閆二斌

(宜川縣中學(xué),陜西 延安 716200)

筆者在對(duì)2016年全國(guó)理綜二卷第35題(物理選修3-5動(dòng)量)的第(2)小題時(shí),產(chǎn)生了一些困惑,就此請(qǐng)教了陜西省宜川縣中學(xué)景銀安老師以后,景老師做了非?？犊笇?dǎo),所以作者非常感謝景老師.之后筆者又進(jìn)一步對(duì)此題所描繪的物理情景進(jìn)行了詳細(xì)的研究,即基于強(qiáng)烈的好奇心,提出了一系列疑問(wèn),并使用高中物理和數(shù)學(xué)知識(shí)給出了詳細(xì)的解答.懇請(qǐng)大家先自己獨(dú)立思考這些問(wèn)題,有了明確的答案后,再看后面的解答.對(duì)于此解答中的疏漏、錯(cuò)誤和愚鈍,懇請(qǐng)大家不吝賜教,筆者將感激不盡.

1 問(wèn)題描述

如圖1所示,在光滑的水平面上,放有滑塊和斜臺(tái),滑塊的質(zhì)量為m1,斜臺(tái)的質(zhì)量為m2,斜臺(tái)斜面的傾角為θ.初始時(shí),滑塊m1放在斜臺(tái)m2斜面的底部,且m2的初速為0,m1的初速為v0,方向沿斜面向上.設(shè)斜面是光滑的和足夠長(zhǎng)的,且運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,機(jī)械能始終守恒.我們研究:初始時(shí)刻以后,滑塊先上升到豎直位移最高處,再下降到斜臺(tái)底部的運(yùn)動(dòng)過(guò)程.

圖1

問(wèn)題1:滑塊m1上升到其所能到達(dá)的最大高度處時(shí),m1的水平分速度和m2的水平分速度有什么關(guān)系?為什么?如何計(jì)算m1所能上升的最大高度?

問(wèn)題2:運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,m1和m2之間的壓力的大小是否在變化?為什么?

問(wèn)題3:斜臺(tái)m2是否在做水平向右的勻加速直線運(yùn)動(dòng)?為什么?

問(wèn)題4:滑塊m1經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間上升到其所能到達(dá)的最大高度處?又經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間回到斜臺(tái)斜面的底部?為什么?從初始時(shí)刻到滑塊回到斜臺(tái)斜面的底部,斜臺(tái)前進(jìn)了多少米?

問(wèn)題5:相對(duì)于地面,滑塊m1的運(yùn)動(dòng)軌跡是怎樣的?直線還是曲線?為什么?請(qǐng)分3種情況討論之:m1m2.

問(wèn)題6:若初始時(shí),m1的初速度的方向不與斜面平行,而是水平向右,其余條件不變,則接下來(lái)會(huì)發(fā)生什么?

2 詳細(xì)解答過(guò)程

在水平方向,取向右為正,且單位方向矢量為i,在豎直方向,取向上為正,且單位方向矢量為j.設(shè)時(shí)間為t.m1與m2之間壓力的大小為N(t),方向始終垂直于斜面.m1的豎直位移為s1y(t)j,水平位移為s1x(t)i,m2的位移為s2(t)i.m1的豎直速度為v1y(t)j,水平速度為v1x(t)i,m2的速度為v2(t)j.m1的豎直加速度為a1y(t)j,水平加速度為a1x(t)i,m2的加速度為a2(t)i.

2.1 受力分析

對(duì)于m1,根據(jù)牛頓第二定律,豎直和水平方向有

N(t)cosθ-m1g=m1a1y(t).

(1)

-N(t)sinθ=m1a1x(t).

(2)

對(duì)于m2,易知其豎直方向的合力始終為0,水平方向有

N(t)sinθ=m2a2(t).

(3)

利用(3)式可消去(1)式、(2)式中的N(t),得

(4)

(5)

2.2 對(duì)問(wèn)題1的分析

易知以地面為參考系,m2始終沿水平方向向右運(yùn)動(dòng),其豎直速度始終為0.若以斜臺(tái)m2為參考系(由于m2加速,所以為非慣性參考系),則m1做直線運(yùn)動(dòng),其豎直位移最大時(shí),其相對(duì)于斜臺(tái)m2的速度為0. 若再以地面為參考系,則當(dāng)m1豎直位移最大時(shí)(設(shè)此時(shí)時(shí)間為th),有

v1y(th)-0=0，v1x(th)-v2(th)=0.

即此時(shí)其二者水平速度相等(不妨設(shè)此速度為v共).將m1和m2視為一個(gè)系統(tǒng),由于此系統(tǒng)水平方向不受外力,則其水平方向的動(dòng)量守恒,有

m1v0cosθ+0=(m1+m2)v共.

又根據(jù)機(jī)械能守恒定律,可得

其中h即為m1所能達(dá)到的最大高度,聯(lián)立以上兩式,不難解出h.

