jī)構(gòu)折展過(guò)程中連桿運(yùn)動(dòng)干涉和受力情況，分別在3RRS頂部3個(gè)主動(dòng)副和Bricard遠(yuǎn)離3RRS球副的3個(gè)相間轉(zhuǎn)動(dòng)副上安裝驅(qū)動(dòng)電機(jī)和角度傳感器，保證縮放過(guò)程中Bricard 3個(gè)驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角相等，從而實(shí)現(xiàn)機(jī)構(gòu)的穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)和精準(zhǔn)伺服控制。并且在3RRS其余3個(gè)從動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)副上安裝絕對(duì)位置編碼器，以降低3RRS機(jī)構(gòu)正運(yùn)動(dòng)學(xué)求解的復(fù)雜度。為實(shí)現(xiàn)柔順的目標(biāo)捕獲，避免過(guò)大的交互碰撞力，在變剛度旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)和3RRS-Bricard復(fù)合抓捕機(jī)構(gòu)中間安裝有六維力矩傳感器，從而實(shí)現(xiàn)抓捕系統(tǒng)基于力和力矩反饋信息的位置和姿態(tài)調(diào)節(jié)。

1.3 構(gòu)型特點(diǎn)

Bricard從動(dòng)副與3RRS支鏈末端球副通過(guò)共享轉(zhuǎn)動(dòng)軸的方式連接在一起，如圖2所示。用Bricard機(jī)構(gòu)充當(dāng)3RRS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的動(dòng)平臺(tái)，形成如圖1所示的復(fù)合捕獲系統(tǒng)。針對(duì)不同形狀、尺度的目標(biāo)，捕獲系統(tǒng)可以通過(guò)夾持和吞噬2種方式進(jìn)行捕獲，如圖3所示。

復(fù)合捕獲系統(tǒng)同時(shí)繼承了Bricard和3RRS的縮放和折展特性，但是其運(yùn)動(dòng)學(xué)特點(diǎn)與傳統(tǒng)的3RRS和Bricard機(jī)構(gòu)又有所不同。

1) 針對(duì)小尺寸目標(biāo)的夾持捕獲和各尺度、形狀非合作目標(biāo)的吞噬捕獲，連桿頂點(diǎn)處采用彎折設(shè)計(jì)

如圖2所示，彎折設(shè)計(jì)雖然可有效擴(kuò)大捕獲系統(tǒng)的適用范圍，避免Bricard相鄰連桿在完全收攏時(shí)產(chǎn)生運(yùn)動(dòng)干涉，但導(dǎo)致從動(dòng)關(guān)節(jié)和主動(dòng)關(guān)節(jié)的公垂線與連桿所在平面發(fā)生偏移，幾何特性的變化增加了Bricard運(yùn)動(dòng)學(xué)求解難度。

2) 3RRS并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)求解的關(guān)鍵在于建立球副所在動(dòng)平臺(tái)與定平臺(tái)之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系

球副位于Bricard從動(dòng)副的轉(zhuǎn)軸延長(zhǎng)線上，轉(zhuǎn)軸姿態(tài)取決于Bricard機(jī)構(gòu)的縮放程度，導(dǎo)致3RRS并聯(lián)機(jī)構(gòu)和Bricard機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)耦合復(fù)雜化。因此，3RRS機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)求解依賴于Bricard的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)和兩者間的運(yùn)動(dòng)關(guān)系，不能基于關(guān)節(jié)融合[9-10]的簡(jiǎn)化模型求解復(fù)合系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)學(xué)。

3) 以Bricard 3個(gè)驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)(夾持點(diǎn))中心作為系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)控制目標(biāo)實(shí)現(xiàn)對(duì)捕獲目標(biāo)位姿的直接控制

3RRS機(jī)構(gòu)、變剛度旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)和衛(wèi)星平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)對(duì)Bricard目標(biāo)點(diǎn)位姿的影響相互耦合，難以采用傳統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析方法對(duì)該7自由度復(fù)合式捕獲系統(tǒng)進(jìn)行求解。

