袁興明，孫振

(1.山東工業(yè)職業(yè)學(xué)院 建筑與信息工程學(xué)院，山東 淄博 256414；2.山東理工大學(xué) 測繪工程系，山東 淄博 255049)

0 引言

大地測量與導(dǎo)航定位中，測距定位方程為超定非線性方程，可采用非線性最小二乘理論進(jìn)行求解.該方程傳統(tǒng)上依據(jù)泰勒級數(shù)展開取至一階項(xiàng)，采用線性平差估計(jì)求解，這會(huì)導(dǎo)致信息量的缺失和模型特征的改變[1-2].當(dāng)非線性模型強(qiáng)度和殘差較大時(shí)，傳統(tǒng)的線性化平差估計(jì)并不能取得有效的結(jié)果[3-4].若此時(shí)伴隨不適定問題，會(huì)進(jìn)一步降低參數(shù)估計(jì)解的精度和可靠性.固有曲率和參數(shù)效應(yīng)是刻畫非線性模型線性化的數(shù)量指標(biāo)，能夠評估推斷效果的優(yōu)劣程度、適應(yīng)條件和容許誤差，但無法評估非線性平差的收斂平穩(wěn)情況[5-6].研究表明，非線性擾動(dòng)主要來源于線性近似時(shí)系數(shù)矩陣的擾動(dòng)、附加的截?cái)嗾`差及正交過程[7-8].

迭代估計(jì)是求解非線性無約束最優(yōu)化方法常用的數(shù)值方法，即通過構(gòu)造一定的迭代序列使其滿足一定的收斂條件.雖然牛頓法能夠處理非線性最小二乘問題，但由于其儲(chǔ)存成本等因素，更傾向于采用高斯-牛頓法[9-10].研究表明，高斯-牛頓法的適應(yīng)條件為殘差小和非線性強(qiáng)度弱的非線性方程，可是當(dāng)非線性方程含有不適定問題時(shí)，傳統(tǒng)的線性化平差估計(jì)和經(jīng)典數(shù)值方法如高斯-牛頓法會(huì)由于觀測數(shù)據(jù)誤差擾動(dòng)而產(chǎn)生強(qiáng)烈的不穩(wěn)定特征，導(dǎo)致參數(shù)估計(jì)解不穩(wěn)定，甚至求解失效[11-14].由此可知，根據(jù)實(shí)際問題的線性化程度、秩虧或者病態(tài)程度，選擇合適的非線性平差模型就顯得尤為重要.

對于測距定位問題，非線性最小二乘解是觀測向量末端以觀測權(quán)為質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)系的重心.針對測距定位方程最小二乘解性質(zhì)，來構(gòu)造非線性數(shù)值算法的研究較為困難.在這方面，Xue等[15]作出了一定的突破，他基于非線性最小二乘解性質(zhì)發(fā)展了簡單，且無需矩陣求逆的穩(wěn)定數(shù)值方法，即重心迭代法，然而，該方法由于線性搜索因子1/tr(P)過于保守，收斂速度可能非常緩慢，具有較低的收斂效率，實(shí)用價(jià)值不高.為增加重心迭代法的實(shí)用價(jià)值，本文基于殘差最小步長準(zhǔn)則提出了一種改進(jìn)的重心迭代法，即松弛重心迭代法來提高重心迭代法的收斂效率.最后采用全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)（GNSS）數(shù)據(jù)和水下定位數(shù)據(jù)，驗(yàn)證了該方法的主要結(jié)果.

1 超定測距定位方程的松弛重心迭代算法

設(shè)測距定位觀測方程的向量表達(dá)式為

式中：L為m×n的觀測向量；d(x)=∥xi?x∥2=為已知坐標(biāo)至未知坐標(biāo)的歐式距離；x=[x1,x2,···,xm]∈Rm為未知點(diǎn)構(gòu)成的向量集；xi=[xi1,xi2,···,xim]∈Rm為已知坐標(biāo)點(diǎn)構(gòu)成的向量集；ε為觀測誤差.

非線性最小二乘平差實(shí)質(zhì)是求泛函極小值的最優(yōu)化問題，常用來處理式(1)，則非線性最小二乘參數(shù)估計(jì)解為

式中，

為殘差向量.運(yùn)用無約束非線性最小二乘求解式(1)，非線性最小二乘目標(biāo)函數(shù)即式(3)滿足如下正交條件方程：

由式(4)和式(5)聯(lián)立可得

根據(jù)式（6），文獻(xiàn)[15]導(dǎo)出了測距定位方程參數(shù)估計(jì)的重心迭代法，其迭代公式為

式（8）為重心迭代公式，式（7）實(shí)際是一種最速下降法，即選取重心迭代法不依賴于初始值的精度，具有計(jì)算簡單，無需矩陣取逆、計(jì)算海森矩陣的優(yōu)點(diǎn).重心迭代法實(shí)質(zhì)上是一種最速下降法，收斂速度主要依賴于線性搜索因子1/tr(P)的影響.1/tr(P)是重心法求解的保守策略，易受到觀測數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)n的影響，即隨著觀測數(shù)目增多，其線性搜索策略可能越保守，比如當(dāng)權(quán)陣為單位陣，觀測數(shù)目n為20時(shí)，重心迭代法的步長為0.05，這時(shí)重心迭代法具有較低的收斂效率.為增加重心法的實(shí)用性，必須提高其收斂效率.為此，本文將對重心迭代法進(jìn)行如下改進(jìn)

式(9)為松弛重心迭代公式，其中，ωk為松弛參數(shù)，主要依據(jù)殘差性質(zhì)來自適應(yīng)調(diào)整迭代步長，提高數(shù)值解的整體效果.

