陳志龍，劉 鵬，黃 鳴，舒 凱

(1.南昌理工學(xué)院，江西南昌 330044;2.華東交通大學(xué)機電與車輛工程學(xué)院，江西南昌 330013)

0 引言

陀螺是構(gòu)成慣性導(dǎo)航系統(tǒng)的核心部件，為了測出從地面飛向太空的火箭、人造衛(wèi)星和宇宙飛船等宇航設(shè)備的角速度和轉(zhuǎn)動角度，并控制他們的姿態(tài)，陀螺是必不可少的[1]。振動式陀螺是應(yīng)用微機械加工技術(shù)與微電子工藝技術(shù)制作的一種慣性傳感器，它具有體積小、質(zhì)量輕、功耗低、易于集成等特點，在車輛驅(qū)動防滑控制系統(tǒng)、機器人姿態(tài)感知與控制系統(tǒng)、平臺穩(wěn)定系統(tǒng)、炮彈制導(dǎo)等領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用[2-4];振弦式陀螺是把振動式陀螺的工作機理與振弦式傳感器的測量機理相結(jié)合的一種陀螺。

驅(qū)動系統(tǒng)與檢測系統(tǒng)是振動式陀螺重要組成部分，驅(qū)動系統(tǒng)的主要功能是使敏感部件產(chǎn)生高頻振動，振動式陀螺的驅(qū)動方式主要是運用場力來驅(qū)動，如靜電力、電磁力等。文獻(xiàn)[5-7]報道的振動陀螺都是采用靜電驅(qū)動，雖然靜電驅(qū)動具有功耗低的特點，但工作電壓高，與目前片上常用的工作電壓(<5 V)不兼容，難以適應(yīng)系統(tǒng)集成與微電子器件的發(fā)展趨勢[8]。檢測系統(tǒng)的主要功能是對敏感部件受到外界信號的檢測，振動式陀螺的檢測方式主要有運用壓電、光電、頻率來檢測信號，文獻(xiàn)[9]報道的壓電振動陀螺，該陀螺輸出非線性特性優(yōu)于0.1%FS，但制造工藝比較復(fù)雜；文獻(xiàn)[10]提到了一種光電檢測傳感器，該傳感器能達(dá)到分辨率為0.1%FS，數(shù)據(jù)擬合曲線比較線性，但還處在試驗階段，傳感器體積較大。隨著高深寬比微結(jié)構(gòu)加工的半導(dǎo)體工藝、設(shè)備的發(fā)展，原先困擾電磁驅(qū)動與頻率檢測研究的加工手段問題已不再突出[11]；頻率檢測能獲得較高的頻率分辨率。

1 振弦式陀螺的工作原理與頻率檢測模型

1.1 振弦式陀螺工作原理

圖1為振弦式陀螺的簡化模型。質(zhì)量塊m固連在旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系的xy平面內(nèi)，模型具有2個振動模式，每個模型簡化為彈簧-阻尼-質(zhì)量模型。假定質(zhì)量塊在y方向受到某種激勵作用而受迫振動，而z軸有角速度Ω輸入時，質(zhì)量塊在x方向就會受到交變的科氏力(Coriolis force)作用而沿x軸方向產(chǎn)生誘發(fā)振動，從而可通過振弦的頻率檢測，測出角速度輸入量[12]。

圖1 振弦式陀螺的簡化模型

1.2 振弦式陀螺頻率檢測數(shù)學(xué)模型

振弦式陀螺敏感元件為振弦絲結(jié)構(gòu)，其具有較大的長徑比，振弦式陀螺在工作時，檢測結(jié)構(gòu)模型可以簡化為兩端固支的振弦絲結(jié)構(gòu)，振弦在振動時受力如圖2所示。

圖2 兩端固支彈性弦絲振動受力示意圖

取振弦上任意一微小段(x，x+dx)，振弦傳感在工作時，其振動幅度相對比較小，所選微小段對應(yīng)弧長近似為dx，對微段進(jìn)行受力分析有如下平衡式：

式中：β為阻尼系數(shù)；ρ為振弦絲的線密度。

由于振弦振動的幅度相對比較小，α1≈α2≈0，則有：

(2)