2 運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

2.1 運(yùn)動(dòng)學(xué)解耦

基于1.3節(jié)的構(gòu)型特點(diǎn)，首先需要構(gòu)建Bricard與3RRS機(jī)構(gòu)間的運(yùn)動(dòng)學(xué)轉(zhuǎn)換關(guān)系，使Bricard、3RRS、變剛度旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)和衛(wèi)星平臺(tái)之間運(yùn)動(dòng)學(xué)解耦，再分別根據(jù)Bricard和3RRS的運(yùn)動(dòng)和幾何特點(diǎn)進(jìn)行求解。

Bricard驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)中心坐標(biāo)系，即夾持點(diǎn)中心相對(duì)于衛(wèi)星坐標(biāo)系的位姿轉(zhuǎn)換關(guān)系按照系統(tǒng)由上到下的順序可寫為

SatTB=SatTJJT3RRS3RRSTSSTB

(1)

式中：jTq為坐標(biāo)系{q}相對(duì)于坐標(biāo)系{j}的齊次轉(zhuǎn)換關(guān)系；Sat、J、3RRS、S和B分別代表衛(wèi)星、變剛度關(guān)節(jié)、3RRS并聯(lián)機(jī)構(gòu)定平臺(tái)、球副中心(3RRS動(dòng)平臺(tái))和Bricard驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)中心坐標(biāo)系。因此，Bricard驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)i的位置SatNi可由式(2)得到：

SatNi=SatTBBNii=1,2,3

(2)

復(fù)合捕獲系統(tǒng)中Bricard參數(shù)滿足3個(gè)幾何特征：① 6個(gè)連桿長(zhǎng)度相等；② 桿1、3、5兩端轉(zhuǎn)動(dòng)副軸向偏轉(zhuǎn)α，桿2、4、6兩端轉(zhuǎn)動(dòng)副軸向偏轉(zhuǎn)2π-α；③ 相鄰連桿在轉(zhuǎn)動(dòng)副軸線方向上的偏距為0。因此該Bricard機(jī)構(gòu)具有三重對(duì)稱性[26]，即各旋轉(zhuǎn)副之間具有120°旋轉(zhuǎn)對(duì)稱的性質(zhì)，相間關(guān)節(jié)角度相等。因此，Bricard中心坐標(biāo)系下，其機(jī)構(gòu)縮放大小Bs與3個(gè)驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)位置BN1、BN2和BN3的關(guān)系為

(3)

由機(jī)構(gòu)的自由度分析可知，式(1)中的齊次轉(zhuǎn)換矩陣可進(jìn)行改寫：

(4)

式中：Transl([px,py,pz])為沿x、y和z軸分別平移px、py和pz的齊次轉(zhuǎn)換；Rotx(rx)為沿x軸旋轉(zhuǎn)rx的齊次轉(zhuǎn)換，Roty(ry)和Rotz(rz)同理。

將式(1)中，Bricard驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)中心相對(duì)于3RRS動(dòng)平臺(tái)的轉(zhuǎn)換關(guān)系STB左移，可得轉(zhuǎn)換關(guān)系：

Transl([px,py,0])·Rotz(rz)·

Transl([0,0,pz])·Roty(ry)·

Rotx(rx)=Transl([px,py,pz])·

Rotz(rz)·Roty(ry)·Rotx(rx)

(5)

由此可以看出，此時(shí)捕獲系統(tǒng)中衛(wèi)星平臺(tái)、轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)和3RRS動(dòng)平臺(tái)在運(yùn)動(dòng)學(xué)上相互解耦，即整個(gè)捕獲系統(tǒng)在某一個(gè)自由度上的位置或姿態(tài)變化只與上述某一特定機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)相關(guān)。因此，可根據(jù)球副中心相對(duì)于衛(wèi)星的位姿轉(zhuǎn)換矩陣SatTS，直接求取衛(wèi)星平臺(tái)和變剛度關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)控制量px、py和rx，并獲得3RRS動(dòng)平臺(tái)的目標(biāo)位姿3RRSTS，進(jìn)而求解其逆運(yùn)動(dòng)學(xué)。

