王娟

概率與統(tǒng)計在新高考中的命題大致是“兩小一大”（參見2020年高考山東卷），總分為22分. 其中“兩小”中的一題比較基礎(chǔ)，另一題比較難.“一大”屬于概率統(tǒng)計與實際應(yīng)用相結(jié)合問題，難宜適中，正常情況下考生是可以得分的.看看過去、想想今天，我們將面對2021年高考，這是新的開始，那么，高考試題會如何設(shè)計呢？我們暫且認(rèn)定既有“小題”也有“大題”. 這些題將落在何處，以什么樣的面孔與考生見面？依據(jù)考試說明、命題大綱及近期各地市的模擬試題，談?wù)勎覀儗?021年高考全國高考概率統(tǒng)計方面的命題預(yù)測，供參考.

一、客觀性試題的設(shè)計

由于概率統(tǒng)計內(nèi)容十分豐富，必修三兩章、選修2-3整本，于是，“小題”出現(xiàn)在哪里？值得我們認(rèn)真思考，再想想過往試題，再看看近期試卷，我們認(rèn)為在以下幾個方面設(shè)計試題的可能性會很大.

1. 在隨機(jī)抽樣中設(shè)計

例1 采用系統(tǒng)抽樣方法從960人中抽取32人做問卷調(diào)查，為此將他們隨機(jī)編號為1，2，…，960，分組后在第一組采用簡單隨機(jī)抽樣的方法抽到的號碼為9.抽到的32人中，編號落入?yún)^(qū)間[1，450]的人做問卷A，編號落入?yún)^(qū)間[451，750]的人做問卷B，其余的人做問卷C. 則抽到的人中，做問卷B的人數(shù)為（ ）

A. 7 B. 9 C. 10 D. 15

解析 C. 抽樣間隔為30，所以第k組被抽中的號碼為9+30（k-1）.令451≤9+30（k-1）≤750，15■≤k≤25■，k∈N*，∴做B卷的人數(shù)為10人，選C.

點評系統(tǒng)抽樣的特點——機(jī)械抽樣，又稱等距抽樣，所以依次抽取的樣本對應(yīng)的號碼就是一個等差數(shù)列，首項就是第1組所抽取樣本的號碼，公差為間隔數(shù)，根據(jù)等差數(shù)列的通項公式就可以確定每一組內(nèi)所要抽取的樣本號碼.系統(tǒng)抽樣時，如果總體中的個數(shù)不能被樣本容量整除時，可以先用簡單隨機(jī)抽樣從總體中剔除幾個個體，然后再按系統(tǒng)抽樣進(jìn)行.

2. 在特殊數(shù)據(jù)中設(shè)計

例2 由正整數(shù)組成的一組數(shù)據(jù)x1， x2， x3， x4，其平均數(shù)和中位數(shù)都是2，且標(biāo)準(zhǔn)差等于1，則這組數(shù)據(jù)的立方和為（）

A. 70 B. 60 C. 50 D. 56

解析 D. 不妨設(shè)x1≤x2≤x3≤x4， x1， x2， x3， x4∈N*，依題意得x1+x2+x3+x4=8，s=■=1，

即（x1-2）2+（x2-2）2+（x3-2）2+（x4-2）2=4，所以x4≤3.

則只能x1=x2=1，x3=x4=3，則這組數(shù)據(jù)為1， 1， 3， 3.

于是■+■+■+■=13+13+33+33=56，選D.

例3 “微信運(yùn)動”是騰訊開發(fā)的一個記錄跑步或行走情況（步數(shù)里程）的公眾號用戶通過該公眾號可查看自己某時間段的運(yùn)動情況，某人根據(jù)2018年1月至2018年11月期間每月跑步的里程（單位：十公里）的數(shù)據(jù)繪制了下面的折線圖，根據(jù)該折線圖，下列結(jié)論正確的是（）

A. 月跑步里程逐月增加

B. 月跑步里程最大值出現(xiàn)在10月

C. 跑步里程的中位數(shù)為5月份對應(yīng)的里程數(shù)

D. 1月至5月的月跑步里程相對于6月至11月波動性更小，變化比較平穩(wěn)

解析 BCD.由某人2018年1月至2018年11月期間每月跑步的平均里程（單位：公里）的數(shù)據(jù)繪制的折線圖知：

在A中，月跑步平均里程2月、7月、8月和11月減少，故A錯誤.

