劉璟龍，張崇峰，鄒懷武，李寧，吳琳娜

1. 上海宇航系統(tǒng)工程研究所，上海 201109 2. 上海市空間飛行器機構(gòu)重點實驗室，上海 201109 3. 上海航天技術(shù)研究院，上海 201109

近年來，空間作業(yè)任務(wù)越來越復(fù)雜，其要求也越來越高。為了把航天員從危險的外太空操作任務(wù)中解放出來并排除人為操作的失誤率，空間機器人的使用越來越頻繁，其應(yīng)用前景也越來越廣闊[1]。這些機器人根據(jù)功能劃分，可分為觀測機器人、搬運機器人、精細操作機器人等[2](如圖1所示)。其中，精細操作機器人多用于完成螺釘旋擰、接插件插拔等拆裝任務(wù)，對末端操作的精細程度提出了很高的要求[3-6](如圖2所示,圖中可移動基座系統(tǒng)(Mobile Base System, MBS)是加拿大Ⅱ臂的基座平臺，該移動服務(wù)系統(tǒng)還包括一個空間站遠距離機械臂系統(tǒng)(Space Station Remote Manipulator System, SSRMS)和一個特殊用途靈巧機械臂(Special Purpose Dexterous Manipulator, SPDM))。

圖1 在軌組裝任務(wù)Fig.1 On-orbit assembling task

圖2 在軌服務(wù)任務(wù)Fig.2 On-orbit service task

以太空維修任務(wù)中的螺釘、電連接器的操作為例，通常要求關(guān)節(jié)角精度優(yōu)于0.01°，末端位置精度優(yōu)于1 mm，末端姿態(tài)精度優(yōu)于0.5°，對準接觸下的力柔順精度優(yōu)于2 N和1 N·m。空間精細操作機器人通常具有關(guān)節(jié)剛度低、摩擦及操作接觸力非線性強等特征，這些特征會造成機械臂關(guān)節(jié)角跟蹤精度降低、甚至發(fā)散，而關(guān)節(jié)角的靜態(tài)和動態(tài)誤差會逐步累積，最終影響末端跟蹤精度。串聯(lián)空間機器人(機械臂)是多輸入多輸出系統(tǒng)的典型代表，由于多體系統(tǒng)動力學(xué)、關(guān)節(jié)與電機之間不可忽略的柔性、未建模動態(tài)等，使得這類系統(tǒng)的控制變得更加困難。

圖3 柔性關(guān)節(jié)機器人的關(guān)節(jié)位置PD控制Fig.3 Flexible joint robot PD joint angle position control

針對以上問題，本文提出了一種基于非線性干擾觀測器和動力學(xué)極點配置相結(jié)合的柔性機器人在軌精細操作控制方法。將柔性機器人的關(guān)節(jié)角位置控制問題轉(zhuǎn)化為兩個子問題。內(nèi)環(huán)為柔性關(guān)節(jié)機械臂的關(guān)節(jié)力矩環(huán)設(shè)計，外環(huán)為柔性關(guān)節(jié)機械臂的關(guān)節(jié)位置環(huán)設(shè)計。實際工程中傳感器的信號較少，內(nèi)環(huán)系統(tǒng)的非線性動態(tài)很難獲得。針對此問題，本文引入了一類非線性干擾觀測器(Nonlinear Disturbance Observer, NDO)，可有效準確地估計除輸入項之外的集總干擾。若將其作為內(nèi)環(huán)控制律的補償信號，可有效提高內(nèi)環(huán)系統(tǒng)的魯棒性。

1 問題描述

一般將柔性機器人分為兩類：一類是具有分布式柔性的機器人，稱作柔性桿機器人；另一類是指關(guān)節(jié)處具有集中柔性的機器人，稱作柔性關(guān)節(jié)機器人[13-14]。從本質(zhì)上看，無論是桿件柔性還是關(guān)節(jié)柔性都給機器人引入了額外的自由度。其中，桿件柔性更是將原本有限的自由度擴展為無限的自由度。關(guān)節(jié)柔性的建模主要是基于Spong模型[15]。在此基礎(chǔ)上，F(xiàn)arid和Lukasiewicz將桿件柔性引入到模型中，并將關(guān)節(jié)柔性和桿件柔性對系統(tǒng)的影響進行了對比，得出了關(guān)節(jié)柔性更突出的結(jié)論[16]。本文研究的機械臂，由于其臂桿的基頻較高，所以不考慮臂桿柔性，僅對具有剛性桿柔性鉸的空間機器人的在軌精細控制問題作深入分析。