2.2 Bricard與3RRS的運(yùn)動(dòng)學(xué)轉(zhuǎn)換關(guān)系

利用正六棱柱模型可以直觀表達(dá)Bricard驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)和3RRS球副之間的運(yùn)動(dòng)學(xué)幾何特性[27]，如圖4所示。由Bricard的三重對(duì)稱性可知機(jī)構(gòu)相間3點(diǎn)所構(gòu)成的平面是相互平行的。3RRS并聯(lián)機(jī)構(gòu)支鏈末端球副分別位于Bricard 3個(gè)從動(dòng)副轉(zhuǎn)軸的延長(zhǎng)線上，且到從動(dòng)副軸心的距離相等，因此球副之間同樣具有120°旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性，即球副中心Sc、Bricard驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)Nc、虛擬頂點(diǎn)中心Mc和從動(dòng)副中心Pc四點(diǎn)共線，且其連線垂直各中心點(diǎn)所在平面。

Bricard與3RRS運(yùn)動(dòng)學(xué)轉(zhuǎn)換關(guān)系如下：

STB=Transl([0,0,h])

(6)

式中：h為Bricard驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)中心SNc在3RRS動(dòng)平臺(tái)坐標(biāo)系S下沿平臺(tái)法向，即z軸方向產(chǎn)生的偏移，其大小由Bricard縮放Bs決定。因此先對(duì)Bricard機(jī)構(gòu)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)求解，從而獲得Bricard與3RRS機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系。

2.2.1 Bricard運(yùn)動(dòng)學(xué)求解

如圖4所示，通過(guò)引入Bricard從動(dòng)副兩側(cè)連桿的虛擬頂點(diǎn)M1、M2和M3，避免連桿彎折設(shè)計(jì)對(duì)機(jī)構(gòu)幾何特性和運(yùn)動(dòng)學(xué)求解的影響。在Bricard機(jī)構(gòu)N1M1N2M2N3M3中，相鄰關(guān)節(jié)的公垂線位于連桿軸線上，根據(jù)閉環(huán)特性，可知各個(gè)連桿間的齊次變換矩陣依次相乘為單位矩陣[27]：

N1TM1M1TN2N2TM2M2TN3N3TM3M3TN1=I

(7)

由式(7)可得Bricard從動(dòng)副轉(zhuǎn)角β1和驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角β2之間的約束關(guān)系為

cos2α(cosβ1+cosβ2-cosβ1cosβ2-1)-

cosβ1-cosβ2-cosβ1cosβ2+

2cosαsinβ1sinβ2=0

(8)

式中：α為Bricard相連連桿軸向之間的偏轉(zhuǎn)角度，α= 30°。

Bricard縮放大小Bs=|N1Nc|=|N2Nc|，在圖5所示的三角形ΔN1M1N2中，Bs與β1之間存在幾何關(guān)系：

(9)

2.2.2 Bricard到3RRS動(dòng)平面距離

3RRS動(dòng)平臺(tái)中心Sc到Bricard驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)中心Nc的距離h=h1-h2+h3，h1、h2和h3分別表示Mc到Nc、Mc到Pc和Sc到Pc的距離，如圖6 所示。

在三角形△N1Q1Q2中，h1=|N1Q2|，可通過(guò)式(10)進(jìn)行求解：

(10)

在圖6中，直線M1Mc、P1Pc和S1Sc相互平行且垂直于直線ONc,由三角形的相似性可知，h2與h1之間具有運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系：

(11)

式中：|NmP1|為機(jī)械設(shè)計(jì)參數(shù)，為固定值；h2與h1同向；h3垂直三角平面△M1M2M3，方向?yàn)檎?，可通過(guò)式(12)求解：

h3=|P1S1|cosφ

(12)

φ=arcsin(h2/|P1M1|)

