張茂權(quán)，陳海昕

清華大學(xué) 航天航空學(xué)院，北京 100084

小型無人機(jī)通常是指起飛重量不大于25 kg，最大飛行高度小于120 m的一類無人機(jī)[1]。由于其振動(dòng)小、無污染、無排放等優(yōu)勢(shì)，已經(jīng)成為無人機(jī)領(lǐng)域的發(fā)展熱點(diǎn)[2]。小型無人機(jī)通常采用蓄電池作為能源，運(yùn)載存儲(chǔ)方便、使用靈活，其原理驗(yàn)證機(jī)制作簡單，時(shí)間周期短。以小型無人機(jī)為平臺(tái)，可以展開電動(dòng)飛機(jī)設(shè)計(jì)方法、效率等方面的研究，也能搭載一定載荷完成航拍、測(cè)繪、監(jiān)視等任務(wù)，在科學(xué)研究和實(shí)際應(yīng)用方面都有重要價(jià)值[3-4]。

傳統(tǒng)的飛機(jī)設(shè)計(jì)中，布雷蓋公式[5]建立了飛機(jī)燃油消耗和航程航時(shí)之間的關(guān)系，根據(jù)燃油重量和耗油率可估算飛機(jī)的航程航時(shí)，并能獲得達(dá)到最大航時(shí)(久航)和最大航程(遠(yuǎn)航)飛行的最佳飛行參數(shù)。對(duì)于電動(dòng)飛機(jī)而言，電池放電過程不涉及重量的變化，布雷蓋公式不再適用[6]。電池的放電功率取決于當(dāng)前的飛行狀態(tài)，一般而言，可以通過當(dāng)前飛行參數(shù)計(jì)算得到電池的放電功率，進(jìn)而可以得到航程航時(shí)與電池容量的關(guān)系[7]。然而蓄電池放電過程受到Peukert效應(yīng)[8]的影響，電池的有效容量并非恒定，而是會(huì)受到放電電流的影響，電池的電壓在放電過程中也不斷降低，因此準(zhǔn)確估計(jì)電動(dòng)飛機(jī)的航程和航時(shí)，首先需要建立電池的放電模型。

此外，電池電壓的變化將影響電機(jī)的工作狀態(tài)，進(jìn)而影響到螺旋槳的推力和扭矩，對(duì)飛行狀態(tài)產(chǎn)生影響，需要設(shè)計(jì)合適的能量控制和優(yōu)化控制方法[9]。本文首先通過理論分析建立了電機(jī)和螺旋槳構(gòu)成的推進(jìn)系統(tǒng)模型，然后結(jié)合飛行過程中的功率消耗實(shí)現(xiàn)了對(duì)航程航時(shí)的預(yù)測(cè)，并通過與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)比，驗(yàn)證了理論模型的正確性。

1 鋰電池放電模型

Peukert提出在電池放電過程中電池容量C、放電電流I和放電時(shí)間t有以下關(guān)系：

C=Int

(1)

式中：Peukert系數(shù)n是與電池類型和溫度有關(guān)的放電參數(shù)[8]，n=1時(shí)放電電流與放電時(shí)間成反比，二者乘積It(電池有效容量)為定值，此時(shí)該電池稱為理想電池。實(shí)際情況下n通常大于1，如Peukert提出鉛蓄電池的n值為1.3，此時(shí)放電電流與放電時(shí)間的乘積It(電池有效容量)小于電池的標(biāo)準(zhǔn)容量C，且放電電流越大有效容量越小，通常把這種現(xiàn)象叫做電池的Peukert效應(yīng)。

Traub分析了Peukert效應(yīng)對(duì)電動(dòng)飛機(jī)巡航飛行的影響，推導(dǎo)了不同Peukert系數(shù)與航程航時(shí)的關(guān)系，并通過迭代計(jì)算得到了恒功率條件下電池的放電曲線[10]。文獻(xiàn)[11]也利用Peukert效應(yīng)較為準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)了電動(dòng)飛機(jī)的航程航時(shí)，他們的研究基于飛機(jī)定常平飛時(shí)功率消耗恒定的情況，但Doerffel和Sharkh指出對(duì)于功率變化較大的放電過程，Peukert效應(yīng)不再適用[12]。

