姜英明，紀(jì)曉雨，侯曉偉，馮彥同

(1.千尋位置網(wǎng)絡(luò)有限公司，上海 200438；2.濰坊職業(yè)學(xué)院農(nóng)林科技學(xué)院，山東濰坊 262737)

0 引言

坐標(biāo)參考框架是坐標(biāo)系統(tǒng)的具體實(shí)現(xiàn)，通常通過(guò)一組核心站點(diǎn)的測(cè)站坐標(biāo)和速度表示.坐標(biāo)參考框架是測(cè)繪活動(dòng)的參考基準(zhǔn)[1]，同時(shí)，高精度的坐標(biāo)參考框架也是進(jìn)行空間大地測(cè)量學(xué)研究所必須的前提[2].各個(gè)坐標(biāo)參考框架之間往往通過(guò)Helmert轉(zhuǎn)換參數(shù)來(lái)聯(lián)系.隨著我國(guó)北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)（BDS）的建成和BDS坐標(biāo)系的啟用，使用BDS進(jìn)行精密定位定軌等研究和生產(chǎn)，都需要關(guān)注坐標(biāo)框架的概念[3].為了準(zhǔn)確使用各種參考框架，需要分析其轉(zhuǎn)換的性質(zhì).

對(duì)于瞬時(shí)坐標(biāo)系或精度要求不高的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，一般采用Helmert七參數(shù)進(jìn)行.而對(duì)于高精度的坐標(biāo)參考框架如國(guó)際地球參考框架(ITRF)，固定的Helmert七參數(shù)不能描述其框架的時(shí)變特性，因此Helmert七參數(shù)被視為是時(shí)變的，此時(shí)Helmert七參數(shù)被擴(kuò)展成為Helmert十四參數(shù)[4].坐標(biāo)參考框架在建立時(shí)，一般都會(huì)公布其到其他主流參考框架如ITRF之間的轉(zhuǎn)換參數(shù)，以方便用戶使用.

但在實(shí)際使用時(shí)，某些參考框架之間可能沒(méi)有直接的轉(zhuǎn)換參數(shù)，尤其對(duì)于某些區(qū)域性的坐標(biāo)參考框架，此情形并不罕見(jiàn).此時(shí)可通過(guò)某些“中間框架”如ITRF進(jìn)行過(guò)渡，即首先將坐標(biāo)或速度轉(zhuǎn)換到具有直接轉(zhuǎn)換參數(shù)的某個(gè)ITRF框架，再通過(guò)ITRF到目標(biāo)框架的轉(zhuǎn)換參數(shù)，將坐標(biāo)或速度轉(zhuǎn)換到目標(biāo)框架.這造成了實(shí)際應(yīng)用的復(fù)雜和不便.基于此類(lèi)問(wèn)題，本文推導(dǎo)了由間接的過(guò)渡參數(shù)計(jì)算直接轉(zhuǎn)換參數(shù)的公式，以簡(jiǎn)化轉(zhuǎn)換過(guò)程，提高計(jì)算效率.

1 坐標(biāo)框架轉(zhuǎn)換原理

1.1 Helm ert七參數(shù)情形

在不考慮框架轉(zhuǎn)換參數(shù)變率的情況下，一般采用Helmert七參數(shù)進(jìn)行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換.假設(shè)從框架1到框架3之間沒(méi)有直接的轉(zhuǎn)換參數(shù)，但可以使用框架2進(jìn)行過(guò)渡.記框架1到框架2的轉(zhuǎn)換參數(shù)為T(mén)1、D1、R1；框架2到框架3的轉(zhuǎn)換參數(shù)為T(mén)2、D2、R2.一般情況下，平移參數(shù)T的單位為mm，尺度縮放參數(shù)D的單位為10?9（ppb），旋轉(zhuǎn)矩陣R的單位為千分之一秒（mas）.若坐標(biāo)或角度分別以m或rad為單位，則T、D、R的量級(jí)分別為10?3、10?9、10?9.

依據(jù)布爾莎模型，將框架1下的某點(diǎn)P的坐標(biāo)X1先轉(zhuǎn)換到框架2再轉(zhuǎn)換到框架3下的計(jì)算公式[5]為：

式中：X2為點(diǎn)P在框架2下的坐標(biāo)；X3為點(diǎn)P在框架3下的坐標(biāo).將式(1)代入式(2)，可得

整理式(3)，可得式(4)：

式(4)中，D2(T1+D1X1+R1X1)和R2(T1+D1X1+R1X1)兩項(xiàng)的量級(jí)皆為10?12m，在目前的測(cè)量精度下都可以忽略，因此在實(shí)際計(jì)算中，式(4)可以簡(jiǎn)化為