(13)

由此可得Bricard夾持點(diǎn)中心與3RRS動(dòng)平臺(tái)之間的運(yùn)動(dòng)學(xué)轉(zhuǎn)換關(guān)系STB。

2.3 3RRS運(yùn)動(dòng)學(xué)求解

2.3.1 3RRS正運(yùn)動(dòng)學(xué)求解

3RRS通過(guò)在從動(dòng)副θ4、θ5和θ6安裝角度傳感器，實(shí)時(shí)感知運(yùn)動(dòng)信息避免迭代計(jì)算，從而簡(jiǎn)化機(jī)構(gòu)的正運(yùn)動(dòng)學(xué)求解。如圖7所示，點(diǎn)A1、A2和A3構(gòu)成3RRS機(jī)構(gòu)定平臺(tái)平面，3點(diǎn)間120°旋轉(zhuǎn)對(duì)稱。以A1-B1-S1支鏈為例，在給定θ1且θ4已知的情況下，S1相對(duì)3RRS定平臺(tái)的位置為

3RRSS1=3RRSTA1Rotz(θ1)·Transl([0,0,L1])·Rotz(θ4)·Transl([0,0,L2])·[0,0,0,1]T

(14)

式中：3RRSTA1是點(diǎn)A1相對(duì)3RRS定平臺(tái)的位姿矩陣，為固定值；L1和L2分別為3RRS機(jī)構(gòu)的上下連桿長(zhǎng)度。

按式(14)可分別求取球副S1、S2和S3的位置，該三點(diǎn)中心為Sc，即3RRS并聯(lián)機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)(球副中心)坐標(biāo)系S的原點(diǎn)，姿態(tài)與Bricard夾持平面一致，z方向垂直于球副平面指向遠(yuǎn)離定平臺(tái)的方向，y方向由S1和S3的中點(diǎn)Sm指向Sc，可通過(guò)右手定則求取x軸方向。

2.3.2 3RRS逆運(yùn)動(dòng)學(xué)求解

S1、S2和S3繞點(diǎn)Sc120°旋轉(zhuǎn)對(duì)稱，相對(duì)于動(dòng)平臺(tái)的位置為

(15)

3 仿真分析與實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

針對(duì)7自由度多運(yùn)動(dòng)副復(fù)合式捕獲系統(tǒng)，在V-REP[23]機(jī)器人仿真環(huán)境下搭建運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)模型。

3.1 仿真環(huán)境下運(yùn)動(dòng)學(xué)建模

傳統(tǒng)的串聯(lián)型機(jī)器人常采用一般機(jī)器人描述格式(Unified Robot Description Format，URDF)[28]建立連桿與關(guān)節(jié)之間的樹型關(guān)聯(lián)，進(jìn)而描述系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系并進(jìn)行求解，但是不能直接應(yīng)用于具有閉鏈的并聯(lián)系統(tǒng)。針對(duì)本文具有多閉環(huán)的3RRS-Bricard復(fù)合捕獲系統(tǒng)，由于衛(wèi)星平臺(tái)、變剛度關(guān)節(jié)與3RRS-Bricard可折展機(jī)構(gòu)間可實(shí)現(xiàn)運(yùn)動(dòng)學(xué)解耦，因此，重點(diǎn)研究可折展機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)建模。首先，確定3RRS-Bricard復(fù)合機(jī)構(gòu)中具有獨(dú)立控制變量的閉環(huán)運(yùn)動(dòng)鏈。選取在固定位姿的連桿處“切斷”環(huán)形運(yùn)動(dòng)鏈轉(zhuǎn)換成樹型父子結(jié)構(gòu)，通過(guò)在“切斷”處補(bǔ)充運(yùn)動(dòng)約束將閉環(huán)運(yùn)動(dòng)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為給定兩端位姿的串聯(lián)機(jī)構(gòu)求解，且該串聯(lián)運(yùn)動(dòng)鏈中，任意連桿的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)受其父節(jié)點(diǎn)和子節(jié)點(diǎn)的共同影響，具有閉環(huán)運(yùn)動(dòng)特性。

