陳 杰， 劉宜成， 王 宏， 涂海燕

(四川大學(xué)電氣工程學(xué)院，成都 610065)

0 引言

四旋翼無人機(jī)(簡(jiǎn)稱無人機(jī))以其優(yōu)良的特性，在巡邏、監(jiān)視和搜救等[1]許多領(lǐng)域均得到廣泛運(yùn)用。傳統(tǒng)的無人機(jī)一般采用慣性測(cè)量單元和全球定位系統(tǒng)提供位姿信息，但局部定位跟蹤精度難以滿足實(shí)際需求，而通過圖像視覺伺服(IBVS)可以有效實(shí)現(xiàn)對(duì)目標(biāo)的高精度定位和追蹤[2]。目前，IBVS主要使用透視投影和圖像矩建立無人機(jī)圖像動(dòng)力學(xué)模型，通過構(gòu)建一個(gè)虛擬圖像平面，將目標(biāo)的圖像矩轉(zhuǎn)化到虛擬圖像平面中[3-4]。

近年來，許多方法被應(yīng)用于無人機(jī)IBVS控制。文獻(xiàn)[5]推導(dǎo)出IBVS的動(dòng)態(tài)方程，結(jié)合傳統(tǒng)的PID控制，實(shí)現(xiàn)了無人機(jī)在識(shí)別到指定目標(biāo)后的自主著陸；文獻(xiàn)[6-7]利用目標(biāo)在虛擬圖像平面上的圖像矩推導(dǎo)出IBVS動(dòng)態(tài)方程，采用反步法設(shè)計(jì)控制器，實(shí)現(xiàn)了無人機(jī)對(duì)目標(biāo)的穩(wěn)定跟蹤；文獻(xiàn)[8]針對(duì)靜止目標(biāo)提出了一種輸入飽和視覺伺服控制器，該控制律能適應(yīng)圖像深度的不確定性；文獻(xiàn)[9]在此基礎(chǔ)上優(yōu)化了控制器結(jié)構(gòu)，不再需要圖像深度信息；文獻(xiàn)[10]使用非線性觀測(cè)器估計(jì)無人機(jī)的線速度，由球面投影和圖像矩推導(dǎo)IBVS模型，并采用反步法設(shè)計(jì)控制器，實(shí)現(xiàn)了無人機(jī)對(duì)目標(biāo)自主定位跟蹤。但以上控制算法依賴于精確的系統(tǒng)模型，設(shè)計(jì)過程中簡(jiǎn)化了系統(tǒng)約束條件，抗干擾能力較差。

滑模控制因其對(duì)擾動(dòng)較強(qiáng)的魯棒性，在無人機(jī)控制領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用[11-12]；文獻(xiàn)[13]建立了無人機(jī)IBVS系統(tǒng)誤差模型，設(shè)計(jì)高階super-twisting滑模觀測(cè)器和控制器，實(shí)現(xiàn)了對(duì)目標(biāo)的快速穩(wěn)定跟蹤；文獻(xiàn)[14]利用光流傳感器和IBVS模型設(shè)計(jì)自適應(yīng)滑模控制器，實(shí)現(xiàn)了無人機(jī)對(duì)目標(biāo)的跟蹤并對(duì)擾動(dòng)有較強(qiáng)的抑制。以上滑?？刂品椒ǘ际菬o限時(shí)間收斂，為了解決系統(tǒng)跟蹤誤差在有限時(shí)間內(nèi)收斂，文獻(xiàn)[15]提出了有限時(shí)間滑?？刂?，保證系統(tǒng)跟蹤誤差在有限時(shí)間內(nèi)收斂，但收斂時(shí)間依賴于系統(tǒng)的初始狀態(tài)，而在實(shí)際的應(yīng)用中，系統(tǒng)的初始狀態(tài)難以確定。因此，文獻(xiàn)[16]提出了固定時(shí)間滑模控制，保證系統(tǒng)收斂時(shí)間一致有界，且其時(shí)間上界與系統(tǒng)初始條件無關(guān)。目前，固定時(shí)間滑?？刂品椒ǘ际侵苯訉?duì)無人機(jī)位置和姿態(tài)設(shè)計(jì)控制器，而在無人機(jī)視覺伺服控制中尚未見報(bào)道。