對(duì)比布爾莎模型的轉(zhuǎn)換公式，可知框架1到框架3的直接轉(zhuǎn)換參數(shù)T3、D3、R3可用式(6)計(jì)算：

1.2 Helmert十四參數(shù)情形

ITRF給出的各ITRF參考框架之間的轉(zhuǎn)換參數(shù)也是時(shí)變的，因此其轉(zhuǎn)換參數(shù)一般有14個(gè)，包括給定歷元t0下的七參數(shù)以及其各自的變化率分別為：T、D、R、T˙、D˙、R˙.變化率的單位分別為mm/a、ppb/a和mas/a，其數(shù)量級(jí)分別為：10?3、10?9、10?9、10?3、10?9、10?9.

整理式(11)，可得

后兩項(xiàng)的量級(jí)皆為10?12m/a，在計(jì)算時(shí)可忽略不計(jì)，因此速度的轉(zhuǎn)換公式(12)可簡(jiǎn)化寫(xiě)為

同理，將式(7)、(8)代入式(9)，可得坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換公式：

整理式（14）并忽略微小量，可得

作為對(duì)照，式(7)亦可寫(xiě)成

2 算例驗(yàn)證

2.1 數(shù)據(jù)準(zhǔn)備

歐洲參考框架網(wǎng)絡(luò)（EUREF）由多個(gè)持續(xù)觀測(cè)的永久性全球衛(wèi)生導(dǎo)航系統(tǒng)（GNSS）站點(diǎn)構(gòu)成，用于歐洲地區(qū)的參考框架維持.EUREF的數(shù)據(jù)由法國(guó)國(guó)家地理學(xué)院（IGN）或德國(guó)波茲坦地學(xué)中心（GFZ）統(tǒng)一處理，并基于其坐標(biāo)和速度實(shí)現(xiàn)ETRS89坐標(biāo)系.ETRS89是一種地心地固坐標(biāo)系，其坐標(biāo)系實(shí)現(xiàn)包括ETRF2000、ETRF2005和ETRF2014等[6].EUREF的站點(diǎn)分布由圖1所示。

圖1 EUREF站點(diǎn)分布圖

EUREF公布了其 714個(gè)站點(diǎn)分別位于ITRF2014、ETRF2014和ETRF2000框架下的坐標(biāo)和速度，同時(shí)公布了ETRF到各ITRF框架的轉(zhuǎn)換參數(shù).但是，其公布的成果中并未包含ETRF2014到ETRF2000的轉(zhuǎn)換參數(shù).本文以將EUREF站點(diǎn)坐標(biāo)從ETRF2014轉(zhuǎn)換到ETRF2000為例，驗(yàn)證由式(17)計(jì)算直接轉(zhuǎn)換參數(shù)的可行性.此時(shí)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換有兩種方案：

1）首先將坐標(biāo)和速度從ETRF2014轉(zhuǎn)到ITRF2014，然后再?gòu)腎TRF2014轉(zhuǎn)換到ETRF2000，記為方法A；

2）使用式(17)計(jì)算ETRF2014到ETRF2000的直接轉(zhuǎn)換參數(shù)，然后對(duì)ETRF2014框架下的坐標(biāo)和速度進(jìn)行轉(zhuǎn)換，記為方法B.

EUREF公布的2010.0歷元下，ETRF2014轉(zhuǎn)換到ITRF2014的轉(zhuǎn)換參數(shù)如表1所示：

2010.0歷元下，ITRF2014到ETRF2000的轉(zhuǎn)換參數(shù)如表2所示：

表1 ETRF2014到ITRF2014的轉(zhuǎn)換參數(shù)

表2 ITRF2014到ETRF2000的轉(zhuǎn)換參數(shù)

由式(17)計(jì)算得，方法B所使用的2 010.0歷元下ETRF2014到ETRF2000的直接轉(zhuǎn)換參數(shù)如表3所示：

表3 ETRF2014到ETRF2000的轉(zhuǎn)換參數(shù)

2.2 結(jié)果分析

作為驗(yàn)證，首先使用方法A將714個(gè)站點(diǎn)在ETRF2014下的坐標(biāo)和速度轉(zhuǎn)換到ETRF2000，并將轉(zhuǎn)換成果與EUREF官方公布的數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比.統(tǒng)計(jì)方法A與EUREF官方公布的ETRF2000框架下坐標(biāo)和速度的差異，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表4所示：

表4 方法A計(jì)算結(jié)果與官方數(shù)據(jù)對(duì)比統(tǒng)計(jì)

其坐標(biāo)和速度的差異分布分別如圖2、圖3所示：

圖2 方法A與ETRF2000公布的坐標(biāo)的差異分布

圖3 方法A與ETRF2000公布的速度的差異分布

從統(tǒng)計(jì)可以看出，方法A與EUREF官方公布的站點(diǎn)在ETRF2000框架下的成果，坐標(biāo)差異均優(yōu)于1mm，速度差異均優(yōu)于0.1mm/a，且差異有正有負(fù)均勻地分布在0兩側(cè)，這說(shuō)明方法A所進(jìn)行的轉(zhuǎn)換是正確的，其轉(zhuǎn)換差異主要受到偶然誤差的影響.