振弦式陀螺采用永磁體電磁間歇式驅(qū)動,初始時刻所有的點均處于平衡位置,則有初始條件：

y(x，0) =0，y(0，t) =0，y(1，t) =0

對于永磁體電磁驅(qū)動的振弦式陀螺信號敏感系統(tǒng)來講，高頻信號的檢測難度要高于低頻信號，因而要盡量保證振弦式陀螺振弦敏感結(jié)構(gòu)處于基頻狀態(tài)。當(dāng)振弦處于1階振動模態(tài)時，振弦中心處振幅最大，在該處對振弦振動信號進(jìn)行檢測，有利于提高信號的信噪比，因而只需解算出振弦中心1階振型的振動方程[13]。

(3)

約去高階小量整理并由歐拉公式得到振弦中點的振動方程為

(4)

則振弦絲振動的頻率可用式(5)表示:

(5)

通過檢測振弦自由振動的基頻，利用上述公式即可解算出振弦所受科氏力大小，進(jìn)而可計算出輸入角速度大小。

2 振弦式陀螺檢測結(jié)構(gòu)設(shè)計分析

振弦式陀螺電磁驅(qū)動初步結(jié)構(gòu)模型如圖3所示。它是由一對背軛架為支撐的對桿磁鐵和一個帶有支架的線圈框架組成的，線圈框架位于永磁體邊界內(nèi)，獲得均勻的磁感應(yīng)強度。

圖3 驅(qū)動結(jié)構(gòu)設(shè)計示意圖

2.1 振弦式陀螺頻率檢測部分結(jié)構(gòu)設(shè)計

振弦式陀螺采用振弦與中心敏感質(zhì)量塊組合的方式來敏感科氏力，通過檢測振弦上的頻率改變量來實現(xiàn)輸入角速度ω的轉(zhuǎn)化。由驅(qū)動結(jié)構(gòu)設(shè)計初步得到的參數(shù)可知，線圈框架的尺寸參數(shù)：寬度為15 mm、長度為30 mm、厚度為3 mm；314不銹鋼絲韌性好、抗磨損、硬度高、彈性強，選擇314不銹鋼絲作為振弦材料。采用軟銅板簧片作為驅(qū)動框架的兩端支撐，這樣有利于線圈框架的驅(qū)動且可以克服線圈框架的重力。

2.2 振弦線徑對模態(tài)頻率的影響

振弦的線徑不同會影響振弦的振動，也會影響驅(qū)動系統(tǒng)與檢測系統(tǒng)對振弦驅(qū)動與檢測。根據(jù)314不銹鋼的材料特性，定義振弦模型的彈性模量為2.06×1011N/m2，泊松比為0.3，密度為7 750 kg/m3，材料阻尼為0.02。根據(jù)振弦式陀螺的初步結(jié)構(gòu)尺寸，選擇30 、50 、80、100 μm的線徑、長度為30 mm的不銹鋼絲，建立有限元振弦模型，應(yīng)用ANSYS軟件進(jìn)行分析，分析數(shù)據(jù)處理采用基數(shù)為1.5×104Hz上的增量值，分析結(jié)果如圖4所示。

由圖4分析結(jié)果可知，隨著振弦線徑的增大，各階響應(yīng)頻率也隨之增大，這是由于振弦線徑的增大，振弦剛度系數(shù)也隨之增大，使得振弦基頻以及高階頻率也隨之增大。但在選擇振弦時也需考慮振弦在振動過程中受重力、空氣阻力影響，如果振弦線徑太大，則振弦振動產(chǎn)生的駐波波節(jié)相對較短，使得振弦弦振動時間較短，電磁驅(qū)動周期增大，且振幅也會減小，不易驅(qū)動；目前國內(nèi)外的振弦傳感器選用的振弦直徑均在50 μm左右；其次由振弦式陀螺頻率檢測數(shù)學(xué)模型可知，振弦振動頻率與振弦長度成反比，對于受相同科氏力的振弦而言，長度越長，振弦振動頻率越小，傳感器靈敏度下降，且會帶來振弦式陀螺結(jié)構(gòu)尺寸的變大；基于振弦式陀螺結(jié)構(gòu)尺寸以及市場上能滿足的要求，選擇線徑為30 μm，長度為30 mm，振弦式陀螺頻率檢測初步結(jié)構(gòu)模型如圖5所示。