用XY移動(dòng)平臺(tái)等效衛(wèi)星的平移運(yùn)動(dòng)，3RRS-Bricard機(jī)構(gòu)中共存在3個(gè)閉環(huán)運(yùn)動(dòng)鏈，如圖8所示。閉環(huán)運(yùn)動(dòng)鏈從一個(gè)固定位姿的連桿(關(guān)節(jié)1的父連桿)開始，依次通過(guò)其相連關(guān)節(jié)和連桿，直至回到起始連桿或到達(dá)另一個(gè)相對(duì)位置固定的連桿(關(guān)節(jié)2和3的子連桿)。Bricard驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)的中心為目標(biāo)控制點(diǎn)，根據(jù)捕獲目標(biāo)的位姿確定夾持點(diǎn)Nc相對(duì)于衛(wèi)星平臺(tái)的轉(zhuǎn)換矩陣SatTB。根據(jù)捕獲目標(biāo)的尺寸決定Bricard的縮放大小Bs，結(jié)合式(3)求取運(yùn)動(dòng)學(xué)模型中的目標(biāo)控制點(diǎn)位置SatN1、SatN2和SatN3。繼而求得Bricard驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)中心Nc到3RRS動(dòng)平臺(tái)球副中心Sc的距離h，獲得球副中心相對(duì)于衛(wèi)星平臺(tái)的轉(zhuǎn)換關(guān)系SatTS，從而實(shí)現(xiàn)衛(wèi)星平臺(tái)、變剛度關(guān)節(jié)和3RRS-Bricard復(fù)合機(jī)構(gòu)間的解耦：

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根據(jù)目標(biāo)點(diǎn)的位置在仿真環(huán)境下利用阻尼最小二乘法求解3RRS-Bricard機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)，從而實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的協(xié)同控制。

3.2 比對(duì)實(shí)驗(yàn)

針對(duì)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)實(shí)時(shí)變化的捕獲目標(biāo)，分別采用提出的先解耦再基于各機(jī)構(gòu)幾何特征的分析方法與集成在V-REP仿真環(huán)境中基于閉環(huán)約束的阻尼最小二乘法對(duì)捕獲系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)進(jìn)行求解，并將求解結(jié)果發(fā)送給動(dòng)力學(xué)模型驅(qū)使其運(yùn)動(dòng)。通過(guò)比對(duì)動(dòng)力學(xué)模型跟隨目標(biāo)軌跡的運(yùn)動(dòng)精度驗(yàn)證算法的有效性和先進(jìn)性。系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型的主要參數(shù)如表1所示，衛(wèi)星XY移動(dòng)平臺(tái)、變剛度關(guān)節(jié)、3RRS上臂桿和Bricard驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)的驅(qū)動(dòng)力大小分別為1 000、115、79、33 N·m。

在動(dòng)力學(xué)模型中，從動(dòng)副關(guān)節(jié)的驅(qū)動(dòng)力設(shè)為0，跟隨驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)。仿真環(huán)境重力方向的加速度為0，模擬太空零重力環(huán)境。給定的目標(biāo)軌跡位于沿z軸距離衛(wèi)星平臺(tái)1.38 m的圓弧平面上，且該圓弧繞過(guò)圓心的x和y軸依次旋轉(zhuǎn)5°和10°。軌跡上點(diǎn)坐標(biāo)系的z軸垂直平面遠(yuǎn)離衛(wèi)星平臺(tái)，y軸指向圓心，每個(gè)點(diǎn)依次繞x和y軸轉(zhuǎn)動(dòng)5°和20°。

表1 系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型的主要參數(shù)Table 1 Main parameters of system dynamic model