針對(duì)特定品牌和型號(hào)的蓄電池，其放電曲線往往是生產(chǎn)商通過多次實(shí)驗(yàn)測(cè)量得到的，數(shù)據(jù)準(zhǔn)確可靠，并會(huì)提供給消費(fèi)者以便進(jìn)行電池選擇以及實(shí)驗(yàn)研究。Tremblay等基于簡單實(shí)用的電池放電模型，提出了一種根據(jù)電池放電曲線估計(jì)放電模型參數(shù)的方法[13]。在本文的研究中，為了得到更為理想的結(jié)果，對(duì)Tremblay提出的方法進(jìn)行了改進(jìn)，采用粒子群[14](Particle Swarm Optimization，PSO)方法搜索得到模型參數(shù)，并利用放電實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)驗(yàn)證了模型的準(zhǔn)確性。

本文所采用的鋰電池?cái)?shù)學(xué)模型，可以用一個(gè)電壓源E與一個(gè)電阻R串聯(lián)起來表示，如圖1所示，并滿足下面幾點(diǎn)假設(shè)：

1) 電池的內(nèi)阻在充放電過程中保持恒定，且不受電流大小的影響。

2) 不考慮Peukert效應(yīng)[8]，電池的容量保持恒定。

3) 忽略溫度對(duì)電池放電的影響。

電壓源E可以表示為當(dāng)前放電電流i的函數(shù)：

(2)

圖1 鋰電池放電模型Fig.1 Lithium battery discharge model

電池的外電壓可以表示為

Vbat=E-Ri

(3)

表1為型號(hào)為XP22003ECO電池的技術(shù)參數(shù)，可得知該電池是由3節(jié)3.7 V的鋰電池串聯(lián)起來，標(biāo)準(zhǔn)容量2 200 mA·h，標(biāo)準(zhǔn)電壓11.1 V。

圖2是該電池以10 C和20 C倍率進(jìn)行放電(對(duì)應(yīng)放電電流分別為22 A，44 A)實(shí)驗(yàn)得到的放電曲線，可知以10 C(22 A)的放電倍率進(jìn)行放電，完全放電的時(shí)間約為6 min。

根據(jù)Tremblay的方法，放電曲線可以分為標(biāo)準(zhǔn)放電區(qū)域和指數(shù)放電區(qū)域[13]，人為估計(jì)兩個(gè)區(qū)域的電壓值和電池容量，模型參數(shù)K、A和B

表1 XP22003ECO鋰電池參數(shù)Table 1 XP22003ECO battery parameters

圖2 ECO 2 200 mA·h鋰電池放電曲線Fig.2 ECO 2 200 mA·h battery discharge curves

可用下面的方法得到：

A=Efull-Eexp

(4)

(5)

(6)

E0=Efull+K+Ri-A

(7)

式中：Efull表示充滿電時(shí)的電壓值；Eexp表示指數(shù)放電區(qū)域結(jié)束時(shí)的電壓值；Qexp表示指數(shù)放電區(qū)域結(jié)束時(shí)的電池容量；Enorm和Qnorm表示標(biāo)準(zhǔn)放電區(qū)域結(jié)束時(shí)的電壓值和電池容量。

然而圖2中鋰電池放電曲線的指數(shù)區(qū)域和標(biāo)準(zhǔn)區(qū)域分界并不明顯，繼續(xù)采用人工估計(jì)的方法可能得到比較大的誤差，因此本文采用粒子群算法對(duì)Eexp、Qexp、Enorm和Qnorm進(jìn)行搜索，將仿真模擬結(jié)果與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的差值作為目標(biāo)函數(shù)，進(jìn)而確定鋰電池模型。根據(jù)10 C倍率放電曲線得到的模型參數(shù)如表2所示，為了驗(yàn)證所得模型的準(zhǔn)確性，用20 C放電倍率的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)與模型結(jié)果對(duì)比，結(jié)果見圖3，實(shí)驗(yàn)放電曲線與理論結(jié)果基本相似，該模型能較好地模擬鋰電池的放電過程。

至此得到了鋰電池放電的近似模型，改變電流值即可模擬在任意工作條件下的放電過程，為了保護(hù)電池延長使用壽命，實(shí)際中極少會(huì)讓鋰電池完全放電，本文在后續(xù)的仿真中當(dāng)放電至容量Q小于額定值的90%時(shí)，停止放電，認(rèn)為鋰電池耗盡。