在B中，月跑步里程最大值出現(xiàn)在10月，故B正確.

在C中，月跑步里程數(shù)按從小到大排列，發(fā)現(xiàn)中位數(shù)為5月份對應(yīng)的里程數(shù)，故C正確.

在D中，1月至5月的月跑步平均里程相對于6月至11月，波動性更小，變化比較平穩(wěn)，故D正確.

點評平均數(shù)與方差都是重要的數(shù)字特征，是對總體的一種簡明的描述，它們所反映的情況有著重要的實際意義，平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)描述其集中趨勢，方差和標(biāo)準(zhǔn)差描述其波動大小.

3. 在概率中設(shè)計

例4 儲物罐中有2個紅球，3個白球和3個黑球，現(xiàn)從該罐任取2球，則下列結(jié)論中正確的是（）

A. 兩球都是紅球、白球、黑球的概率之比為2 ∶ 3 ∶ 3

B. 兩球同色的概率為■

C. 兩球為一紅一白的概率為■

D. 若兩球一紅一白為事件A，一白一黑為事件B，則事件A與事件B不是互斥事件

解析 BC. 對于A，兩球都是紅球、白球、黑球的概率分別為■，■，■，顯然，A一正確. 對于B，兩球同時色的概率為■=■，選項B正確. 對于C，兩球為一紅一白的概率為■=■. 對于D，若兩球一紅一白為事件A，一白一黑為事件B，則事件A與事件B不會同時發(fā)生，是互斥事件.

點評概率涉及的內(nèi)容很豐富，既有古典概型問題，又有離散型隨機(jī)變量的概率等，在此處設(shè)計多選題恰到好處，可以達(dá)到一題多考的目的.

4. 在排列組合中設(shè)計

例5 設(shè)集合A={（x1，x2，x3，x4，x5）|xi∈|-1，0，1|，i=1，2，3，4，5}，那么集合A中滿足條件“1≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3”的元素個數(shù)為（）

A. 130 B. 120 C. 90 D. 60

（5）A. 其一：|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|=1，此時，從x1， x2， x3，x4， x5中任取一個讓其等于1或-1，于是有■■=10.

其二：|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|=2，此時，從x1， x2， x3， x4， x5中任取兩個讓其都等于1或都等于-1或一個是1另一個是-1，于是有2■+■■ = 40.

其三：|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|=3，此時，從x1， x2， x3， x4， x5中任取三個讓其都等于1或都等于-1或兩個是1另一個是或兩個是-1另一個是1，

于是有2■+■■+■■=80. 選A.

點評求解排列、組合的綜合應(yīng)用問題關(guān)鍵在于分類與分步要非常清晰，在分類上做到不重不漏，在分步上做到層次分明.這樣就可以保證結(jié)論的準(zhǔn)確性.

5. 在二項式定理中設(shè)計

例6 設(shè)f（x）是（x2+■）6展開式的中間項，則f（x）≤mx在區(qū)間 [■，■] 上恒成立的必要不充分條件是（）

A. m∈[0， +∞） B. m∈[■， +∞）

C. m∈[■， 5） ??? D. m∈[5， +∞）

解析 AB. 由于（x2+■）6的展開式共有7項，所以中間項為第4項，

因為（x2+■）6展開式的通項為Tr+1=■（x2）6-r（■）r=（■）r ■x12-3r.

令r=3得T4=■（x2）6-3（■）3=■x3，所以f（x）=■x3.

因為f（x）≤mx在區(qū)間[■，■] 上恒成立，∴■x3≤mx在區(qū)間[■，■] 上恒成立，∴ m≥■x2在區(qū)間[■，■] 上恒成立，當(dāng)x=■時，■x2有最大值為5.

∴ m≥5，所以f（x）≤mx在區(qū)間[■，■] 上恒成立的必要不充分條件，符合條件的是AB.

點評二項式定理中的命題還可以設(shè)計求一個三項式展開式某指定項的系數(shù)，這也是?？汲Ｐ碌囊活愒囶}，同樣值得我們關(guān)注.

