邱滟佳,張鴻儒，于仲洋

(北京交通大學(xué) 土木建筑工程學(xué)院，北京 100044)

從20世紀(jì)70年代，日本學(xué)者提出反應(yīng)位移法[1]以來(lái)，反應(yīng)位移法由于理論嚴(yán)謹(jǐn)、模型簡(jiǎn)單的特點(diǎn)逐漸成為實(shí)際工程中應(yīng)用最廣泛的擬靜力方法之一，并且是國(guó)家規(guī)范[2-4]建議的方法之一，但是該方法也存在一定的缺陷.安軍海等[5]總結(jié)了反應(yīng)位移法的幾個(gè)關(guān)鍵問題，其中非常重要的一個(gè)就是土彈簧剛度的確定方法.反應(yīng)位移法采用部分近似條件將離散的地基彈簧模擬土層，計(jì)算結(jié)果存在一定誤差[6].已有研究表明，反應(yīng)位移法在計(jì)算結(jié)構(gòu)變形時(shí)誤差可達(dá)30%，計(jì)算結(jié)構(gòu)內(nèi)力時(shí)最大誤差接近40%[7].為了解決反應(yīng)位移法計(jì)算誤差偏大的問題，大量學(xué)者對(duì)反應(yīng)位移法進(jìn)行了修正.董正方等[8]提出基于土層位移差的反應(yīng)位移法，該方法適用于埋深較大地下結(jié)構(gòu)；賓佳等[9]利用土-結(jié)構(gòu)相互作用系數(shù)法的原理修正反應(yīng)位移法，提出了基于變形修正的反應(yīng)位移法，該方法能較好地提高反應(yīng)位移法計(jì)算精度，但在計(jì)算中還需要考慮土-結(jié)構(gòu)相互作用系數(shù)，會(huì)增加計(jì)算量.這兩種方法在一定程度上提高了反應(yīng)位移法計(jì)算精度，但都沒有解決土彈簧剛度確定的問題.

為了忽略土彈簧計(jì)算帶來(lái)的誤差，部分學(xué)者提出通過直接建立土-結(jié)構(gòu)分析模型來(lái)反映土-結(jié)構(gòu)間相互作用.劉晶波等[10-13]提出的整體式反應(yīng)位移法、整體強(qiáng)制反應(yīng)位移法都是直接建立土-結(jié)構(gòu)分析模型的計(jì)算方法.這一類方法計(jì)算精度明顯高于傳統(tǒng)反應(yīng)位移法，但引入土單元會(huì)使簡(jiǎn)單的反應(yīng)位移法模型復(fù)雜化.

本文從另外一個(gè)思路出發(fā)修正反應(yīng)位移法，用更接近土體性質(zhì)的雙參數(shù)地基模型簡(jiǎn)化土層，得到一種相比傳統(tǒng)反應(yīng)位移法更加精確，又比整體式反應(yīng)位移法、整體強(qiáng)制反應(yīng)位移法模型更加簡(jiǎn)單的地下結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計(jì)方法.

1 彈簧修正原理及修正方法計(jì)算過程

目前反應(yīng)位移法已發(fā)展了多種計(jì)算形式，不同規(guī)范給出的計(jì)算模型也不相同，劉晶波等[14]以大開車站為案例，對(duì)比分析了不同規(guī)范中反應(yīng)位移法的計(jì)算精度，結(jié)果表明《城市軌道交通結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計(jì)規(guī)范》[2]中的反應(yīng)位移法模型更加合理.

規(guī)范[2]建議的反應(yīng)位移法模型(見圖1)將地震對(duì)結(jié)構(gòu)的作用分為3部分，即結(jié)構(gòu)頂?shù)准皞?cè)墻剪力、結(jié)構(gòu)慣性力以及側(cè)墻自由場(chǎng)變形.其中結(jié)構(gòu)頂?shù)准袅?、結(jié)構(gòu)慣性力、自由場(chǎng)變形均可由一維場(chǎng)地反應(yīng)分析得到，側(cè)墻剪力取結(jié)構(gòu)頂?shù)准袅Φ木礫15]，同時(shí)反應(yīng)位移法將周圍土體簡(jiǎn)化成離散彈簧.丁德云等[16]總結(jié)并對(duì)比分析了離散彈簧的各種計(jì)算方法.將土體簡(jiǎn)化成離散彈簧的方法雖然簡(jiǎn)單，卻不能反映土體間的相互作用，影響結(jié)構(gòu)的內(nèi)力響應(yīng).