以上利用守恒定律的方法,似乎只能求解問(wèn)題1,對(duì)于其他問(wèn)題,似乎沒(méi)有任何幫助.接下來(lái)對(duì)m1和m2的位移、速度、加速度進(jìn)行分析,用以尋找其他問(wèn)題的答案.

2.3 運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

易知m1始終在m2的斜面上運(yùn)動(dòng),從未與m2分離,不妨將此條件稱(chēng)為重要前提假設(shè).如圖2,分別畫(huà)出了0時(shí)刻和之后任意時(shí)刻t時(shí)刻(此時(shí)m1可能正在上升也可能正在下降)的運(yùn)動(dòng)圖像,分析后,根據(jù)幾何關(guān)系可得(位移的參考原點(diǎn)取0時(shí)刻m1的所在位置)

圖2

即對(duì)于任意時(shí)刻有

s1y(t)=tanθ[s1x(t)-s2(t)].

(6)

給(6)式的兩邊同時(shí)對(duì)時(shí)間求導(dǎo),得

v1y(t)=tanθ[v1x(t)-v2(t)].

(7)

驗(yàn)證m1和m2的初速度,發(fā)現(xiàn)恰好滿足(7)式. 這便意味著在此初始條件下,m1會(huì)一直貼著m2運(yùn)動(dòng),不會(huì)分離. 再給(7)式的兩邊同時(shí)對(duì)時(shí)間求導(dǎo),得

a1y(t)=tanθ[a1x(t)-a2(t)].

(8)

上面的(6)-(8)式是在“重要前提假設(shè)”下推出的,即若m1始終在m2的斜面上運(yùn)動(dòng),則必有(6)-(8)式;若m1和m2的速度(包括初速度)、加速度不能滿足(7)式、(8)式,則m1不會(huì)一直在m2的斜面上運(yùn)動(dòng),會(huì)離開(kāi)斜面.

將(4)式、(5)式代入(8)式,即可解得

(9)

即發(fā)現(xiàn)a2是一個(gè)與時(shí)間無(wú)關(guān)的常數(shù). 再加上m2初速為0,所以由此便可證明m2做向右的勻加速直線運(yùn)動(dòng). 再將(9)式代入(3)-(5)式,即可發(fā)現(xiàn)N、a1y、a1x皆與時(shí)間無(wú)關(guān),都是常數(shù),即

(10)

(11)

(12)

以上,便回答了問(wèn)題2和問(wèn)題3.

2.4 對(duì)問(wèn)題4的解答

設(shè)所求時(shí)間為th,易知m1在豎直方向做初速為v0sinθ的勻變速運(yùn)動(dòng),加速度為(11)式中的a1y,即有

v1y(t)=v0sinθ+a1yt.

根據(jù)勻變速運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱(chēng)性,易知,再過(guò)th,m1就從最高點(diǎn)回到了水平面.從0時(shí)刻到m1回到水平面,所經(jīng)歷的時(shí)間為2th,此過(guò)程中m2做初速為0的勻加速直線運(yùn)動(dòng),加速度為(9)式中的a2,則此過(guò)程中m2前進(jìn)的距離為

附加思考題:設(shè)θ、v0都是常數(shù),而m1和m2可取不同數(shù)值,求th的取值范圍.

圖3

2.5 對(duì)問(wèn)題5的解答

通過(guò)上面的論證,我們已經(jīng)知道:m1所受合力大小和方向都不發(fā)生變化,所以我們只需判斷其初速與合力的夾角(或初速度與合加速度的夾角),就可以判斷出它做怎樣的運(yùn)動(dòng).而根據(jù)已知和(8)式、(9)式、(11)式、(12)式,則有圖3

圖3中角φ>θ,是因?yàn)橛?8)式可推得

所以我們可以得出:相對(duì)于地面,m1做類(lèi)斜上拋運(yùn)動(dòng),其運(yùn)動(dòng)軌跡為拋物線的一部分,且此拋物線的對(duì)稱(chēng)軸與圖3中的a1的方向平行.

曲線的具體刻畫(huà),可采用參數(shù)方程給出.設(shè)t時(shí)刻m1相對(duì)于地面在A點(diǎn),則A點(diǎn)的坐標(biāo)為(s1x(t),s1y(t)),其中

對(duì)于從0時(shí)刻到滑塊m1回到水平面的過(guò)程,根據(jù)水平方向動(dòng)量守恒,易知

m1

m1=m2時(shí),有v1x(2th)=0,即m1水平末速為0(水平方向上m1與m2速度交換);

m1>m2時(shí),有v1x(2th)>0,即m1水平末速向右.

對(duì)于以上分析,可用電腦進(jìn)行如下的計(jì)算和軌跡繪制,進(jìn)行驗(yàn)證.(其中g(shù)=9.8 N/kg,沒(méi)有帶單位的物理量,其單位皆取國(guó)際單位.)