圖5 頻率檢測結(jié)構(gòu)設(shè)計示意圖

3 振弦式陀螺結(jié)構(gòu)分析與優(yōu)化

對振弦式陀螺諧振頻率分析時可以利用瑞利能量法得到振弦式陀螺機械結(jié)構(gòu)各階振動模態(tài)的諧振頻率的表達(dá)式[14]：

(6)

式中：kτ為板簧片連接方向τ的剛度系數(shù)；mτ為線圈驅(qū)動框架等效質(zhì)量。

振弦式陀螺機械結(jié)構(gòu)各階振動模態(tài)與kτ和mτ有關(guān)，而kτ、mτ也僅與結(jié)構(gòu)材料和尺寸有關(guān)，因此可知，振弦式陀螺各階模態(tài)的諧振頻率主要取決于振弦式陀螺板簧片在各方向的剛度系數(shù)和被板簧片所帶動部分的等效質(zhì)量，這兩項參數(shù)都由振弦式陀螺的結(jié)構(gòu)材料和尺寸決定。因此，當(dāng)材料一定時，可以通過改變振弦式陀螺的結(jié)構(gòu)尺寸達(dá)到模態(tài)匹配的效果。

3.1 板簧片結(jié)構(gòu)參數(shù)對驅(qū)動模態(tài)的影響

采用單一變量分析原則，應(yīng)用ANSYS有限元軟件分析板簧片結(jié)構(gòu)參數(shù)對振弦式陀螺驅(qū)動模態(tài)諧振頻率的影響；在對板簧片長度仿真分析時，仿真條件為：驅(qū)動框架采用樹脂材料，板簧片采用銅鋁合金材料，線圈驅(qū)動框架采用等效質(zhì)量，激振力為1 N，兩板簧片連接端面全約束進(jìn)行仿真。

3.1.1 板簧片長度的影響

選擇板簧片寬度為3 mm，厚度為0.1 mm，考慮振弦式陀螺的設(shè)計尺寸，取板簧片長度為3～9 mm，步長為1 mm。圖6為板簧片長度與模態(tài)頻率的關(guān)系。振弦式陀螺的各階模態(tài)頻率隨著板簧片的長度增長而不斷減小。在板簧片長度增大至8 mm時，前三階模態(tài)頻率趨于穩(wěn)定，基于振弦式陀螺抗振考慮，1階模態(tài)頻率須在1 kHz左右，3階模態(tài)頻率須在2 kHz以上，但也不能過高，不然會使高頻驅(qū)動電路設(shè)計相對復(fù)雜；綜合考慮振弦式陀螺尺寸，選擇板簧片有效長度4 mm為宜；這樣有利于減小振弦式陀螺整體結(jié)構(gòu)尺寸。

圖6 板簧片長度對驅(qū)動模態(tài)頻率的影響

3.1.2 板簧片厚度的影響

選擇板簧片寬度為3 mm，有效長度為4 mm，考慮振弦式陀螺的設(shè)計尺寸與電磁驅(qū)動最大驅(qū)動力，取板簧片厚度為0.1～0.5 mm，步長為0.1 mm進(jìn)行仿真。圖7為板簧片厚度與模態(tài)頻率的關(guān)系。隨著板簧片厚度增加，驅(qū)動模態(tài)頻率也逐漸增加，這是由于板簧片厚度的增加使得板簧片剛度系數(shù)增加，前四階模態(tài)頻率增加較快?？紤]不讓驅(qū)動力過大和振弦式陀螺抗振等問題，選擇1階模態(tài)頻率大于1 kHz，4階模態(tài)頻率低于5 kHz，選擇板簧片厚度應(yīng)在0.2～0.3 mm。

圖7 板簧片厚度對驅(qū)動模態(tài)頻率的影響

3.1.3 板簧片寬度的影響

選擇板簧片有效長度為4 mm，厚度為0.2 mm，考慮振弦式陀螺的設(shè)計尺寸與板簧片縱向抵抗重力剛度，取板簧片寬度為2～3 mm，步長為0.2 mm進(jìn)行仿真。如圖8所示，從板簧片寬度與模態(tài)頻率的關(guān)系可知，隨著寬度的增加，各階模態(tài)頻率有微幅度增加，在寬度為2.8 mm左右，2、3、4階模態(tài)頻率有降低趨勢；考慮振弦式陀螺抗振性以及抵抗線圈框架重力因素的剛度問題，選擇板簧片寬度應(yīng)在3 mm為宜；這樣有利于在電磁驅(qū)動時受力，且縱向剛度可以很好地抵抗線圈框架的重力，很好地抵抗外界頻率的干擾。