圖1 反應(yīng)位移法示意

雙參數(shù)模型是一種能反映土體間作用的地基模型，本文利用雙參數(shù)地基模型原理對(duì)傳統(tǒng)反應(yīng)位移法的土彈簧進(jìn)行修正，以考慮土體間的相互作用.

1.1 雙參數(shù)模型及修正彈簧的原理

常見的雙參數(shù)模型有Filonenko-Boorodich模型、Hetenyi模型和Pasternak模型[17](見圖2).三者都用彈簧模擬土體的抗壓性質(zhì)，這與溫克爾地基模型相同，但都增加了一個(gè)剪切參數(shù)來(lái)模擬土體之間的作用.3種模型本質(zhì)是相同的，本文分析計(jì)算采用彈簧加剪切層的Pasternak模型.

圖2 雙參數(shù)模型

以結(jié)構(gòu)底板為例，土體是摩擦性材料不受拉，可不考慮底板平面以上土層對(duì)底板彈簧的影響(見圖3模型A).傳統(tǒng)反應(yīng)位移法將底板外土層簡(jiǎn)化成離散彈簧，底板兩側(cè)彈簧不受力可直接去除(見圖3模型B、C),這樣的簡(jiǎn)化方法會(huì)忽略底板兩側(cè)土體對(duì)結(jié)構(gòu)的作用.采用Pasternak模型(見圖3模型D)，在剪切層的作用下底板兩側(cè)壓縮彈簧受力不能直接去除，能模擬兩側(cè)土體對(duì)結(jié)構(gòu)的作用.

圖3 彈簧的簡(jiǎn)化過程示意

為了簡(jiǎn)化模型，經(jīng)過分析可通過修正底板壓縮基床系數(shù)去除底板兩側(cè)的彈簧(見圖3模型E).以底板邊緣點(diǎn)處彈簧為例，修正原理如圖4所示，在同樣大小集中力F1、F2作用下，模型1結(jié)構(gòu)底板位置的變形與簡(jiǎn)化后的模型2相同.

張載[17]給出Pasternak模型在條形荷載作用下變形公式：

(1)

式中：w(y)為任意點(diǎn)變形；w0為力作用點(diǎn)下的變形；b為力的作用范圍，由于是集中力可取0；Ks為壓縮基床系數(shù)；Gs為剪切層剪切基床系數(shù)，當(dāng)滿足最小勢(shì)能原理時(shí)，Gs=Ks.

圖4 雙參數(shù)模型簡(jiǎn)化原理

模型1與模型2變形相同，則有模型1、2豎向反力F1、F2為

F1=Ks×B×l×w1+2×Ks×B×l×w2+…，

(2)

F2=K×B×l×w1+K×B×l×w2+….

(3)

式中：K為修正后的壓縮基床系數(shù)；l為壓縮彈簧的間隔；B為計(jì)算單元的寬度，二維模型取1 m.

由模型1、2豎向反力F1、F2相等得

(4)

當(dāng)彈簧的間距l(xiāng)足夠小，上述求和公式就可以轉(zhuǎn)換成積分，得

式中L為模型2的寬度,即底板寬度.

利用同樣的方法得到其他位置的基床系數(shù)修正公式為

(6)

式中a為修正點(diǎn)到底板角點(diǎn)的距離.

由于結(jié)構(gòu)底板的剪切剛度遠(yuǎn)大于雙參數(shù)模型剪切層剪切剛度，在計(jì)算中可忽略底板下剪切層的作用，得到修正后底板外法向彈簧模型(見圖3模型C)，修正模型與傳統(tǒng)模型相比除了對(duì)彈簧系數(shù)進(jìn)行了修正其他一樣.