為了提高無人機(jī)在視覺伺服控制中的動(dòng)態(tài)性能和抗干擾能力，本文在IBVS的無人機(jī)動(dòng)力學(xué)模型基礎(chǔ)上提出了一種新型非奇異固定時(shí)間滑?？刂品椒āａ槍?duì)存在擾動(dòng)的IBVS模型，建立了系統(tǒng)誤差模型，設(shè)計(jì)了無人機(jī)的位置和姿態(tài)控制器，提高系統(tǒng)抗干擾性能的同時(shí)保證無人機(jī)在固定時(shí)間內(nèi)收斂到平衡點(diǎn)，且其收斂時(shí)間與無人機(jī)初始狀態(tài)無關(guān)。為驗(yàn)證本文方法的有效性，在Matlab中搭建了數(shù)值仿真實(shí)驗(yàn)，并與文獻(xiàn)[17]提出的傳統(tǒng)固定時(shí)間滑?？刂品椒ㄟM(jìn)行了對(duì)比。

1 無人機(jī)動(dòng)力學(xué)模型

根據(jù)牛頓歐拉法，慣性坐標(biāo)系無人機(jī)的動(dòng)力學(xué)模型可以描述為[18]

(1)

式中：R=RφRθRψ為無人機(jī)的機(jī)體坐標(biāo)系到慣性坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)矩陣，φ,θ,ψ分別為橫滾角、俯仰角和偏航角;Ω=(Ω1Ω2Ω3)T∈R3和V′∈R3分別為無人機(jī)在機(jī)體坐標(biāo)系的角速度和線速度；機(jī)體主軸視為慣性主軸，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量矩陣可近似為對(duì)角陣J=diag(Jx,Jy,Jz)。N3=n3=(001)T分別為機(jī)體坐標(biāo)系和慣性坐標(biāo)系下的單位向量；F∈R3為無人機(jī)的合力輸入矢量；U1為4個(gè)旋翼產(chǎn)生的驅(qū)動(dòng)推力輸入;τ=(U2U3U4)T為控制轉(zhuǎn)矩矢量;m為無人機(jī)質(zhì)量;g為重力加速度；×表示向量叉乘；sk(·)為斜對(duì)稱矩陣。

2 無人機(jī)圖像動(dòng)力學(xué)模型

本文研究的無人機(jī)視覺伺服成像方式為透視投影，將目標(biāo)的特征點(diǎn)投影到虛擬圖像平面，選擇全局性的圖像特征，推導(dǎo)目標(biāo)在虛擬圖像平面的動(dòng)力學(xué)方程，結(jié)合無人機(jī)動(dòng)力學(xué)模型，建立無人機(jī)在虛擬圖像平面的圖像動(dòng)力學(xué)模型。

2.1 虛擬圖像平面

由透視投影建立虛擬圖像平面，如圖1所示，目標(biāo)位于慣性坐標(biāo)系X-Y平面，目標(biāo)所在平面與虛擬圖像平面平行。將目標(biāo)上的某一點(diǎn)投影到虛擬圖像平面，推導(dǎo)該點(diǎn)在虛擬圖像平面的動(dòng)力學(xué)方程。

圖1 虛擬圖像平面

假設(shè)1 攝像機(jī)固定在無人機(jī)底部中心位置，質(zhì)心與無人機(jī)質(zhì)心重合，鏡頭垂直向下。

圖1中：V={OV,XV,YV,ZV}為虛擬攝像機(jī)坐標(biāo)系，C={OC,XC,YC,ZC}為攝像機(jī)坐標(biāo)系，I={OI,XI,YI,ZI}為慣性坐標(biāo)系。攝像機(jī)焦距為λ，C和V原點(diǎn)重合且位于虛擬圖像平面上λ處。V的X-Y平面平行于I的X-Y平面，V的Z軸垂直于I的X-Y平面。點(diǎn)P是目標(biāo)的一個(gè)特征點(diǎn)，點(diǎn)P在慣性坐標(biāo)系的坐標(biāo)為Ip=(Ix,Iy,Iz)，點(diǎn)P在攝像機(jī)坐標(biāo)系的坐標(biāo)記為Cp(t) = (Cx,Cy,Cz)，在虛擬攝像機(jī)坐標(biāo)系的坐標(biāo)為Vp(t)=(Vx,Vy,Vz)。

點(diǎn)P在攝像機(jī)坐標(biāo)系下的坐標(biāo)為

Cp(t) =RT(t)[Ip-OC(t)]。

(2)

點(diǎn)P在虛擬攝像機(jī)坐標(biāo)系的坐標(biāo)為

(3)

對(duì)式(3)兩端求導(dǎo)得

(4)

由透視投影方程和攝像機(jī)的焦距λ，點(diǎn)P在虛擬圖像平面的坐標(biāo)為

(5)

對(duì)式(5)求導(dǎo)，再代入式(4)可得[6]

(6)