文獻(xiàn)[16]提出了殘差最小準(zhǔn)則確定步長的思想，驗(yàn)證了方法的計(jì)算效率.為此，本文采用了殘差最小準(zhǔn)則來確定松弛因子.殘差最小準(zhǔn)則方法充分采用目標(biāo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)信息和函數(shù)值信息，相比于傳統(tǒng)線搜索方法如黃金分割法和拋物線法具有一定優(yōu)勢.下面給出了該方法確定松弛參數(shù)的嚴(yán)密推導(dǎo)公式.設(shè)第k+1次的擬合殘差為松弛因子的函數(shù)，即

式中，d(xk+1)為xk+1處的函數(shù)計(jì)算值，可將其在xk依據(jù)泰勒級數(shù)展開得

考慮到xk+1=xk+ωkd(xk)，聯(lián)合式(1)和式(2)，可將松弛因子函數(shù)化簡為

將式(9)代入式(12)聯(lián)合式(4)可得

將式(13)關(guān)于ω求其偏導(dǎo)并進(jìn)行化簡可得

若要k+1次殘差最小，需滿足 ?R(ω)/?ω=0，可得松弛因子的確定公式.考慮到迭代過程，可將步長記為如下形式

2 實(shí)驗(yàn)分析

為了測試本文提出的新方法在觀測病態(tài)和良態(tài)的表現(xiàn)效果，分別選取GNSS觀測數(shù)據(jù)和南海水下定位數(shù)據(jù)進(jìn)行測試.本文設(shè)置迭代收斂條件為該條件所消耗成本遠(yuǎn)高于重心法和松弛重心法的迭代成本，雖然本文用該條件來驗(yàn)證該方法.

2.1 BDS偽距單點(diǎn)定位

本文采用2017年4月28日采集的GNSS觀測數(shù)據(jù)（該數(shù)據(jù)文件包括GPS、BDS及GLONASS的三系統(tǒng)觀測值），采樣間隔為1 s，選取其中1個(gè)歷元北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)（BDS）觀測數(shù)據(jù)進(jìn)行偽距單點(diǎn)定位實(shí)驗(yàn).表1給出了原始偽距觀測值和誤差改正后的偽距觀測值（誤差改正包括：電離層改正、對流層改正和衛(wèi)星鐘差改正等）.迭代初值按照文獻(xiàn)[15]給出的方法進(jìn)行計(jì)算.

表1 單歷元的BDS觀測數(shù)據(jù)

分別采用高斯-牛頓迭代法、重心迭代法和松弛重心迭代法來處理水下實(shí)測數(shù)據(jù)，解算結(jié)果如表2所示.由表可知，高斯-牛頓法、重心法和松弛重心法的數(shù)值收斂解相同但耗時(shí)最短.該算例表明，高斯-牛頓法相對于重心法和松弛重心法具有更好的局部收斂性質(zhì)，這是因?yàn)锽DS衛(wèi)星距離位置待測點(diǎn)相差3萬多千米，非線性強(qiáng)度弱.松弛重心迭代法依據(jù)殘差準(zhǔn)則自適應(yīng)確定松弛因子，提高了重心迭代法的收斂效率，節(jié)省了計(jì)算成本.三種數(shù)值相比較而言，高斯-牛頓法計(jì)算成本較低，建議當(dāng)距離觀測方程良好且距離觀測量非常大時(shí)，采用高斯-牛頓法.

表2 不同算法的解算結(jié)果

圖1給出了重心法和松弛重心法的點(diǎn)位迭代序列圖.圖中k表示迭代次數(shù).由圖可知，松弛重心迭代法依據(jù)殘差準(zhǔn)則自適應(yīng)確定松弛因子，不會(huì)對最終數(shù)值收斂解和迭代序列穩(wěn)定性產(chǎn)生影響，而明顯提高了重心迭代法的收斂，節(jié)省了運(yùn)算成本.以上表明，松弛重心迭代法在繼承了重心迭代法迭代序列穩(wěn)定，無需計(jì)算海森矩陣的優(yōu)點(diǎn)之外，相對于重心迭代法具有更好的局部收斂性質(zhì)，實(shí)用價(jià)值更高.