圖8 板簧片寬度對驅(qū)動模態(tài)頻率的影響

3.2 敏感質(zhì)量塊結(jié)構(gòu)參數(shù)對檢測模態(tài)的影響

振弦式陀螺敏感科氏力最重要的一部分就是敏感質(zhì)量塊結(jié)構(gòu)，合理設(shè)計敏感質(zhì)量塊結(jié)構(gòu)參數(shù)對于提高結(jié)構(gòu)靈敏度以及提高振弦式陀螺振動頻率具有重要意義。圖9為振弦式陀螺敏感質(zhì)量塊與限位器示意圖。

圖9 敏感質(zhì)量塊與限位器示意圖

3.2.1 敏感質(zhì)量塊直徑對檢測模態(tài)的影響

考慮質(zhì)量塊結(jié)構(gòu)以及加工裝配問題，限位器采用樹脂材料，質(zhì)量塊采用圓柱紫銅材料。選擇長度為4 mm，考慮敏感質(zhì)量塊的設(shè)計尺寸，取質(zhì)量塊直徑為0.6～3 mm，步長為1 mm，進(jìn)行仿真分析。如圖10所示，振弦式陀螺的各階模態(tài)頻率隨著敏感質(zhì)量塊直徑增大而不斷減小，當(dāng)質(zhì)量塊直徑增加到2 mm以上時，振弦式陀螺檢測1階模態(tài)非常低，非常容易受外界的干擾，考慮1階模態(tài)頻率大于1 kHz、檢測模態(tài)與驅(qū)動模態(tài)相匹配、敏感質(zhì)量塊重力對振弦頻率的影響問題，選擇敏感質(zhì)量塊直徑為1 mm左右為宜。

圖10 敏感質(zhì)量塊直徑對模態(tài)頻率的影響

3.2.2 敏感質(zhì)量塊長度對檢測模態(tài)的影響

在進(jìn)行敏感質(zhì)量塊長度仿真分析時，選擇振弦長度為30 mm，質(zhì)量塊直徑為0.8 mm，取長度為2～6 mm，步長為1 mm；如圖11所示，振弦式陀螺的1、2階模態(tài)頻率線幾乎重合，且振弦式陀螺的各階模態(tài)頻率隨著敏感質(zhì)量塊長度增大而不斷減小，前三階模態(tài)減小的幅度較??；長度增大到3 mm時，高階模態(tài)下降的幅度較大。質(zhì)量塊長度增加到6 mm時，振弦式陀螺檢測1階模態(tài)非常低，非常容易受外界的干擾，考慮1階模態(tài)頻率大于1 kHz、檢測模態(tài)與驅(qū)動模態(tài)相匹配、敏感質(zhì)量塊重力對振弦頻率的影響問題，選擇敏感質(zhì)量塊長度為4 mm。

圖11 敏感質(zhì)量塊長度對模態(tài)頻率的影響

4 振弦式陀螺振動響應(yīng)仿真分析

4.1 振弦振動有限元靜態(tài)分析

在ANSYS Workbench軟件中選擇不銹鋼材料，定義振弦模型材料屬性，314不銹鋼材料屬性如表1所示。

表1 314不銹鋼材料屬性

根據(jù)前面章節(jié)確定的振弦尺寸：選擇線徑為30 μm，長度為30 mm。用Solidworks三維軟件建立振弦模型，并保存IGS格式文件，導(dǎo)入到ANSYS Workbench 軟件Static Structural模塊中；首先定義材料參數(shù)，采用四面體單元劃分網(wǎng)格，設(shè)置單元長度為0.1 mm，采用全約束振弦的一端，另一端采用Y、Z方向約束，在X方向施加1 N的預(yù)應(yīng)力，最后進(jìn)行靜態(tài)求解。振弦預(yù)應(yīng)力加載整體節(jié)點變形量圖如圖12所示。

