王素珍， 辛 誠(chéng)， 代明星

(青島理工大學(xué)信息與控制工程學(xué)院，山東 青島 266520)

0 引言

在過(guò)去幾十年，針對(duì)不確定非線性系統(tǒng)控制的研究一直是一個(gè)熱點(diǎn)，為解決實(shí)際系統(tǒng)中存在的非線性特性，涌現(xiàn)出各種先進(jìn)的控制方法，如滑模控制以及基于模糊模型的控制等。在非線性控制領(lǐng)域，反步法是一種有效的方法，用于設(shè)計(jì)和分析一類特殊不確定非線性系統(tǒng)的自適應(yīng)控制器及其構(gòu)造Lyapunov設(shè)計(jì)過(guò)程,目前已經(jīng)成功應(yīng)用于船舶控制、機(jī)器人控制等領(lǐng)域[1-2]。然而，傳統(tǒng)的反步法控制中一個(gè)主要問(wèn)題是對(duì)被控對(duì)象的模型要求確切已知，并不考慮被控對(duì)象中存在參數(shù)不確定或含有未知擾動(dòng)的情況，或者需要對(duì)被控系統(tǒng)中的未知參數(shù)進(jìn)行線性化假設(shè)，并且需要進(jìn)行繁瑣的分析來(lái)確定“回歸矩陣”，從而進(jìn)行控制。對(duì)于這個(gè)問(wèn)題，由于對(duì)未知非線性函數(shù)具有強(qiáng)大的逼近能力，因此很多學(xué)者便使用反步法結(jié)合模糊邏輯系統(tǒng)或神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來(lái)克服這個(gè)問(wèn)題，并提出了幾種新的自適應(yīng)控制方法[3-4]。針對(duì)一類單輸入單輸出(SISO)系統(tǒng)，文獻(xiàn)[3]提出了一種直接自適應(yīng)模糊反推控制方法，文獻(xiàn)[4]提出了一類魯棒自適應(yīng)控制器，這些方法均有效地處理了具有未知復(fù)雜非線性函數(shù)系統(tǒng)的控制問(wèn)題。但不可避免的是，這些方法由于需要對(duì)未知項(xiàng)實(shí)時(shí)在線逼近，因而參數(shù)較多，控制器設(shè)計(jì)復(fù)雜且系統(tǒng)的抗干擾能力不強(qiáng)。此外，控制器參數(shù)的確定存在計(jì)算膨脹問(wèn)題，這是由采用反步法設(shè)計(jì)控制器需要對(duì)虛擬控制信號(hào)多次求導(dǎo)造成的。針對(duì)這一問(wèn)題，許多學(xué)者提出了改進(jìn)方案，如動(dòng)態(tài)面控制方法[5]、基于濾波器的反步法控制[6]等。但這些方法所采用的濾波器給系統(tǒng)引入較大的濾波誤差，從而影響控制效果。特別地，對(duì)于很多實(shí)際系統(tǒng)，被控系統(tǒng)的許多狀態(tài)變量是不可測(cè)的。針對(duì)一類不確定嚴(yán)格反饋非線性系統(tǒng)，本文基于反步法，并結(jié)合自抗擾控制的方法，設(shè)計(jì)了一種新的自適應(yīng)輸出反饋控制器。針對(duì)被控系統(tǒng)中未知的系統(tǒng)狀態(tài)，采用擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器進(jìn)行估計(jì)，并通過(guò)擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器對(duì)系統(tǒng)中的未知系統(tǒng)函數(shù)進(jìn)行在線逼近并補(bǔ)償，以此來(lái)處理系統(tǒng)中含有的不確定項(xiàng)，極大地簡(jiǎn)便了系統(tǒng)控制器的設(shè)計(jì)。為有效解決反步法設(shè)計(jì)過(guò)程中存在的參數(shù)計(jì)算膨脹問(wèn)題，本文設(shè)計(jì)了一種新型非線性濾波器，在反步法設(shè)計(jì)的每個(gè)步驟中，都利用非線性濾波器直接對(duì)虛擬控制信號(hào)求導(dǎo)數(shù)，最后對(duì)一個(gè)三階非線性系統(tǒng)進(jìn)行控制仿真，該算例驗(yàn)證了本文方法的有效性。