圖1 重心迭代算法和松弛重心迭代算法的點(diǎn)位迭代序列圖

2.2 水下應(yīng)答器絕對位置計(jì)算

本文采用水下定位實(shí)測數(shù)據(jù)進(jìn)行驗(yàn)證，數(shù)據(jù)主要是測量船圍繞應(yīng)答器航行獲取.在1圈數(shù)據(jù)中選取15個(gè)相鄰數(shù)據(jù)進(jìn)行驗(yàn)證，數(shù)據(jù)坐標(biāo)如圖2所示.假設(shè)觀測距離為等精度觀測，要求根據(jù)15個(gè)已知點(diǎn)坐標(biāo)和觀測距離求待測點(diǎn)的坐標(biāo).

以1圈數(shù)據(jù)的單點(diǎn)定位結(jié)果作為真值.數(shù)據(jù)采集過程中，測量船在水平面航行，Z方向上具有較強(qiáng)的病態(tài)性；此外，測量船航行過程中，采集數(shù)據(jù)相隔時(shí)間較短，X方向和Y方向也會(huì)產(chǎn)生微弱的病態(tài)性.迭代初值按照文獻(xiàn)[15]給出的方法進(jìn)行計(jì)算.經(jīng)計(jì)算初始設(shè)計(jì)矩陣條件數(shù)為cond(N(x0))=3.97×1013.分別采用高斯-牛頓法、重心迭代法和松弛重心迭代法來處理水下實(shí)測數(shù)據(jù)，解算結(jié)果如表3所示.

圖2 水下實(shí)測數(shù)據(jù)平面坐標(biāo)變化圖

表3 不同算法的解算結(jié)果

由表3可知，高斯-牛頓法易受到線性初值和方程組模型態(tài)性影響，迭代序列受到觀測數(shù)據(jù)誤差擾動(dòng)而無法收斂，建議處理病態(tài)問題時(shí)一般不采用高斯-牛頓法.重心迭代法和松弛重心迭代法無需矩陣取逆，能夠避免觀測誤差擾動(dòng)對取逆算子擾動(dòng)的影響.松弛重心迭代法根據(jù)殘差準(zhǔn)則來自適應(yīng)確定松弛因子，主要是用來提高重心迭代法的收斂效率，并不會(huì)對數(shù)值收斂結(jié)果產(chǎn)生影響，其結(jié)果與重心迭代法的結(jié)果相同.由表進(jìn)一步能夠看出，重心迭代法具有較低的收斂效率，其消耗時(shí)間為132.4420 s，迭代次數(shù)為28280次；松弛重心迭代法明顯提高了重心迭代法的收斂效率，時(shí)間大約可節(jié)省130 s，迭代次數(shù)大約是重心迭代法的1/8.

圖3給出了松弛重心迭代法和重心迭代法的點(diǎn)位迭代序列圖.由圖可知，重心迭代法和松弛重心迭代法在X方向和Y方向點(diǎn)位迭代序列變化較為平緩；在Z方向上，重心迭代法和松弛重心迭代法點(diǎn)位迭代序列整體變化較為平緩，可是分別在迭代1425次和3410次都產(chǎn)生了較大的擾動(dòng)，這是由于短程水下測距定位方程病態(tài)性主要集中于Z方向，由于觀測數(shù)據(jù)誤差而導(dǎo)致迭代序列產(chǎn)生不穩(wěn)定特征.以上結(jié)果表明，松弛重心迭代法在繼承重心迭代法迭代序列穩(wěn)定、無需矩陣求逆和計(jì)算海森矩陣的優(yōu)點(diǎn)之外，具有更好的局部收斂性質(zhì)，實(shí)用價(jià)值更高.

圖3 松弛重心迭代算法和重心迭代算法的點(diǎn)位迭代序列圖

3 結(jié)束語

無論處理病態(tài)問題和良態(tài)問題，重心迭代法由于線性搜索因子 1/tr(P)過于保守，具有較低的收斂效率.本文提出的方法在繼承了重心迭代法不依賴于初始值的精度，具有計(jì)算簡單，無需矩陣求逆、計(jì)算海森矩陣的優(yōu)點(diǎn)外，依據(jù)殘差最小準(zhǔn)則確定松弛參數(shù)來自適應(yīng)更新迭代步長，明顯提高重心迭代法的收斂速度.算例結(jié)果表明：松弛重心迭代法無論處理良態(tài)問題和不適定問題，相比于重心迭代法具有更好的局部收斂性質(zhì)，應(yīng)用價(jià)值更高.

高斯-牛頓法由于忽視了距離觀測方程的二階項(xiàng)信息，適合處理殘差小且觀測態(tài)性良態(tài)測距方程.但是當(dāng)處理不適定測距方程時(shí)，高斯-牛頓法由于設(shè)計(jì)矩陣秩虧或者病態(tài)而解算失敗.本文提出的新方法在處理不適定問題時(shí)，相比于高斯-牛頓法有更好的收斂效果.為此，我們應(yīng)該充分考慮松弛重心迭代法和高斯-牛頓法的優(yōu)點(diǎn)來處理盡可能多的問題.