6. 在離散型隨機(jī)變量的均值與方差中設(shè)計

例7 下列命題中，正確的命題的是（ ）

A. 已知隨機(jī)變量服從二項分布B（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，p=■

B. 將一組數(shù)據(jù)中的每個數(shù)據(jù)都加上同一個常數(shù)后，均值與方差恒都不變

C. 設(shè)隨機(jī)變量？孜服從正態(tài)分布N（0，1），若P（？孜>1）=p，則P（-1<？孜≤0）=■-p

D. 某人在10次射擊中，擊中目標(biāo)的次數(shù)為X， X～B（10， 0.8），則當(dāng)X=8時概率最大

解析 ACD. 對于A，隨機(jī)變量服從二項分布B（n， p），若E（X）=30， D（X）=20可得np=30，np（1-p）=20？圯p=■故A正確. 對于B，根據(jù)公式易知，將一組數(shù)據(jù)中的每個數(shù)據(jù)都加上同一個常數(shù)后，方差恒不變，但均值會改變，故不正確. 對于C隨機(jī)變量？孜服從正態(tài)分布N（0，1），則圖像關(guān)于y軸對稱，若P（？孜>1）=p則P（0<？孜<1）=■-p？圯P（-1<？孜<0）=■-p，故正確. 對于D，因為在10次射擊中，擊中目標(biāo)的次數(shù)為X， X ～ B（10， 0.8），對應(yīng)的概率P（x=k）=■×0.8k×0.210-k，當(dāng)k≥1時，■=■=■≥1？圯1≤k≤■，因為k為整數(shù)，所以1≤k≤8即當(dāng)k=8時，概率X=8最大，故D正確.

點評在離散型隨機(jī)變量的均值及方差中設(shè)計試題，往往不會單獨考查某一知識點或技能點，可能會考查多個不同的內(nèi)容，如本題均值、方差、二項分布及二項分布中概率的最值等，可以看出：有一個不過關(guān)，想征服此題根本沒可能.

二、主觀性試題的設(shè)計

主觀性試題，我們首先要關(guān)注幾個常規(guī)的命題點，然后我們再注重試題創(chuàng)新，具體內(nèi)容請看：

1. 圍繞獨立性檢驗進(jìn)行設(shè)計

例8 海水養(yǎng)殖場進(jìn)行某水產(chǎn)品的新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的產(chǎn)量對比，收獲時各隨機(jī)抽取了100個網(wǎng)箱，測量各箱水產(chǎn)品的產(chǎn)量（單位：kg），其頻率分布直方圖如下：

（Ⅰ）記A表示事件“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50 kg”，估計A的概率.

（Ⅱ）填寫下面列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有99%的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān).

（Ⅲ）根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖，對這兩種養(yǎng)殖方法的優(yōu)劣進(jìn)行比較.附：

K2=■

解析（Ⅰ）舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50 kg的頻率為（0.012+0.014+0.024+0.034+0.040）×5=0.62，

因此，事件A的概率估計值為0.62.

（Ⅱ）根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖得列聯(lián)表

K2=■≈15.705，

由于15.705>6.635，故有99%的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān).

（Ⅲ）箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖平均值（或中位數(shù)）在45 kg到50 kg之間，且新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量分布集中程度較舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量分布集中程度高，因此，可以認(rèn)為新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量較高且穩(wěn)定，從而新養(yǎng)殖法優(yōu)于舊養(yǎng)殖法.

點評獨立性檢驗是對兩個變量有關(guān)系的可信程度的判斷，而不是對其是否有關(guān)系的判斷. 獨立性檢驗得出的結(jié)論是帶有概率性質(zhì)的，只能說結(jié)論成立的概率有多大，而不能完全肯定一個結(jié)論.

2. 圍繞線性與非線性回歸進(jìn)行設(shè)計

例9 下表是近幾屆奧運(yùn)會中國代表團(tuán)獲得的金牌數(shù)之和y（從26屆算起，不包括之前已獲得的金牌數(shù)）隨時間x變化的數(shù)據(jù).

作出散點圖如圖所示.

由圖可以看出，金牌數(shù)之和y與時間x之間存在線性相關(guān)關(guān)系.

（Ⅰ）求y關(guān)于x的線性回歸方程.

（Ⅱ）預(yù)測第32屆中國代表團(tuán)獲得的金牌數(shù)之和為多少？

（Ⅲ）現(xiàn)已知第31屆中國代表團(tuán)實際所獲的金牌數(shù)為26，求殘差■.

