何廣煥, 唐詩華, 邢鵬威, 張 躍, 蒙金龍

(桂林理工大學(xué) a.測繪地理信息學(xué)院; b.廣西空間信息與測繪重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 廣西 桂林 541006)

0 引 言

全球?qū)Ш叫l(wèi)星系統(tǒng)(GNSS)是與現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)發(fā)展同步興起的先進(jìn)導(dǎo)航、 定位技術(shù)[1]?，F(xiàn)今GNSS技術(shù)已經(jīng)成為快速收集地理數(shù)據(jù)的重要手段, 但其獲取的高程是以參考橢球面為基準(zhǔn)的大地高, 而在實(shí)際測量工程項(xiàng)目中, 采集的高程數(shù)據(jù)是以似大地水準(zhǔn)面為基準(zhǔn)的正常高, 這兩種高程之間存在的差值, 即高程異常值[2]。為了使GNSS技術(shù)能代替?zhèn)鹘y(tǒng)的水準(zhǔn)測量技術(shù), 構(gòu)建高精度的轉(zhuǎn)換模型一直是測繪工作研究的重點(diǎn)。隨著人們對擬合模型構(gòu)建方法的深入研究, 近年來越來越多的智能算法應(yīng)用于區(qū)域GNSS高程擬合模型的建立[3-4]。孫佳龍等[5]提出通過地形熵聚類優(yōu)化多面函數(shù)高程擬合模型, 將地形熵作為高程數(shù)據(jù)分類的方法, 再利用多面函數(shù)進(jìn)行高程異常擬合, 取得了很好的擬合效果。蒲倫等[6]提出利用蟻群-遺傳算法優(yōu)化多面函數(shù)構(gòu)建高程擬合模型, 為常規(guī)多面函數(shù)選取合理的中心節(jié)點(diǎn)及光滑因子, 使其擬合模型達(dá)到更高的精度。高紅等[7]經(jīng)過對比分析驗(yàn)證了粒子群算法優(yōu)化最小二乘支持向量機(jī)(least squares support vector machine, LSSVM)用于區(qū)域高程擬合模型構(gòu)建的可行性。本文通過鯨魚算法(whale optimization algorithm, WOA)為LSSVM高程擬合模型尋找正則化參數(shù)c和核函數(shù)參數(shù)σ2, WOA算法具有全局搜索能力強(qiáng)、 參數(shù)少、 收斂速度快的特點(diǎn), 能夠較好地解決原擬合模型中難以尋找最佳參數(shù)的問題, 進(jìn)一步提高了區(qū)域GNSS高程擬合模型的預(yù)測精度。

1 鯨魚算法

Mirjalili等[8]在受到座頭鯨捕食行為的啟發(fā)后,于2016年提出了鯨魚算法。WOA還原了鯨魚的狩獵過程, 通過仿照鯨魚的捕獵方式去尋找獵物位置最優(yōu)解, 此過程主要包括了3種行為: 包圍獵物、 螺旋氣泡捕食、 隨機(jī)搜索[9]。鯨魚算法參數(shù)少、 收斂速度快、 全局搜索能力強(qiáng), 適用于多個領(lǐng)域[10]。假設(shè)鯨魚的種群規(guī)模為N, 所要求解問題的維度是d, 則第i只鯨魚在d維空間中的位置可表示為Xi=(x1i,x2i, …,xdi), 其中i=1, 2, 3,…,N。

1.1 包圍獵物

鯨魚在正式捕食前, 需要預(yù)估獵物的位置, 而鯨魚所在的位置可看作待優(yōu)化問題的解。當(dāng)領(lǐng)頭鯨魚確定獵物的位置后, 通過信息傳遞, 其他鯨魚群也會向目標(biāo)位置游動, 進(jìn)而不斷更新自己的位置

D=|C·X*(t)-X(t)|;

(1)

X(t+1)=X*(t)-A·D。

(2)