2.2 圖像特征動(dòng)力學(xué)建模

前文推導(dǎo)了目標(biāo)的一個(gè)特征點(diǎn)在虛擬圖像平面的動(dòng)力學(xué)方程，需要進(jìn)一步選擇適當(dāng)?shù)膱D像特征建立無人機(jī)的圖像動(dòng)力學(xué)模型。由于飛行過程中無人機(jī)的機(jī)翼高速旋轉(zhuǎn)和外界干擾等會(huì)引起機(jī)身高頻振動(dòng)，這種振動(dòng)會(huì)引起攝像機(jī)拍攝的圖像出現(xiàn)“拖影”。為減弱“拖影”造成的干擾，采用全局性的圖像特征——圖像矩。圖像矩具有矩不變性，即不隨圖像的縮放、平移或旋轉(zhuǎn)而變化。將圖像特征點(diǎn)映射到虛擬圖像平面，選擇圖像矩作為狀態(tài)變量，無人機(jī)平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)過程中的圖像特征不變，可有效實(shí)現(xiàn)對(duì)目標(biāo)的定位和跟蹤[19-20]。

假定目標(biāo)有N個(gè)圖像特征點(diǎn)，特征點(diǎn)坐標(biāo)為(uk,nk,0),k=1,2,…,N。定義透視矩為[21]

(7)

式中：i,j=0,1,2,…。定義中心距為

(8)

式中：ug=m10/m00;ng=m01/m00,m00=N為目標(biāo)的面積。

選擇虛擬圖像平面中的圖像特征點(diǎn)，作為無人機(jī)位置運(yùn)動(dòng)控制，即

(9)

目標(biāo)在虛擬圖像平面的動(dòng)力學(xué)方程為

(10)

無人機(jī)相對(duì)于目標(biāo)的航向?yàn)?/p>

(11)

(12)

將無人機(jī)平移動(dòng)力學(xué)和姿態(tài)動(dòng)力學(xué)(式(1))映射到虛擬圖像平面[22]，即

(13)

(14)

歐拉角與控制轉(zhuǎn)矩向量的關(guān)系為

(15)

式中：Jx,Jy,Jz為無人機(jī)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；l是旋翼中心到機(jī)體質(zhì)心的距離；k1,k2,k3為外界擾動(dòng)。

3 新型固定時(shí)間滑?？刂?/h2>

本章提出一種新型滑模面，利用新型固定時(shí)間滑?？刂?，結(jié)合前文建立的無人機(jī)圖像動(dòng)力學(xué)模型，設(shè)計(jì)無人機(jī)IBVS位置控制器和IBVS姿態(tài)控制器。

3.1 新型滑模面設(shè)計(jì)

引理1[23]針對(duì)微分方程組

(16)

若系統(tǒng)的平衡點(diǎn)x(0)=x0為全局有限時(shí)間穩(wěn)定，且有界時(shí)間函數(shù)為Tx(0)，則稱平衡點(diǎn)為系統(tǒng)的固定時(shí)間穩(wěn)定平衡點(diǎn)，并且存在時(shí)間上界Tmax>0，使得Tx(0)

定理1[16]針對(duì)標(biāo)量系統(tǒng)

(17)

式中：a>0,b>0;m,n,p,q均為正奇數(shù)，且m>n,q

(18)

但系統(tǒng)狀態(tài)在靠近平衡點(diǎn)附近時(shí)，收斂速度較慢，動(dòng)態(tài)性能較差。為了改善系統(tǒng)狀態(tài)在平衡點(diǎn)附近的性能，提高系統(tǒng)響應(yīng)的快速性和平穩(wěn)性，設(shè)計(jì)新型滑模面為

(19)

式中：a,b,c均為正實(shí)數(shù)；m>n,p>q且均為正奇數(shù)。

定理2由式(19)新型滑模面，當(dāng)s=0時(shí)，系統(tǒng)由任意有限初始狀態(tài)x(0)收斂到平衡點(diǎn)的時(shí)間為

(20)

證明過程如下。

令s=0，由式(19)得

(21)

令y=x(p-q)/p，x=yp /(p-q)，則式(21)可寫為

(22)

將式(22)代入式(21)得

(23)

(24)

由式(24)可知，無論系統(tǒng)初始狀態(tài)如何變化取值，系統(tǒng)始終存在收斂時(shí)間上界，其上界估計(jì)為

(25)