參考數(shù)據(jù)：x=28，y=85.6，■（xi -x）（yi -y）=381，■（xi -x）2=10.

附：對于一組數(shù)據(jù)（x1， y1），（x2， y2），…，（xn， yn），其回歸直線■=■+■x的斜率和截距的最小二乘估計分別為：■=■=■，■=■-■■.

解析（Ⅰ）■=■=■=38.1，

■=■-■■=85.6-38.1×28=-981.2，

所以金牌數(shù)之和y關(guān)于時間x的線性回歸方程為■=38.1x-981.2.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當(dāng)x=32時，中國代表團(tuán)獲得的金牌數(shù)之和的預(yù)測值■=38.1×32-981.2=238，故預(yù)測第32屆中國代表團(tuán)獲得的金牌數(shù)之和為238枚.

（Ⅲ）當(dāng)x=31時，中國代表團(tuán)獲得的金牌數(shù)之和的預(yù)測值為：

■=38.1×31-981.2=199.9，

第31屆中國代表團(tuán)獲得的金牌數(shù)之和的真實值為165+26=191，

所以殘差■=191-199.9=-8.9.

點評求回歸方程的方法是最小二乘法，即使得樣本數(shù)據(jù)的點到回歸直線的距離的平方和最小. 線性回歸模型y=bx+a+e，其中e稱為隨機(jī)誤差，自變量x稱為解釋變量，因變量y稱為預(yù)報變量. 回歸直線■=■x+■必過樣本點的中心（x，y），這個結(jié)論既是檢驗所求回歸直線方程是否準(zhǔn)確的依據(jù)，也是求參數(shù)的一個依據(jù).

3. 圍繞均值與方差進(jìn)行設(shè)計

例10 某花店每天以每枝5元的價格從農(nóng)場購進(jìn)若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的價格出售，如果當(dāng)天賣不完，剩下的玫瑰花作垃圾處理.

（1）若花店一天購進(jìn)16枝玫瑰花，求當(dāng)天的利潤y（單位：元）關(guān)于當(dāng)天需求量n（單位：枝，n∈N）的函數(shù)解析式.

（2）花店記錄了100天玫瑰花的日需求量（單位：枝），整理得下表：

以100天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率.

①若花店一天購進(jìn)16枝玫瑰花，X表示當(dāng)天的利潤（單位：元），求X的分布列、數(shù)學(xué)期望及方差.

②若花店計劃一天購進(jìn)16枝或17枝玫瑰花，你認(rèn)為應(yīng)購進(jìn)16枝還是17枝？請說明理由.

解析（1）當(dāng)n≥16時，y=16×（10-5）=80.

當(dāng)n≤15時，y=5n-5（16-n）=10n-80，得：y=10n-80（n≤15）80?????? （n≥16）（n∈N）.

（2）①X可取60，70，80.

P（X=60）=0.1， P（X=70）=0.2， P（X=80）=0.7.

X的分布列為：

EX=60×0.1+70×0.2+80×0.7=76，

DX=162×0.1+62×0.2+42×0.7=44.

②答案一：

花店一天應(yīng)購進(jìn)16枝玫瑰花. 理由如下：

若花店一天購進(jìn)17枝玫瑰花，Y表示當(dāng)天的利潤（單位：元），那么Y的分布列為：

Y的數(shù)學(xué)期望為EY=55×0.1+65×0.2+75×0.16+85×0.54=76.4，Y的方差為DY=（55-76.4）2×0.1+（65-76.4）2×0.2+（75-76.4）2×0.16+（85-76.4）2×0.54=112.04，

由以上的計算結(jié)果可以看出，DX

另外，雖然EX

答案二：

花店一天應(yīng)購進(jìn)17枝玫瑰花. 理由如下：

若花店一天購進(jìn)17枝玫瑰花，Y表示當(dāng)天的利潤（單位：元），那么Y的分布列為：

Y的數(shù)學(xué)期望為EY=55×0.1+65×0.2+75×0.16+85×0.54=76.4，

由以上的計算結(jié)果可以看出，EX

點評本題與實際問題結(jié)合，將分段函數(shù)與均值、方差有效的交匯在一起，借助均值做決策的問題，確實是一道非常好的試題，難度不大，但完全征服你有絕對把握嗎？

4. 圍繞正態(tài)分布進(jìn)行設(shè)計

例11 從某企業(yè)的某種產(chǎn)品中抽取500件，測量這些產(chǎn)品的一項質(zhì)量指標(biāo)值，由測量結(jié)果得如下頻率分布直方圖：

（Ⅰ）求這500件產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù) x 和樣本方差s2（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作代表）.