表2 電池模型參數(shù)Table 2 Battery model parameters

圖3 鋰電池放電模型結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比Fig.3 Model results vs experiment results of battery discharge

2 無刷直流電機(jī)模型

無刷直流電機(jī)(BLCD)的特性通常與Kv(r/min/V)值、空載電流I0(A)和內(nèi)阻Rm(Ω)3個(gè)常數(shù)有密切的關(guān)系[16]。Kv值表示空載時(shí)每伏電壓下的每分鐘轉(zhuǎn)速，相同電壓情況下Kv值越大，轉(zhuǎn)速越高對(duì)應(yīng)輸出扭矩越小?？蛰d電流I0和內(nèi)阻Rm表征電機(jī)為了克服機(jī)械阻力、磁滯和渦流損耗需要額外做的功。通常情況下，無刷直流電機(jī)可以等效為圖4的形式[16]，據(jù)此可以計(jì)算輸出功率Pout和轉(zhuǎn)速n：

Pout=Im·Vm=(Iin-I0)(Vin-IinRm)

(8)

n=Kv·Vm=Kv(Vin-IinRm)

(9)

電機(jī)的效率可表示為

η=Pout/Pin=(Iin-I0)(Vin-IinRm)/(IinVin)

(10)

由式(10)可知，對(duì)于確定的輸入電壓Vin，存在一個(gè)工作電流Iin使得無刷直流電機(jī)工作在最佳效率點(diǎn)，由于Iin由負(fù)載如螺旋槳決定，因此根據(jù)負(fù)載選擇合適的電機(jī)型號(hào)，能使電機(jī)螺旋槳推進(jìn)系統(tǒng)效率達(dá)到最佳。

本文選取了兩款電機(jī)[17]作為研究對(duì)象，其基本信息如表3所示。

圖4 無刷直流電機(jī)模型[16]Fig.4 BLDC motor model[16]

表3 電機(jī)參數(shù)Table 3 Motor parameters

由式(8)～式(10)可知，電機(jī)輸出功率Pout取決于輸入電流和電壓，當(dāng)螺旋槳和電機(jī)直接相連時(shí)，螺旋槳獲取的功率將等于電機(jī)的輸出功率，同時(shí)二者轉(zhuǎn)速相同。以飛機(jī)定常平飛為例，螺旋槳需要提供的拉力取決于飛機(jī)受到的阻力，也就是與飛行速度、飛行攻角等飛行狀態(tài)有關(guān)，飛行狀態(tài)同時(shí)決定了螺旋槳需要的轉(zhuǎn)速，便可以求出維持電機(jī)運(yùn)轉(zhuǎn)的電壓和電流大小。而在螺旋槳拉力測(cè)試實(shí)驗(yàn)中，將通過控制電機(jī)輸入電壓來得到不同拉力值。

3 螺旋槳?dú)鈩?dòng)模型

螺旋槳的氣動(dòng)模型可以通過葉素理論、動(dòng)量盤理論等方法建立[18]，但是這些方法都需要提供螺旋槳的三維模型。實(shí)際中小型無人機(jī)螺旋槳多從市場(chǎng)上選擇得到，螺旋槳的三維幾何難以獲取。為了建立不同來流速度下螺旋槳推力和扭矩與轉(zhuǎn)速的關(guān)系，本文利用風(fēng)洞試驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合得到螺旋槳前進(jìn)比與功率系數(shù)和推力系數(shù)的關(guān)系，進(jìn)而計(jì)算得到推力和扭矩。

螺旋槳?dú)鈩?dòng)模型建立在UIUC螺旋槳風(fēng)洞試驗(yàn)數(shù)據(jù)基礎(chǔ)上[19-20]，螺旋槳的推力和功率可以利用推力系數(shù)CT和功率系數(shù)CP分別計(jì)算得到。

T=CTρN2D4

(11)

P=CPρN3D5

(12)

式中：ρ表示空氣密度；N表示螺旋槳的轉(zhuǎn)速；D表示螺旋槳直徑。圖5給出了“GWS DD(Direct Drive)1170”(前兩位數(shù)字代表螺旋槳的直徑，后兩位數(shù)字代表螺旋槳的螺距，單位in,1 in=2.54 cm)螺旋槳在不同轉(zhuǎn)速和來流速度下的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，橫坐標(biāo)J表示螺旋槳的前進(jìn)比，定義為

