于海寧 石家榕 李紅玉

（山西能源學(xué)院 基礎(chǔ)部，山西 晉中030600）

1 概述

Tsallis 于1988 年提出的非廣延統(tǒng)計(jì)理論已廣泛應(yīng)用于很多物理學(xué)領(lǐng)域，非廣延參數(shù)q≠1 體現(xiàn)了非廣延效應(yīng)。例如，自引力系統(tǒng)的非廣延參數(shù)q 具有明確的物理意義，與系統(tǒng)的不等溫性直接相關(guān)，長(zhǎng)程相互作用最終體現(xiàn)為q≠1 的結(jié)論已被日震測(cè)量所證實(shí)。

非廣延性對(duì)實(shí)際氣體的熱力學(xué)過(guò)程存在一定的影響。本文研究低溫下的雙原子氣體，利用實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)（定壓熱容量與定容熱容量之比γ、聲速v）給出了參數(shù)q 的兩個(gè)唯象表達(dá)式。第2 部分中，我們利用雙原子理想氣體的Tsallis 非廣延統(tǒng)計(jì)理論給出只含有一個(gè)自變量γ 的q 值表達(dá)式，結(jié)合N2、O2和CO 氣體的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析。第3 部分中，研究聲速的非廣延理論，給出了q 的另一個(gè)唯象表達(dá)式，結(jié)合空氣聲速的實(shí)驗(yàn)值進(jìn)行分析。第4 部分是結(jié)論。

2 剛性雙原子非廣延氣體的熱容量

對(duì)于經(jīng)典的理想氣體，通常假設(shè)了氣體分子之間是沒有任何相互作用的。然而，實(shí)際上任何氣體分子之間都存在引力，但由于這種引力非常小，一般可以完全忽略不計(jì)。特別地，當(dāng)氣體處于低溫狀態(tài)時(shí)，分子的動(dòng)能要比常溫時(shí)小得多，所以此時(shí)分子間的勢(shì)能就比常溫狀態(tài)時(shí)重要得多了。

在此情形下，氣體的性質(zhì)同標(biāo)準(zhǔn)的理想氣體模型就有了更多的偏離。因此，我們就可以嘗試著用Tsallis 非廣延統(tǒng)計(jì)來(lái)對(duì)它進(jìn)行修正。

當(dāng)氣體的溫度為常溫及以下時(shí)，分子振動(dòng)和電子運(yùn)動(dòng)都被凍結(jié)在基態(tài)，對(duì)熱容量幾乎沒有貢獻(xiàn)。所以，我們這里考慮的非廣延雙原子理想氣體依舊是5 個(gè)自由度，其中含有3 個(gè)平動(dòng)自由度和2 個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度。

由Tsallis 統(tǒng)計(jì)中的q-期待值可以得到雙原子氣體的內(nèi)能

其中f 是q-分布函數(shù)，pi是相應(yīng)的廣義動(dòng)量，E 為單個(gè)分子的動(dòng)能，N 為分子個(gè)數(shù)。

利用定容熱容量的定義式CV=dU/dT，最終得到雙原子氣體的定容熱容量表達(dá)式

其中V 是體積，k 為玻爾茲曼常量。

借助于焓的定義式、定壓熱容量公式和非廣延氣體的物態(tài)方程

可以求出定壓熱容量和定容熱容量之差為

其中，H 表示焓，P 為壓強(qiáng)，n 為分子數(shù)密度。二者之比CP/CV=γ 源于實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，結(jié)合上式給出定容熱容量的另一表達(dá)式

該式和（2）式相等，由此給出非廣延參數(shù)q 的一個(gè)唯象表達(dá)式

利用教科書中N2，O2和CO 氣體γ 的實(shí)驗(yàn)值，我們計(jì)算出相應(yīng)的q 值，表1 中最后一列列出。

表1 中的倒數(shù)第二列為文獻(xiàn)[2]給出的結(jié)果。對(duì)比發(fā)現(xiàn)本文計(jì)算得到的q 值與1 偏差更大些，更能體現(xiàn)其非廣延程度。文獻(xiàn)[2]處理的過(guò)程中計(jì)算定壓熱容量和定容熱容量差值時(shí)錯(cuò)誤地使用了理想氣體物態(tài)方程，從而給出CP-CV=Nk 的結(jié)果，在此基礎(chǔ)上給出的參數(shù)q 的表達(dá)式為

表1 γ 的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)及其對(duì)應(yīng)的q 值

表2 不同溫度下空氣的q 值

3 聲速所驗(yàn)證的氣體的非廣延性

基于非廣延統(tǒng)計(jì)理論的聲速公式為

該式已用于天體物理、等離子體物理等領(lǐng)域，其中vs為廣延情形下的聲速。聲波的傳播過(guò)程可近似視為絕熱過(guò)程，此時(shí)

m 為氣體的摩爾質(zhì)量，R 為摩爾氣體常量。以上兩式結(jié)合給出q 的唯象表達(dá)式為

下面以不同溫度下空氣聲速的實(shí)驗(yàn)值分析非廣延性的變化。γ 的實(shí)驗(yàn)值在我們分析的溫度范圍內(nèi)變化甚小，因此q 值主要取決于聲速vq的大小。表2 列出三個(gè)溫度情況下的q 值，γ 取近似值1.41。

由此看見，常溫下空氣的非廣延效應(yīng)可以完全忽略，可視為理想氣體，但隨著溫度的降低，非廣延效應(yīng)逐漸明顯。

4 結(jié)論

本文先后用了兩種途徑給出非廣延參數(shù)q 的唯象表達(dá)式，（8）和（12）式。前者針對(duì)雙原子氣體。結(jié)合實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)比不同溫度下的非廣延性，發(fā)現(xiàn)常溫下氣體完全可視為廣延的，但低溫下非廣延效應(yīng)明顯加強(qiáng)。我們處理低溫下氣體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能仍用了經(jīng)典理論，未將其進(jìn)行量子化分析，這是因?yàn)楸疚乃懻摰腘2，O2和CO 氣體的轉(zhuǎn)動(dòng)特征溫度θr都很小，都只有2K 多，通常認(rèn)為的經(jīng)典理論適用條件θr/T＜＜1 在我們所討論的溫度下仍然成立?？諝獾姆菑V延性主要取決于氮?dú)猓Y(jié)論發(fā)現(xiàn)在92K和-150°C 這兩個(gè)比較接近的溫度下氮?dú)夂涂諝獾姆菑V延性大致相當(dāng)。后者q 值略大些，原因是相同溫度下的氧氣（空氣第二大成分）的非廣延性比氮?dú)庑∫恍╭ 值偏大）。