（Ⅱ）由頻率分布直方圖可以認(rèn)為，這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值Z服從正態(tài)分布N（？滋， ？啄2），其中？滋近似為樣本平均數(shù) x ，？啄2近似為樣本方差s2.

（i）利用該正態(tài)分布，求P（187.8

（ii）某用戶從該企業(yè)購買了100件這種產(chǎn)品，記X表示這100件產(chǎn)品中質(zhì)量指標(biāo)值為于區(qū)間（187.8，212.2）的產(chǎn)品件數(shù)，利用（i）的結(jié)果，求EX.

附：■≈12.2.

若Z～N（？滋，？啄2），則P（？滋-？啄

解析（Ⅰ）抽取產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù) x 和樣本方差s2分別為：

x =170×0.02+180×0.09+190×0.22+200×0.33+210×0.24+220×0.08+230×0.02=200.

s2=（-30）2×0.02+（-20）2×0.09+（-10）2×0.22+0×0.33+（10）2×0.24+（20）2×0.08+（30）2×0.02=150.

（Ⅱ）（?。┯桑á瘢┲猌～N（200， 150），從而

P（187.8

（ⅱ）由（?。┲?，一件產(chǎn)品中質(zhì)量指標(biāo)值為于區(qū)間（187.8， 212.2）的概率為0.6826.

依題意知X～B（100，0.6826），所以EX=100×0.6826=68.26.

點評正態(tài)分布是重要的命題點之一，2017年高考全國（I）卷的第19題你看過嗎？是一道難得的好題，把正態(tài)分布考到了極致. 今天呢？我們也一定要想到正態(tài)分布可能還會出現(xiàn)絕妙之題.

5. 圍繞綜合應(yīng)用與知識交匯進(jìn)行設(shè)計

例12 新型冠狀病毒肺炎疫情發(fā)生以來，電子購物平臺成為人們的熱選擇，為提高市場銷售業(yè)績，某公司設(shè)計了一套產(chǎn)品促銷方案，并在某地區(qū)部分營銷網(wǎng)點進(jìn)行試點. 運(yùn)作一年后，對“采用促銷”和“沒有采用促銷”的營銷網(wǎng)點各選取了50個，對比上一年度的銷售情況，分別統(tǒng)計了它們J的年銷售總額，并按年銷售總額增長的百分點分成5組：[-5，0），[0，5）， [5，10）， [10，15）， [15，20]，分別統(tǒng)計后制成如圖所示的頻率分布直方圖，并規(guī)定年銷售總額增長10個百分點及以上的營銷網(wǎng)點為“精英店”.

（1）請根據(jù)題中信息填充下面的列聯(lián)表，并判斷是否有99%的把握認(rèn)為“精英店與采用促銷活動有關(guān)”.

（2）某“精英店”為了創(chuàng)造更大的利潤，通過分析上一年度的售價xi（單位：元）和日銷yi（單位：件）（i=1，2，…，10）的一組數(shù)據(jù)后決定選擇y=a+bx2作為回歸模型進(jìn)行擬合. 具體數(shù)據(jù)如下表，表中的wi=xi2（i=1，2，…，10）

①根據(jù)上表數(shù)據(jù)計算a，b的值;

②已知該公司產(chǎn)品的成本為10元/件，促銷費(fèi)用平均5元/件，根據(jù)所求出的回歸模型，分析售價x定為多少時日利潤z可以達(dá)到最大.

附①：K2=■

附②：對應(yīng)一組數(shù)據(jù)（u1，v1），（u2，v2），（u3，v3），…，（un，vn），其回歸直線v=α + βu的斜率和截距的最小二乘法估計分別為■=■，■=v- ■■.

解析（1）

因為K2=■≈9.09>6.635.

（2）①由公式可得：b=■=-■，a=y-bw=395.5+■×2413.5=1200.

所以回歸方程為y=-■x2+1200.

②若售價為x，單件利潤為x-15，日銷售量為y=-■x2+1200.