(13)

式中：v表示垂直于螺旋槳槳盤的來流速度。前進(jìn)比J表征了來流速度和槳尖速度的相對(duì)大小,前進(jìn)比越大，槳葉的實(shí)際攻角越小。

圖5 GWS DD1170螺旋槳試驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合曲線Fig.5 GWS DD1170 propeller test results fitted curves

如圖5所示，在4種不同的轉(zhuǎn)速下，螺旋槳的功率系數(shù)或拉力系數(shù)表現(xiàn)出相似的關(guān)系，因此可以忽略轉(zhuǎn)速的影響，將功率和拉力系數(shù)認(rèn)為只是前進(jìn)比J的函數(shù)，據(jù)此可以用多項(xiàng)式擬合得到功率系數(shù)CP和拉力系數(shù)CT與前進(jìn)比J的關(guān)系為

CP=p1J2+p2J+p3

(14)

CT=t1J2+t2J+t3

(15)

式中:p1～p3和t1～t3均為擬合系數(shù)。

本文選取同一型號(hào)3種不同直徑的螺旋槳進(jìn)行研究，得到的參數(shù)如表4所示。

因此，根據(jù)式(11)～式(15)，可以計(jì)算螺旋槳在任意來流速度和轉(zhuǎn)速下的推力、需用功率及扭矩，結(jié)合前文電機(jī)的模型，就能計(jì)算出需要輸入的電壓電流大小，進(jìn)而計(jì)算得到在任意飛行狀態(tài)需要消耗的電能。

表4 螺旋槳模型參數(shù)Table 4 Propeller model parameters

4 電機(jī)螺旋槳模型驗(yàn)證

上述螺旋槳的相關(guān)擬合模型基于風(fēng)洞試驗(yàn)數(shù)據(jù)，其中來流速度不為零。為了驗(yàn)證電機(jī)螺旋槳模型的有效性，本文采用靜推力實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)[17]與仿真數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證所得模型的合理性，仿真計(jì)算流程如圖6所示。

靜推力仿真計(jì)算中，在仿真模型中給定電機(jī)的輸入電壓，螺旋槳的功率等于電機(jī)輸出功率，由于傳動(dòng)比為1，螺旋槳的轉(zhuǎn)速就是電機(jī)的轉(zhuǎn)速，便可以計(jì)算得到實(shí)際工作電流，以及產(chǎn)生的推力值和實(shí)際轉(zhuǎn)速。

選用表3中的電機(jī)和表4中的螺旋槳，一共進(jìn)行了5組推力仿真與實(shí)驗(yàn)對(duì)比,電機(jī)和螺旋槳分組如表5所示。

由圖7可知，模型得到的靜推力值、電流值、轉(zhuǎn)速值和功率都與實(shí)驗(yàn)結(jié)果相近，推力誤差小于9.3%，功率誤差小于9.5%。盡管螺旋槳模型是從風(fēng)洞試驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合得到，且是在來流速度遠(yuǎn)大于零的情況下進(jìn)行的擬合，但實(shí)驗(yàn)證明該模型同樣適用于靜推力的計(jì)算。因此推斷該模型可以適用任意來流速度的情況。

此外，由圖7可知，大多數(shù)情況下，模型得到的結(jié)果都略低于實(shí)驗(yàn)結(jié)果，其中一個(gè)可能的原因是CT和CP的擬合計(jì)算值在前進(jìn)比為零的時(shí)候比真實(shí)值大，根據(jù)式(11)和式(12)，得到的轉(zhuǎn)速就會(huì)比實(shí)際值偏小，因此推斷推力功率和電流都比實(shí)驗(yàn)結(jié)果偏小。該誤差在前進(jìn)比接近零的時(shí)候較為明顯，實(shí)際情況中前進(jìn)比通常大于零，因此推斷本文所建立的電機(jī)螺旋槳模型可以用于計(jì)算任意飛行速度下的推力、功率值，進(jìn)而計(jì)算電池的能量消耗。

圖6 電機(jī)螺旋槳仿真計(jì)算流程Fig.6 Motor-propeller simulation pipeline

表5 推力實(shí)驗(yàn)分組Table 5 Thrust experiment groups

圖7 仿真與實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比Fig.7 Comparison of simulation results and experiment results