可以將柔性關(guān)節(jié)機器人的動力學(xué)模型簡化為

(1)

(2)

式中：第1個微分方程為關(guān)節(jié)動力學(xué)方程，第2個微分方程為電機動力學(xué)方程，第3個方程為等效關(guān)節(jié)柔性方程，參考Spong的假設(shè)，將關(guān)節(jié)柔性等效為一個介于電機轉(zhuǎn)角(θ)與關(guān)節(jié)的實際轉(zhuǎn)角(q)之間的無慣量無阻尼的線性扭轉(zhuǎn)彈簧。此等效彈簧所產(chǎn)生的力矩既是電機動力學(xué)方程的反作用力矩，又是關(guān)節(jié)動力學(xué)方程的驅(qū)動力矩。系統(tǒng)中存在的其他不確定項(如外力矩項)，可與阻尼項、摩擦項一同考慮，都視為集總干擾。由式(2)可以看出，各狀態(tài)間的相互耦合、各通道中的非線性項使得柔性關(guān)節(jié)機器人的動力學(xué)控制更加復(fù)雜。因此，如何解耦變量和增強控制器魯棒性是設(shè)計的難點和關(guān)鍵。

根據(jù)時標(biāo)分離原理和奇異值攝動原理[17]，把非線性系統(tǒng)中諸多狀態(tài)劃分為快慢程度不同的狀態(tài)組而分別進行控制器的設(shè)計。實際工程中，由于有柔性的作用，關(guān)節(jié)角的調(diào)節(jié)時間一般都會慢于電機轉(zhuǎn)角或者電機力矩的調(diào)節(jié)時間，所以可以應(yīng)用上述原理將系統(tǒng)的狀態(tài)進行分組來分別設(shè)計控制器。本文選擇關(guān)節(jié)力矩作為快子系統(tǒng)的狀態(tài)，而關(guān)節(jié)角作為慢子系統(tǒng)的狀態(tài)，將式(2)變形為

(3)

式中：

式(3)中，關(guān)節(jié)角微分方程中的慣性參數(shù)和摩擦可由動力學(xué)參數(shù)辨識得到。關(guān)節(jié)力矩微分方程中的關(guān)節(jié)剛度可由剛度測試實驗獲得，a、b項可計算得到。為了克服外擾和未建模動態(tài)，需要設(shè)計專門的估計器或觀測器。關(guān)節(jié)力矩微分方程中的g項只由關(guān)節(jié)剛度和電機慣量決定，可以認為是已知項。

2 精細操作動力學(xué)控制

圖4 所提方案的整體原理圖Fig.4 Overall schematic diagram of proposed scheme

2.1 非線性干擾觀測器的設(shè)計

通常來說，廣義的干擾觀測器技術(shù)不僅指對外部擾動的估計，而且還包含模型不確定性影響下的內(nèi)部擾動的估計[18]。假設(shè)一個系統(tǒng)的動態(tài)方程表示為

(4)

式中：A、Bu、C、Du表示實際情況下的系統(tǒng)矩陣，令Bd、Dd分別為相應(yīng)維數(shù)的單位陣。用標(biāo)稱參數(shù)可將式(4)重寫為

(5)

式中：An、Bn、Cn、Dn表示標(biāo)稱情況下的系統(tǒng)矩陣，dlx、dly分別表示狀態(tài)方程中的集總干擾和輸出方程中的集總干擾。令Bld、Dld也為相應(yīng)維數(shù)的單位陣。比較式(4)和式(5)可得：

(6)

由式(6)可知，dlx、dly是包含了模型攝動和外擾的集總干擾。干擾觀測器的設(shè)計目標(biāo)就是利用輸入、輸出和狀態(tài)信息來估計集總干擾dlx和dly。其中，dly的估計可直接由式(5)得到：

(7)

對于式(5)可以設(shè)計如下的非線性干擾觀測器(NDO)來估計式(5)中的集總干擾dlx:

(8)

令該干擾觀測器的誤差為

(9)

則可以證明如下：

(10)

由2.2節(jié)可知，可將式(13)重寫為

(11)

(12)

2.2 柔性關(guān)節(jié)機械臂關(guān)節(jié)力矩環(huán)設(shè)計

由第1節(jié)所述，將電機力矩作為輸入，將關(guān)節(jié)力矩作為輸出，考慮模型攝動、參數(shù)漂移和外部擾動，則柔性關(guān)節(jié)的關(guān)節(jié)力矩微分方程可表達為

(13)