圖9為捕獲系統(tǒng)基于幾何特征求解運(yùn)動(dòng)學(xué)的方法實(shí)現(xiàn)目標(biāo)軌跡跟隨的協(xié)同運(yùn)動(dòng)過(guò)程。其中，紫色球是跟隨軌跡目標(biāo)點(diǎn)，紅色球由上至下分別代表衛(wèi)星平臺(tái)、3RRS定平臺(tái)和Bricard夾持點(diǎn)中心坐標(biāo)系。

由圖9所示，在軌跡跟隨實(shí)驗(yàn)中Bricard夾持點(diǎn)位姿幾乎與目標(biāo)點(diǎn)完全重合，可直觀判斷該運(yùn)動(dòng)學(xué)求解算法的有效性，驗(yàn)證了捕獲系統(tǒng)具有各個(gè)機(jī)構(gòu)間平穩(wěn)協(xié)同運(yùn)動(dòng)的能力?；诓煌\(yùn)動(dòng)學(xué)分析方法求解捕獲系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)學(xué)的軌跡跟隨實(shí)驗(yàn)效果和精度對(duì)比分別如圖10和圖11所示。

圖10中，紅、綠、藍(lán)射線分別代表目標(biāo)姿態(tài)的x、y和z軸線方向。通過(guò)比對(duì)圖10(a)和圖10(b)可以看出，基于幾何特征的求解結(jié)果明顯優(yōu)于阻尼最小二乘法。動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)受驅(qū)動(dòng)力限制，具有微小的延遲性，基于幾何特征的求解結(jié)果在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中三軸最大位置誤差小于4 mm，平均運(yùn)動(dòng)精度為1.867 mm，最大姿態(tài)誤差小于0.035 rad，平均運(yùn)動(dòng)精度為0.021 rad；然而由于部分軌跡點(diǎn)靠近其極限位姿，基于阻尼最小二乘法的求解結(jié)果在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中三軸最大位置誤差為34.636 mm，平均運(yùn)動(dòng)精度為24.986 mm，最大姿態(tài)誤差為0.043 rad，平均運(yùn)動(dòng)精度為0.032 rad，如圖11所示。

4 結(jié) 論

1) 捕獲系統(tǒng)同時(shí)繼承了Bricard和3RRS機(jī)構(gòu)的縮放和折展特性，結(jié)合復(fù)合機(jī)構(gòu)的連接特點(diǎn)，通過(guò)建立Bricard與3RRS的運(yùn)動(dòng)學(xué)轉(zhuǎn)換關(guān)系實(shí)現(xiàn)多機(jī)構(gòu)間的運(yùn)動(dòng)學(xué)解耦，為該類多從動(dòng)副7自由度復(fù)合并聯(lián)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)建模和協(xié)同控制提供有效準(zhǔn)確的解決方案。

2) 通過(guò)引入Bricard從動(dòng)副兩側(cè)連桿的虛擬頂點(diǎn)，避免連桿彎折設(shè)計(jì)對(duì)運(yùn)動(dòng)學(xué)特性的影響?；诹庵Ｐ筒⒗肂ricard機(jī)構(gòu)三重對(duì)稱的幾何特性，通過(guò)在3RRS機(jī)構(gòu)從動(dòng)副上安裝角度傳感器得到3RRS-Bricard復(fù)合機(jī)構(gòu)正、逆運(yùn)動(dòng)學(xué)求解的解析表達(dá)。

3) 在機(jī)器人仿真環(huán)境下搭建了捕獲系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)模型，通過(guò)與基于閉環(huán)約束的阻尼最小二乘法進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)求解的實(shí)驗(yàn)對(duì)比，驗(yàn)證了所提基于幾何特性的運(yùn)動(dòng)學(xué)求解算法在動(dòng)態(tài)軌跡跟隨上具有明顯的精度優(yōu)勢(shì)。

4) 在今后的研究中，應(yīng)綜合考慮捕獲目標(biāo)尺度和形狀的變化范圍，根據(jù)應(yīng)用場(chǎng)景適當(dāng)簡(jiǎn)化和優(yōu)化系統(tǒng)構(gòu)型，推廣其工程應(yīng)用。