式中:t表示當(dāng)前種群代數(shù);X*(t)表示t代鯨魚所確定獵物的最優(yōu)位置向量;X(t)代表其他鯨魚種群的個體位置向量; “·”表示逐元素乘法運(yùn)算;D表示領(lǐng)頭鯨魚與獵物之間的距離向量;X(t+1)為其他鯨魚向領(lǐng)頭鯨魚靠進(jìn)而不斷更新的位置向量參數(shù);C是控制參數(shù);A是收斂因子。上式可以進(jìn)一步表示為

(3)

式中:r為[0, 1]中的隨機(jī)數(shù); 隨迭代次數(shù)的增加，a由2線性遞減到0;ti為當(dāng)前迭代次數(shù);Tmaxlter是最大迭代次數(shù)。

1.2 螺旋氣泡捕食

鯨魚捕食的另一種方法是先估算自身到待捕獵物之間的距離, 然后慢慢靠近獵物的位置, 當(dāng)?shù)竭_(dá)獵物位置后, 向其吐出螺旋狀氣泡從而實(shí)現(xiàn)捕食

D′=|X*(t)-X(t)|；

(4)

X(t+1)=D′·ebl·cos(2πl(wèi))+X*(t)。

(5)

式中:D′表示獵物到第i只鯨魚的距離向量參數(shù);b代表螺旋狀常數(shù), 一般定義為1;l為[-1, 1]的隨機(jī)數(shù)。

由于鯨魚在捕食的過程中, 包圍獵物和螺旋氣泡捕食兩種行為可同時進(jìn)行, 因此它們所能發(fā)生的概率相同(均為0.5), 可得模型

(6)

式中:p是[0, 1]的隨機(jī)數(shù)。

1.3 隨機(jī)搜索獵物

鯨魚在搜索獵物的過程中, 除上述方式外, 還可以進(jìn)行大范圍的隨機(jī)搜索, 根據(jù)獵物位置而隨時改變自身位置, 擴(kuò)大自身的搜索范圍, 避免陷入局部最優(yōu)的境況。此過程可表示為

D=|C·Xrand-X|;

(7)

X(t+1)=Xrand-A·D。

(8)

式中:Xrand是當(dāng)前代數(shù)中其中一條鯨魚發(fā)現(xiàn)獵物的位置。

通過收斂因子A的絕對值來選擇更新位置的方式： 當(dāng)|A|<1時, 進(jìn)入包圍吐泡模式尋找局部最優(yōu)位置參數(shù); 當(dāng)|A|≥1時, 鯨魚進(jìn)入全局搜索, 避免陷入局部最優(yōu)。鯨魚算法具體流程如圖1所示。

圖1 鯨魚算法流程

2 WOA-LSSVM擬合模型

2.1 最小二乘支持向量機(jī)

最小二乘支持向量機(jī)是在原有支持向量機(jī)的基礎(chǔ)上, 利用最小二乘法將原有支持向量機(jī)優(yōu)化問題的非等式約束用等式約束替換, 使得支持向量機(jī)的泛化能力、 全局優(yōu)化能力增強(qiáng), 還提高了收斂速度和化簡了計(jì)算過程[11]。其原理及數(shù)學(xué)模型為: 給定訓(xùn)練樣本集{(x1,y1), (x2,y2),…, (xn,yn)}, 則xn∈Rn表示n維的輸入樣本,yn∈R為一維輸出樣本, 通過映射函數(shù)φ(x)把輸入樣本空間的非線性擬合問題映射到高維特征空間的線性擬合問題, 并采用結(jié)構(gòu)風(fēng)險最小化原則來建立優(yōu)化問題

(9)

約束條件為

s.t.yi=wT·φ(xi)+b。

(10)