圖12 振弦預(yù)應(yīng)力加載整體節(jié)點變形量圖

在振弦繃緊的狀態(tài)下，振弦在X、Y、Z方向上的最大變形量與最小變形量如表2所示。

表2 振弦在不同方向上的變形量 mm

從有限元靜態(tài)分析與有限元分析可以看出頻率檢測振弦部分振動時會產(chǎn)生小變形狀態(tài)，但是變形量相對較小，對驅(qū)動沒有帶來影響。

4.2 振弦振動有限元模態(tài)分析

模態(tài)分析技術(shù)常用于結(jié)構(gòu)固有振動特性的研究，因此為了研究頻率檢測結(jié)構(gòu)的固有振動特性，利用ANSYS Workbench有限元分析軟件中的模態(tài)分析Pre-Modal模塊對頻率檢測結(jié)構(gòu)進(jìn)行有限元模態(tài)分析。將上一步完成的預(yù)應(yīng)力靜態(tài)分析結(jié)果加載到模態(tài)分析過程中，加載模態(tài)為前六階，然后開啟模態(tài)求解器分析有預(yù)應(yīng)力作用下頻率檢測振弦的6階模態(tài)值，圖13為頻率檢測振弦的1、2模態(tài)。

圖13 頻率檢測振弦的1、2階模態(tài)

在做Pre-Modal有限元模態(tài)分析的同時也可以得出每階模態(tài)所對應(yīng)的頻率大小，結(jié)果如表3所示。

表3 振弦6階模態(tài)頻率值 Hz

4.3 振弦陀螺整體結(jié)構(gòu)有限元仿真分析

結(jié)合振弦式陀螺初步設(shè)計與結(jié)構(gòu)尺寸分析結(jié)果，優(yōu)化設(shè)計振弦式陀螺結(jié)構(gòu)，設(shè)定振弦式陀螺振動板簧片結(jié)構(gòu)參數(shù)：4 mm ×0.2 mm ×2.8 mm，敏感質(zhì)量塊結(jié)構(gòu)參數(shù)：直徑為0.8 mm、長度為4 mm，線圈框架的尺寸參數(shù)：寬度為15 mm、長度為30 mm、厚度為3 mm；為了驗證設(shè)計的振弦式陀螺結(jié)構(gòu)的可行性，通過SolidWorks三維軟件建立陀螺模型，采用ANSYS有限元仿真方法對振弦式陀螺的振動響應(yīng)進(jìn)行分析，圖14為仿真網(wǎng)格劃分與1階模態(tài)圖。

圖14 振弦式陀螺仿真圖

在進(jìn)行優(yōu)化后的振弦式陀螺驅(qū)動結(jié)構(gòu)振動響應(yīng)分析時，施加驅(qū)動力為1～10 N,步長為1 N；如圖15所示，振弦式陀螺驅(qū)動結(jié)構(gòu)振動響應(yīng)隨著驅(qū)動力的增大而增大，且驅(qū)動力與位移量之間具有很好的線性關(guān)系；從模態(tài)分析中得到驅(qū)動頻率達(dá)到1 922.6 Hz；從而可以很好地減小電磁驅(qū)動難度，提高陀螺框架控制精度，且驅(qū)動過程中驅(qū)動基頻很好地抵抗外界干擾，具有很好的驅(qū)動響應(yīng)。

圖15 驅(qū)動力大小對驅(qū)動結(jié)構(gòu)位移量的影響

5 結(jié)束語

采用電磁驅(qū)動與頻率檢測的工作原理建立了振弦式陀螺頻率檢測數(shù)學(xué)模型；應(yīng)用ANSYS軟件分析了振弦線徑與響應(yīng)頻率的關(guān)系，振弦線徑增大時，各階響應(yīng)頻率也隨之增大，使得振弦基頻以及高階頻率也隨之增大；從初步的振弦式陀螺檢測結(jié)構(gòu)設(shè)計中，得出振弦式陀螺頻率檢測系統(tǒng)主要受板簧片尺寸、振弦尺寸、敏感質(zhì)量塊尺寸等因素的影響。通過分析頻率檢測系統(tǒng)中板簧片結(jié)構(gòu)尺寸對驅(qū)動模態(tài)的影響，優(yōu)化了振弦式陀螺整體結(jié)構(gòu)，建立了振動響應(yīng)仿真；結(jié)果表明頻率檢測模型頻率滿足驅(qū)動與檢測設(shè)計要求。