表1 不同初值下各物理量的值和m1所對(duì)應(yīng)的運(yùn)動(dòng)軌跡

圖4

圖5

圖6

圖7

圖8 圖9

2.6 對(duì)問(wèn)題6的解答

此時(shí)此刻,我想問(wèn)大家,當(dāng)初我們?cè)凇爸匾疤峒僭O(shè)”的條件下,推出N與時(shí)間無(wú)關(guān),為常數(shù)的時(shí)候,你是否感到非常驚訝?!因?yàn)閮山佑|的物體之間的相對(duì)速度越大,它們之間的壓力就越大,例如一顆子彈以1 cm/s的速度朝你靜止的手飛來(lái),可以想象你不會(huì)受傷.但是如果一顆子彈以10 m/s的速度朝你靜止的手飛來(lái),可以想象你的手將會(huì)有劇烈的疼痛.對(duì)于m1初速沿斜面向上、m2初速為0的初始情形,水平方向m1做初速不為0向右的勻減速運(yùn)動(dòng),m2做初速為0的勻加速運(yùn)動(dòng).m1上升階段,它們水平方向的相對(duì)速度在減小,所以它們之間的壓力N的大小應(yīng)該逐漸減小才對(duì),為什么是不變的呢?這便與筆者的第一直覺(jué)產(chǎn)生了奇妙的沖突.

圖10

那到底錯(cuò)在了哪里呢?錯(cuò)在了上述相對(duì)速度的說(shuō)法不夠準(zhǔn)確,而應(yīng)該是:兩接觸的物體之間在垂直于接觸面的方向上的相對(duì)速度越大,它們之間的壓力就越大.上面我們已經(jīng)證明當(dāng)m1初速沿斜面向上、m2初速為0時(shí),在接下來(lái)的運(yùn)動(dòng)中,其二者之間的壓力N的大小和方向都不變化,那么這也就意味著此后任意時(shí)刻其二者在垂直于斜面的方向上的相對(duì)速度不會(huì)變化.而它們初始時(shí)在垂直于斜面的方向上的分速度都為0,這便意味著之后它們?cè)诖朔较蛏系乃俣仁冀K相等.要想證明這一點(diǎn),只需證明它們垂直于斜面的方向上的加速度相等即可(因?yàn)樗鼈兇朔较蛏系某跛俣认嗟?,即

a1xsinθ-a1ycosθ=a2sinθ.

(13)

然而(13)式便是(8)式.這便證明了自恰性.

若以斜臺(tái)為參考系,則滑塊沿斜面運(yùn)動(dòng),垂直于斜面方向的分速度始終為0.即在垂直于斜面方向上二者的相對(duì)速度始終為0. 故亦可證明上述結(jié)論.

當(dāng)m1初速沿斜面向上、m2初速為0時(shí),在接下來(lái)的運(yùn)動(dòng)中,其二者之間的壓力N的大小和方向都不變化(而且其二者在垂直于斜面的方向上,相對(duì)速度始終為0),此時(shí)它們二者之間的壓力N,可以說(shuō)本質(zhì)上來(lái)源于重力,因?yàn)樵谶@種情況下,如果沒(méi)有重力,則m1會(huì)直接以初速做勻速直線運(yùn)動(dòng),而且與m2之間不會(huì)有彈力存在(忽略m1與m2之間的萬(wàn)有引力).

圖11

而對(duì)于m1初速不與斜面平行、m2初速為0的情形,由于初始速度條件不滿足(7),所以接下來(lái)的運(yùn)動(dòng)中,m1一定會(huì)離開(kāi)斜面,與m2分離.若此時(shí)m1的初速在垂直于斜面方向上的分量還指向m2,可以認(rèn)為此時(shí)m1以此垂直于斜面方向上的分速度去撞擊m2(彈性碰撞),所以它將受到較大的來(lái)源于撞擊所產(chǎn)生的力,大到足以使m1與m2分離.

附加思考題:對(duì)于m2?m1或m2?m1的極限情形,本文所計(jì)算的a2、a1x、a1y、N、φ、th、s2(2th)和m1的運(yùn)動(dòng)軌跡將變成怎樣的情形?試以此說(shuō)明解的自恰性.

3 啟示

查閱相關(guān)資料后發(fā)現(xiàn)文獻(xiàn)[1]和[2]都對(duì)此題有所論述,但都是先研究m1初速為0的情況獲得相應(yīng)結(jié)論,而且沒(méi)有討論各種初速下m1的運(yùn)動(dòng)軌跡,如果當(dāng)初首先是從這兩本書(shū)中研究此問(wèn)題,或許就不會(huì)產(chǎn)生如此多的疑問(wèn),而只是將其視為一道競(jìng)賽題.所以有時(shí)候在好奇心的驅(qū)使下,主動(dòng)發(fā)問(wèn),主動(dòng)探究,往往會(huì)獲得不同的收獲,因?yàn)檫@樣的研究是連續(xù)的、有主動(dòng)想象在內(nèi)的.這同樣也啟發(fā)我們出題時(shí),可以循序漸進(jìn)地設(shè)計(jì)許多問(wèn)題,讓學(xué)生思考一個(gè)物理現(xiàn)象的實(shí)際運(yùn)動(dòng)過(guò)程,腦中有運(yùn)動(dòng)過(guò)程的圖像,非常透徹地研究整個(gè)物理過(guò)程.