式中:w為權(quán)重向量;c為正則化參數(shù), 主要目的在于控制并減少過度擬合;ξ為懲罰變量, 其作用在于引入離群點(diǎn);b為誤差；i=1, 2, …,n。利用Lagrange 乘子ai和KKT (Karush-Kuhn-Tucker)條件優(yōu)化LSSVM， 可得函數(shù)模型

y(x)=ai[φ(xk)φ(xi)]+b。

(11)

先前的過程中, 為了利于對輸入樣本數(shù)據(jù)的分類, 將LSSVM函數(shù)模型轉(zhuǎn)化為高維特征函數(shù), 增大了計(jì)算量。為解決這一問題, 需引入核函數(shù)K(x,xi), 優(yōu)化后得到最終模型

(12)

常用的核函數(shù)有徑向基核函數(shù)、 線性核函數(shù)和多項(xiàng)式核函數(shù), 本文采用徑向基核函數(shù)作為LSSVM的核函數(shù)

(13)

式中:σ2為核函數(shù)參數(shù)。

2.2 WOA-LSSVM建立擬合模型步驟

在實(shí)際測量工程中, 直接利用LSSVM來構(gòu)建區(qū)域擬合模型, 最終模型的預(yù)測精度往往難以達(dá)到要求， 其主要原因在于核函數(shù)參數(shù)和正則化參數(shù)的取值會直接影響模型的預(yù)測結(jié)果, 不合理的參數(shù)設(shè)置將會降低模型預(yù)測結(jié)果的可靠性[12]。本文提出利用鯨魚算法來尋找LSSVM中的正則化參數(shù)c和核函數(shù)參數(shù)σ2, 代替常規(guī)LSSVM中的交叉驗(yàn)證法, 提高參數(shù)尋優(yōu)的全局性, 進(jìn)而構(gòu)建較高精度的區(qū)域擬合模型。具體過程為: ①讀取訓(xùn)練樣本數(shù)據(jù), 并對其進(jìn)行歸一化處理; ②設(shè)定鯨魚種群參數(shù), 主要有種群大小N、 起始位置(x,y)、 最大迭代次數(shù)Tmaxlter、 螺旋氣泡形狀參數(shù)b以及鯨魚種群位置的上下界; ③將高程擬合模型的殘差均方根誤差RSME作為每個鯨魚位置的適應(yīng)度函數(shù), 以適應(yīng)度最優(yōu)個體位置作為獵物位置X*; ④當(dāng)?shù)螖?shù)t≤Tmaxlter時, 會不斷更新參數(shù)a、A、c、l、p; ⑤|A|<1時, 用式(6)更新鯨魚最優(yōu)位置; 當(dāng)|A|≥1時, 用式(8)全局搜索更新鯨魚最優(yōu)位置; ⑥每次迭代過程中根據(jù)適應(yīng)度函數(shù)確定當(dāng)前鯨魚位置, 并與之前鯨魚的位置進(jìn)行對比分析, 選出一個最優(yōu)位置并記錄保存, 如果達(dá)到最大迭代次數(shù), 則跳出步驟⑥, 否則返回步驟③ 繼續(xù)執(zhí)行; ⑦ 輸出鯨魚的最優(yōu)位置X*, 循環(huán)結(jié)束后, 將鯨魚的最優(yōu)位置作為LSSVM的核參數(shù)和正則化參數(shù), 建立區(qū)域GNSS高程擬合模型并輸出檢測結(jié)果。

3 算例分析

為驗(yàn)證WOA-LSSVM算法在區(qū)域GNSS高程擬合中的穩(wěn)定性及有效性, 本文分別選取兩個不同地形特征的研究區(qū)進(jìn)行測試分析, 檢驗(yàn)該組合算法在構(gòu)建區(qū)域GNSS高程擬合模型中的有效可行性。