1 問(wèn)題模型及準(zhǔn)備

考慮如下一類單輸入單輸出的非線性系統(tǒng)

(1)

式中:x=(x1x2…xn)T為系統(tǒng)狀態(tài)變量;u為系統(tǒng)輸入量;y為系統(tǒng)輸出量;f(x)是系統(tǒng)未知光滑非線性函數(shù)，可視為系統(tǒng)未知擾動(dòng)；系統(tǒng)參數(shù)b0>0。

式(1)非線性系統(tǒng)的控制目標(biāo)是設(shè)計(jì)一種新的自適應(yīng)輸出滑模控制器，以使系統(tǒng)閉環(huán)中的所有信號(hào)都有界。此外，通過(guò)適當(dāng)選擇設(shè)計(jì)參數(shù)，系統(tǒng)輸出y(t)可收斂到零附近的小鄰域。為便于設(shè)計(jì)，提出以下假設(shè)。

后文中提到的非線性濾波器無(wú)法跟蹤突變信號(hào)(如階躍信號(hào))，因此該控制器適用于光滑的參考信號(hào)。

2 反饋信號(hào)預(yù)處理

2.1 擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器設(shè)計(jì)

根據(jù)擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器的設(shè)計(jì)原理，將式(1)被控系統(tǒng)內(nèi)含有的未知非線性擾動(dòng)視為被控系統(tǒng)的第n+1階狀態(tài)，式(1)系統(tǒng)將由原先的n階系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為n+1階系統(tǒng)，即

(2)

根據(jù)式(2)系統(tǒng)設(shè)計(jì)擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器為

(3)

定義擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器的觀測(cè)誤差向量為

(4)

那么

(5)

引理1對(duì)于任意給定的矩陣QT=Q>0，存在矩陣PT=P>0，使得

ATP+PA=-Q。

(6)

接下來(lái)證明式(3)擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器的穩(wěn)定性。當(dāng)觀測(cè)誤差z→0時(shí)，擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器達(dá)到穩(wěn)定，因此選取Lyapunov泛函形式

V0=zTPz

(7)

對(duì)式(7)求導(dǎo)得

(8)

根據(jù)引理1，并利用Young’s不等式，即

BTPz+zTPB≤‖BTP‖2+‖z‖2≤‖P‖2+‖z‖2

(9)

將式(6)和式(9)代入式(8)可得

(10)

式中，λmin(Q)表示矩陣Q的最小特征值。

因此，根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性理論，若要保證式(3)觀測(cè)器在有限時(shí)間內(nèi)漸近穩(wěn)定，僅需合理地調(diào)整觀測(cè)器增益，使λmin(Q)-γ大于0，并且使γ‖P‖2有界。

2.2 非線性濾波器設(shè)計(jì)

本節(jié)基于文獻(xiàn)[7]針對(duì)二階離散系統(tǒng)利用“等時(shí)區(qū)方法”所提出的最速控制綜合函數(shù)fal(·)，構(gòu)造了一種非線性濾波器，從而解決反步法設(shè)計(jì)過(guò)程中因?qū)μ摂M控制信號(hào)重復(fù)求導(dǎo)而造成的參數(shù)爆炸的問(wèn)題。函數(shù)fal(·)表達(dá)形式為

(11)

式中:σ為函數(shù)的輸入誤差信號(hào);φ和δ均為設(shè)計(jì)參數(shù)，決定函數(shù)的非線性形狀。非線性函數(shù)fal(σ,φ，δ)具體形式如圖1所示。通過(guò)設(shè)計(jì)合適的參數(shù)φ和δ，使得當(dāng)誤差信號(hào)σ較大時(shí)，產(chǎn)生較小的反饋增益，反之，則產(chǎn)生大增益，從而實(shí)現(xiàn)有效濾波。

圖1 非線性函數(shù)y=fal(σ,φ,δ)示意圖

根據(jù)非線性函數(shù)fal(σ,φ,δ)設(shè)計(jì)非線性指令濾波器為

(12)