新型滑模面為線性項(xiàng)與非線性項(xiàng)的結(jié)合，當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)運(yùn)動(dòng)到離平衡點(diǎn)較遠(yuǎn)時(shí)，非線性項(xiàng)令系統(tǒng)快速收斂；當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)運(yùn)動(dòng)到離平衡點(diǎn)較近時(shí)，線性項(xiàng)改善系統(tǒng)的光滑性和連續(xù)性，令系統(tǒng)收斂速度更快。線性項(xiàng)與非線性項(xiàng)的結(jié)合，使得系統(tǒng)收斂加快的同時(shí)保證了系統(tǒng)良好的動(dòng)態(tài)性能。

3.2 IBVS位置控制器設(shè)計(jì)

定義虛擬圖像平面中的圖像誤差向量為

(26)

(27)

對(duì)式(27)兩端求導(dǎo)可得

(28)

選取如式(19)新型固定時(shí)間滑模面為

(29)

式中：a1,b1,c1均為正實(shí)數(shù);m1>n1,p1>q1,且均為正奇數(shù)。

選擇理想滑模趨近律

(30)

式中：a2,b2,c2均為正實(shí)數(shù);m2>n2,p2>q2,且均為正奇數(shù)。

(31)

式中:lg,η為常數(shù);sgns為符號(hào)函數(shù)。

將式(28)代入式(27)，系統(tǒng)到達(dá)滑模面后的滑模趨近律為

(32)

式中：h=(h1h2h3)T為外界擾動(dòng)；lg為正實(shí)數(shù)，且|h|≤lg。

選取候選Lyapunov函數(shù)

(33)

對(duì)式(33)求導(dǎo)，并將式(32)代入可得

(34)

由定理2固定時(shí)間收斂證明可知：系統(tǒng)收斂時(shí)間與系統(tǒng)初始狀態(tài)無關(guān)，系統(tǒng)在有界時(shí)間內(nèi)到達(dá)滑模面，收斂時(shí)間上界為

(35)

當(dāng)系統(tǒng)到達(dá)滑模面時(shí)，系統(tǒng)狀態(tài)沿滑模趨近律在有界時(shí)間內(nèi)運(yùn)動(dòng)至平衡點(diǎn)，收斂時(shí)間上界為

(36)

則無人機(jī)位置運(yùn)動(dòng)收斂時(shí)間為

T=T1+T2。

(37)

(38)

將式(31)的控制器改寫為

(39)

3.3 IBVS姿態(tài)控制器設(shè)計(jì)

姿態(tài)控制器設(shè)計(jì)過程和收斂時(shí)間與位置控制器同理，這里不再贅述，僅給出控制器設(shè)計(jì)結(jié)果。

無人機(jī)姿態(tài)角的跟蹤誤差為

(40)

選取如式(19)新型固定時(shí)間滑模面為

(41)

選擇理想滑模趨近律，即

(42)

由式(14)和式(15)無人機(jī)在虛擬坐標(biāo)系的姿態(tài)動(dòng)力學(xué)方程，設(shè)計(jì)無人機(jī)姿態(tài)控制器為

(43)

4 系統(tǒng)仿真與實(shí)驗(yàn)分析

為了驗(yàn)證本文所提出方法的有效性，在Matlab的Simulink中進(jìn)行仿真驗(yàn)證。相機(jī)焦距λ=3.2 mm。目標(biāo)質(zhì)心的初始位置為慣性坐標(biāo)系的原點(diǎn)，選擇目標(biāo)的4個(gè)特征點(diǎn)分別為(0.25,0.5,0),(0.25,-0.5,0),(-0.25,0.5,0)，(-0.25,-0.5,0)，單位m。無人機(jī)初始懸停位置為(3,2,8),單位m;初始姿態(tài)角為(-0.1,0.2,-0.2),單位rad。目標(biāo)靜止時(shí)，無人機(jī)穩(wěn)定跟蹤上目標(biāo)時(shí)的位置為(0,0,5)，單位m；姿態(tài)角為(0,0,0)，單位rad；目標(biāo)呈S形運(yùn)動(dòng)時(shí)，無人機(jī)由初始懸停位置運(yùn)動(dòng)到指定高度，在指定高度跟蹤運(yùn)動(dòng)目標(biāo)移動(dòng)。轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為Jx=Jy=0.026 N·s2/rad,Jz=0.285 N·s2/rad，桿臂l=0.2 m?？刂破鞯膮?shù)分別選擇為a1=3,b1=1,c1=1,p1=9,q1=5,m1=11,n1=5;a2=3,b2=5,c2=9,p2=7,q2=9,m2=9,n2=7,lg=5,η=5,δ=5，無人機(jī)質(zhì)量為m=1.33 kg，重力加速度為g=9.8 m/s2。針對(duì)外界干擾的不確定性，在仿真過程中對(duì)位置環(huán)添加擾動(dòng)為h=(2sin(πt/3)3cos πt2t)T,對(duì)姿態(tài)環(huán)添加擾動(dòng)為k=(3+0.5t2sin(πt+2)3cos(πt/2))T。