3.1 帶狀區(qū)域

3.1.1 研究區(qū)概況 以杭州跨海大橋?yàn)槔? 數(shù)據(jù)來源于文獻(xiàn)[13]中杭州跨海大橋?qū)嶒?yàn)中的部分GNSS水準(zhǔn)重合點(diǎn), 跨海大橋全長約36 km, 寬度為33 m, 點(diǎn)位分布較廣, 主要分成南北兩個區(qū)域, 中間海中加密網(wǎng)點(diǎn)走向大致呈線形分布。均勻選取28個GNSS水準(zhǔn)重合點(diǎn), 用于組合算法構(gòu)建擬合模型, 將剩余的12個重合點(diǎn)作為檢核點(diǎn), 具體情況見圖2。將鯨魚的種群數(shù)量設(shè)置為30頭、 最大迭代次數(shù)為90、 螺旋狀常數(shù)設(shè)置為1, 為LSSVM選擇最合適的參數(shù)用于區(qū)域擬合模型的構(gòu)建。

圖2 跨海大橋GNSS水準(zhǔn)點(diǎn)位分布

3.1.2 擬合模型精度分析 為了驗(yàn)證WOA-LSSVM組合法在GNSS高程擬合中的穩(wěn)定性及有效性, 將其與常規(guī)LSSVM擬合法、 BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)擬合法進(jìn)行對比分析， 分別統(tǒng)計(jì)了10次3種擬合方法建模的內(nèi)外符合精度, 結(jié)果見表1。

表1 不同模型擬合精度統(tǒng)計(jì)

可知, 在10次實(shí)驗(yàn)之后, 無論是內(nèi)符合精度還是外符合精度結(jié)果, WOA-LSSVM擬合法建模的穩(wěn)定性均要優(yōu)于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和常規(guī)LSSVM擬合法, 且組合算法外符合精度均值為±12.2 mm, 常規(guī)LSSVM外符合精度均值為±17.5 mm, 相較于常規(guī)LSSVM, 擬合模型預(yù)測精度提高了30.3%, 進(jìn)一步證明了WOA-LSSVM擬合法構(gòu)建擬合模型的精確性。為了更加清晰直觀地展現(xiàn)檢核點(diǎn)預(yù)測結(jié)果的變化趨勢, 繪制了12個GNSS水準(zhǔn)檢核點(diǎn)的高程異常柱狀圖3。

圖3 不同建模方法的高程異常預(yù)測值與真實(shí)值對比

可見, 不同擬合法構(gòu)建擬合模型的預(yù)測值與真實(shí)值之間的近似差值, 其中第12個檢核點(diǎn)的預(yù)測結(jié)果與真實(shí)值的差值較大, 相較于其他幾個檢核點(diǎn)預(yù)測結(jié)果, 3種方法的預(yù)測結(jié)果與真實(shí)值相比均不太理想, 但WOA-LSSVM法構(gòu)建的擬合模型預(yù)測結(jié)果更加接近于真實(shí)值, 也表明了改進(jìn)擬合模型預(yù)測結(jié)果的精準(zhǔn)性有所提高?？v觀整個柱狀圖的變化趨勢, 相較于常規(guī)LSSVM、 BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)擬合法, 組合算法的擬合結(jié)果也更為可靠。

3.2 面狀區(qū)域

3.2.1 研究區(qū)概況 以上實(shí)驗(yàn)通過少量帶狀區(qū)域分布的GNSS水準(zhǔn)數(shù)據(jù)來驗(yàn)證了WOA-LSSVM構(gòu)建區(qū)域擬合模型的有效性, 為進(jìn)一步驗(yàn)證組合算法在實(shí)際測量工程中的建模真實(shí)性, 在廣西東北部某市采集少量GNSS水準(zhǔn)數(shù)據(jù), 其覆蓋面積約為300 km2, 點(diǎn)位分布較為均勻, 考慮到測區(qū)地勢較為平緩, GNSS水準(zhǔn)點(diǎn)間隔在2～2.5 km, 滿足三、 四等水準(zhǔn)測量的要求。其中選取40個分布均勻的GNSS水準(zhǔn)重合點(diǎn)作為擬合點(diǎn), 剩余的20個點(diǎn)作為檢查點(diǎn)(圖4)。