1.2 雙參數(shù)模型的壓縮基床系數(shù)確定方法

從式(6)可以看出，修正基床系數(shù)K是雙參數(shù)模型壓縮基床系數(shù)Ks的函數(shù)，Ks的確定是修正模型非常重要的一步.其確定原理是在相同荷載作用下，采用不同的模型只會(huì)影響受力和變形的分布，不會(huì)改變地基土體整體的受力和變形.

目前，規(guī)范中有兩種離散地基彈簧的計(jì)算方法.其中更為精確且應(yīng)用更廣泛的是有限元方法，本文Ks的確定方法就基于該方法.有限元計(jì)算離散地基彈簧基床系數(shù)Kl的公式為

(7)

控制雙參數(shù)模型變形、受力與有限元計(jì)算結(jié)果相同，即

(8)

由式(7)和(8)得

(9)

式(9)為本文建議的雙參數(shù)模型壓縮基床系數(shù)Ks的計(jì)算公式，將其代入式(6)中就能得到反應(yīng)位移法模型任意位置的修正基床系數(shù).

1.3 修正反應(yīng)位移法的計(jì)算過程

修正反應(yīng)位移法計(jì)算過程與傳統(tǒng)反應(yīng)位移法基本相同，分為3步：1)利用SHAKE91、EERA[18-19]等進(jìn)行場(chǎng)地反應(yīng)分析.得到結(jié)構(gòu)位置處土層變形、剪力和加速度;2)求解模型的彈簧系數(shù).模型的剪切彈簧直接利用規(guī)范中的有限元方法計(jì)算，法向彈簧利用本文的修正方法計(jì)算;3)建立模型并施加彈簧和地震荷載.其中頂、底板、側(cè)墻剪力以及結(jié)構(gòu)慣性力的施加方法與傳統(tǒng)反應(yīng)位移法相同.側(cè)墻的土層變形可直接施加在修正彈簧的遠(yuǎn)離結(jié)構(gòu)一側(cè)，也可轉(zhuǎn)化為由自由場(chǎng)變形乘以修正后彈簧系數(shù)得到的等效力.

2 修正反應(yīng)位移法的驗(yàn)證

地下結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計(jì)分析方法主要可分為動(dòng)力時(shí)程分析方法和擬靜力分析方法(包含反應(yīng)位移法)兩類，其中動(dòng)力時(shí)程方法是在時(shí)域內(nèi)直接計(jì)算地震反應(yīng)過程中土-結(jié)構(gòu)的動(dòng)力相互作用的分析方法，其能夠計(jì)算地震反應(yīng)過程中各時(shí)刻結(jié)構(gòu)的內(nèi)力和變形響應(yīng)，計(jì)算精度高.為了驗(yàn)證本文提出的修正方法計(jì)算精度高于傳統(tǒng)反應(yīng)位移法，以動(dòng)力時(shí)程的計(jì)算結(jié)果為基準(zhǔn)對(duì)比兩種方法.

2.1 車站結(jié)構(gòu)

以標(biāo)準(zhǔn)斷面為單層和雙層的車站結(jié)構(gòu)驗(yàn)證修正方法的正確性，其中單層車站為單層雙跨結(jié)構(gòu)，車站寬度為12 m，高度為6.2 m；雙層車站為雙層三跨結(jié)構(gòu)，寬度為20.3 m，高度為12.4 m，具體的構(gòu)件尺寸見圖5.

圖5 計(jì)算模型的斷面(單位：m)

2.2 動(dòng)力時(shí)程法

采用線性動(dòng)力時(shí)程分析方法，單層結(jié)構(gòu)模型計(jì)算尺寸為200 m×50 m(見圖6)，雙層結(jié)構(gòu)模型計(jì)算尺寸為400 m×80 m.采用四節(jié)點(diǎn)平面應(yīng)變減縮積分實(shí)體單元模擬土體介質(zhì)，采用梁?jiǎn)卧M結(jié)構(gòu)構(gòu)件.場(chǎng)地土與地鐵車站結(jié)構(gòu)之間的法向接觸采用“硬”接觸的方式，即當(dāng)場(chǎng)地土與地下結(jié)構(gòu)之間出現(xiàn)拉力時(shí)，場(chǎng)地土與地下結(jié)構(gòu)間的接觸面將立即分離；切向接觸服從Coulomb摩擦定律，當(dāng)接觸面上剪應(yīng)力大于它們之間的摩擦力時(shí)，將發(fā)生土體相對(duì)地下結(jié)構(gòu)的切向滑動(dòng)，計(jì)算過程中不同模型各個(gè)接觸面摩擦系數(shù)均取0.45.