為便于比較與分析，仿真過程中給出了目標(biāo)的理想運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，并與文獻(xiàn)[17]提出的固定時(shí)間滑?？刂品椒ㄟM(jìn)行對(duì)比。

無人機(jī)跟蹤靜止目標(biāo)仿真結(jié)果如圖2和圖3所示。

圖2 無人機(jī)跟蹤靜止目標(biāo)的位置曲線

圖3 無人機(jī)跟蹤靜止目標(biāo)的姿態(tài)曲線

由圖2、圖3可知：本文提出的方法保證無人機(jī)的位置運(yùn)動(dòng)在0.7 s左右到達(dá)穩(wěn)定，姿態(tài)運(yùn)動(dòng)在0.6 s左右到達(dá)穩(wěn)定，運(yùn)動(dòng)過程平穩(wěn)，收斂速度較快，能很好地抑制外界擾動(dòng)，具有良好的穩(wěn)態(tài)性能。而對(duì)比控制方法使得無人機(jī)位置運(yùn)動(dòng)需要1.7 s到達(dá)穩(wěn)定，且在位置運(yùn)動(dòng)的y方向上出現(xiàn)小幅振蕩現(xiàn)象；姿態(tài)運(yùn)動(dòng)需要1 s左右到達(dá)穩(wěn)定，且在穩(wěn)定過程中存在很大的波動(dòng)，系統(tǒng)抗干擾能力較差。

無人機(jī)跟蹤目標(biāo)呈S形運(yùn)動(dòng)時(shí)仿真結(jié)果如圖4～圖6所示。

圖4 無人機(jī)與跟蹤目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)軌跡

圖5 無人機(jī)跟蹤移動(dòng)目標(biāo)的位置曲線

無人機(jī)由初始位置運(yùn)動(dòng)到指定高度對(duì)目標(biāo)進(jìn)行跟蹤，由圖5位置運(yùn)動(dòng)曲線可知：本文提出的控制方法能保證無人機(jī)快速精確地跟蹤上目標(biāo)，耗時(shí)較短，大約需要0.6 s，運(yùn)動(dòng)軌跡平滑穩(wěn)定，運(yùn)動(dòng)路徑較短。而在對(duì)比控制方法作用下，位置運(yùn)動(dòng)在1.5 s左右穩(wěn)定，運(yùn)動(dòng)路徑較長(zhǎng)。由圖6的姿態(tài)運(yùn)動(dòng)曲線，并結(jié)合局部放大曲線圖可知：本文控制方法能實(shí)現(xiàn)無人機(jī)的姿態(tài)快速平緩而無超調(diào)地趨近穩(wěn)定，穩(wěn)定時(shí)間約0.6 s左右。而在對(duì)比控制方法作用下，無人機(jī)姿態(tài)出現(xiàn)明顯超調(diào)問題，姿態(tài)需要1.2 s左右到達(dá)穩(wěn)定，在姿態(tài)穩(wěn)定收斂過程中出現(xiàn)震蕩現(xiàn)象，且變化的較為劇烈，跟蹤精度較差。

圖6 無人機(jī)跟蹤移動(dòng)目標(biāo)的姿態(tài)曲線

5 結(jié)束語

本文針對(duì)無人機(jī)利用圖像視覺跟蹤目標(biāo)，提出了一種新型非奇異固定時(shí)間滑?？刂品椒āＭㄟ^虛擬圖像平面建立了無人機(jī)圖像動(dòng)力學(xué)模型，在此基礎(chǔ)上，針對(duì)外界擾動(dòng)，利用新型滑?？刂品椒ǚ謩e設(shè)計(jì)了無人機(jī)的位置和姿態(tài)控制器，采用飽和函數(shù)避免了控制器的奇異性，由Lyapunov理論證明了系統(tǒng)的穩(wěn)定性。仿真結(jié)果表明，無人機(jī)面對(duì)外界擾動(dòng)時(shí)，在笛卡爾空間具有良好的運(yùn)動(dòng)軌跡，實(shí)現(xiàn)了無人機(jī)位置和姿態(tài)響應(yīng)無超調(diào)。與傳統(tǒng)固定時(shí)間滑模控制方法相比，本文方法具有更優(yōu)的收斂性能、穩(wěn)態(tài)性能和抗干擾能力。