式中:ki,1,ki,2為反饋增益，且均為正常數(shù);σi為濾波器的濾波誤差;xi,1為濾波器的輸出信號(hào);xi,d為濾波器的輸入信號(hào)。

證明過(guò)程如下。因?yàn)樽钏倏刂凭C合函數(shù)fal(σ,φ,δ)是分段函數(shù)，所以需要分兩種情況討論其穩(wěn)定性。

1) 當(dāng)|σ|≤δ時(shí)，式(12)可以重新寫(xiě)為

(13)

則對(duì)非線性濾波器的濾波誤差εi=(εi,1εi,2)T進(jìn)行求導(dǎo)，可得

(14)

(15)

式中，Ii為單位正定矩陣。

當(dāng)濾波誤差εi→ 0時(shí)，非線性濾波器達(dá)到穩(wěn)定，因此選取Lyapunov函數(shù)

(16)

對(duì)式(16)求導(dǎo)并將式(15)代入，推導(dǎo)可得

(17)

式中,λmin(Ii)表示矩陣Ii的一個(gè)最小特征向量。根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性理論，若要保證式(12)非線性濾波器在有限時(shí)間內(nèi)漸近穩(wěn)定，僅需使λmin(Ii)大于0。

2) 當(dāng)|σi|>δi時(shí)，式(12)可以重新寫(xiě)為

(18)

選取

(19)

則式(18)非線性濾波器為二階Levant微分器[8]，其穩(wěn)定性證明過(guò)程見(jiàn)文獻(xiàn)[8]。因此式(12)非線性濾波器的穩(wěn)定性得到證明。

3 控制器設(shè)計(jì)及穩(wěn)定性分析

3.1 控制器設(shè)計(jì)

本節(jié)將結(jié)合前文所述的非線性濾波器，以及用于估計(jì)系統(tǒng)未知狀態(tài)的擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器，基于反步法，對(duì)被控系統(tǒng)進(jìn)行控制器的設(shè)計(jì)?？刂破鞯脑O(shè)計(jì)過(guò)程分為n步，為有效解決傳統(tǒng)反步法中存在的計(jì)算膨脹問(wèn)題，在每一步中都利用了非線性濾波器處理控制器設(shè)計(jì)過(guò)程中的虛擬控制信號(hào)?？刂破鞯目刂圃砑翱刂平Y(jié)構(gòu)如圖2所示。

圖2 控制系統(tǒng)整體框圖

接下來(lái)進(jìn)行控制器的推導(dǎo)。首先定義系統(tǒng)的跟蹤誤差為

(20)

式中,xr為系統(tǒng)的參考信號(hào)。

針對(duì)被控系統(tǒng)的各階跟蹤誤差進(jìn)行虛擬控制律的設(shè)計(jì)，并依據(jù)自抗擾控制原理和擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器的結(jié)果，對(duì)系統(tǒng)未知擾動(dòng)進(jìn)行補(bǔ)償，最終得到系統(tǒng)的控制律

(21)

式(1)被控系統(tǒng)的各個(gè)虛擬控制信號(hào)設(shè)計(jì)以及閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析結(jié)果如下。

1) Step 1:考慮式(1)系統(tǒng)的第一個(gè)子系統(tǒng)以及誤差e1，設(shè)計(jì)虛擬控制信號(hào)α1為

(22)

結(jié)合式(20)和式(21)，則有

(23)

(24)

(25)

對(duì)V1求導(dǎo)，得

(26)

2) Stepi(2≤i≤n-1)：考慮式(1)系統(tǒng)的第i個(gè)子系統(tǒng)以及誤差ei，設(shè)計(jì)虛擬控制信號(hào)αi為

(27)

結(jié)合式(20)和式(27)，則有

(28)

(29)

本步目標(biāo)是使xi完成對(duì)αi-1的跟隨，即ei→ 0。與Step 1同理，選取Lyapunov函數(shù)為

(30)

對(duì)Vi求導(dǎo)可得

(31)

3) Stepn：考慮式(1)系統(tǒng)的第n個(gè)子系統(tǒng)以及誤差en，設(shè)計(jì)虛擬控制信號(hào)αn為

(32)

結(jié)合式(20)和式(32)，并將式(21)代入，得

(33)

本步目標(biāo)是使xn完成對(duì)αn-1的跟隨，即en→0。與Step 1同理，選取Lyapunov函數(shù)為

(34)