故日利潤z=（-■x2+1200）（x-15），z■=-（x+30）（x-40）.

當(dāng)x∈（0， 40）時，z=（-■x2+1200）（x-15）單調(diào)遞增;

當(dāng)x∈（40， +∞）時，z=（-■x2+1200）（x-15）單調(diào)遞減，

故當(dāng)售價x=40時，日利潤達(dá)到最大，其值為■元.

點評本題將頻率分布直方圖、獨立性檢驗、線性回歸及函數(shù)綜合在一起，由于題目中本身給出數(shù)據(jù)，因此，運(yùn)算量不大. 但本題的題目較長，求解時，首先要克服心理障礙，讓心理不再排斥它，然后再進(jìn)行常規(guī)計算，不出意外的話都能產(chǎn)生結(jié)論.

例13 一只螞蟻在如圖所示的棱長為1米的正四面體的棱上爬行，每次當(dāng)它到達(dá)四面體頂點后，會在過此頂點的三條棱中等可能的選擇一條棱繼續(xù)爬行（包含來時的棱），已知螞蟻每分鐘爬行1米，t=0時螞蟻位于點A處.

（1）2分鐘末螞蟻位于哪點的概率最大;

（2）記第n分鐘末螞蟻位于點A，B，C，D的概率分別為Pn（A）， Pn（B）， Pn（C）， Pn（D）.

①求證：Pn（B）=Pn（C）=Pn（D）.

②辰辰同學(xué)認(rèn)為，一段時間后螞蟻位于點A、B、C、D的概率應(yīng)該相差無幾，請你通過計算10分鐘末螞蟻位于各點的概率解釋辰辰同學(xué)觀點的合理性.

附：（■）9≈5×10-5，（■）10=1.7×10-5，（■）9≈1.9×10-9，（■）10=9.8×10-4.

解析（1）由題可知，在1鐘末螞蟻位于A、B、C、D點的概率分別為0，■，■，■.

故2分鐘末位于A點的概率P（A）=■·■+■·■+■·■=■.

位于B的概率等于P（B）=■·■+■·■=■.

同理，位于C、D的概率也等于■，

故2分鐘末螞蟻位于點A的概率最大.

（2）①記第n分鐘末螞蟻位于A、B、C、D點的概率分別為Pn（A）、 Pn（B）、 Pn（C）、 Pn（D），則Bn+1=■（An+Cn+Dn）=■（1-Bn），

同理：Cn+1=■（1-Cn），相減得Bn+1-Cn+1=-■（Bn-Cn），

Bn-Cn=（B1-C1）·（-■）n-1，又B1=C1=■，Bn-Cn=0，Bn=Cn，

同理可得Cn=Dn，∴ Bn=Cn=Dn.

②∵ An+1=■（1-An），∴ An+1-■=-■（An-■）.

∴數(shù)列{An-■}是公比為-■的等比數(shù)列，A1-■=-■，

An-■=（-■）（-■）n-1，An=■+（-■）（-■）n-1，

∴ A10=■+（-■）（-■）9，同理B10=■+（■）（-■）9，

∴ A10-B10=（■+（-■）（-■）9）-（■+（■）（-■）9）=（-■）10≈1.7×10-5.

又∵ Bn=Cn=Dn ，∴ 10分鐘末螞蟻位于A、B、C、D點的概率相差無幾，第n（n>10）分鐘末螞蟻位于A、B、C、D點的概率之差將會更小，所以辰辰的話合理.

點評本題將獨立事件的概率與遞推數(shù)列及數(shù)列運(yùn)算結(jié)合在一起，可以看出第（2）問，基本上就是遞推數(shù)列的有關(guān)運(yùn)算與推理，尚若數(shù)列的有關(guān)技能不熟練，即便是概率統(tǒng)計的知識與技能再熟，最終也只能望題興嘆.

關(guān)于概率與統(tǒng)計的命題，我們就預(yù)測到這里. 請注意：預(yù)測與實際命題可能會有距離. 這可能也就是我們與命題專家的區(qū)別，若不準(zhǔn)確，請不要怪我們. 要怪，就怪命題專家太狡猾.

【本文系中山市2018年重點課題“高中數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)之?dāng)?shù)學(xué)建模的教學(xué)實踐研究”（項目編號：A2018021）研究成果】

責(zé)任編輯 徐國堅