式中：Δτ為電機動力學(xué)模型攝動。此處，認為電機力矩的控制律由兩部分組成：

τm=τm0+τm1

(14)

式中：τm0、τm1分別為電機力矩控制律的標(biāo)稱項和擾動補償項。首先，設(shè)計電機力矩的標(biāo)稱控制律，使?fàn)顟B(tài)達到理想動態(tài)。其次，設(shè)計電機力矩的擾動補償控制律，能夠抵消關(guān)節(jié)力矩微分方程中的aτ+b+Δτ項。

定義關(guān)節(jié)力矩誤差項：

eτ=τd-τ

(15)

設(shè)計電機力矩的標(biāo)稱控制律為

(16)

設(shè)計電機力矩的擾動補償控制律為

(17)

若將式(14)代入式(13)中，可得

(18)

由極點配置原理可知，當(dāng)c2、c3均為正數(shù)時，若采用控制律式(16)，則關(guān)節(jié)力矩環(huán)閉環(huán)系統(tǒng)漸進收斂。

2.3 柔性關(guān)節(jié)機械臂關(guān)節(jié)位置環(huán)設(shè)計

由第1節(jié)所述，將關(guān)節(jié)力矩作為輸入，將關(guān)節(jié)角位置作為輸出，則柔性關(guān)節(jié)的關(guān)節(jié)位置微分方程可表達為

(19)

式中：Jl為柔性關(guān)節(jié)的慣量矩陣；Cl為包含哥氏項和離心力項的阻尼矩陣；Δq為關(guān)節(jié)動力學(xué)模型攝動。與2.2節(jié)類似，可以設(shè)計一個綜合控制律τ，使閉環(huán)系統(tǒng)既能滿足理想的動態(tài)又能補償?shù)羲形粗牟皇芸氐募偢蓴_。Δq可由干擾觀測器測量得到，也可將其視為關(guān)節(jié)角動力學(xué)方程的攝動項(由一次項和常數(shù)項組成)，可由動力學(xué)參數(shù)辨識得到。假設(shè)動力學(xué)參數(shù)辨識準確，則式(19)中，各參數(shù)已知。

此處，認為關(guān)節(jié)力矩的控制律由兩部分組成：

τ=τd=τ0+τ1

(20)

式中：τ0、τ1分別為關(guān)節(jié)力矩控制律的標(biāo)稱項和非線性補償項。定義關(guān)節(jié)位置誤差為

eq=qd-q

(21)

設(shè)計關(guān)節(jié)力矩的標(biāo)稱控制律為

(22)

設(shè)計關(guān)節(jié)力矩的非線性補償控制律為

(23)

(24)

由極點配置原理可知，當(dāng)c0、c1均為正數(shù)時，若采用控制律式(22)，則關(guān)節(jié)位置環(huán)閉環(huán)系統(tǒng)漸進收斂。

2.4 二階低通濾波器的設(shè)計

為了求解某指令信號的零階平滑信號、一階微分信號和二階微分信號，本文還設(shè)計了兩個二階低通濾波器[19-21]。其中，內(nèi)環(huán)指令濾波器設(shè)計為

(25)

外環(huán)指令濾波器設(shè)計為

(26)

式中：ξ1、ξ2、ωn1、ωn2分別表示內(nèi)環(huán)和外環(huán)指令濾波器的阻尼比和自然角頻率。為了讓內(nèi)環(huán)指令的響應(yīng)速度更快，令ωn1>ωn2。

3 仿真驗證

3.1 關(guān)節(jié)角控制仿真驗證

為驗證本文所述方法的正確性和有效性，以某四自由度柔性空間機器人在軌維修任務(wù)為例，其標(biāo)稱參數(shù)如表1所示，動力學(xué)模型及參數(shù)定義可參考文獻[14]。對其進行關(guān)節(jié)角位置精細控制，示意圖如圖5所示。按照本文所提方法，設(shè)計了基于干擾觀測器和動力學(xué)極點配置的控制仿真實驗。

表1 本實驗采用機器人的標(biāo)稱參數(shù)[14]Table 1 Nominal robot parameters in this paper[14]

圖5 4自由度柔性空間機器人在軌維修示意圖Fig.5 On-orbit maintenance diagram of 4DOF flexible joint space robot

參考式(2)建立電機動力學(xué)和關(guān)節(jié)動力學(xué)模型，此處模型假設(shè)為桿件剛性、關(guān)節(jié)柔性，將關(guān)節(jié)摩擦等效到電機端，考慮電機端摩擦和其他外擾，將電機摩擦f、關(guān)節(jié)動力學(xué)模型攝動Δq、電機動力學(xué)模型攝動Δτ分別指定為