圖4 研究區(qū)域點(diǎn)位分布

3.2.2 建模結(jié)果及分析 將WOA-LSSVM算法的種群數(shù)量、 最大迭代次數(shù)、 螺旋狀常數(shù)等參數(shù)設(shè)置為與3.1節(jié)相同， 分別利用3種擬合方法構(gòu)建區(qū)域高程擬合模型后, 檢核點(diǎn)通過擬合模型預(yù)測其高程異常, 統(tǒng)計(jì)了與真實(shí)值間的殘差值, 并繪制了檢核點(diǎn)擬合殘差的變化折線圖5。

圖5 3種擬合方法檢核點(diǎn)殘差對比

通過擬合殘差的波動趨勢可以看出, WOA-LSSVM擬合模型預(yù)測檢核點(diǎn)的殘差波動范圍要小于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)擬合法、 常規(guī)LSSVM擬合法, 效果最為理想。其中BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)擬合法的波動性最為明顯, 也表明BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)擬合法需要得到改進(jìn)。為了更為直觀地了解不同擬合法預(yù)測的檢核點(diǎn)高程異常值, 對20個檢核點(diǎn)的高程異常預(yù)測值和殘差值進(jìn)行分析, 結(jié)果見表2。

表2 不同擬合模型檢核點(diǎn)的預(yù)測結(jié)果

可知, WOA-LSSVM擬合法建模的擬合殘差變化區(qū)間為-20.9～14.5 mm, 常規(guī)LSSVM擬合模型的殘差變化區(qū)間為-30.6～23.1 mm, BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)擬合法為-34.2～22.2 mm。相較于其他兩種方法, 鯨魚優(yōu)化擬合法的殘差變化區(qū)間最小, 結(jié)果最為穩(wěn)定, 證明了WOA-LSSVM構(gòu)建區(qū)域GNSS高程擬合模型的有效性。為了驗(yàn)明組合算法建模的精準(zhǔn)性, 計(jì)算了不同方法建模的內(nèi)外符合精度, 如表3所示。

表3 不同模型的擬合精度統(tǒng)計(jì)

可知, 在研究區(qū)域內(nèi), 常規(guī)LSSVM建模的外符合精度為±15.4 mm, WOA-LSSVM法建模的外符合精度為±12.4 mm, 比常規(guī)LSSVM提高了19.5%, 這主要是因?yàn)轹L魚算法在優(yōu)化參數(shù)的過程中, 極大程度地避免了過早收斂或局部最優(yōu)的現(xiàn)象, 從而提高了區(qū)域GNSS擬合模型的預(yù)測精度。

4 結(jié)束語

考慮到最小二乘支持向量機(jī)法在構(gòu)建區(qū)域GNSS高程擬合模型時參數(shù)選擇較為困難的問題, 本文將鯨魚優(yōu)化算法引入到最小二乘支持向量機(jī)擬合法中。WOA在參數(shù)尋優(yōu)的過程中具備更高的精度及穩(wěn)定性, 針對帶狀區(qū)域或面狀區(qū)域均能夠?yàn)長SSVM選擇出最佳的核參數(shù)和正則化參數(shù)。采用改進(jìn)后的LSSVM、 常規(guī)LSSVM及BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建模進(jìn)行對比分析, 得到不同地形特征的擬合模型， 實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明, 利用鯨魚算法優(yōu)化后的最小二乘支持向量機(jī)建立的高程異常擬合模型預(yù)測精度明顯提高, 并且使得核函數(shù)參數(shù)和正則化參數(shù)的選擇更為合理, 證明了鯨魚優(yōu)化算法建模的可行性和有效性, 為以后的測高工作提供一定的參考依據(jù)。