圖6 單層結(jié)構(gòu)動(dòng)力時(shí)程模型(單位：m)

場(chǎng)地土為單一飽和黏性土，并采用等效線性動(dòng)力本構(gòu)，即用黏彈性Kelvin模型來(lái)反映土體在周期荷載下的滯回性[20].剪切模量比、阻尼比和剪應(yīng)變關(guān)系曲線如圖7所示.車站結(jié)構(gòu)為C40混凝土，用彈性本構(gòu)模擬.采用劉晶波等[21]提出的黏彈性動(dòng)力人工邊界，該人工邊界是在模型邊界施加彈簧和阻尼系統(tǒng)以達(dá)到耗散和吸收散射波的目的，法向和切向彈簧阻尼參數(shù)計(jì)算公式為

法向邊界

(10)

切向邊界

(11)

式中：KBN與KBT分別為彈簧法向與切向剛度；R為波源至人工邊界點(diǎn)的距離；cs和cp分別為S波和P波波速；G為介質(zhì)剪切模量；ρ為介質(zhì)質(zhì)量密度；αT與αN分別為切向與法向黏彈性人工邊界參數(shù)，取值如表1所示.

圖7 剪切模量比、阻尼比與剪應(yīng)變關(guān)系

表1 黏彈性人工邊界參數(shù)取值

選用一個(gè)實(shí)際發(fā)生的地震波(El-Centro波)和一個(gè)人工合成波(北京人工波)作為地震輸入波分析不同地震輸入波對(duì)傳統(tǒng)方法及修正方法計(jì)算精度的影響.El-Centro波和北京人工波原始波形與頻譜分析見圖8，其中El-Centro頻譜曲線主要分布在低頻區(qū)，北京人工合成波分布較為均勻，兩者對(duì)比可分析輸入波的頻譜特性對(duì)修正方法計(jì)算精度的影響.

圖8 地震波原始波形和頻譜分析

2.3 反應(yīng)位移法計(jì)算參數(shù)的獲取及計(jì)算工況

由于本文計(jì)算工況較多，不同工況下的反應(yīng)位移法計(jì)算參數(shù)不同.以工況1為例計(jì)算傳統(tǒng)反應(yīng)位移法和修正方法的參數(shù)，其他工況的參數(shù)用相同方法獲取.首先利用EERA進(jìn)行場(chǎng)地反應(yīng)分析，得到埋深2 m、地表峰值加速度為0.2g時(shí)，結(jié)構(gòu)位置處土層變形、剪力和加速度，這一步修正方法與傳統(tǒng)反應(yīng)位移法相同.然后利用有限元方法(見圖9)得到結(jié)構(gòu)四周彈簧的基床系數(shù)，有限元的計(jì)算范圍與動(dòng)力時(shí)程的計(jì)算范圍相同.

圖9 有限元方法計(jì)算基床系數(shù)

利用上述有限元方法得到的基床系數(shù)，是傳統(tǒng)反應(yīng)位移法采用的基床系數(shù)Kl；根據(jù)式(9)得到雙參數(shù)模型壓縮基床系數(shù)Ks；最后利用式(6)得到修正模型任意點(diǎn)彈簧的修正基床系數(shù)K.工況1的傳統(tǒng)及修正基床系數(shù)見表2,其中a為彈簧位置到構(gòu)件角點(diǎn)的距離.

表2 傳統(tǒng)及修正基床系數(shù) kN·m-2

通過改變土體剪切波速、地震強(qiáng)度、結(jié)構(gòu)埋深、結(jié)構(gòu)層數(shù)和地震輸入波驗(yàn)證修正方法在不同條件下的適用性和計(jì)算精度，具體的計(jì)算工況見表3.

2.4 計(jì)算結(jié)果及分析

本文計(jì)算工況較多， 由于篇幅的限制，只給出第一組工況的內(nèi)力表(表4)，其他幾組工況的結(jié)果均以內(nèi)力誤差圖的形式給出.