(27)

用MATLAB/Simulink仿真3 s，令關(guān)節(jié)1在0.5 s時刻躍變?yōu)?°，令關(guān)節(jié)2在0.6 s時刻躍變?yōu)?.2°，令關(guān)節(jié)3在0.7 s時刻躍變?yōu)?.4°，令關(guān)節(jié)4在0.8 s時刻躍變?yōu)?.6°。其中，如2.4節(jié)所述，為了使所有的指令能夠平滑變化，將兩個指令濾波器的參數(shù)設(shè)置為

(28)

為了與不含干擾觀測器的兩環(huán)動力學(xué)極點配置控制仿真進行對比，外環(huán)控制器的結(jié)構(gòu)和參數(shù)均不變，本文對內(nèi)環(huán)不含擾動補償控制律的情況進行了仿真。仿真結(jié)果如圖6和圖7所示。

圖6 無干擾觀測器時關(guān)節(jié)1-2位置跟蹤對比Fig.6 Comparison of joints 1-2 position tracking without disturbance observer

圖7 無干擾觀測器時關(guān)節(jié)3-4位置跟蹤對比Fig.7 Comparison of joints 3-4 position tracking without disturbance observer

如圖7所示，由于4號電機的非線性摩擦f4=-40 N·m較大且為常值，故當(dāng)控制律中不含擾動補償項時，傳統(tǒng)的控制律至多只能保證收斂，但還會產(chǎn)生一個較大的穩(wěn)態(tài)誤差。相反，由于3號電機的非線性摩擦f3=30 N·m為正值，故關(guān)節(jié)3的實際角位置輸出q3為負偏差。如圖6所示，同理可分析關(guān)節(jié)1的實際角位置輸出q1為負偏差，關(guān)節(jié)2的實際角位置輸出q2為正偏差。所以，在內(nèi)環(huán)同時含有未知的電機摩擦f和電機動力學(xué)攝動Δτ時，由于內(nèi)環(huán)只有標(biāo)稱控制律，無法補償?shù)艏偢蓴_aτ+b+Δτ產(chǎn)生的影響，在此情況下其實際信號并不能準確跟蹤理想指令。換言之，這樣的控制律在同時含有未知電機摩擦f和未知的電機動力學(xué)攝動Δτ時，并不能滿足要求。

本文所述方案的仿真結(jié)果如圖8～圖11所示，在內(nèi)環(huán)同時含有未知的電機摩擦f和電機動力學(xué)攝動Δτ時，內(nèi)環(huán)所有通道的集總干擾都能快速、準確地被估計，并直接補償?shù)絻?nèi)環(huán)控制律中，使得外環(huán)和內(nèi)環(huán)的指令都能被準確跟蹤。其中，由于仿真中假設(shè)3號和4號電機的非線性摩擦都較大，而關(guān)節(jié)4除了自身因素外，還受關(guān)節(jié)3的影響，所以初始時刻，需要內(nèi)環(huán)產(chǎn)生的電機力矩控制量較大，初始的關(guān)節(jié)4的位置偏差和關(guān)節(jié)4的關(guān)節(jié)力矩偏差都較大，但是非線性干擾觀測器和干擾補償控制律迅速產(chǎn)生作用，使得該位置偏差在0.1 s左右就迅速衰減，故對任務(wù)執(zhí)行所產(chǎn)生的影響很小。后續(xù)跟蹤平穩(wěn)準確。實驗證明，4個關(guān)節(jié)角位置動態(tài)響應(yīng)的超調(diào)均為0，其關(guān)節(jié)角位置精度均優(yōu)于0.01°，滿足在軌精細操作的要求。本實驗證明了本文所提方案的正確性和有效性。

圖8 基于干擾觀測器方案的關(guān)節(jié)位置跟蹤Fig.8 Joint position tracking with disturbance observer

圖9 基于干擾觀測器方案的關(guān)節(jié)力矩跟蹤Fig.9 Joint torque tracking with disturbance observer

圖10 內(nèi)環(huán)集總干擾關(guān)節(jié)1-2估計Fig.10 Joints 1-2 lumped disturbance estimation in inner loop

圖11 內(nèi)環(huán)集總干擾關(guān)節(jié)3-4估計Fig.11 Joints 3-4 lumped disturbance estimation in inner loop