5 電動(dòng)飛機(jī)航程航時(shí)估計(jì)

前文建立了電池、電機(jī)和螺旋槳組成的動(dòng)力系統(tǒng)模型，本節(jié)將用該模型估算電動(dòng)飛機(jī)的航程航時(shí)，為小型電動(dòng)無人機(jī)的總體設(shè)計(jì)提供參考。

5.1 飛機(jī)模型

文獻(xiàn)[10]中給出了用于航程航時(shí)估計(jì)的某小型電動(dòng)無人機(jī)總體參數(shù)，如表6所示。

其中起飛總重W=9.34 N，除去選用電池重量[22]，飛機(jī)的重量為W0=6.70 N，飛行速度用U

表6 某小型無人機(jī)參數(shù)[10]Table 6 Parameters of a small UAV[10]

表示，無人機(jī)的零升阻力系數(shù)CD0與升力系數(shù)CL之間的關(guān)系為

(16)

機(jī)翼面積Sw=0.32 m2，由此可以得到阻力和升力分別為[23]

D=0.5ρU2SwCD

(17)

L=W=0.5ρU2SwCL

(18)

理論上取得最大航程時(shí)無人機(jī)的升、阻力系數(shù)滿足：

(19)

取得最大航時(shí)無人機(jī)的升、阻力系數(shù)滿足：

(20)

無人機(jī)在兩種情況下的理論最佳飛行速度(遠(yuǎn)航速度UR與久航速度UE)分別為

(21)

(22)

本文選擇用來估計(jì)航程航時(shí)的電機(jī)型號(hào)為朗宇(Sunny Sky)x2216，螺旋槳選用GWS1060，在專用于小型無人機(jī)估算的商業(yè)軟件MotoCalc[24]中選擇對(duì)應(yīng)的電機(jī)、螺旋槳和設(shè)置對(duì)應(yīng)的飛機(jī)參數(shù)，可以得到軟件的計(jì)算值。

5.2 電池容量對(duì)航程航時(shí)的影響

電池容量對(duì)無人機(jī)的航程航時(shí)有著決定性的影響，圖8給出了4種不同容量的電池，將本文建立的模型對(duì)航程航時(shí)估算結(jié)果與MotoCalc估算的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，二者的變化趨勢(shì)及結(jié)果都較為符合。

根據(jù)遠(yuǎn)航速度UR和久航速度UE的計(jì)算公式可以得到其理論值(UR=11.9 m/s,UE=9.1 m/s )，根據(jù)本文模型估計(jì)的遠(yuǎn)航速度和久航速度都接近理論值，但在UR和UE附近的航程和航時(shí)略大于MotoCalc的結(jié)果，可能的原因是表6中的k值在實(shí)際中并非定值，而是與誘導(dǎo)阻力相關(guān)的一個(gè)系數(shù)，會(huì)隨飛行速度改變，MotoCalc的估算中考慮到了k的影響，而本文僅針對(duì)動(dòng)力系統(tǒng)的航時(shí)評(píng)估，沒有考慮到飛行時(shí)阻力系數(shù)的變化。

此外，由圖8中航程和航時(shí)與飛行速度的關(guān)系可知，增加電池容量，可以帶來航程和航時(shí)的提升，同時(shí)也會(huì)增加整機(jī)的重量，但圖中結(jié)果表說明，對(duì)于本文所分析的小型無人機(jī)，電池容量增加帶來的航程航時(shí)上的收益大于重量增加帶來的影響。

圖8 電池容量對(duì)航程航時(shí)的影響Fig.8 Range and endurance estimation on different battery

6 結(jié) 論

本文提出了一套通過試驗(yàn)數(shù)據(jù)和理論分析建立電動(dòng)飛機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)模型的方法，該模型包含鋰電池放電模型和電機(jī)螺旋槳構(gòu)成的推力模型，模型與試驗(yàn)結(jié)果吻合良好，能夠較為準(zhǔn)確地估計(jì)飛行過程中螺旋槳的功率、推力及消耗的電能，可作為小型電動(dòng)無人機(jī)總體設(shè)計(jì)的有力參考。通過仿真電池放電過程，可準(zhǔn)確估算出電動(dòng)飛機(jī)的航程和航時(shí)，為小型電動(dòng)無人機(jī)的性能評(píng)估提供了一套分析方法和工具。