圖10～14給出各種工況下，以動(dòng)力時(shí)程計(jì)算結(jié)果為基準(zhǔn)，傳統(tǒng)反應(yīng)位移法和本文修正方法的內(nèi)力及變形誤差對(duì)比.綜合對(duì)比圖10～14可以得出，相比傳統(tǒng)反應(yīng)位移法，修正方法的結(jié)果更加接近動(dòng)力時(shí)程的計(jì)算結(jié)果，整體誤差能減小一半左右.

表3 計(jì)算工況

圖10 不同埋深傳統(tǒng)方法和修正方法誤差比較

圖11 不同土層剪切波速傳統(tǒng)方法和修正方法誤差比較

圖12 不同地震強(qiáng)度傳統(tǒng)方法和修正方法誤差比較

分別對(duì)比每種工況的結(jié)果可以得到，影響傳統(tǒng)反應(yīng)位移法和修正方法計(jì)算精度的最主要因素是結(jié)構(gòu)的類型.其中改變結(jié)構(gòu)埋深、土層的剪切波速和地震強(qiáng)度(圖10～12)對(duì)兩種方法計(jì)算單層結(jié)構(gòu)內(nèi)力及變形精度的影響不大，傳統(tǒng)反應(yīng)位移法內(nèi)力及變形的最大誤差會(huì)達(dá)到20%，經(jīng)過本文方法修正之后，內(nèi)力及變形的最大誤差會(huì)減小到10%左右；改變結(jié)構(gòu)類型(對(duì)比圖12,13)對(duì)兩種方法計(jì)算精度的影響明顯，其中用傳統(tǒng)反應(yīng)位移法計(jì)算雙層結(jié)構(gòu)的誤差是計(jì)算單層結(jié)構(gòu)的2倍左右，修正方法計(jì)算雙層結(jié)構(gòu)的誤差是計(jì)算單層結(jié)構(gòu)的1.8倍左右；改變地震輸入波(對(duì)比圖13，14)對(duì)兩種方法的計(jì)算精度影響不大，傳統(tǒng)反應(yīng)位移法最大計(jì)算誤差會(huì)達(dá)到40%，經(jīng)過本文方法修正之后，最大計(jì)算誤差會(huì)減小到20%左右.綜合上面分析，修正方法的修正效果明顯.

圖13 雙層結(jié)構(gòu)傳統(tǒng)方法和修正方法誤差比較

圖14 北京人工波為輸入波時(shí)傳統(tǒng)方法和修正方法誤差比較

3 結(jié) 論

1)修正方法除了修正法向彈簧的基床系數(shù)，其他部分與傳統(tǒng)反應(yīng)位移法相同，仍然是一種相對(duì)簡(jiǎn)單的地下結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計(jì)方法.

2)傳統(tǒng)反應(yīng)位移法采用離散彈簧模擬土體，會(huì)影響結(jié)構(gòu)內(nèi)力響應(yīng)，其計(jì)算精度偏低.對(duì)于單層結(jié)構(gòu)傳統(tǒng)反應(yīng)位移法計(jì)算誤差會(huì)超過20%；對(duì)于雙層結(jié)構(gòu)其計(jì)算誤差則會(huì)超過40%.經(jīng)本文提出的方法對(duì)彈簧進(jìn)行修正之后，單、雙層結(jié)構(gòu)的內(nèi)力誤差都能減小一半左右，修正效果明顯.

3)修正方法是實(shí)用性較強(qiáng)且計(jì)算精度較高的地下結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計(jì)方法，可利用于地下結(jié)構(gòu)的抗震設(shè)計(jì)中.

4)本文采用比傳統(tǒng)單參數(shù)模型更接近土體性質(zhì)的雙參數(shù)模型簡(jiǎn)化土層，但雙參數(shù)模型并不能完全模擬土體的性質(zhì)，比如動(dòng)力作用下土體剪切模量的非線性變化，所以，地基彈簧隨場(chǎng)地應(yīng)力狀態(tài)的修正是進(jìn)一步提高反應(yīng)位移法精度的方向之一.