然后通過(guò)方法B使用表3中的轉(zhuǎn)換參數(shù)進(jìn)行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，并將其轉(zhuǎn)換成果與方法A作為對(duì)比.差異分布統(tǒng)計(jì)如表5所示：

差異分布如圖4、圖5所示：

表5 方法A與方法B計(jì)算結(jié)果對(duì)比統(tǒng)計(jì)

圖4 方法A與方法B坐標(biāo)差異分布圖

圖5 方法A與方法B速度差異分布圖

由以上統(tǒng)計(jì)可以看出，基于方法A和方法B得到的坐標(biāo)差異均為10?8m量級(jí)，速度差異為10?9m/a量級(jí).并且，其差異均大于0，說(shuō)明二者之間存在系統(tǒng)差.結(jié)合方法B的推導(dǎo)過(guò)程，易知這是因?yàn)榉椒˙的計(jì)算過(guò)程中忽略了一些微小量所造成的.但由于二者差異足夠小，因此可認(rèn)為方法A和方法B在一般使用中是等價(jià)的.

為驗(yàn)證式（18），使用參考框架ETRF2014到ITRF2014的轉(zhuǎn)換參數(shù)，將ETRF2014下的基站速度轉(zhuǎn)換到ITRF2014.作為對(duì)比：

1）方法C使用站點(diǎn)在ETRF2014下的坐標(biāo)；

2）方法D假定站點(diǎn)在ETRF2014下的坐標(biāo)未知，使用其在ITRF2014下的坐標(biāo)近似.

兩種方法的差異統(tǒng)計(jì)如表6所示。

表6 使用精確和近似坐標(biāo)進(jìn)行速度轉(zhuǎn)換對(duì)比

其差異分布如圖6所示。

圖6 使用精確坐標(biāo)與概略坐標(biāo)轉(zhuǎn)換速度的差異分布圖

由以上統(tǒng)計(jì)可發(fā)現(xiàn)，由方法C和方法D所計(jì)算的基站速度差異在10?9m/a量級(jí).二者雖然存在一定的系統(tǒng)差，但在實(shí)際使用時(shí)完全可以忽略.

3 結(jié)論

利用Helmert轉(zhuǎn)換公式進(jìn)行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換時(shí)，對(duì)于沒(méi)有直接轉(zhuǎn)換參數(shù)的坐標(biāo)框架，使用多步“過(guò)渡”的方式進(jìn)行轉(zhuǎn)換時(shí)公式復(fù)雜低效.本文對(duì)傳統(tǒng)的間接坐標(biāo)轉(zhuǎn)換方法進(jìn)行改進(jìn)，推導(dǎo)了坐標(biāo)框架間的直接轉(zhuǎn)換公式，并使用714個(gè)EUREF站點(diǎn)在ETRF2014和ETRF2000的坐標(biāo)和速度進(jìn)行驗(yàn)證，得出以下結(jié)論：

1）對(duì)于Helmert七參數(shù)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，兩個(gè)框架的直接轉(zhuǎn)換參數(shù)可由作為過(guò)渡的框架轉(zhuǎn)換參數(shù)求和計(jì)算，計(jì)算方法如式(6)；

2）對(duì)于Helmert十四參數(shù)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，兩個(gè)框架的直接轉(zhuǎn)換參數(shù)，其Helmert七參數(shù)的變率可由作為過(guò)渡的框架轉(zhuǎn)換參數(shù)的變率求和計(jì)算，Helmert七參數(shù)可將作為過(guò)渡的轉(zhuǎn)換參數(shù)歸算到某一相同歷元后求和計(jì)算，計(jì)算方法如式(17)；

3）在對(duì)速度進(jìn)行框架轉(zhuǎn)換時(shí)，若與原框架下速度對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)未知，可使用其他框架下相差不大的坐標(biāo)代替.

總體而言，坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的直接參數(shù)法和間接參數(shù)法差異較小，但本文的轉(zhuǎn)換方法可簡(jiǎn)化計(jì)算步驟，各參考框架之間的轉(zhuǎn)換參數(shù)可提前計(jì)算后保存，方便程序?qū)崿F(xiàn)，也可以節(jié)約計(jì)算資源.