3.2 末端柔順控制仿真驗證

為使末端工具在接觸環(huán)境之后能夠適應(yīng)環(huán)境，并驗證本文方法與柔順控制的兼容性，本文另設(shè)計了關(guān)節(jié)空間基于位置的阻抗控制策略。為使末端軌跡運動更直觀，本文還進行了關(guān)節(jié)角驅(qū)動正運動學(xué)的仿真實驗。其中，將環(huán)境剛度設(shè)置為Ke=104N/m，末端的z向位置由0.1 m處運動到0.063 9 m處附近，假設(shè)0.07 m處接觸環(huán)境，由此產(chǎn)生的環(huán)境力由Fe-z=Ke(0.07-yz-actual)計算。簡單起見，只在z向受平移力，則將笛卡爾空間六維環(huán)境力向量(三平移三扭轉(zhuǎn))定義為Fe=[0 0Fe-z0 0 0]T。由于任何機器人執(zhí)行都是在關(guān)節(jié)空間中執(zhí)行的，還需要利用δτd=JTFe，將笛卡爾力轉(zhuǎn)換為關(guān)節(jié)空間的力。最后通過目標(biāo)阻抗關(guān)系式，將關(guān)節(jié)力矩指令增量映射為關(guān)節(jié)角指令增量，補償?shù)皆械年P(guān)節(jié)角指令中。

(29)

下面將帶柔順控制的實驗結(jié)果與其他結(jié)果做比較，仿真結(jié)果如圖12～圖16所示。

圖12～圖15的圖例中，下標(biāo)d表示理想末端位置指令，下標(biāo)2Dyna表示傳統(tǒng)的兩環(huán)動力學(xué)控制，proposed表示本文所述方案不帶柔順控制，proposed with compliant表示本文所述方案帶柔順控制。圖16的圖例中，下標(biāo)τd1-C表示帶柔順控制的關(guān)節(jié)力矩指令增量。如圖12所示，由于4個關(guān)節(jié)角指令在1.75 s附近疊加了非零的柔順控制補償指令，使實際關(guān)節(jié)角減小了原本的偏轉(zhuǎn)幅度。如圖13所示，帶有柔順控制的基于干擾觀測器的方案，不但能夠補償擾動的影響，還能使末端根據(jù)實際環(huán)境約束來調(diào)整關(guān)節(jié)角指令的大小，以改變末端實際位置。如圖14所示，假設(shè)在0.07 m時接觸環(huán)境，產(chǎn)生環(huán)境力，然后柔順控制策略起作用，使末端z向位置穩(wěn)定在0.07 m處。如圖15和圖16所示，柔順控制策略使得因接觸環(huán)境而產(chǎn)生的笛卡爾空間z向力和關(guān)節(jié)空間的關(guān)節(jié)力矩都迅速減小。

圖12 帶柔順控制的基于干擾觀測器的關(guān)節(jié)位置跟蹤Fig.12 Joint position tracking with DO and compliance control

圖13 末端位置跟蹤對比Fig.13 EE position tracking contrast

圖14 末端z向位置跟蹤對比Fig.14 EE z axis position tracking contrast

圖15 末端z向接觸力對比Fig.15 EE z axis force tracking contrast

圖16 柔順控制補償關(guān)節(jié)力矩指令對比Fig.16 Joint torque command compensation with compliance control

4 結(jié) 論

本文針對空間機器人在軌精細操作控制中遇到的模型攝動、柔性激振引起的PID控制困難等問題，建立了柔性關(guān)節(jié)空間機器人的數(shù)學(xué)模型，提出了一種基于非線性干擾觀測器和動力學(xué)極點配置相結(jié)合的方法，并對干擾觀測器的收斂性進行了證明。關(guān)節(jié)角控制仿真實驗表明，本文所述關(guān)節(jié)角控制策略可準確抵消內(nèi)環(huán)干擾對標(biāo)稱模型的影響，并使關(guān)節(jié)力矩誤差為零且關(guān)節(jié)角位置精度滿足要求。末端柔順控制仿真實驗表明，本文所述柔順控制策略可使末端工具在接觸環(huán)境之后迅速適應(yīng)環(huán)境，并使末端接觸力和末端位置滿足精度要求。后續(xù)工作將對Δq不為0時，動力學(xué)辨識不夠準確的情況進行分析，試圖用非線性干擾觀測器來估計出外環(huán)的集總干擾，以使整體方案具備更好的魯棒性。

致 謝

感謝上海市空間飛行器機構(gòu)重點實驗室和空間結(jié)構(gòu)與機構(gòu)技術(shù)國防科技重點實驗室對本文研究的大力支持。