對(duì)Vn求導(dǎo)可得

(35)

3.2 穩(wěn)定性證明

根據(jù)上述控制器的設(shè)計(jì)過(guò)程，選取Lyapunov泛函為

(36)

對(duì)式(36)求導(dǎo)可得

(37)

利用Young’s不等式得出

(38)

式中，τ為設(shè)計(jì)的一個(gè)正的參數(shù)。

將式(38)代入式(37)，化簡(jiǎn)得

(39)

因此，根據(jù)式(39)，只需要通過(guò)合理選擇控制器參數(shù)保證a0>0以及b有界，就可以保證控制器漸近穩(wěn)定，閉環(huán)系統(tǒng)的誤差可以在有限的時(shí)間內(nèi)收斂到零值的任意小的鄰域內(nèi)。

4 仿真算例

本章將通過(guò)一個(gè)三階非線性系統(tǒng)仿真案例來(lái)驗(yàn)證本文所述控制方法的有效性。被控系統(tǒng)為

(40)

仿真結(jié)果如圖3～圖8所示。

圖3 系統(tǒng)輸出跟蹤效果

圖4 系統(tǒng)輸出跟蹤誤差

圖3和圖4給出了系統(tǒng)輸出信號(hào)x1對(duì)參考信號(hào)的跟蹤效果以及跟蹤誤差。從仿真結(jié)果來(lái)看，被控系統(tǒng)的輸出信號(hào)可以在有限時(shí)間內(nèi)實(shí)現(xiàn)對(duì)系統(tǒng)參考信號(hào)的跟蹤，并且跟蹤誤差收斂在零值附近的小鄰域內(nèi)，被控系統(tǒng)保持穩(wěn)定，驗(yàn)證了本文所提控制方法的有效性。

圖5 擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器觀測(cè)效果

圖6 控制信號(hào)u

擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器的觀測(cè)效果在圖5中給出。仿真顯示本文設(shè)計(jì)的擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器能夠?qū)崿F(xiàn)對(duì)系統(tǒng)未知狀態(tài)量的有效觀測(cè)，特別地，對(duì)于系統(tǒng)的未知擾動(dòng)，觀測(cè)器也能夠?qū)崿F(xiàn)很好的估計(jì)，需要注意的是，在設(shè)計(jì)狀態(tài)觀測(cè)器時(shí)需仔細(xì)設(shè)計(jì)擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器的帶寬。同時(shí)，從仿真結(jié)果來(lái)看，狀態(tài)x3的觀測(cè)還存在明顯的誤差，需要進(jìn)一步改進(jìn)。

圖7 不同控制方法對(duì)方波信號(hào)跟蹤效果對(duì)比

圖8 采用不同濾波器跟蹤效果對(duì)比

本文所述的方法與其他方法的對(duì)比如圖7所示。仿真結(jié)果顯示本文所提出的方法相比于其他兩種方法具有明顯的優(yōu)越性，系統(tǒng)響應(yīng)更快，超調(diào)量最小且調(diào)節(jié)時(shí)間更短，能夠快速地控制系統(tǒng)穩(wěn)定。

此外，本文所引用的非線性濾波器與其他濾波器的對(duì)比如圖8所示。仿真結(jié)果表明采用非線性濾波器的控制方法相比于采用其他濾波器的控制方法也具有明顯的控制優(yōu)勢(shì)。

5 結(jié)論

本文針對(duì)一類單輸入單輸出的不確定非線性系統(tǒng)的控制問(wèn)題提出了一種結(jié)合自適應(yīng)反步法和自抗擾控制的控制方法，實(shí)現(xiàn)了對(duì)系統(tǒng)內(nèi)未知非線性擾動(dòng)的觀測(cè)估計(jì)，從而在設(shè)計(jì)控制律時(shí)直接進(jìn)行擾動(dòng)補(bǔ)償，并有效地避免了反步法設(shè)計(jì)過(guò)程中對(duì)虛擬控制信號(hào)的重復(fù)求導(dǎo)問(wèn)題?；贚yapunov穩(wěn)定性理論，通過(guò)一系列數(shù)學(xué)推導(dǎo)，證明了所設(shè)計(jì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。本文最后通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)進(jìn)一步驗(yàn)證了該方法的有效性。